103 câu trắc nghiệm hàm số mũ và hàm số logarit có đáp án chi tiết

103 CÂU TN MŨ - LOGARIT
(MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO)
TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2017-2018
Tìm file word MIỄN PHÍ tại page
/>Câu 1.

Cho phương trình


1
0
.log3  3
 m  3m 2  1  2 


Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có số nghiệm thuộc đoạn
 6;8 . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S .
2

 m3  3m 2 1



A. 20 .
Câu 2.

Biết

x1 ,



.log81 x 3  3 x 2  1  2  2

B. 28 .
x2

 x 3 3 x 2 1  2

C. 14 .

là hai nghiệm của phương trình

D. 10 .
 4 x2  4 x  1 
2
log 7 
  4x 1  6x
2x



1
a  b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a  b.
4
A. a  b  16 .
B. a  b  11 .
C. a  b  14 .
x 1 2 x2 



và



D. a  b  13.
1

Câu 3.

Câu 4.



 2 x 2  1   x  2 x 
Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log 2 

2
 5.

 2x 
1
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
2

Cho a , b , c là các số thực thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 c  1. Khi biểu
thức P  a 3  b3  c 3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c  đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng.

a  b  c là
A. 3 .
Câu 5.

1
3

3

C. 4 .

B. 3.2 .

D. 6 .

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 4 x 1  41 x   m  1  2 2  x  2 2  x   16  8m có
nghiệm trên  0;1 ?
A. 2 .

Câu 6.

B. 5 .

D. 3 .

Xét bất phương trình log 22 2 x  2  m  1 log 2 x  2  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
A. m   0;   .

Câu 7.

C. 4 .

 3 
B. m    ;0  .
 4 





2;   .

 3

C. m    ;   .
 4


D. m   ;0  .

Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như
sau:Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng

Tìm file Word tại />
1


năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất

cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
A. 403,32 (triệu đồng).
B. 293,32 (triệu đồng).
C. 412, 23 (triệu đồng).
Câu 8.

D. 393,12 (triệu đồng).

Cho hai số thực a , b thỏa mãn a  b 

 a3 
4
2
và biểu thức P  16 log a 
  3log a a có giá
3
 12b  16 
b

trị nhỏ nhất. Tính a  b.
7
A. .
B. 4 .
2
Câu 9.

C.

11
.

2

D. 6 .

Giá trị nào của m để phương trình log 32 x  log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn 1; 3 3  .


A. 1  m  16 .

B. 4  m  8 .

C. 3  m  8 .

D. 0  m  2 .

Câu 10. Tìm m để tồn tại duy nhất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y2  2  4 x  4 y  4   1
và x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0 .


C. 


2

2

10  2 .

A.

10 

B. 10  2 và 10  2 .

2

và





2

10  2 .

D. 10  2 .

32 x  x 1  32  x 1  2017 x  2017
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm  2
.
 x   m  2  x  2m  3  0
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  2 .
D. m  2 .

 x1  x2 

Câu 12. Biết x1 , x2

là hai nghiệm của phương trình log 3



1
a  b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a  b .
2
A. a  b  13 .
B. a  b  11 .
C. a  b  14 .
x1  2 x2 

Câu 13. Biết rằng 2



x



x 2  3 x  2  2  5x

2

3 x 1

 2 và



1
x

D. a  b  16 .

 log 2 14   y  2  y  1 trong đó x  0.

Tính giá trị của biểu thức P  x 2  y 2  xy  1.
A. 3 .

B. 1

C. 2 .

D. 4 .

Câu 14. Cho x , y là các số thực thỏa log 3 x  y  x 2  y 2   1 . Khi 3x  y đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị

k

x
là
y

A. k  1 .

B. k 

1
.
2

C. k  3 .

1
D. k  .
3

Câu 15. Gọi S là tập nghiệm của phương trình  2  x   2  4 x   6 . Khi đó số phần tử của tập S là bao
nhiêu
A. S  2 .

B. S  3 .

C. S  4 .

Tìm file Word tại />
D. S  5 .

2


Câu 16. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 5 x 2 y 

3
5xy

x


1

 3 x 2 y  y ( x  2) . Tìm giá trị
xy
3
5

nhỏ nhất của biểu thức T  x  y .
A. Tmin  2  3 2 .
Câu 17. Có

bao

nhiêu

B. Tmin  3  2 3 .
số

nguyên

C. Tmin  1  5 .

dương

a

(a

là

tham

D. Tmin  5  3 2 .
số)

để

phương

trình

2

 x 
 2  x2 
9 2

2
2
2
3
a

12
a

15
log
2

x

x

a

3
a

1
log
1


2
log
2
x

x

log

 27 
  2
 11  2 

9

11 

2 




có nghiệm duy nhất?
A. 2 .
B. 0 .
C. Vô số.
D. 1 .

x y
 x  x  3   y  y  3  xy. Tìm giá
x  y 2  xy  2
3x  2 y  1
.
của biểu thức P 
x y6
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .

Câu 18. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log
trị lớn nhất Pmax
A. 3 .

3

2

Câu 19. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m   và phương trình
2 log mx5  2 x 2  5 x  4   log

A. 15.

mx  5

x

2

 2 x  6  có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S .

B. 14.

C. 13.

Câu 20. Xét các số thực a , b thỏa mãn điều kiện

D. 16.

1
 b  a  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

 3b  1 
2
P  log a 
  12 log b a  3 .
 4 

a
A. min P  13 .

B. min P 

1
.
2

3

C. min P  9 .

D. min P  3 2 .

Câu 21. Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép
với lãi suất 0, 6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu
đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau?
A. 635.000 .
B. 535.000 .
C. 613.000 .
D. 643.000 .
Câu 22. Cho 0  x; y  1 thỏa mãn 20171 x y 

x 2  2018
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất,
y 2  2 y  2019

giá trị nhỏ nhất của biểu thức S   4 x 2  3 y  4 y 2  3x   25 xy . Khi đó M  m bằng bao nhiêu?
A.

136
.
3

B.

391
.
16

C.

383
.
16

D.

25
.
2

Câu 23. Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,5 0 0
mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân
hàng số tiền cố định 5, 6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng bao nhiêu
tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?
A. 60 tháng.
B. 36 tháng.
C. 64 tháng.

D. 63 tháng.
Câu 24. Một người mua một căn hộ chung cư với giá 500 triệu đồng. Người đó trả trước số tiền là 100
triệu đồng. Số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng
số tiền còn nợ là 0,5% mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau đúng mỗi tháng người đó trả số tiền cố

Tìm file Word tại />
3


định là 4 triệu đồng (cả gốc lẫn lãi). Thời gian (làm tròn đến hàng đơn vị) để người đó trả hết
nợ là
A. 136 tháng.
B. 140 tháng.
C. 139 tháng.
D. 133 tháng.
Câu 25. Ngân hàng BIDV Việt Nam đang áp dụng hình thức lãi kép với mức lãi suất:không kỳ hạn là
0, 2% /năm, kỳ hạn 3 tháng là 4,8% /năm. Ông A đến ngân hàng BIDV để gửi tiết kiệm với số
tiền ban đầu là 300 triệu đồng. Nếu gửi không kỳ hạn mà ông A muốn thu về cả vốn và lãi





bằng hoặc vượt quá 305 triệu đồng thì ông A phải gửi ít nhất n tháng n  * . Hỏi nếu cùng
số tiền ban đầu và cũng số tháng đó, ông A gửi tiết kiệm có kỳ hạn 3 tháng thì ông A sẽ nhận
được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu (giả sử rằng trong suốt thời gian đó lãi suất ngân hàng
không đổi và nếu chưa đến kỳ hạn mà rút tiền thì số tháng dư so với kỳ hạn sẽ được tính theo
lãi suất không kỳ hạn)
A. 444.785.421 đồng. B. 446.490.147 đồng. C. 444.711.302 đồng. D. 447.190.465 đồng.
Câu 26. Một sinh viên ra trường đi làm vào ngày 1/ 1/ 2018 với mức lương khởi điểm là a đồng/ 1

tháng và cứ sau 2 năm lại được tăng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng của anh ta là 40%
lương. Anh ta dự định mua một căn nhà có giá trị tại thời điểm 1/1/2018 là 1 tỉ đồng và cũng
sau 2 năm thì giá trị căn nhà tăng thêm 5% . Với a bằng bao nhiêu thì sau đúng 10 năm anh ta
mua được ngôi nhà đó, biết rằng mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi (kết quả
quy tròn đến hàng nghìn đồng)
A. 21.776.000 đồng. B. 55.033.000 đồng. C. 14.517.000 đồng. D. 11.487.000 đồng.
Câu 27. Tính đến đầu năm 2011 , dân số toàn thành phố A đạt xấp xỉ 905.300 người. Mỗi năm dân số
thành phố tăng thêm 1, 37% . Để thành phố A thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ
tuổi đều vào lớp 1 thì đến năm học 2024 – 2025 số phòng học cần chuẩn bị cho học sinh lớp 1
(mỗi phòng 35 học sinh) gần nhất với số nào sau đây; biết rằng sự di cư đến, đi khỏi thành phố
và số trẻ tử vong trước 6 tuổi đều không đáng kể, ngoài ra trong năm sinh của lứa học sinh lớp
1 đó toàn thành phố có 2400 người chết?
A. 459 .
B. 322 .
C. 458 .
D. 321 .
Câu 28. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:




22
2
4
2 22
 2log x
 5  13 

 4   24 x 6  2 x5  27 x 4  2 x 3  1997 x 2  2016   0
 2 log x

2
3
3
log 22 x log 22 x


3
3



A. 12, 3 .
Câu 29. Cho m  log a

C. 12,1 .

B. 12 .



3

D. 12, 2 .



ab với a  1 , b  1 và P  log 2a b  16 logb a . Tìm m sao cho P đạt giá trị

nhỏ nhất.
1

A. m  .
2

B. m  4 .

C. m  1 .

D. m  2 .

Câu 30. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
x 3  3 x 2  3x  5
3
log
  x  1  x 2  6 x  7
2
x 1
A. 2  3 .

B. 2 .

C. 0 .

Câu 31. Cho x , y là các số thực thỏa mãn 1  x 


2
P   log x y  1  8  log



D. 2  3 .

y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

y
x

y
 .
x 

Tìm file Word tại />
4


A. 18 .

B. 9 .

C. 27 .

D. 30
2

1
2x 1  1 
log 2  x  2   x  3  log 2
 1    2 x  2 , gọi S là tổng tất cả

2
x
 x
các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của S là

Câu 32. Cho phương trình

B. S 

A. S  2 .

1  13
.
2

D. S 

C. S  2 .

1  13
.
2

Câu 33. Cho x , y  0 thỏa mãn log  x  2 y   log  x   log  y  . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

x2
4 y2

là

1 2y 1 x

A. 6 .

B.

32
.
5

C.

31
.
5

D.

29
.
5

Câu 34. Cho các số a , b  1 thỏa mãn log 2 a  log3 b  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức

P  log3 a  log 2 b bằng
A.

log 2 3  log 3 2 .

B.

log 3 2  log 2 3 .

C.

1
 log 2 3  log 3 2  .
2

D.

2
.
log 2 3  log3 2

Câu 35. Cho các số thực dương x và y thỏa mãn 4  9.3x
nhất của biểu thức P 

2

2 y



 4  9x

2

2 y

.7

2 y  x2  2

. Tìm giá trị nhỏ

x  2 y  18
.
x

3 2
.
2

A. P  9 .

B. P 

C. P  1  9 2 .

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 36. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên chẵn  x; y  thỏa mãn 2 x  3 y  55 ?
A. 8 .

B. 2 .

Câu 37. Gọi

là

S

tập

C. 16 .

các

x

cặp

số

D. 1 .

 x, y 

thực

sao

x   1;1

cho

và

y

ln  x  y   2017 x  ln  x  y   2017 y  e 2018 . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức
P  e 2018 x  y  1  2018 x 2 với  x, y   S đạt được tại  x0 ; y0  . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. x0   1; 0  .

B. x0  1 .

C. x0  1 .

D. x0   0;1 .

Câu 38. Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực  x, y , z  thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây
2

3

x2

.4

A. 3 .

3

y2

.16

3

z2

2

2

 128 và  xy 2  z 4   4   xy 2  z 4  .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 39. Cho tham số thực a . Biết phương trình e x  e  x  2cos ax có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi
phương trình e x  e  x  2 cos ax  4 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.
A. 5 .
B. 6 .
C. 10 .
D. 11 .
Câu 40. Số nghiệm của phương trình 2 x 2  2 x  9   x 2  x  3 .8x
A. 1 .

B. 3 .

2

3 x 6

C. 2 .

Tìm file Word tại />
  x 2  3 x  6  .8 x

2

 x 3

là

D. 4 .
5


Câu 41. Số nghiệm của phương trình x 2  5 x  2   x 2  8 x  3  .83 x 5   3 x  5  .8 x
A. 4 .
Câu 42.

B. 3 .

C. 1 .

2

8 x  3

là

D. 2 .

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn hệ thức: 2 log 2 a  log 2 b  log 2  a  6b  . Tìm giá trị lớn
nhất PMax của biểu thức P 
A. PMax 

2
.
3

ab  b 2
.
a 2  2ab  2b 2

B. PMax  0 .

C. PMax 

Câu 43. Xét các số thực dương x , y thỏa mãn 2018

P  2 y  3x .
1
A. Pmin  .
2

 x  0

2
.
5

D. PMax 

  2 x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất P của
min
2



2 x 2  y 1

7
B. Pmin  .
8

Câu 44. Xét các số thực x , y

1
.
2

 x  1

3
C. Pmin  .
4

5
.
6

D. Pmin 

thỏa mãn

1
 y  x  3 .
2018 x 3 y
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x  2 y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2018x 3 y  2018xy 1  x  1  2018 xy 1 

A. m   0;1 .

B. m  1; 2  .

C. m   2;3 .

Câu 45. Tính giá trị của biểu thức P  x 2  y 2  xy  1 biết rằng 4
x  0 và 1  y 

1
x2

1

 log 2 14   y  2  y  1  với

13
.
2

A. P  4 .

B. P  2 .

C. P  1 .

Câu 46. Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log
trị lớn nhất của P 
A. 2 .

x2 

D. m   1; 0  .

3

D. P  3 .

x y
 x  x  3  y  y  3  xy . Tìm giá
x  y 2  xy  2
2

3x  2 y  1
.
x y6
B. 1.

D. 4 .

C. 3 .



Câu 47. Cho bất phương trình m.3x 1   3m  2  . 4  7

x

 

 4 7



x

 0 , với m là tham số. Tìm tất cả

các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x   ;0 .
A. m 

22 3
.
3

B. m 

22 3
.
3

C. m 

22 3
.
3

D. m  

22 3
.
3

2

Câu 48. (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-] Cho f  n    n2  n  1  1 n  N * . Đặt
un 

f 1 . f  3 ... f  2n  1
f  2  . f  4  ... f  2n 

.
10239
.
1024
D. n  33 .

Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho un thỏa mãn điều kiện log 2 un  un 
A. n  23 .

B. n  29 .

C. n  21 .

Tìm file Word tại />
6


Câu 49. Phương trình 2 x 2 

3

m3 x

  x 3  6 x 2  9 x  m  2 x 2  2 x 1  1 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m  (a; b) đặt T  b 2  a 2 thì:
A. T  36 .
B. T  48 .

C. T  64 .

D. T  72 .

Câu 50. Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn đẳng thức  xy  1 .22 xy 1   x 2  y  .2 x

2

y

. Tìm

giá trị nhỏ nhất ymin của y .
A. ymin  3 .

B. ymin  2 .

C. ymin  1 .

D. ymin  3 .

Câu 51. Một người lập kế hoạnh gửi tiết kiệm ngân hàng như sau:Đầu tháng 1 năm 2018, người đó gửi
10 triệu đồng; sau mỗi đầu tháng tiếp theo, người đó gửi số tiền nhiều hơn 10% so với số tiền
đã gửi ở tháng liền trước đó. Biết rằng lãi suất ngân hàng không đổi là 0,5% mỗi tháng và được
tính theo hình thức lãi kép. Với kế hoạnh như vậy, đến hết tháng 12 năm 2019, số tiền của
người đó trong tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng nghìn)
A. 922 756 000 đồng. B. 832 765 000 đồng. C. 918 165 000 đồng. D. 926 281 000 đồng.
Câu 52. Cho a và b là các số nguyên dương khác 1 . Gọi P là tích các nghiệm của phương trình
8  log a x  log b x   7 log a x  6 log b x  2018  0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng a  b để
P nhận giá trị nhỏ nhất?
A. a  b  48 .
B. a  b  12 .
Câu 53. Gọi

S

C. a  b  24 .

là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

D. a  b  20 .

m

để bất phương trình

log 3  x  5 x  m   log 3  x  2  có tập nghiệm chứa khoảng  2;   . Tìm khẳng định đúng.
2

B. S   6;   .

A. S   7;   .
1

Câu 54. Cho f  x   e

1
1

x 2  x 12

D. S   ;5 .

C. S   ; 4  .
m

. Biết rằng f 1 . f  2  . f  3 ... f  2017   e n với m , n là các số tự

m
tối giản. Tính m  n 2 .

n
A. m  n 2  1 .
B. m  n 2  1 .

nhiên và

 bn  thỏa mãn b2  b1  1
f  log 2  b1   . Giá trị nhỏ nhất của

Câu 55. Cho cấp số nhân
f  log 2  b2    2 

A. 234 .

C. m  n 2  2018 .

B. 229 .

và hàm số

D. m  n 2  2018 .
f  x   x3  3x

sao cho

n để bn  5100 bằng

C. 333 .

D. 292 .

Câu 56. Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn b 2  3ab  4a 2 và a   4; 232  . Gọi M , m lần lượt là
3
b
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log b 4a  log 2 . Tính tổng T  M  m .
4
4
8
1897
3701
2957
7
A. T 
.
B. T 
.
C. T 
.
D. T  .
62
124
124
2

1
1
, 0  y  và log 11  2 x  y   2 y  4 x  1 . Xét
2
2
2

biểu thức P  16 yx  2 x  3 y  2   y  5 . Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

Câu 57. Cho hai số thực x , y thỏa mãn 0  x 

nhất của P . Khi đó giá trị của T   4m  M  bằng bao nhiêu?
A. 16 .

B. 18 .

C. 17 .

Tìm file Word tại />
D. 19 .

7


Câu 58. Tìm

tập
log 2 x 2

x ): 3

hợp

các

giá

log 2 x

 2  m  3 .3

A.  1;   \ 0 .

trị

của

tham

số

để

m

phương

trình

(ẩn

2

 m  3  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2  2 .
C.  \  1;1 .

B.  0;   .

D.  1;   .

mx 1

1

Câu 59. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  2 x  m nghịch biến trên  ;   .
2

1 
1 
 1 
A. m   1;1 .
B. m   ;1 .
C. m   ;1 .
D. m    ;1 .
2 
2 
 2 

Câu 60. Phương trình 2 log 3  cot x   log 2  cos x  có bao nhiêu nghiệm trong khoảng  0; 2018  ?
A. 2018 nghiệm.

B. 1008 nghiệm.

C. 2017 nghiệm.

D. 1009 nghiệm.
1

Câu 61. Cho các số thực x , y với x  0 thỏa mãn 5 x3 y  5 xy 1  x  y  1  1  5 xy 1 

5
m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x  2 y  1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m   0;1 .

B. m 1;2  .

C. m   2;3  .

x 3 y

 3 y . Gọi

D. m   1;0  .

Câu 62. Cho các số thực dương x , y thỏa mãn log  x  y   x 2  y 2   1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
3

2

A  48  x  y   156  x  y   133  x  y   4 là

A. 29 .

B.

1369

.
36

C. 30 .

D.

505
.
36

Câu 63. Đồ thị hàm số y  g  x  đối xứng với đồ thị của hàm số y  a x (a  0, a  1) qua điểm I 1;1 .
1 

Giá trị của biểu thức g  2  log a
 bằng
2018 

A. 2016 .
B. 2020 .

D. 2016 .

C. 2020 .

Câu 64. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2a  4b  8c  4 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  a  2b  3c . Giá trị của biểu thức 4M  log M m bằng
A.

2809

.
500

B.

281
.
50

C.

Câu 65. Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018
log 6  2018 x  m   log 4 1009 x  có nghiệm là
A. 2020 .

B. 2017 .

4096
.
729

của tham

C. 2019 .

D.
số

m

14
.
25

để

phương

trình

D. 2018 .

Câu 66. Phương trình 4 x  2  m  1 .2 x  3m  8  0 có hai nghiệm trái dấu khi m   a; b  . Giá trị của
P  b  a là
8
A. P  .
3

B. P 

19
.
3

C. P 

15
.
3

D. P 

35
.
3

Câu 67. Cho cấp số cộng  an  , cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  0 và b2  b1  1 ; và hàm số
f  x   x 3  3 x sao cho f  a2   2  f  a1  và f  log 2 b2   2  f  log 2 b1  . Số nguyên dương

n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho bn  2018an là
A. 16 .
B. 15 .
C. 17 .

D. 18 .

Câu 68. Cho các số thực x  0 , y  0 thỏa mãn 2 x  3 y . Mệnh đề nào sau đây sai?
Tìm file Word tại />
8


x
A.  log 2 3 .
y

B. xy  0 .

x

1

y

y

C. 4  6 .

1

D. 2  3 x .

Câu 69. Cho a , x là các số thực dương, a  1 thỏa mãn log a x  log  a x  . Tìm giá trị lớn nhất của a .
B. log  2  1 .
e

A. 1 .

1

Câu 70. Cho hàm số f  x   e

1
1

x 2  x 12

C. e

ln10
e

.

D. 10

. Biết f 1 . f  2  . f  3 ... f  2017   e

phân số tối giản. Tính P  m  n 2 .
A. 2018 .
B. 2018 .

m
n

log e
e

.

 m, n   

với

m
là
n

D. 1 .

C. 1 .

bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để
 2 x 2  mx  1 
log 2 
  2 x 2  mx  1  x  2 có hai nghiệm thực phân biệt?


x2


A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 1 .

Câu 71. Có

phương

trình

Câu 72. Giả sử a , b là các số thực sao cho x 3  y 3  a.103 z  b.102 z đúng với mọi các số thực dương

x , y , z thoả mãn log  x  y   z và log  x 2  y 2   z  1 . Giá trị của a  b bằng
A.
Câu 73.

31
.
2

B.

29
.
2

31
.
2

D. 

25
.
2

Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x 2  x  2  a ln  x 2  x  1  0 nghiệm đúng với
mọi x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a   2;3 .
B. a   8;    .

Câu 74.

C. 

C. a   6; 7 .

 5x  3x
Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình: ln 
 6x  2

A. S  1 .
B. S  2 .
C. S  1 .

Câu 75. Phương trình

2017sin x  sin x  2  cos 2 x

D. a   6;  5 .

 x 1
x
  5  5.3  30 x  10  0 .

D. S  3

có bao nhiêu nghiệm thực trong đoạn

 5; 2017  ?
A. 2017 .
Câu 76.

B. 2023 .

C. 2022 .

D. 2018 .

S   a; b  là tập các giá trị của m để phương trình log 2  mx  6 x3   log 1  14 x 2  29 x  2   0
2

có ba nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu H  b  a bằng
5
1
2
A. .
B. .
C. .
2
2
3

D.
2

2

5
.
3

2

Câu 77. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin x  3cos x  m.3sin x có nghiệm?
A. 7 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Câu 78. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   e 2 x  4e x  m trên đoạn

 0; ln 4 bằng 6 ?
A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .

Tìm file Word tại />
D. 2 .

9


Câu 79. Xếp 10 quyển sách tham khảo khác nhau gồm: 1 quyển sách Văn, 3 quyển sách tiếng Anh và
6 quyển sách Toán (trong đó có hai quyển Toán T1 và Toán T2) thành một hàng ngang trên
giá sách. Tính xác suất để mỗi quyển sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai quyển sách Toán,
đồng thời hai quyển Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau.
1
1
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
210

600
300
450
Câu 80.

Cho các số thực a , b thỏa mãn điều kiện 0  b  a  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4  3b  1
P  log a
 8log 2b a  1 .
9
a
B. 3 3 2 .

A. 6 .
Câu 81.

C. 8 .

D. 7 .

Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không thay đổi là 8% /năm. Biết rằng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người
ta gọi đó là lãi kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút tiền ra để mua ô tô trị
giá 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng để có đủ tiền mua ô tô
(kết quả làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu?
A. 395 triệu đồng.
B. 394 triệu đồng.
C. 397 triệu đồng.
D. 396 triệu đồng.

Câu 82. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng



 9;9 

của tham số m để bất phương trình



3log x  2 log m x  x 2  1  x  1  x có nghiệm thực?
A. 6 .

B. 7 .

C. 10 .

D. 11 .
y 1

Câu 83. Cho 2 số thực dương x, y thỏa mãn log 3  x  1 y  1   9   x  1 y  1 . Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  x  2 y là
11
27
A. Pmin  .
B. Pmin 
.
C. Pmin  5  6 3 .
D. Pmin  3  6 2 .
2

5
Câu 84. Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức:
P

4
log

bc

a

1



log ac b



A. Pmin  20 .
Câu 85. Tập

hợp

8
.
3log ab 3 c

B. Pmin  10 .
tất



cả

các

giá



trị

C. Pmin  18 .
thực

của

tham

D. Pmin  12 .
số

m

để

phương

trình



e3m  e m  2 x  1  x 2 1  x 1  x 2 có nghiệm là
 1

A.  0; ln 2  .
 2

Câu 86. Cho

dãy

số

1


B.  ; ln 2  .
2



 un 

thỏa

mãn

 1

C.  0;  .
 e

log 3  2u5  63  2 log 4  un  8n  8  ,

S n  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn
A. 18 .

B. 17 .

1

D.  ln 2;   .
2


C. 16 .

n  * Đặt

un .S2 n 148

.
u2 n .S n 75
D. 19 .

 x y 
Câu 87. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0  x, y  1 và log 3 
   x  1 y  1  2  0 . Tìm giá trị
 1  xy 

nhỏ nhất của P với P  2 x  y .

Tìm file Word tại />
10


A.

1
.
2

B. 2 .

C. 1 .

D. 0 .

Câu 88. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x  a x  6 x  9 x đúng với mọi số thực x .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  12;14 .
B. a  10;12 .
C. a  14;16 .
D. a  16;18 .
Câu 89. Cho phương trình 3x  a.3x cos  x   9 . Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a thuộc đoạn

 2018; 2018 để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực?
A. 1 .

B. 2018 .

C. 0 .

D. 2 .

8

Câu 90. Cho dãy số  un  thỏa mãn 22u1 1  23u2 

1

log3  u32  4u1  4 
4

100
trị nhỏ nhất của n để S n  u1  u2  ...  un  5 bằng

B. 231 .

A. 230 .

C. 233 .

D. 234 .

Câu 91. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn log a b 
b  d nhận giá trị nào
A. 93 .

B. 85 .

và un 1  2un với mọi n  1 . Giá

3
5
, log c d  . Nếu a  c  9 , thì
2
4

C. 71 .

D. 76 .

 x  4y 
Câu 92. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 2 
  2 x  4 y  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
 x y 
2 x 4  2 x2 y 2  6 x 2
thức P 
bằng
3
 x  y
A. 4 .

B.

9
.
4

C.

Câu 93. Số nghiêm của phương trình e x  2  x 
B. 2018 .

A. Vô hạn.

16
.
9

D.

25
.
9

x 2 x3
x 2018
  ... 
trên khoảng  0;  là
2! 3!
2018!
C. 0 .
D. 1 .

Câu 94. Tìm tập tất
cả các giá trị của
log 2  2 sin x  1  log 1  cos 2 x  m   0 có nghiệm:

tham

số

m

để

phương

trình

2

 5

A.   ;   .
 2


 1 
B.   ; 2 .
 2 

 1

C.      .
 2


Câu 95. Số giá trị nguyên của m   200; 200  để 3.a

loga b

b

logb a

 1 
D.   ; 2  .
 2 
 m. log a b  2 với mọi a ,

b  1;   là

A. 200 .

B. 199 .



C. 2199 .

D. 2002 .



Câu 96. Cho tập hợp A  2k | k  1,...,10 có 10 phần tử là các lũy thừa của 2 . Chọn ngẫu nhiên từ tập
A hai số khác nhau theo thứ tự a và b . Xác suất để log a b là một số nguyên bằng

A.

17
.
90

B.

3
.
10

C.

1
.
5

Tìm file Word tại />
D.

19
.
90

11


Câu 97. Xét các số thực x , y thỏa mãn x 2  y 2  1 và log x2  y 2  2 x  3 y   1 . Giá trị lớn nhất Pmax của
biểu thức P  2 x  y bằng

A. Pmax 

19  19
.
2

B. Pmax 

7  65
.
2

C. Pmax 

11  10 2
.
3

D. Pmax 

7  10
.
2

 x  4y 
Câu 98. Xét x, y là các số thực dương thỏa mãn log 2 
  2 x  4 y  1 . Giá trị nhỏ nhất của
 x y 
2 x 4  2 x2 y 2  6 x 2
P

bằng
3
 x  y
A.

25
.
9

B. 4 .



C.



9
.
4



D.





16

.
9



Câu 99. Cho phương trình log 2 x  x 2  1 .log 2017 x  x 2  1  log a x  x 2  1 . Có bao nhiêu giá
trị nguyên thuộc khoảng 1; 2018  của tham số a sao cho phương trình đã cho có nghiệm lớn
hơn 3 ?
A. 20.

B. 19.

C. 18.

D. 17.

Câu 100. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
2

2

m

để phương trình

2

5sin x  6cos x  7cos x.log 2 m có nghiệm?
A. 63 .
B. 64 .

C. 6 .

D. 62 .

Câu 101. Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình e x  e  x  2 cos ax  4 có 10 nghiệm thực phân
biệt. Số nghiệm (phân biệt) của phương trình e x  e  x  2cos ax là
A. 5 .
B. 20 .
C. 10 .
D. 4 .
Câu 102. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln  m  2sin x  ln  m  3sin x    sin x có nghiệm
thực?
A. 5 .
Câu 103. Cho

P

B. 4 .

x,

là các số thực dương thỏa mãn

y

62 x  y
x

 ln

A. 45 .

1A
11C
21A
31C
41B
51A
61A
71B
81C
91A
101A

2C
12C
22B
32D
42C
52B
62C
72B
82B
92C
102B

C. 3 .

3D

13C
23D
33B
43B
53A
63D
73C
83D
93D
103B

D. 6 .
xy  4 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của

x  2y
là a  ln b . Giá trị của tích a.b là
y
B. 81 .
C. 115 .

4C
14C
24C
34A
44D
54A
64C
74A
84A
94D

BẢNG ÐÁP ÁN
5A
6C
15B
16B
25A
26C
35A
36D
45B
46B
55A
56B
65A
66B
75B
76B
85B
86A
95A
96A

7D
17B
27C
37A
47A
57A
67B

77B
87C
97B

Tìm file Word tại />
D. 108 .

8D
18C
28C
38B
48A
58A
68C
78D
88D
98D

9D
19A
29C
39C
49B
59D
69D
79A
89A
99C

10C

20C
30C
40D
50B
60A
70D
80D
90D
100A

12


103 CÂU TN MŨ - LOGARIT
(MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO)
TRÍCH TỪ CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2017-2018
Tìm file word MIỄN PHÍ tại page
/>Câu 1.

Cho phương trình


1
0
.log3  3
 m  3m 2  1  2 


Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có số nghiệm thuộc đoạn
 6;8 . Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S .

2

 m3  3m 2 1





.log81 x 3  3 x 2  1  2  2

A. 20 .

B. 28 .

 x 3 3 x 2 1  2

C. 14 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn A.
Ta có 2

2

 m3  3m 2 1

x 3 3 x 2 1  2





.log81 x 3  3 x 2  1  2  2





.log 3 x3  3x 2  1  2  2



1
0
.log3  3
 m  3m 2  1  2 



 x 3 3 x 2 1  2

m3 3 m 2 1  2





.log 3 m3  3m 2  1  2 .

Xét hàm số f  t   2t .log3 t với t  2 ; Ta có f   t   2t ln 2.log 3 t  2t .

1
 0t  2 .
t ln 3

Suy ra hàm số f  t  đồng biến trên  2;   .
Do đó phương trình tương đương với m3  3m 2  1  x 3  3 x 2  1

1 .

Vẽ đồ thị hàm số g  x   x3  3x 2  1 từ đó suy ra đồ thị g  x  và đồ thị của g  x  như hình
vẽ.
3

y

2
1
3 2 1 O

1

1

2

3 x

2
3

Từ đồ thị suy ra 1 có 6, 7,8 nghiệm  0  g  m   3 .
Từ đồ thị suy ra các giá trị nguyên của m là 3 , 1 , 0 , 1 , 3 .
Vậy S  20 .

Tìm file Word tại />
13


Câu 2.

Biết

x1 ,

là hai nghiệm của phương trình

x2

 4 x2  4 x  1 
2
log 7 
  4x 1  6x
2x



1

a  b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a  b.
4
A. a  b  16 .
B. a  b  11 .
C. a  b  14 .
Lời giải
Chọn C.
x  0

Điều kiện 
1
 x  2
x 1 2 x2 



và



D. a  b  13.

  2 x  1 2 
 4 x2  4 x  1 
2
Ta có log 7 
  4x2  4x 1  2 x
  4 x  1  6 x  log 7 

2

x
2
x




2

2

 log 7  2 x  1   2 x  1  log 7 2 x  2 x 1
Xét hàm số f  t   log 7 t  t  f   t  

1
 1  0 với t  0
t ln 7

Vậy hàm số đồng biến


3 5
x

2
4
 f  2 x    2 x  1  2 x  

3 5
x 


4

Phương trình 1 trở thành f

 2 x  1 

9  5

Vậy x1  2 x2   4
9  5

 4

 a  9; b  5  a  b  9  5  14.

2

l 
 tm 
1

Câu 3.



 2 x 2  1   x  2 x 
Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình log 2 

2

 5.

 2x 
1
A. 0 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
2
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: x  0 .

 2 x 2 1 

2 x 

 2 x 2  1  
PT:  log 2 
2
 2x 
Đặt t 

1 .

5

2x2  1
1
1

 x
 2 x.
 2
2x
2x
2x

PT trở thành log 2 t  2t  5

(2) .





Xét hàm f  t   log 2 t  2t t  2 là hàm đồng biến nên:

 2  f  t   f  2  t  2 (t/m).
Với t  2 thì

2 x2  1
1
 2  2 x 2  4 x  1  0 (t/m). Vậy x1 x2  (theo Viet ).
2x
2

Tìm file Word tại />
14

Câu 4.

Cho a , b , c là các số thực thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 c  1. Khi biểu
thức P  a 3  b3  c 3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c  đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng.

a  b  c là
A. 3 .

1
3

3

B. 3.2 .

C. 4 .
Lời giải

D. 6 .

Chọn C.
Đặt x  log 2 a; y  log 2 b; z  log 2 c. Vì a, b, c  1; 2 nên x, y, z   0;1 .

P  a 3  b3  c 3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c 
 a3  b3  c3  3  a log 2 a  b log 2 b  c log 2 c  .
 a3  b3  c3  3  ax  by  cz  .
Ta chứng minh a3  3ax  x 3  1. Thật vậy:
Xét hàm số f  a   a  log 2 a, a  1; 2  f   a   1 

Trên đoạn 1; 2 ta có f  a   Max  f 1 , f  2  ,


hay a  x  1  a  x  1  0. Do đó.

1
1
 f a  0  a 
.
a ln 2
ln 2

 1 
f
   1  a  log 2 a  1 .
 ln 2  

Xét: a3  3ax  x 3  1   a  x  1  a 2  x 2  1  a  ax  x   0 .
( Vì theo trên ta có a  x  1  0 và a 2   x 2  x  1  a  ax  0, a  1; 2 , x   0; 1 ).
Vậy a3  3ax  x 3  1  0  a 3  3ax  x 3  1 . Tương tự b3  3by  y 3  1; c 3  3cz  z 3  1 .
Do đó P  a3  b 3  c 3  3  ax  by  cz   x 3  y 3  z 3  3  1  3  4 .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  0, z  1 và các hoán vị, tức là a  b  1, c  2 và các
hoán vị. Khi đó a  b  c  4 .
Câu 5.

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình 4 x 1  41 x   m  1  2 2  x  2 2  x   16  8m có
nghiệm trên  0;1 ?
A. 2 .

B. 5 .

C. 4 .

Lời giải

D. 3 .

Chọn A.
4 x 1  41 x   m  1  2 2  x  2 2  x   16  8m  4  4 x  4 x   4  m  1  2 x  2  x   16  8m

Đặt t  u  x   2 x  2 x , x   0;1
 3
u  x   2 x  2 x  0 x  0;1 . Suy ra u  0   t  u 1 hay t   0; 
 2

 t 2  4 x  4 x  2.2 x.2 x  4 x  4 x  t 2  2
Phương trình trở thành:

Tìm file Word tại />
15


4  t 2  2   4t  m  1  16  8m  t 2  2  t  m  1  4  2m
 t 2  t  m  1  2m  2  0
 m t  2  t 2  t  2
 m  t  2    t  2  t  1
 
 m  t  1  t   0;
 
 t  m 1
Để phương trình đã cho có nghiệm trên  0;1 thì phương trình t  m  1

3

2  

phải có nghiệm

 3
 3
 5
t   0;  . Suy ra m  1  0;  , hay m  1;  .
 2
 2
 2

Câu 6.

Xét bất phương trình log 22 2 x  2  m  1 log 2 x  2  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng

 3 
B. m    ;0  .
 4 

A. m   0;   .





2;   .

 3


C. m    ;   .
 4

Lời giải

D. m   ;0  .

Chọn C.
Điều kiện: x  0
log 22 2 x  2  m  1 log 2 x  2  0
2

 1  log2 x   2  m  1 log2 x  2  0

1 .

Đặt t  log 2 x .Vì x  2 nên log 2 x  log 2 2 

1

1
1

. Do đó t   ;  
2
2


2

thành 1  t   2  m  1 t  2  0  t 2  2mt  1  0  2 

1

Cách 1:Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  ;   .
2

2
Xét bất phương trình (2) có:  '  m  1  0, m   .
f  t   t 2  2mt  1  0 có ac  0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t1  0  t2 .

1
1
3
 t2  m  m 2  1   m   .
2
2
4
2
t 1
1

Cách 2: t 2  2mt  1  0  f  t  
< m t  
2t
2

Khi đó cần

 3

Khảo sát hàm số f  t  trong  0;   ta được m    ;   .
 4

Câu 7.

Một người tham gia chương trình bảo hiểm An sinh xã hội của công ty Bảo Việt với thể lệ như
sau:Cứ đến tháng 9 hàng năm người đó đóng vào công ty là 12 triệu đồng với lãi suất hàng
năm không đổi là 6% / năm. Hỏi sau đúng 18 năm kể từ ngày đóng, người đó thu về được tất
cả bao nhiêu tiền? Kết quả làm tròn đến hai chữ số phần thập phân.
A. 403,32 (triệu đồng).
B. 293,32 (triệu đồng).
C. 412, 23 (triệu đồng).

D. 393,12 (triệu đồng).
Lời giải

Tìm file Word tại />
16


Chọn D.
Gọi số tiền đóng hàng năm là A  12 (triệu đồng), lãi suất là r  6%  0, 06 .
Sau 1 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là A1  A 1  r  . (nhưng người đó
không rút mà lại đóng thêm A triệu đồng nữa, nên số tiền gốc để tính lãi năm sau là A1  A ).
Sau 2 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là
2

A2   A1  A1  r    A 1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r  .

Sau 3 năm, nếu người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là
2
3
2
A3   A2  A 1  r    A 1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r  .


…
Sau 18 năm, người đó đi rút tiền thì sẽ nhận được số tiền là

18

17

2

A18  A 1  r   A 1  r   ...  A 1  r   A 1  r  .
18

17

2

Tính: A18  A 1  r   1  r   ...  1  r   1  r   1  1 .


 1  r 19  1 
 1  r 19  1 
 1  0, 06 19  1 
 A18  A 

 1  A 
 1  12 
 1  393,12 .
r
0, 06
 1  r   1





Câu 8.

 a3 
4
2
Cho hai số thực a , b thỏa mãn a  b  và biểu thức P  16 log a 
  3log a a có giá
3
 12b  16 
b

trị nhỏ nhất. Tính a  b.
7
A. .
B. 4 .
2

11
.

2
Lời giải

C.

D. 6 .

Chọn D.


a
Ta có: P  48log a  3
  3log 2a a . Vì số hạng thứ hai chứa log a a nên ta cố gắng đưa
 12b 16 
b
b


a
a
log a  3
 về log a . Điều này buộc ta cần đánh giá 3 12b 16  b . Thật vậy:
 12b 16 
b
2

Ta có: 3 12b  16  b   b  2   b  4   0 (Đúng). Suy ra:

3

a
a
  1.
12b  16 b

a
a


Suy ra: log a  3
  log a b  log a 1  0 (do a  1 ).
 12b  16 
Do đó:


a
a
a
a


2
2
2
P  48 log a  3

3log
a

48log


3log
a

3
8
log

8
log

log
a

.
a
a
a
a
a
a

b
b
b
 12b  16 
b
b

b


a
a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 8log a , 8log a , log 2a a ta được:
b
b
b



a
a
P  3  3  3  8log a  8log a  log 2a a   9 3 64  36.
b
b

b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Tìm file Word tại />
17


b  2
b  2
b  2
b  2




.
a 1
8log a  log 2 a  4  
1 
a4
log a 
log a 2 
a
a




b
b 2

2

b

Vậy a  b  6.
Chú ý:
+ Đánh giá 3 12b  16  b , ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy:
b3  16  b3  8  8  3 3 64b3  12b  3 12b  16  b.
a
a
a
+ Sau khi có P  48log a  3log 2a a , ta có thể đặt t  log a . Vì log a  log a 1  0 nên t  0 .
b

b
b
b

Khi đó: P  48t 

3
1
 f  t  , với t  0 . Khảo sát hàm f  t  ta được min f  t   36 khi t 
2
t
2
 0; 

(Hoặc dùng Cauchy như trên).
Câu 9.

Giá trị nào của m để phương trình log 32 x  log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
đoạn 1; 3 3  .


A. 1  m  16 .

B. 4  m  8 .

C. 3  m  8 .
Lời giải

D. 0  m  2 .

Chọn D.
Điều kiện x  0 . Đặt t  log 32 x  1  1 , ta được phương trình t 2  t  2m  2  0

 * .

Ta có x  1; 3 3   0  log 3 x  3  1  t  log32 x  1  2 .


Phương trình đã cho có nghiệm thuộc x  1; 3 3    * có nghiệm t  1; 2 .


Đặt f  t   t 2  t , với t  1; 2 .
Hàm số f  t  là hàm đồng biến trên đoạn 1; 2 . Ta có f 1  2 và f  2   6 .
Phương trình t 2  t  2m  2  f  t   2m  2 có nghiệm t  1; 2  f 1  2m  2  f  2 
 f 1  2m  2
2  2m  2
 
 
 0 m  2.
 2m  2  6
2m  2  f  2 
Câu 10. Tìm m để tồn tại duy nhất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y2  2  4 x  4 y  4   1
và x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0 .


C. 
A.


2

2

10  2 .
10 

B. 10  2 và 10  2 .

2

và





2

10  2 .

D. 10  2 .
Lời giải

Chọn C.
Điều kiện 4 x  4 y  4  0
2

2

Ta có log x2  y2  2  4 x  4 y  4   1  4 x  4 y  4  x 2  y 2  2   x  2    y  2   2

 C1  .

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ)  C1  có tâm I1  2; 2  bán kính R1  2
2

2

Mặt khác: x 2  y 2  2 x  2 y  2  m  0   x  1   y  1  m *
Tìm file Word tại />
18


2

2

Với m  0  x  1; y  1 không thỏa mãn:  x  2    y  2   2 .
Với m  0 thì  * là đường tròn  C2  có tâm I 2  1; 1 bán kính R2  m .
Để để tồn tại duy nhất cặp  x; y  thì  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau.
Trường hợp 1:  C1  và  C2  tiếp xúc ngoài.

R1

R2

I1

I2

Khi đó: R1  R2  I1 I 2 m  2  10  m 





2

10  2 .

Trường hợp 2:  C1  nằm trong  C2  và hai đường tròn tiếp xúc trong.

R2

R1
I1

I2

Khi đó: R2  R1  I1 I 2  m  2  10  m 
Vậy m 



10  2



2

và m 



10  2







2

10  2 .

2

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

----------HẾT---------32 x  x 1  32  x 1  2017 x  2017
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ sau có nghiệm  2
.
 x   m  2  x  2m  3  0
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  2 .
D. m  2 .
Lời giải
Chọn C.

Điều kiện x  1 .
 Xét 32 x 

x 1

  9x  9 3

 32 
x 1

x 1

 2017 x  2017  32 x.3

 32.3

x 1

 2017  2017 x

 2017 1  x  . Dễ thấy x  1 là một nghiệm.

Nếu x  1 thì VT   9 x  9  3
Suy ra  9 x  9  3

x 1

x 1

x 1

 0 , VP  2017 1  x   0

 2017 1  x  vô nghiệm.

Tìm file Word tại />
19


Nếu 1  x  1 thì VT   9 x  9  3
Suy ra  9 x  9  3

x 1

x 1

 0 , VP  2017 1  x   0

 2017 1  x  có nghiệm với 1  x  1 .

Vậy bpt 32 x  x 1  32  x 1  2017 x  2017 có nghiệm với 1  x  1 .
Cách 1:
 Xét: f  x   x 2   m  2  x  2m  3  0 . Ta có   m2  4m  8 , để bpt có nghiệm 1  x  1
thì:
TH1:   0  2 3  2  m  2 3  2 , bpt có nghiệm 1  x  1 1
m  2 3  2
TH2:   0  
, nghiệm của bpt là  ; x1    x2 ;   .
 m  2 3  2
 f  1  0

3m  6  0
Ta có  1;1   x1 ; x2   

 m  2 .
m  2  0
 f 1  0
Do đó BPT có nghiệm 1  x  1 khi m  2
Kết hợp điều kiện ta được m  2 3  2 và 2  m  2 3  2  2 
Từ 1 và  2  suy ra hệ đã cho có nghiệm khi m  2 .
Cách 2:Bài toán trở thành tìm m để bpt x 2   m  2  x  2m  3  0 có nghiệm 1  x  1
BPT  m  x  2   x 2  2 x  3  m 

f  x  

x2  4x  1

 x  2

2

x2  2 x  3
 f  x   * (Do 1  x  1 )
x2

.Xét f   x   0  x  2  3   1;1

Để bpt  * có nghiệm thì m  min f  x  . Lập bảng biến thiên của hàm số f  x  trên  1;1 ta
x 1;1

có m  f 1  f  1  2 .Vậy m  2 .

Câu 12. Biết x1 , x2

 x1  x2 

là hai nghiệm của phương trình log 3



1
a  b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a  b .
2
A. a  b  13 .
B. a  b  11 .
C. a  b  14 .
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện x    ;1   2;    .
x1  2 x2 

Đặt





x 2  3 x  2  2  5x

2

3 x 1

 2 và



D. a  b  16 .

x 2  3x  2  t với t  0 . Ta có x 2  3 x  1  t 2  1 .

Phương trình đã cho trở thành log 3  t  2   5t
Xét hàm số f  t   log 3  t  2   5t
Có f   t  

2

1

2

1

 2  * .

trên  0;    .

2
1
 5t 1.2t.ln 5  0 với t  0 . Do đó hàm số đồng biến trên  0;    .
 t  2  ln 3

Mặt khác f 1  2 . Phương trình  * có dạng: f  t   f 1  t  1 .
Với t  1  x 2  3 x  2  1  x 2  3x  2  1  x1 

3 5
3 5
, x2 
.
2
2

Tìm file Word tại />
20


Vậy x1  2 x2 

Câu 13. Biết rằng 2

x

1
x

a  9
1
9 5  
 a  b  14 .
2
b  5





 log 2 14   y  2  y  1 trong đó x  0.

Tính giá trị của biểu thức P  x 2  y 2  xy  1.
A. 3 .

B. 1

C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x 

1
x
1
2 2 x 4.
x

Lại có 14   y  2  y  1  14   y  1 y  1  3 y  1 .
Đặt t 

y  1  0. Xét hàm số f  t   t 3  3t  14 trên  0;    , ta có

f   t   3t 2  3 . Do đó f   t   0  3t 2  3  0  t  1 vì t   0;    .

Từ đó ta có max f  t   f 1  16.
 0;  

Vậy 14   y  2  y  1  16  log 2 14   y  2  y  1   4 . Khi đó
2

x

1
x

x  1
 log 2 14   y  2  y  1   
 P  2.
 y  0.

Câu 14. Cho x , y là các số thực thỏa log 3 x  y  x 2  y 2   1 . Khi 3x  y đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị

k

x
là
y
B. k 

A. k  1 .

1

.
2

C. k  3 .

1
D. k  .
3

Lời giải
Chọn C.
Xét trường hợp 3 x  y  1 .

log 3 x  y  x 2  y 2   1  x 2  y 2  3 x  y 1 .
Đặt P  3x  y  y  P  3 x .

1  x2   P  3x 

2

 P  0  10 x 2  6 Px  P 2  P  0  2  .

  9 P 2  10  P 2  2    P 2  10 P
Nếu   0 thì  2  vô nghiệm. Do đó   0  0  P  10 .
Vậy Pmax  10 . Khi đó  2   x 

6P
x
 3  y  1 k   3.
20

y

Câu 15. Gọi S là tập nghiệm của phương trình  2  x   2  4 x   6 . Khi đó số phần tử của tập S là bao
nhiêu
A. S  2 .

B. S  3 .

C. S  4 .

D. S  5 .

Lời giải
Chọn B.

Tìm file Word tại />
21


Định lí Rolle:Nếu f  x  là hàm liên tục trên đoạn  a; b  , có đạo hàm trên khoảng  a; b  và
f  a   f  b  thì tồn tại c   a; b  sao cho f   c   0 .

Hệ quả:Nếu f  x  có đạo hàm trên  a; b  và f   x  có nhiều nhất n nghiệm ( n là số nguyên
dương) trên  a; b  thì f  x  có nhiều nhất n  1 nghiệm trên  a; b  .
Cách 1:  2  x   2  4 x   6   2  x   2  4 x   6  0 . Xét hàm số f  x    2  x   2  4 x   6 có
tập xác định D   . Dễ thấy f  x  liên tục trên  và có đạo hàm trên  . Theo định lý Rolle:

 1
1
 1

Trên đoạn  0;  ta có f  0   f    0 nên c1   0;  : f   c1   0 .
 2
2
 2
1 
1
1 
Trên đoạn  ;1 ta có f 1  f    0 nên c2   ;1 : f   c2   0 .
2 
2
2 
Do đó f   x   0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt c1 , c2 .
Mặt khác ta xét f   x     2  4 x   4 x ln 4  2  x  ,
f   x   4 x ln 4  4 x ln 2 4  2  x   4 x ln 4  4 x  2ln 4  2ln 2 4  x ln 2 4   0

2  2 ln 4
.
ln 4
Vậy f   x   0 có nghiệm duy nhất suy ra f   x   0 có nhiều nhất hai nghiệm suy ra
x

f  x   0 có nhiều nhất là ba nghiệm nên S  3 .

2x  2
 x  2 .
2 x
2x  2
Ta vẽ đồ thị hai hàm số y  4 x và y 
trên cùng một hệ trục Oxy và xác định được số
2 x

giao điểm là 3 nên S  3 .

Cách 2:  2  x   2  4 x   6  4 x 

Câu 16. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 5 x 2 y 

3
5xy

x

1

 3 x 2 y  y ( x  2) . Tìm giá trị
xy
3
5

nhỏ nhất của biểu thức T  x  y .
A. Tmin  2  3 2 .

B. Tmin  3  2 3 .

C. Tmin  1  5 .

D. Tmin  5  3 2 .

Lời giải
Chọn B.
Theo đề ra ta có

3
5 xy
5
 xy  x  1 
 3 x 2 y  y ( x  2)
3
5
1
1
 5x  2 y  x  2 y  x  2 y  5xy 1  xy 1  xy  1
3
3
1
Xét f  t   5t  t  t .  f   t   5t ln 5  3 t ln 3  1  0
3
x 1
x 1
 x  2 y  xy  1  y 
.Do y  0, x  0 
0 x2
x2
x2
x 2 y

Ta có: T  x  y  x 

x  1 x2  x  1

x2
x2

Tìm file Word tại />
22


T 

x2  4x 1

 x  2

2

 x  2  3   2;  
0 
 x  2  3   2;  

Bảng biến thiên
Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với x  2 nhé,kết quả không thay đổi.

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin  3  2 3 tại x  2  3 .
Câu 17. Có

bao

nhiêu

số

nguyên

dương

a

(a

là

tham

số)

để

phương

trình

 x 
 2  x2 
9

 12a  15 log 27  2 x  x 2    a 2  3a  1 log 11 1    2 log 9  2 x  x 2   log11 

2 
2


 2 

có nghiệm duy nhất?
A. 2 .
B. 0 .
C. Vô số.
D. 1 .
Lời giải
Chọn B.

 3a

2

2

Điều kiện 0  x  2.
 2  x2 
 2  x2 
2
PT   a 2  4a  5  log 3  2 x  x 2    9a 2  6a  2  log11 

log
2
x

x

log
 11  2 

3

 2 


 2  x2 
  a 2  4a  4  log 3  2 x  x 2    9a 2  6a  1 log11 
0
 2 
 2  x2 
2
2
  a  2  log 3  2 x  x 2    3a  1 log11 
0
 2 
2
log 3  2 x  x 2 
 3a  1 

 
 a  2  log  2 
11 
2 
 2 x 

 *

Mà vế trái của  * luôn dương với mọi a nguyên dương
Vì 0  x  2 nên 2  x 2  2 

2
 2 

 1  log11 
0
2
2 
2 x
 2 x 

Do đó từ  * suy ra log 3  2 x  x 2   0  2 x  x 2  1  x 2  2 x  1  0  không tồn tại x .
Vậy không có giá trị a thỏa yêu cầu.

x y
 x  x  3   y  y  3  xy. Tìm giá
x  y 2  xy  2
3x  2 y  1
.
của biểu thức P 
x y6
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải

Câu 18. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log
trị lớn nhất Pmax
A. 3 .

3

2

Chọn C.
Ta có:
Tìm file Word tại />
23


log

3

x y
 x  x  3  y  y  3  xy
x  y 2  xy  2
2

 log 3 3  x  y   3  x  y   log

3

Xét hàm số f  t   log 3 t  t , t  0 có f   t  

x

2

 y 2  xy  2   x 2  y 2  xy  2 .

1
 1  0, t  0 . Vậy hàm số f  t  luôn
t ln 3

đồng biến và liên tục trên khoảng  0;  .
Do đó: f  3  x  y    f  x 2  y 2  xy  2   3  x  y   x 2  y 2  xy  2 1
2

Cách 1:Từ 1  xy   x  y   3  x  y   2 .
2

 x  y 1 
Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy  
  xy
2


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 .

Do đó từ 1

 x  y  1
, suy ra: x 
4

2
2

  x  y   3 x  y  2 .

Đặt t  x  y , t  0 .

2 x  y 1 x

Suy ra: P 

x y 6
Ta có: f   t  

 t  1
2t  1 

3t 2  36t  135
4  t  6

2

 t 2  3t  2

4
t 6

2

 0  t  3 (nhận)

t

0



3t 2  22t  3
 f t  .

4 t  6

Bảng biến thiên

f t 



3


0



f t 
x  y 1
x  2
Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3  1 khi và chỉ khi 
.

 0; 
x  y  3  y  1
Cách 2:(Trắc nghiệm)
x  11
Ta có: P  2 
.
x y6
Trong 1 coi y là ẩn, x là tham số. Ta có y 2   x  3 y  x 2  3 x  2  0 có nghiệm khi
2

3 2 3
32 3
x
 3 nên x  11  0
3
3
 1 khi đó x  2 , y  1 .

   x  3  4  x 2  3 x  2   0 

Vậy P  2 nên trong 4 phương án thì Pmax
Cách 3:(Trắc nghiệm)
y  17
 3 với x , y  0.
Ta có: P  3 
x y6
+ Nếu P  2 thì

3x  2 y  1
 2  x  11 . Thay vào 1 ta được: y 2  3 y  90  0 (vô lý).
x y6

Tìm file Word tại />
24


+ Nếu P  1 thì

3x  2 y  1

 1  2 x  y  5  y  5  2 x . Thay vào 1 , ta được:
x y6
2

3  x  5  2 x   x 2   5  2 x   x  5  2 x   2  3 x 2  12 x  12  0  x  2  y  1 .

Vậy Pmax  1 .
Câu 19. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m   và phương trình
2 log mx5  2 x 2  5 x  4   log

A. 15.

mx  5

x

2

B. 14.

 2 x  6  có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S .

C. 13.
Lời giải

D. 16.

Chọn A.
Ta có: 2 x 2  5 x  4  0 với mọi x nên phương trình
2 log mx5  2 x 2  5 x  4   log

mx  5

x

2

 2 x  6  tương đương với


mx  5  0

mx  5  1
mx  5


 mx  6
 2
2 x  5 x  4  0
 x2
2 x 2  5 x  4  x 2  2 x  6


  x  5
Phương trình có nghiệm duy nhất tương đương với ta nhận nghiệm x  2 và loại x  5 hoặc
nhận nghiệm x  5 và loại x  2 .
+ Trường hợp 1:Nhận nghiệm x  2 và loại x  5 .





m  5


2
2m  5


Điều này tương đương với 2m  6  m  3 (vô lí).
 5m  5
 m 1



5m  6

6
 m  5

+ Trường hợp 2:Nhận nghiệm x  5 và loại x  2 .




m  3
m 1



5m  5


 1  m  5
6


Điều này tương đương với 5m  6  m 
  
2.
5

 2m  5


6


5
 m 

5
 
 2m  6
 m 
2

  m  3

10m  30

Suy ra:  10  10m  25 .

 m  12
Vì 10m   nên 10m  11;13;14...; 25  30 .
Trong tập hợp này có 15 phần tử nên tập hợp S cũng có 15 phần tử.

Tìm file Word tại />
25