Luận văn các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei ejγ trong mô hình seesaw và inverse seesaw

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

LÝ THỊ MAI PHƢƠNG

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM
SỐ LEPTON THẾ HỆ ei  ejγ TRONG
MÔ HÌNH Seesaw VÀ INVERSE Seesaw
C

Vật lý lý thuyết và vật lý toán
M

8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
N ƣ

ƣ

GS.TS. Vũ A

T ấn

TS. P

X â Hƣơ

HÀ NỘI, 2018

Đặ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÝ THỊ MAI PHƯƠNG

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM
SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej γ
TRONG MÔ HÌNH
SEESAWEESAW VÀ INVERSE
SEESAW
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03
Người hướng dẫn khoa học:

TS. LÊ THỌ HUỆ

HÀ NỘI, 2018


Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Lê Thọ Huệ, người thầy
luôn nghiêm khắc trong chuyên môn, thân thiện trong đời sống, đã hướng
dẫn tôi tận tình, hiệu quả trong suốt quá trình làm luận văn. Thầy là
cầu nối đưa tôi đến với Lý thuyết trường, một lĩnh vực khó của Vật lý
nhưng cũng rất nhiều thú vị.
Tôi xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 tại Khoa Vật lý
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn bạn Nguyễn Thị Quỳnh Lâm đã có

những thảo luận hữu ích trong khi hoàn thiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn các đồng chí lãnh đạo và các đồng nghiệp tại Khoa
Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và động viên
tôi trong thời gian tôi học tập và làm luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn sự hỗ trợ của chủ nhiệm và các thành
viên thực hiện đề tài mã số 103.01-2017.29 do NAFOSTED tài trợ.
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì đã
luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi.
Hà Nội, tháng 06 - 2018
Học viên

Lý Thị Mai Phương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có. Tôi cũng xin
cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2018
Học viên

Lý Thị Mai Phương


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

1

1 Giới thiệu mô hình

4

1.1

1.2

Mô hình Seesaw tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Đỉnh tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

8

Mô hình inverse Seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Biểu thức giải tích cho biên độ và tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ 13
2.1

Bề rộng rã riêng phần và tỉ lệ rã nhánh . . . . . . . . . .

13

2.2

Các ký hiệu và định nghĩa các hàm Passarino-Veltman .

16

Biểu thức tính hàm B1

. . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.2

Biểu thức tính hàm Ci . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.3
2.3

(i)

2.2.1

Biểu thức tính hàm Ci,00,ij

. . . . . . . . . . . .

20

Biểu thức tính biên độ rã . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.1

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh .

22

2.4

Kiểm tra đồng nhất thức Ward . . . . . . . . . . . . . .

38

2.5

So sánh với các kết quả đã biết . . . . . . . . . . . . . .

40


2.5.1

Trường hợp 1: Mô hình với neutrino Dirac phải .

2.5.2

Trường hợp 2: Biểu thức gần đúng cho mô hình
Seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Kết quả khảo sát và thảo luận

40
42
43

3.1

Xác định vùng không gian tham số . . . . . . . . . . . .

43

3.2

Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

46

Danh mục các công trình

48


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết mô hình chuẩn (standard model-SM) là một
mô hình vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán khá chính xác được
hầu hết các kết quả thực nghiệm. Tuy nhiên nó vẫn có một số hạn
chế nhất định, đầu tiên là vấn đề về dữ liệu thực nghiệm neutrino.
Trong mô hình chuẩn, các lepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế
hệ bao gồm một trong các lepton mang điện e, µ, τ và một neutrino
phân cực trái tương ứng. Các neutrino đều có khối lượng bằng không
và không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao
động neutrino). Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối
lượng khác không dù rất nhỏ và tồn tại sự dao động neutrino. Sự
dao động này chính là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệ

trong thế giới hạt cơ bản, nhưng vượt ngoài dự đoán của mô hình
chuẩn. Chính vì vậy, cơ chế và nguồn gốc sinh khối lượng và dao
động neutrino luôn được xét đến trong các mô hình mở rộng của
mô hình chuẩn (BSM-beyond the SM). Mô hình đơn giản nhất giải
quyết được các vấn đề về neutrino là các mô hình Seesaw, cụ thể là
cơ chế Seesaw được đưa ra để giải thích vấn đề này. Mô hình Seesaw
mở rộng từ SM bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrion phân


2

cực phải, dẫn đến sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới
và số hạng khối lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh
khối lượng cho tất cả các neutrino trong mô hình. Cơ chế Seesaw
giúp giải thích hợp lý tại sao neutrino hoạt động (active neutrino)
có khối lượng nhỏ như đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thời
các neutrino mới có khối lượng lớn, thoát khỏi tầm phát hiện của
các thiết bị dò hiện nay. Sự xuất hiện của các neutrino mới dẫn
đến sự xuất hiện các đỉnh tương tác mới, vi phạm số lepton, làm
xuất hiện các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ (LFV) của các
lepton mang điện (cLFV) ei → ej γ (j = j) khi tính đến các đóng
gớp nhiễu loạn bậc cao. Theo đó, tuy ở trong Lagrangian không
xuất hiện đỉnh tương tác ei ej Aµ + h.c nhưng bổ đính bậc một vòng
cho số hạng hiệu dụng dạng eAµ ej [qν σ µν (σL PL + σR PR )] ej + h.c.
Số hạng này dẫn đến quá trình rã nhánh mới ei → ej γ không có
trong giới hạn dự đoán của SM. Các thừa số σ µν và toán tử chiếu
trái-phải PL,R được xây dựng theo ma trận chiral γ5 . Các hệ số vô
hướngσL,R được tính từ các giản đồ đóng góp bậc cao. Các tính toán
và nghiên cứu cho các quá trình rã này trong hai mô hình Seesaw
tối thiểu (minimal Seesaw-MSS) và inverse Seesaw (ISS) đã được

nghiên cứu trong nhiều công bố, sử dụng các hệ thức giải tích gần
đúng khi khối lượng các lepton mang điện bằng không ngay cả khi
khối lượng neutrino rất nhỏ. Hiện nay các hệ thức gần đúng này có
thể được thiết lập theo các hàm giải tích chính xác áp dụng được
vào giải số. Mô hình Seesaw là mô hình đơn giản nhất có thể dùng
để kiểm tra sự thống nhất giữa kết quả gần đúng và kết quả giải
tích chính xác. Vì vậy tôi chọn đề tài:
Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ej γ trong mô
hình Seesaw và Inverse Seesaw.


3

2. Mục đích nghiên cứu
• Xây dựng chi tiết các hệ thức tính bề rộng rã nhánh ei → ej γ
trong hai mô hình MSS và ISS
• So sánh được kết quả giải tích gần đúng và chính xác thông
qua khảo sát số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về mô hình Seesaw và inverse Seesaw.
• Tính biên độ và kiểm tra sự khử phân kỳ trong biên độ của quá
trình rã ei → ei γ trong chuẩn unitary.
• Khảo sát số để so sánh các đặc điểm giống và khác nhau của tỉ
lệ rã nhánh dự đoán bởi hai mô hình
4. Đối tượng nghiên cứu
• Quá trình rã ei → ei γ trong hai mô hình Seesaw MSS và ISS.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Quy tắc Feynman.
• Lý thuyết trường lượng tử.
• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số.

4

Chương 1
Giới thiệu mô hình
1.1
1.1.1

Mô hình Seesaw tổng quát
Giới thiệu mô hình

Phổ hạt của mô hình này khác với mô hình chuẩn (SM) là có thêm K
neutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, ..., K [6]. Lagrangian
mới thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y là:
1
−∆L = Yν,aI ψL,a φNR,I + (NR,I )c MN,IJ NR,J + h.c.,
2

(1.1)

trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ của fermion; I, J = 1, 2, ..., K là
chỉ số neutrino mới thêm vào; ψL,a = (νL,a , eL,a )T là các lưỡng tuyến
T

lepton và (NR,I )c = CNR,I . à Lưỡng tuyến Higgs boson SM ký hiệu
√ T
là φ = (φ+ , φ0 )T = G+
,
(h

+
iG
+
v)/
2 , còn có dạng tương đương
z
W
φ = iσ2 φ∗ = (φ0∗ , −φ− )T . Phổ Higgs trong SM gồm một Higgs trung hoà
CP-chẵn h và ba Goldstone boson của các boson W ± và Z. Giá trị trung
bình chân không (VEV) của thành phần Higgs trung hoà là: φ =

√v
2

=

174 GeV (tương đương v = 246 GeV). Các trạng thái ban đầu của các
neutrino hoạt động được viết như sau: νL = (νL,1 , νL,2 , νL,3 )T , (νL )c ≡
((νL,1 )c , (νL,2 )c , (νL,3 )c )T , NR = (NR,1 , NR,2 , ..., NR,K )T , (NR )c =
((NR,1 )c , (NR,2 )c , ..., (NR,K )c )T . Trong cơ sở ban đầu νL ≡ (νL , (NR )c )T
và (νL )c = ((νL )c , NR )T , Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng neu-


5

trino:
1
1
−Lνmass ≡ νL M ν (νL )c + h.c. = νL
2

2

0

MD

MDT

MN

(νL )c + h.c., (1.2)

trong đó MN là ma trận bậc (K × K) đối xứng và không kỳ dị, và MD là
ma trận bậc (3 × K) thỏa mãn (MD )aI = Yν,aI φ . Do tính chất đối xứng
M ν được chéo hóa bằng một ma trận unitary U ν bậc (K + 3) × (K + 3),
U ν† U ν = I. Khối lượng các neutrino lúc này được xác định là:
ˆ ν = diag(mn , mn , mn , mn , ..., mn
U νT M ν U ν = M
),
1
2
3
4
(K+3)

(1.3)

trong đó mni (i = 1, 2, ..., K + 3) là các giá trị riêng khối lượng của
(K + 3) trạng thái riêng khối lượng (vật lý) neutrino nL,i . Ba neutrino
hoạt động là nL,a với a = 1, 2, 3. Các liên hệ giữa trạng thái vị và vật lý:

νL = U ν∗ nL ,

(νL )c = U ν (nL )c ,

(1.4)

trong đó nL ≡ (nL,1 , nL,2 , ..., nL,(K+3) )T .
Kí hiệu spinor bốn thành phần (Dirac spinor) là ni (i = 1, 2, .., K + 3)
cho tất cả các neutrino trong mô hình được dùng để tính toán trong luận
văn này. Các trường fermion Majorana ni là ni ≡ (nL,i , (nL,i )c )T = nci =
(ni )c . Thành phần phân cực trái, phải là nL(R),i ≡ PL(R) ni có PL,R =

1±γ5
2

là các toán tử trái, phải. Các trạng thái ban đầu của các neutrino theo
spinor bốn thành phần là νa ≡ (νL,a , (νL,a )c )T , NI ≡ ((NR,I )c , NR,I )T
và ν = (ν, N )T . Hệ thức (1.4) cho các kí hiệu mới:
PL νi = νL,i = Uijν∗ nL,j ,

PR νi = νR,i = Uijν nR,j ,

i, j = 1, 2, ..., K + 3.
(1.5)

Ma trận trộn neutrino U ν sẽ được xác định cụ thể trong từng mô hình
MSS và ISS. Phần tiếp theo xác định đỉnh tương tác liên quan đến rã
ei → ej γ.

6

1.1.2

Đỉnh tương tác

Đạo hàm hiệp biến sử dụng trong luận văn là
Dµ = ∂µ − igT a W a − ig Y Bµ ,

(1.6)

trong đó W a và T a ký hiệu các boson chuẩn và vi tử tương ứng của nhóm
SU (2)L ; Y là siêu tích nhóm U (1)Y . Các boson chuẩn vật lý hoàn toàn
giống như trong SM, bao gồm 1 photon Aµ , một boson chuẩn trung hòa
Zµ và boson chuẩn mang điện W ± . Liên hệ giữa trạng thái ban đầu và
trạng thái sau của các boson chuẩn là
1
Wµ± = √ (Wµ1 ∓ iWµ2 ),
2
WµK+3 = cW Zµ + sW Aµ ,
Bµ = −sW Zµ + cW Aµ .

(1.7)

Định nghĩa đạo hàm hiệp biến (1.6) sẽ cố định dấu các hệ số đỉnh tương
tác ea νa W − và đỉnh ba boson Aµ W +α W −β . Các đỉnh tương tác của
photon Aµ và boson chuẩn Wµ± với các lepton nằm trong biểu thức đạo
hàm hiệp biến lepton sau
µ
µ

Llep
kin = iψL,a γ Dµ ψL,a + eaR γ Dµ eaR
g
⊃ √ νL,a γ µ eL,a Wµ+ + eL,a γ µ νL,a Wµ−
2
+ (−e)ea γ µ ea Aµ
g
ν
ν∗
= √ Uaj
nj γ µ PL ea Wµ+ + Uaj
ea γ µ PL nj Wµ−
2
+ (−e)ea γ µ ea ,

(1.8)

trong đó a = 1, 2, 3; và j = 1, 2, ..., K + 3. Động năng hiệp biến trường
đơn tuyến lepton phải không tương tác với W ± . Tương tác ba boson
chuẩn nằm trong số hạng động năng trường chuẩn không giao hoán
nhóm SU (2)L
1
LAW + W − ∈ − Fµνa F µνa ,
4

(1.9)


7

với
a
Fµν
= ∂µ Wνa − ∂µ Wµa + g

abc

Wµb Wνc

(1.10)

là cường độ trường chuẩn trường không giao hoán W a , g là hệ số tương
tác nhóm chuẩn SU (2)L ,

abc

là tensor phản xứng bậc 3,

123

= 1.

Từ các tính toán trên chúng tôi thu được các đỉnh liên quan đến quá
trình rã ei → ej γ được tổng hợp trong bảng 1.1, trong đó chỉ các đỉnh
tính trong chuẩn unitary được xét đến.
Đỉnh

Hệ số đỉnh

ni ea W +µ

ig
√
Uν γ P
2 ai µ L
ig
√
U ν∗ γ P
2 ai µ L

ea ni W −µ
Aµ ea ea
µ

A (p0 )W

+α

(p+ )W

−ieγµ
−β

(p− )

−ieΓµαβ (p0 , p+ , p− )

Bảng 1.1: Các đỉnh liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng vào biên độ rã ei → ej γ trong các
mô hình Seesaw, xét trong chuẩn unitary. Qui ước các xung lượng của photon và W ±
tương ứng là các xung lượng p0 , p± có chiều đi vào đỉnh tương tác, Γµαβ (p0 , p+ , p− ) ≡

(p0 − p+ )β gµα + (p+ − p− )µ gαβ + (p− − p0 )α gβµ .

Các giản đồ Feynman bậc một vòng tương ứng với rã cLFV cho trong
hình 1.1.

Hình 1.1: Đóng góp bậc một vòng vào biên độ rã ei → ej γ trong mô hình Seesaw tổng
quát xét trong chuẩn unitary.

Nhận xét: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa theo các tài liệu [8, 9],
các đỉnh tương tác liệt kê trong bảng 1.1 đều phù hợp.


8

1.1.3

Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

Biểu thức tổng quát cho ma trận trộn neutrino U ν là [6],
Uν = Ω

U O
O V

,

(1.11)

trong đó O là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử bằng 0, U là
ma trận unitary bậc (3 × 3) và V là ma trận unitary bậc (K × K). Ω là

ma trận unitary bậc ((K + 3) × (K + 3)), được viết dưới dạng khai triển
nhiễu loạn như sau:
Ω = exp

O
−R

R
†

O

=

1 − 12 RR†
−R

†

R
1−

1 †
2R R

+ O(R3 ),

(1.12)

trong đó R là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử có giá trị

tuyệt đối nhỏ hơn 1. Ma trận unitary UPMNS được gọi là ma trận trộn
Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS), hoàn toàn xác định được
từ thực nghiệm về dao động neutrino.
Các ma trận khối lượng của các neutrino là:
ˆ N = diag(mn , mn , ..., mn ),
M
4
5
K+3
†
†
∗
∗
mν = UPMNS
diag(mn1 , mn2 , mn3 )UPMNS
= UPMNS
m
ˆ ν UPMNS
,

(1.13)
trong đó mni là khối lượng vật lý các neutrino,

c12 c13
s12 c13
s13 e−iδ

iδ
UPMNS = 
c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ s23 c13

 −s12 c23 − c12 s23 s13 e
s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ c23 c13
× diag(1, eiα , eiβ ),
và cab ≡ cos θab , sab ≡ sin θab .






(1.14)


9

Cơ chế Seesaw sinh khối lượng các neutrino thế hệ đòi hỏi |MD |
|MN |. Các hệ thức liên hệ quan trọng đã biết là [6],
R∗

MD MN−1 , mν −MD MN−1 MDT ,
ˆ N V † = MN + 1 RT R∗ MN + 1 MN R† R.
(1.15)
V ∗M
2
2
Cơ chế seesaw hiểu từ hệ thức liên hệ thứ hai trong (1.15) giải thích
tính cực nhỏ của khối lượng các neutrino hoạt động khi MN đặc trưng
cho thang khối lượng neutrino nặng. Trong luận văn này, ma trận MD
được tham số hóa theo ma trận ξ (K × 3) thỏa mãn điều kiện duy nhất
ξ T ξ = I3 [6], cụ thể là:

MDT = iUN∗ MNd

1/2

†
ξ (m
ˆ ν )1/2 UPMNS
,

(1.16)

trong đó UN là ma trận chéo hóa MN , UNT MN UN = MNd = diag(M1 , ..., MK ).
Cách tham số hoá này gọi là tham số hoá Casas-Ibarra [7].

1.2

Mô hình inverse Seesaw

Lagrangian tương tác đặc trưng cho ISS có dạng sau:
1
c
LISS = −YνaI La φνRI − MRIJ (νRI )c XJ − µIJ
(1.17)
X XI XJ + h.c.,
2
trong đó MR là ma trận (3 × 3) bảo toàn số lepton, µX là ma trận (3 × 3)
vi phạm số lepton nên nhận giá trị nhỏ. Các chỉ số I, J = 1, 2, ...K. Khác
với MSS, mô hình ISS tách các đơn tuyến neutrino mới thành 2 loại. Thứ
nhất là các νRI có số lepton L(νR ) = 1 chỉ xuất hiện trong các số hạng
bảo toàn số lepton. Ngược lại XI phân cực phải và có L(X) = −1, cho

phép xuất hiện số hạng khối lượng nhỏ vi phạm số lepton. Chúng tôi xét
K = 3 để so sánh với các kết quả khảo sát gần đây [13].
Số hạng khối lượng liên hệ với neutrino hoạt động là:
−YνaI La φνRI

→

−YνaI (νaL , eaL )

√v
2

0

νRI


10

= −(νaL mDaI νRI ) = −(νL mD νR ),
trong đó mDaI =

√v Y aI .
2 ν

Tương tự cho các số hạng khối lượng còn lại,

số hạng khối lượng neutrino là
1
L = −(νL mD νR ) − (νR )c MR X − X c µX X + h.c.

2 

(νL )c


1

= − (νL , (νR )c , X c )MISS 
ν
 R ,
2
X

(1.18)

có MISS là ma trận khối lượng neutrino thoả mãn


O mD O


T

MISS = 
m
O
M
R ,
 D
O mTR µX

O là ma trận không bậc (3 × 3).
Các tham số trong mô hình ISS liên hệ với các định nghĩa MD và MN
phần thảo luận chung theo các hệ thức
MD = (mD ,

O),

MN =

O

MR

MRT

µX

.

(1.19)

Định nghĩa ma trận nghịch đảo, MN−1 MN = MN MN−1 = I6 dẫn đến
MN−1

=

−M −1

MRT

MR−1

0

−1

,

(1.20)

T
trong đó M = MR µ−1
X MR [13]. PT. (1.15) cho kết quả [6]

R∗ = MD MN−1 =

−mD M −1 ,

mν = −MD MN−1 MDT = mD MRT

−1

mD MRT

−1

,

µX MR−1 mTD = mD M −1 mTD ,
(1.21)

11

trùng kết quả trong [13, 7]. Ma trận mD được tham số hoá Casas-Ibarra
như sau:
∗
mTD = UM
diag( M1 ,

M2 ,

M3 )ξ

m
ˆ ν UP† M N S ,

(1.22)

†
∗
diag(M1 , M2 , M3 )UM
và ξ là một ma
trong đó UM thỏa mãn M = UM

trận trực giao phức thỏa mãn ξ ξ T = I3 .
Để so sánh và xây dựng liên hệ giữa các quá trình rã cLFV trong các
mô hình MSS và ISS, chúng tôi chỉ xét các trường hợp đơn giản. Cụ thể
là ξ = UN = I3 trong MSS, các biểu thức đơn giản của các phương trình
trong (1.15) là

MNd = MN , R = −iUPMNS m
ˆ 1/2
MNd
ν

−1/2

ˆ N = MNd + m
, V = I3 , M
ˆ ν.
(1.23)

Trong mô hình ISS, từ (1.22) ta thấy rằng mD được tham số hóa theo
nhiều tham số tự do, nên chúng tôi có thể chọn µX = µX I3 . Tham số
này phân biệt các đặc điểm quan trong của hai mô hình MSS và ISS.
ˆR =
Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ xét trường hợp đơn giản MR = M
diag(MR1 , MR2 , MR3 ) và ξ = I3 . Điều kiện |µX |
UM = I3 ,

MNd

=

ˆR
M
0

0
,

ˆR
M

V

1
√
2

|MR | dẫn đến
−iI3 I3
iI3

I3

. (1.24)

ˆ R (ISS) và M
ˆ N (SS) đều có vai trò là thang
Nhận xét: hai ma trận M
khối lượng của neutrino mới. Vì vậy, chúng tôi đồng nhất chúng là khối
lượng của các neutrino trong cả hai mô hình. Sự khác nhau của hai mô
hình lúc này là ma trận trộn V trong (1.24) và µX chỉ đặc trưng cho
ISS. Tham số µX xuất hiện ở ma trận con thứ hai của ma trận trộn R
được cho trong (1.21). Từ đây chúng tôi tìm được hệ thức liên hệ đơn
giản giữa các phần tử lớn nhất của các ma trân R trong hai mô hình
Seesaw đang xét là:
RISS ∼

mn6 MSS

R ,
µX

(1.25)


12

trong đó mn6 lúc này được xem là khối lượng đặc trưng cho neutrino
mới, mn4 ≤ mn5 ≤ mn6 . Liên hệ (1.25) là lý do chính để giải thích tại
sao tỉ lệ rã nhánh rã cLFV được dự đoán bởi mô hình ISS có giá trị lớn
hơn rất nhiều so với các giá trị dự đoán bởi MSS.
Trong chương tiếp theo chúng tôi thiết lập các biểu thức cụ thể tính
biên độ quá trình rã cLFV trong chuẩn ’t unitary, từ đó so sánh với các
kết quả gần đúng đã được công bố.


13

Chương 2
Biểu thức giải tích cho biên độ và tỉ
lệ rã nhánh ei → ej γ
2.1

Bề rộng rã riêng phần và tỉ lệ rã nhánh

Xét quá trình rã cLFV ei → ej γ, trong đó i, j = 1, 2, 3 (i > j) là các chỉ
số thế hệ lepton (ei , ej ) = {(τ, µ), (τ, e), (µ, e)}. Biên độ rã luôn viết
được ở dạng tổng quát sau [1, 2],
Mij = 2(pi . ) CLij u¯j (pj )PL ui (pi ) + CRij u¯j (pj )PR ui (pi )

ij
+ DLij u¯j (pj )/PL ui (pi ) + DR
u¯j (pj )/PR ui (pi ),

trong đó

µ

(2.1)

ij
ij
là vector phân cực phô tôn; CL,R
và DL,R
là các hệ số vô

hướng được tính từ các đóng góp nhiễu loạn bậc cao (bổ đính); ui,j và
pi,j tương ứng là spinor Dirac và xung lượng của các lepton. Điều kiện
bất biến chuẩn hay đồng nhất thức Ward (Ward identity) dẫn đến hệ
thức,
DLij = −mi CRij − mj CLij

ij
and DR
= −mi CLij − mj CRij ,

(2.2)

với mi,j là khối lượng các lepton tương ứng p2i,j = m2i,j . Hệ thức được
chứng minh như sau. Biên độ Mij = Mij

µ

µ

thỏa mãn đồng nhất thức

Ward nghĩa là nếu thay vector phân cực photon

µ

bằng xung lượng


14

photon q = pi − pj thì hệ thức thu được là
µ
Mij
µ q = 0.

(2.3)

Biểu thức (2.1) cho hệ quả
ij
µ
Mij
¯j PL ui + CRij u¯j PR ui
µ q = 2[pi .(pi − pj )] CL u
ij
+ DLij u¯j (/

pi − p/j )PL ui + DR
u¯j (/pi − p/j )PR ui

= (m2i − m2j ) CLij [¯
uj PL ui ] + CRij [¯
uj PR ui ]
ij
+ DLij (mi [¯
uj PR ui ] − mj [¯
uj PL ui ]) + DR
(−mj [¯
uj PR ui ] + mi [¯
uj PL ui ])
ij
= [¯
uj PL ui ] (m2i − m2j )CLij − mj DLij + mi DR
ij
+ [¯
uj PR ui ] (m2i − m2j )CRij + mi DLij − mj DR
.

(2.4)

Các biến đổi trung gian trong công thức (2.4) đã sử dụng định luật bảo
toàn xung lượng pi − pj = q, điều kiện hạt thực có xung lượng thỏa mãn
p2i,j = m2i,j và q 2 = 0. Ngoài ra các đẳng thức sau cũng được sử dụng
2pi .pj = p2i + p2j − (pi − pj )2 = m2i + m2j ,
PL γµ = γµ PR ,
p/i ui = mi ui ,

PL γµ = γµ PR ,

PL PR = 0,

uj p/j = mj uj .

Các hệ thức biến đổi nói trên tiếp tục được sử dụng trong các tính toán
tiếp theo.
Thay kết quả trong biểu thức (2.4) vào đẳng thức (2.3), chúng tôi thu
được hai hệ thức độc lập
ij
−mj DLij + mi DR
= (−m2i + m2j )CLij

mi DLij

−

ij
mj DR

=

(−m2i

+

m2j )CRij

.

(2.5)

ij
Giải hệ 2 phương trình trong (2.5) theo hai biến DL,R
sẽ dẫn đến các hệ

thức trong (2.2).


15
ij
Khi đó biên độ rã (2.1) viết được theo CL,R
. Kết quả là bề rộng rã

ei → ej γ tính được theo công thức:
(m2i − m2j )3
|CLij |2 + |CRij |2 .
Γ(ei → ej γ) =
3
16πmi

(2.6)

Bề rộng rã riêng phần cLFV nói trên tính được theo các bề rộng rã riêng
phần đã biết:
G2F m5i
Γ(ei → ej ν¯j νi ) =
192π 3
với GF =

√
g2 2
;
8m2W

(2.7)

ei = τ, µ; và lj = µ, e.

Tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ tính được theo (2.6) và (2.7) như sau:
Br(ei → ej γ) =

m2j
1− 2
mi

3

12π 2
|CLij |2 + |CRij |2 Br(ei → ej ν¯j νi ).
2
2
GF mi
(2.8)

Các kết quả thực nghiệm đã biêt là: BR(τ → µ¯
νµ ντ )
e¯
νe ντ )

17.83% and BR(µ → e¯
νe νµ )

17.41%, BR(τ →

100%.

Nhận xét: Trong phần này chúng tôi đã chỉ ra được biểu thức tính tỉ
ij
lệ rã nhánh chỉ phụ thuộc các hệ số vô hướng CL,R
. Khi tính đến bậc gần

đúng một vòng, chỉ các giản đồ ba điểm như giản đồ 1 hình 1.1. Tất cả
ij
các giản đồ hai điểm chỉ cho đóng góp vào DL,R
. Vì vậy trong các tính

toán theo biểu thức (2.8) người ta có thể bỏ qua các giản đồ hai điểm.
Kết luận này đúng cho tất cả các mô hình mở rộng khác.
ij
Trong phần tiêp theo chúng tôi tính trực tiếp các biểu thức của CL,R
ij
và DL,R
ở gần đúng bậc 1 vòng trong giới hạn mô hình Seesaw tổng quát.

Các biểu thức này được biểu diễn theo hàm Passarino-Veltman (PV).


16

2.2

Các ký hiệu và định nghĩa các hàm PassarinoVeltman

Trong phần này chúng tôi liệt kê các định nghĩa và biểu thức giải tích
cho các tích phân một vòng sử dụng trong luận văn này. Qui ước các
xung lượng cho trên giản đồ 1 hình 1.1, bao gồm xung lượng ngoài p1,2
và q của các lepton và phô tôn.
Các xung lượng thỏa mãn p21,2 = m21,2 , q 2 = 0 với q = p1 − p2 do định
luật bảo toàn xung lượng. Mẫu số hàm truyền của 1 hạt khối lượng Mi
(i = 1, 2) tương ứng với xung lượng k hoặc (k + pi ) được ký hiệu là
D0 = k 2 − M12 + iδ, Di = (k + pi )2 − M22 + iδ (0 < δ

1). Dạng tổng

quát cho các tích phân một vòng được định nghĩa như sau:
A0 (M ) =
(i)

B0

≡

B (i)µ ≡
(12)

B0

≡

B (12)µ ≡
B (12)µν ≡

(2πµ)4−d
iπ 2

dd k
,
(k 2 − M 2 + iδ)
(2πµ)4−d
dd k
2
B0 (pi ; M1 , M2 ) =
,
iπ 2
D0 Di
dd kk µ
(2πµ)4−d
µ
,
B (p; M1 , M2 ) =
iπ 2
D0 Di
(2πµ)4−d
dd k
,
iπ 2
D1 D2
(2πµ)4−d

dd kk µ
,
iπ 2
D1 D2
(2πµ)4−d
dd k k µ k ν
,
iπ 2
D1 D2

(2.9)

trong đó d = 4 − 2 ( > 0) là số chiều tái chuẩn hóa, được định nghĩa
trong phương pháp tái chuẩn hóa số chiều (regular renormalisation) để
tách phân kỳ trong các tích phân 4 chiều chứa phân kỳ
Tương tự như trên, các giản đồ một vòng ba điểm liên quan đến các
tính phân sau
C0 ≡

C0 (m21 , m22 ; M1 , M2 , M2 )

1
= 2
iπ

d4 k
,
D0 D1 D2

17

C

1
d4 k × k µ
≡ C
= 2
,
iπ
D0 D1 D2
dd k × k µ k ν
(2πµ)4−d
, (2.10)
= C µν (p21 , p22 ; M1 , M2 , M2 ) =
iπ 2
D0 D1 D2

µ

µ

C µν

(p21 , p22 ; M1 , M2 , M2 )

trong đó chỉ duy nhất hàm C µν chứa phân kỳ nên cần đến tái chuẩn
hóa.
Tất cả các tích phân 1 vòng trên đều viết được theo dạng sau [3, 4]
(i)

B (i)µ = B1 pµi ,
C µ = C1 pµ1 + C2 pµ2 ,
C µν = C00 g µν + C11 pµ1 pν1 + C12 (pµ1 pν2 + pν1 pµ2 ) + C22 pµ2 pν2 , (2.11)
với các hệ số vô hướng B1 , B00 , B11 , C0 , C1 , C2 , C00 , C11 , C12 và C22
là các hệ số vô hướng gọi là các hàm Passarino-Veltman (PV). Chúng có
thể được tính số theo nhiều gói phần mềm đã có hiện nay như LoopTools.
Các hệ số C0 , C1 , C2 , C11 , C12 , và C22 đều hữu hạn, các hàm còn lại
đều chứa phân kỳ. Biểu thức giải tích cho các hàm PV liên quan đến rã
ei → ej γ đã được liệt kê chi tiết trong tài liệu [5], biểu thức cụ thể như
sau.
Trước tiên ta xét hàm B đơn giản nhất
(12)

B0

(12)

= B0 (M2 ) ≡ B0 ((p1 − p2 )2 ; M2 , M2 ) = ∆ − ln

với ∆ =

1

M22 − iδ
+ O( ),
µ2
(2.12)

+ ln(4π) − γE chứa phần phân kỳ của hàm PV.

Áp dụng phương pháp tham số hóa Feynman được trình bày chi tiết
trong tài liệu [9], một số hàm PV một điểm A và hai điểm B trong biểu
thức (2.9) viết được ở dạng cụ thể sau:
A0 (M ) = M

2

M2
∆ − ln 2 + 1
µ

1 (12)
B (12)µ = − B0 (pµ1 + pµ2 ),
2

(12)

= M 2 B0 (M ) + 1 ,

(2.13)
(2.14)


18

B (12)µν =

1 (12)
g µν 2 (12)

M2 B0 + 1 + B0 (2pµ1 pν1 + pµ1 pν2 + pµ2 pν1 + 2pµ2 pν2 ) .
2
6
(2.15)
(i)

Các hàm B0 và C0 được tính theo tài liệu [5],
(i)
B0

=

(12)
B0

M22
1
+ ln 2 + 2 −
(1 −
) log (1 − yiσ ) ,
M1
y
iσ
σ=±

1
C0 = 2
p1 − p22

2

(−1)i Li2 (yiσ ),

(2.16)

i=1 σ=±

trong đó yiσ (i = 1, 2) là các nghiệm của phương trình sau:
M22 yi2 − (M22 − M12 + p2i )yi + p2i + iδ = 0.

(2.17)

(i)

Các hàm B1 , Ci,00,ij (i, j = 1, 2) được tính theo các hàm PV ở trên như
sau.
2.2.1

(i)

Biểu thức tính hàm B1

Nhân piµ vào các định nghĩa hàm B (i)µ trong hai biểu thức (2.10) và
(2.11) chúng tôi thu được:
(2πµ)4−d
dd k(k.p1 )
=
iπ 2
D0 Di
dd k (k + pi )2 − k 2 − m2i

(2πµ)4−d
=
iπ 2
2D0 Di
dd k Di − D0 − (M12 − M22 + m2i )
(2πµ)4−d
=
iπ 2
2D0 Di
4−d
(2πµ)
1 1
1
fi
d
=
d
k
×
−
−
iπ 2
2 D0 Di D0 Di
1
(i)
=
A0 (M1 ) − A0 (M2 ) − fi B0 ,
2
trong đó fi = M12 − M22 + m2i . Thay p2i = m2i chúng tôi thu được biểu
(i)

B1 p2i

thức cần thiết
(i)

B1 =

1
(i)
A0 (M1 ) − A0 (M2 ) − fi B0 .
2
2mi

(2.18)


19

2.2.2

Biểu thức tính hàm Ci
(i)

Tương tự như các bước tính hàm B1 , sử dụng định hàm C µ trong các
2
j=1 (pi .pj )Cj

CT. (2.11) và (2.11), kết hợp với hệ thứ pµi Cµ =

và

2pi .k = (k + pi )2 − k 2 − p2i = Di − D0 − fi
2pi .k
Di − D0 − fi
→
=
D0 D1 D2
D0 D1 D2
1
fi
1
−
−
, j = i.
=
D0 Dj D1 D2 D0 D1 D2

(2.19)

Sử dụng định nghĩa các hàm PV chúng tôi thu được:
(12)

2pµi C µ = −B0

(j)

+ B0 − fi C0 ,

(i = j)
(12)

+ B0 − f1 C0 ,

(2)

(12)

+ B0 − f2 C0 .

→ 2pµ1 C µ = 2p21 C1 + 2(p1 .p2 )C2 = −B0

(1)

2pµ2 C µ = 2(p1 .p2 )C1 + 2p22 C2 = −B0

(2.20)

với i, j = 1, 2 và j = i. Đồng nhất các vế trái trong biểu thức (2.20)
chúng tôi thu được hệ thức tính các hàm Ci viết theo dạng ma trận:
C1
C2

1
=
2 [p21 p22 − (p1 .p2 )2 ]

−p1 .p2

−p1 .p2

p21

(12)

+ B0 − f1 C0

(12)

+ B0 − f2 C0

−B0

×

p22

−B0

(2)

(1)

.

(2.21)

Kết hợp 2p1 .p2 = p21 + p22 = m21 + m22 từ hệ quả (p1 − p2 )2 = 0, chúng tôi
tính được
(12)

C1 =

−2m22 −B0

(2)

(1)

+ B0 − f2 C0

(m21 − m22 )2
(12)

C2 =

(12)

+ B0 − f1 C0 + (m21 + m22 ) −B0

(m21 + m22 ) −B0

(2)

(12)

+ B0 − f1 C0 − 2m21 −B0

,

(1)

+ B0 − f2 C0

(m21 − m22 )2

.

(2.22)
Trong quá trình kiểm tra đồng nhất thức Ward, chúng tôi cần hệ quả
thư được bằng cách trừ hai vế của hai PT. cuối trong (2.20). Kết quả