Luận văn rã của w boson trong mô hình g(2 2 1) với quark ngoại lai tựa vector

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN DUY ĐẠO

RÃ CỦA W BOSTON
TRONG MÔ HÌNH G(2-2-1)
VỚI QUARK NGOẠI LAI TỰA VECTOR

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN DUY ĐẠO

RÃ CỦA W BOSTON
TRONG MÔ HÌNH G(2-2-1)
VỚI QUARK NGOẠI LAI TỰA VECTOR
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. HOÀNG NGỌC LONG

HÀ NỘI, 2018


Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân
còn có sự hướng dẫn tận tình của quý thầy cô và sự giúp đỡ của bạn bè.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến
GS.TS Hoàng Ngọc Long, vì sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời
gian nghiên cứu đề tài để giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Thứ hai, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô đã tham gia
giảng dạy lớp Vật lý lý thuyết K20, các thầy cô trong hội đồng bảo vệ
luận văn, và các thầy cô trong khoa Vật lí và khoa SĐH đã giúp đỡ,
động viên trong thời gian tôi làm luận văn.
Thứ ba, tôi xin gửi lời cảm ơn đến trường THPT chuyên Vĩnh Phúc
đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,
các bạn chung nhóm và trong lớp Cao học Vật lí K20 đã giúp đỡ, trao
đổi kiến thức với tôi trong suốt thời gian vừa qua.
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì
đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi.
Hà Nội, tháng 06 - 2018
Học viên

Nguyễn Duy Đạo


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng những số liệu và kết quả nghiên cứu thu được
trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn
này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được

chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Duy Đạo


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Danh sách thuật ngữ viết tắt

1

Mở đầu

2

1 Giới thiệu mô hình chuẩn

6

1.1

Sắp xếp hạt trong mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Khối lượng cho các trường chuẩn . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Tương tác của W boson với trường vật chất . . . . . . .

12

2 Rã của W boson trong mô hình G(2-2-1) với quark ngoại
lai tựa vector

14

2.1

Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Khối lượng cho W boson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Tương tác của W boson với các fermion . . . . . . . . .

24

2.3.1

Tương tác của W boson chuẩn mang điện với các
quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

26

Tương tác của W boson chuẩn mang điện với các
lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27


2.4

Rã của W boson trong mô hình G(2-2-1) với quark ngoại
lai tựa vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.1

Các kênh rã đã biết của W boson . . . . . . . . .

28

2.4.2

Rã của W boson trong mô hình G(2-2-1) với quark
ngoại lai tựa vector . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Một số hiệu ứng khả dĩ

30
34

3.1

Bề rông của rã W boson . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2

Sự sinh và rã của W boson chuẩn trong thực nghiệm . .

35

Kết luận

38


1

Danh sách thuật ngữ viết tắt
Viết tắt Thuật ngữ
u

up

d

down

c

charm

s

strange

t

top

b

bottom

Br

Branching ratio

FCNC

Flavor Changing Neutral Current

CERN

European Organization for Nuclear Research

GWS

Glashow-Weinberg-Salam

LHC

Large Hadron Collider

QCD

Quantum chromodynamics

SM

Standard Model

SSB

Spontaneous Symmetry Breaking

VEV

Vacuum Expectation Value


2

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Việc tìm kiếm liên tục về nguồn gốc và bản chất của vật chất đã
tạo ra nhu cầu cấp thiết của các công cụ toán học và thực nghiệm
một cách chính xác. Nhu cầu này đã thúc đẩy sự tiến bộ đáng
kể các khuôn khổ lý thuyết cũng như các cơ sở và phương pháp
thực nghiệm trong thế kỷ qua. Các cột mốc của vật lý hạt hiện
đại đã được đặt ra bởi lí thuyết trường điện từ của Maxwell, đã mở
đường cho sự phát triển các lý thuyết trường lượng tử và thí nghiệm
Rutherford, qua đó các thí nghiệm tán xạ đã được cách mạng hóa
như là một phương pháp nghiên cứu cấu trúc của vật chất. Kể từ
đó, lĩnh vực vật lý hạt đã nở rộ, đẩy các giới hạn của việc mở rộng
kiến thức nhanh chóng và tăng cường nhu cầu về công suất và tính
chính xác của các công cụ khoa học. Con đường khoa học ấn tượng
này đã dẫn đến việc xây dựng mô hình chuẩn (Stardard Model SM) của vật lý hạt, lý thuyết cực kỳ đơn giản và tao nhã dựa trên
khung lý thuyết trường lượng tử tương đối tính. SM giải thích tất
cả dữ liệu thực nghiệm hiện tại với độ chính xác rất cao. Gần đây
nó được trao vương miện bởi sự khám phá ra một boson vô hướng
mới (boson Higgs) - phần cuối cùng của bài toán thiếu. Do đó câu
chuyện về vật lý hạt hiện đại có thể được tóm tắt bằng cách nói


3

rằng việc tìm kiếm sự đơn giản cuối cùng đã làm nảy sinh sự tiến
bộ của khoa học đến một sự phức tạp đáng ngạc nhiên.
Mặc dù mô tả dữ liệu thực nghiệm hiện tại với độ chính xác cao,
nhưng công thức hiện tại của SM không thể là lý thuyết cuối cùng
của vật chất. Nó không cung cấp bất kỳ mô tả nào về trọng lực và
không giải thích được một số quan sát thiên văn, chẳng hạn như sự
có mặt của vật chất tối. Tại sao chỉ có ba thế hệ fermion? Tại sao
top quark nặng bất thường? Tại sao có sự phân bậc khối lượng giữa
các thế hệ? Tại sao có sự gián đoạn của các điện tích nguyên tố quan
sát được hiện nay? Một trong những nhược điểm lớn của mô hình
chuẩn là chúng không thể giải thích được vấn đề khối lượng và sự
trộn lẫn của neutrino. Các thực nghiệm về dao động của neutrino
đã khẳng định ít nhất một neutrino phải có khối lượng khác không
và có sự trộn lẫn giữa các thế hệ khác nhau. Vì thế, các nhà lý
thuyết hạt cơ bản tiếp tục xây dựng các mô hình mở rộng mô hình
chuẩn nhằm giải thích hợp lý các vấn đề trên, đồng thời dự đoán
các hiện tượng vật lý mới đặc trưng cho mô hình mới. Từ đó dẫn
đến sự ra đời của các mô hình chuẩn mở rộng như mô hình chuẩn
siêu đối xứng tối thiểu (MSSM), mô hình 3-3-1, 3-3-1-1 hay G(2-21). . . Trong bốn thập kỷ qua, một nỗ lực lớn đã được đầu tư vào
sự mở rộng SM, cả thông qua việc kiểm tra tính chính xác các dự
đoán của SM và phát triển các lý thuyết mới. Phát hiện gần đây
của boson Higgs đã củng cố ý nghĩa của SM và đặt ra những ràng
buộc nghiêm ngặt đối với nhiều mô hình vật lý mới. Dấu hiệu thực
nghiệm của các mô hình mới trong các vùng không gian tham số
cho phép được tìm kiếm rộng rãi trong các phòng thí nghiệm vật
lý hạt trên toàn thế giới. Nguồn dữ liệu thực nghiệm mở rộng cho
các tìm kiếm như vậy được cung cấp bởi máy va chạm hadron lớn

4

của CERN - Large Hadron Collider (LHC) với bốn máy dò hạt lớn.
Máy này không có đối thủ về năng lượng và cường độ, có tiềm năng
dẫn đầu thế giới về việc tìm ra các hiện tượng vật lý mới. Trong
ba năm hoạt động, giữa tháng 11 năm 2009 và tháng 12 năm 2012,
LHC và máy dò của nó đã tạo ra nhiều kết quả đáng kể.
Để săn các hiệu ứng vật lý mới, người ta đã đầu tư các máy gia
tốc năng lượng cao như LHC đã nói ở trên. Tuy nhiên việc cải tiến
để năng lượng va chạm ngày càng lớn sẽ làm tăng các hiệu ứng vật
lý có thể. Đầu năm 2018, hàng loạt các dự án săn tìm các quark
ngoại lai tựa vector thông qua tán xạ proton-proton đang được quan
tâm đặc biệt [6, 7].
Mô hình G(2-2-1) được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C ⊗
SU (2)1 ⊗ SU (2)2 ⊗ U (1)X đã nghiên cứu nhiều tín hiệu vật lý mới
đang được thực nghiệm quan tâm như tín hiệu về các hạt boson
chuẩn mới và các hạt Higgs [3]. Ngoài ra, mô hình còn thêm vào
các lưỡng tuyến quark mới có các thành phần trái và phải biến đổi
theo cùng loại biểu diễn nhóm SU (2)2 , nên gọi là các quark ngoại
lai tựa vector - đối tượng đang rất được quan tâm. Do vậy mô hình
có thêm nhiều tương tác mới không xuất hiện trong mô hình chuẩn.
Mô hình G(2-2-1) hiện nay vẫn chưa nghiên cứu đầy đủ đặc điểm
tương tác này. Trong đó có các trường boson chuẩn mang điện cũng
cần được nghiên cứu chi tiết hơn, như sự sinh khối lượng cho các
trường boson, sự tương tác của chúng với các fermion và các Higgs
cần được làm rõ hơn. Trên cơ sở này, ta có thể so sánh đặc tính của
các boson với các dữ liệu thực nghiệm hiện tại và tìm được các đỉnh
tương tác cho tín hiệu vật lý mới có khả năng phát hiện được. Việc
trộn các quark ở thế hệ thứ ba - bottom quark sẽ cho tín hiệu vào
sự rã của W boson. Chính vì vậy, chúng tôi quyết định chọn nghiên

5

cứu đề tài:
Rã của W Boson trong mô hình G(2-2-1) với quark ngoại
lai tựa vector
2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu tổng quan về W boson trong mô hình chuẩn.
• Hệ thống lại những nghiên cứu về mô hình G(2-2-1).
• Sinh khối lượng của W boson và rã của W boson trong mô hình
G(2-2-1).
• Một số hiệu ứng khả dĩ của W Boson.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Sự sinh khối lượng, đỉnh tương tác và
tương tác của W boson với các fermion , sự phân rã của W
boson.
• Phạm vi nghiên cứu: Mô hình G(2-2-1) của vật lý hạt cơ bản.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý thuyết, cụ thể là sử dụng lý thuyết trường lượng
tử, mô hình chuẩn, lý thuyết nhóm và các số liệu thực nghiệm
về hạt cơ bản.
• Sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán Mathematica.


6

Chương 1
Giới thiệu mô hình chuẩn
1.1

Sắp xếp hạt trong mô hình

Lý thuyết hợp nhất nhằm giải thích tất cả các hiện tượng của vật lý
hạt về tính chất và ba trong bốn tương tác của một số lượng nhỏ các
hạt được gọi là mô hình chuẩn (SM). Tất cả các hạt vật chất được biết
có thể được chia thành ba nhóm: lepton, quark và các boson chuẩn. Các
hạt này tương tác với nhau thông qua 3 tương tác được biết đến trong
mô hình chuẩn - tương tác điện từ, tương tác yếu và mạnh. Tuy nhiên,
mô hình chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một
cách hoàn toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.
1
Lepton: là fermion có spin bán nguyên (spin ) được coi là những
2
hạt cơ bản, không có cấu trúc bên trong và trạng thái kích thích. Lepton
điển hình được biết tới nhiều nhất là electron (e) và neutrino electron
(νe )

1
) là một hạt
2
cơ bản sơ cấp và là một thành phần cơ bản của vật chất. Các quark kết
Quark: cũng là ferminon có spin bán nguyên (spin

hợp với nhau tạo nên các hạt tổ hợp gọi là các hadron và meson. Trong
mô hình chuẩn, các fermion (cả quark và lepton) là những fermion chiêu
(chiral fermion) khi mà ferrmion xoắn trái và phải biến đổi khác nhau.
Do vậy, trong mô hình chuẩn, các fermion ban đầu không có khối lượng.

7

Do vậy chúng chỉ nhận khối lượng sau khi phá vỡ đối xứng tự phát. Các
quark ngoại lai tựa vector (vector-like quark) có tính chất như sau: các
trường xoắn trái và phải biến đổi giống nhau, nên ban đầu chúng có thể
có khối lượng.
Boson chuẩn : là nhóm các hạt cơ bản có spin - 1 có nhiệm vụ
thực hiện tương tác giữa các hạt nên còn gọi là hạt truyền tương tác.
Tương tác điện từ: diễn tả sự tương tác của electron trong nguyên
tử và tương tác khác giữa hai hạt mang điện. Các hạt truyền tương tác
là photon (γ) không có khối lượng và kết quả của lực tương tác ở tầm
xa.
Tương tác yếu: là lực gây ra phân rã β trong hạt nhân. Các lực
truyền tương tác là các boson W ± , Z có khối lượng lớn và tương tác tầm
gần.
Tương tác mạnh: cố định các hạt hadron và meson đã được tạo
ra từ các quark. Nó cũng liên kết các nucleon bên trong hạt nhân. Các
lực truyền tương tác là các gluon (g) không có khối lượng.
Từ đây, chứng tỏ được rằng SM là lý thuyết hiệu dụng phù hợp với
thực nghiệm và là nền tảng của toàn bộ ngành vật lý hạt. Bước ban đầu
đến với SM là Glashow tìm cách thống nhất tương tác điện từ và tương
tác yếu vào năm 1960. Năm 1967, Weinberg và Salam thêm cơ chế Higgs
vào lý thuyết điện yếu của Glashow. Kết quả xây dựng nên một mô hình
chuẩn hoàn chỉnh như hiện tại. Mô hình này dựa trên nhóm chuẩn định
xứ SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Ta đã biết rằng nhóm SU (2)L ⊗ U (1)Y
có thể giải thích lý thuyết điện yếu. Mặt khác, nhóm SU (3)c được đưa
ra để giải thích động lực học của các hạt quark cụ thể là lực tương tác
mạnh.
Mô hình các quark được đề xuất bởi Gell-Mann và hoàn toàn độc
lập với Zweig vào năm 1964 phân loại sự tồn tại của các hadron phù hợp

8

một cách đáng kinh ngạc dựa vào sự đối xứng nội của nhóm SU (3)c cho
sự tạo thành hadron từ ba quark màu tương đối nhẹ và giải thích thành
công tính chất tĩnh của các hạt này. Trong mô hình quark, các baryon
được tạo thành từ ba quark còn meson được tạo thành từ một quark và
một antiquark. Ngày nay, con người biết tới sự tồn tại của sáu quark
phổ biến, khác nhau (u, d, c, s, t, b) tương ứng với sáu bậc tự do gọi là
"vị". Vị của một quark bất kì có thể bị thay đổi qua tương tác yếu đươc
truyền bởi boson mang điện W ± . Bậc tự do của các quark còn có tên gọi
khác là màu, nó tương đương với điện tích chỉ trong phạm vi tương tác
mạnh. Lý thuyết mô tả lực tương tác mạnh gọi là sắc động học lượng tử
(QCD) và nó là lý thuyết chuẩn với đối xứng màu SU (3)c . Trong SM,
các hạt được sắp xếp như sau
Các hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU (2)L :
νea

laL =

ea

∼ (1, 2, −1/2),
L

ua

qaL =

da

∼ (3, 2, 1/2) .
L

Các hạt phải được xếp vào đơn tuyến SU (2)L :
eaR ∼ (1, 1, −2), uaR ∼ (3, 1, 4/3), daR ∼ (3, 1, −2/3)
trong đó a là chỉ số thế hệ và các số trong dấu ngoặc đơn là số lượng
tử của nhóm SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Để có sự bảo toàn điện tích thì
biểu diễn ma trận của toán tử điện tích phải có dạng chéo. Nghĩa là
Q = αT3 + βY,
trong đó T3 và Y tương ứng là vi tử thứ ba (có dạng chéo) và siêu tích
của nhóm SU (3)L và U (1)Y .


9

Do đó cũng như nhóm SU (2) đồng vị, công thức của toán tử điện
tích cho lưỡng tuyến là
Q=

1
σ3 Yw
+
=
2
2
2

1 + Yw

0

0

−1 + Yw

.

Hàm mật độ Lagrangian được viết một cách đầy đủ dưới lý thuyết
tương tác điện yếu như sau:
L = LF + LH + LG + LY − V (φ),
trong đó LF là phần liên quan tới đạo hàm chuẩn hiệp biến của trường
fermion, LH là phần liên quan tới đạo hàm chuẩn hiệp biến của Higgs
boson φ, LG là phần đóng góp động năng của bốn boson trong tương
tác điện yếu, LY tương tác Yukawa của Higgs boson với các fermion và
V (φ) là thế năng của Higgs.
Biểu thức hàm Lagrangian tương tác của trường fermion LF như
sau:
LF = i[laL γ µ Dµ laL + eaR γ µ Dµ eaR + qaL γ µ Dµ qaL
+uaR γ µ Dµ uaR + daR γ µ Dµ daR ]
với các đạo hàm hiệp biến được xác định
Dµ lL =

∂µ − ig

σa a ig
A + Bµ lL
2 µ
2

Dµ eR = (∂µ + 2ig Bµ ) eR
Dµ qL =
Dµ uR =
Dµ dR =

λa a
σa
ig
Gµ − ig Aaµ − Bµ qL
2
2
6
λa
σa
2ig
∂µ − igs Gaµ − ig Aaµ −
Bµ uR
2
2
3
λa
σa
ig
∂µ − igs Gaµ − ig Aaµ + Bµ dR
2
2
3
∂µ − igs

(1.1)


10

trong đó, λa là vi tử của nhóm SU (3) và cũng là ma trận Gell-Mann
(a = 1, 8), gs , g, g là các hằng số tương tác tương ứng với nhóm SU (3)c ,
SU (2)L , U (1)Y . Khi đó, đóng góp của trường vô hướng vào hàm Lagrangian tổng quát LH là
†

µ

LH = (Dµ φ ) D φ − V (φ ), φ =

φ+
φ0

∼ (1, 2, −1/2) (1.2)

trong đó
V (φ ) = −µ2 φ + φ + λ(φ + φ )2 .
Ta thấy rằng Lagrangian trong (1.2) là tổng quát thỏa mãn tính bất
biến và tái chuẩn hóa được.

1.2

Khối lượng cho các trường chuẩn

¯ = m(ψ¯L ψR + ψ¯R ψL ) chứa các thành
Số hạng khối lượng có dạng: mψψ

phần trái và phải biến đổi không giống nhau
W

L(x) → L (x) = e−iωa (x)ta e−iYL
W

R(x) → R (x) = e−iYR

ω (x)

ω (x)

L(x)

R(x)

(1.3)

nên nó không bất biến với biến đổi chuẩn, suy ra các fermion ban đầu
phải có khối lượng bằng không.
Đạo hàm hiệp biến có dạng:
3

Dµ ψL,R = ∂µ − ig

1
taL,R Aµa − ig YL,R Bµ ψL,R .
2
a=1

Các trường Le , Re và các boson chuẩn vẫn không có khối lượng. Để
cho chúng có khối lượng, ta phải phá vỡ đối xứng tự phát bằng các hạt
Higgs.


11

Viết lại lưỡng tuyến Higgs như sau
φ =

ϕ+
ϕ0

≡ φ + φ,

(1.4)

trong đó
1
φ =√
2

ϕ+

0

và φ =
v
ϕ0
Từ biểu thức toán tử điện tích với Y W = 1, ta có ngay

Q φ = 0.
và như vậy điện tích được bảo toàn. Hay nói khác đi sau khi SSB ta còn
lại nhóm U (1)Q . Các vi tử I1 , I2 và I3 −

Y
2

= 2I3 − Q bị phá vỡ và các

boson chuẩn tương ứng sẽ có khối lượng.
Khai triển thành phần động năng của trường Higgs
(Dµ φ )† Dµ φ = ∂µ φ ∂ µ φ + i[ φ

+

Pµφ ∂ µ φ − ∂µ φ+ P φµ φ ]

+i[φ+ Pµφ ∂ µ φ − ∂µ φ+ P φµ φ] + φ + Pµφ P φµ φ

(1.5)

trong đó ta đã sử dụng tính hermitic của các ma trận Pauli. Trước tiên
ta xét số hạng cuối cùng của biểu thức trên
φ + Pµφ P φµ φ = φ+ Pµφ P φµ φ + φ

+

Pµφ P φµ φ

+ φ+ Pµφ P φµ φ + φ Pµφ P φµ φ

(1.6)

Để sinh khối lượng cho các trường chuẩn, ta cũng xét số hạng cuối cùng
của công thức (1.6)
Lmass = (Dµ φ )† Dµ φ = φ Pµφ P φµ φ
= φ PµCCφ P CCφµ φ + φ PµN Cφ P N Cφµ φ
g2v2
=
(0, 1)
4

0

Wµ+

0

W +µ

0

Wµ−

0

W −µ

0

1


12

v2
+ (0, 1)
8
×

gA3µ + g Bµ

0

0

gA3µ + g Bµ

gA3µ + g B µ

0

0

0

−gA3µ + g B µ

1

1
g 2 v 2 − µ+ v 2
Wµ W + (gAµ3 − g Bµ )2 = m2W Wµ− W µ+ + m2Z Zµ Z µ
=
4
8
2
trong đó ta đã thu được khối lượng của W boson
m2W

gv 2
gv
=
, hay mW =
4
2

(1.7)

Để thu được khối lượng của Z boson ta phải chéo hóa
1 2
m Z Zµ Z µ =
2

v2
8

=

A

1
2

3µ

B

µ

Zµ A µ

g2

−gg

A 3µ

−gg

g2

Bµ

m2Z 0
0

0

Zµ
Aµ

.

(1.8)

Chéo hóa ma trận khối lượng bằng ma trận trực giao
Zµ = cos θW Aµ3 − sin θW Bµ
Aµ = sin θW Aµ3 + cos θW Bµ

(1.9)

và thu được khối lượng của Z boson
m2Z

g2v2
gv
mW
=
,
hay
m
=
=
Z
4 cos2 θW
2 cos θW
cos θW

(1.10)

Trường Aµ vẫn không có khối lượng và được đồng nhất với photon.

1.3

Tương tác của W boson với trường vật chất

Ta thấy chỉ nhóm SU (2)L mới xuất hiện Lagrangian tương tác của
các trường vật chất với W boson. Do đó, ta xét:
Lint
= i[laL γ µ Dµ laL + qaL γ µ Dµ qaL ]
D


13

g
= √ laL γ µ
2

0

Wµ+

Wµ−

0

g
= √ (¯
νaL e¯aL )γ µ

2
+ (¯
uaL d¯aL )γ µ

laL + qaL γ

µ

0

Wµ+

νaL

Wµ−

0

eaL

0

Wµ+

uaL

Wµ−

0

daL

g
= √ eaL γ µ Wµ− νaL + νaL γ µ Wµ+ eaL
2
+ daL γ µ Wµ− uaL + uaL γ µ Wµ+ daL

0

Wµ+

Wµ−

0

qaL

(1.11)


14

Chương 2
Rã của W boson trong mô hình
G(2-2-1) với quark ngoại lai tựa
vector
2.1

Giới thiệu mô hình

Chúng tôi mở rộng SM bằng cách đưa ra một nhóm chuẩn đối xứng
mới SU (2) trong đó có hai boson mang điện mới là W

±

và một boson

trung hòa về điện Z
Chúng tôi bắt đầu thiết lập mô hình bằng cách mở rộng nhóm chuẩn
đối xứng trong SM SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y thành SU (2)1 × SU (2)2 ×
U (1)Y , trong đó các hạt trong SM phụ thuộc vào biểu diễn của nhóm
SU (2)1 ×U (1)Y và hầu hết các hạt trong SM đơn tuyến với nhóm SU (2)2 .
Để phá vỡ nhóm chuẩn đối xứng thành U (1)em , chúng tôi thêm vào mô
hình này hai lưỡng tuyến Higgs H1 = (2, 1)1/2 và H2 = (1, 2)1/2 , trong
đó lưỡng tuyến Higgs ban đầu là lưỡng tuyến Higgs của SM, lưỡng tuyến
Higgs sau là lưỡng tuyến Higgs nặng của nhóm SU (2)2 , và các chỉ số
dưới trong biểu diễn quy ước siêu tích của lưỡng tuyến Higgs. Để giảm
thiểu số lượng hạt mới và tăng sự phân rã của các boson vô hướng hạng
nặng H2 , chúng tôi đưa ra một lưỡng tuyến Q T = (U , D ) của nhóm


15

chuẩn SU (2)2 vào trong mô hình. Hơn nữa, chúng tôi có một đơn tuyến
Higgs S để sinh ra một Higgs nặng qua quá trình ggF . Bởi vì các hạt
trong SM, lưỡng tuyến Higgs và Q có siêu tích ở nhóm U (1)Y , nên chúng
(1)

(2)

tôi xác định được điện tích của các hạt như sau Qem = T3 + T3 + Y2 ,
(1,2)

với T3

= σ3 /2 cho lưỡng tuyến và σ3 được chéo hóa bởi ma trận Pauli.

Do đó, điện tích của U và D tương ứng lần lượt là 2/3 và −1/3.
Các lepton giống như trong SM
LaL =

νa
la

∼ (1, 2, 1, −1), laR ∼ (1, 1, 1, −2)

(2.1)

L

với a = e, µ, τ
Một lưỡng tuyến quark ngoại lai tựa vector (coi như thế hệ quark thứ
4)

QL/R =

U

1
∼ (3, 1, 2, )

6

D

(2.2)

L/R

Các quark thông thường giống như trong SM

ua

qaL =

∼

da

3, 2, 1,

1
3

L

uaR ∼
daR ∼

4
,

3
2
3, 1, 1, −
,
3
3, 1, 1,

(2.3)

với a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ
Thành phần Higgs bao gồm:
H1 =

H1+
H10

=

0
v1
√
2

+

H1+
H10

≡ H1 + H1 ∼ (1, 2, 1, 1) ,

16

H2 =

H2+

0

=

H20

H2+

+

v2
√
2

≡ H2 + H2 ∼ (1, 1, 2, 1)

H20

S = vs + S ∼ (1, 1, 1, 0)

(2.4)

Để rõ ràng, ta trình bày sự biểu diễn của các hạt dưới nhóm đối xứng

chẩn SU (3)C ⊗SU (2)1 ⊗SU (2)2 ⊗ U (1)Y trong bảng sau
Bảng 2.1: Biểu diễn của các hạt dưới nhóm đối xứng chẩn SU (3)C ⊗SU (2)1 ⊗SU (2)2 ⊗
U (1)Y
Fermions

Scalar

qL

uR

dR

LL

lR

QL(R)

H1

H2

S

SU (3)C

3

3

3

1

1

3

1

1

1

SU (2)1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

SU (2)2

1

1

1

1

1

2

1

2

1

U (1)Y

1
3

4
3

− 32

−2

1
3

1

1

0

−1

Từ lý thuyết trường chuẩn, các trường biến đổi như sau:
(1)

Φ(x) → Φ (x) = e−iωa

(1)

(2)

(2)

(x)ta −iωa (x)ta −iω (x)Y

Φ(x) ≡ SΦ(x),

Φ(x) → Φ (x) = Φ(x)S +

(2.5)

Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa như sau:
Y
Bµ ,
(2.6)
2
Với: g1 , g2 , gY lần lượt là hằng số tương tác của nhóm SU (2)1 , SU (2)2 , UY ,
(2)
Dµ = ∂µ − ig1 Aµa t(1)
a − ig2 Aµa ta − igY

(i)

tương tự các trường chuẩn Aµa , Aµa , Bµ . Ở đây ta , i = 1, 2 là các ma
trận biễu diễn.
Tương tác Yukawa cho các hạt trong SM
u
d
l
,
−LSM
Y ukawa = hab q aL H 1 ubR + hab q aL H1 dbR + hab LaL H1 lbR + H.c.(2.7)

Phản lưỡng tuyến được cho bởi

H1=

H10∗
−H1−


17

Cho tương tác các các quark mới chỉ với các quark ở thế hệ thứ 3 (t and
b). Đây là đặc tính chung mà nhiều tác giả quan tâm [7]. Ta có:
−Lexotic = yF Q L QR S + yb Q L H2 bR + yt Q L H 2 tR
+ mΨ Q L QR + H.c. ,

(2.8)

Ở đây
H2 =

H20∗
−H2−

Mô hình này cho khối lượng cho lepton và tương tác giống như SM.
Chúng tôi mở rộng tương tác Yukawa cho các quak.
d
u
−LSM
Y ukawa ⊂ hab q aL H 1 ubR + hab q aL H1 dbR + H.c.
huab v1
hdab v1 ¯
√

=
u¯aL ubR + √ daL dbR
2
2

+

huab (¯
uaL , d¯aL )

+

hdab (¯
uaL , d¯aL )

H10∗

ubR

−H1−
H1+
H10

dbR + H.c.

huab v1
hdab v1 ¯
= √ u¯aL ubR + √ daL dbR + huab (¯
uaL H10∗ − d¯aL H1− )ubR
2

2
d
+
¯
+ hab (¯
uaL H1 + daL H10 )dbR + H.c.
(2.9)
Hai số hạng đầu lần lượt là khối lượng của quark u và quark d phần
tiếp theo là tương tác Yukawa:
mu =

huab .v1
√ , md
2

=

hdab .v1
√
2

Khối lượng các quark tiếp theo được tính một cách tương tự:
hsab .v1
hcab .v1
mc = √ , ms = √ , mt =
2
2

htab .v1
√ , mb

2

=

hbab .v1
√
2

Từ các kết quả trên ta thấy trong mô hình chuẩn, khối lượng của các
fermion tỷ lệ thuận với hằng số tương tác Yukawa của chúng với trường


18

Higgs - mà ở đây là Higgs trung hòa. Hay ví von hơn: trong mô hình
chuẩn, các fermion đã " cắn" trường Higgs trung hòa để có khối lượng.
Trường fermion nào " cắn" được nhiều hơn thì sẽ nặng hơn.
Cho các quark ngoại lai
¯ L QR + H.c.
−Lexotic = yF Q L QR S + yb Q L H2 bR + yt Q L H 2 tR mΨ Q
= yF

+ yb

+ yt

+ mΨ

U L DL
U L DL

U L DL
U L DL

UR
DR
0
v2
√
2
v2
√
2

(vs + S)

+

+

0
UR
DR

H2+
H20
H20∗
−H2−

bR

tR

+ H.c

yb v2
yt v2
= (yF vs + mΨ )(U L UR + D L DR ) + √ D L bR + √ U L tR
2
2
+
0
+ S(U L UR + D L DR ) + yb (U L H2 + D L H2 )bR
+ yt (U L H20∗ − D L H2− )tR + H.c

(2.10)

= thông số khối lượng cho U’ và D’ + tương tác Yukawa .
Ta thu được khối lượng của U và D
mU = mD = yF vs + mΨ
Lưu ý rằng về nguyên tắc ta có thể có tương tác mới.
−Ladd = yad Q L H2 daR + yau Q L H 2 uaR + H.c u = u, c, t; d = d, s, b.
(2.11)
Từ (2.9) và (2.10), chúng ta nhận ma trận khối lượng của quark u trên


19

cơ sở uL , cL , tL , UL như sau:

Mu =

mu

0

mtU mU

Ở đây mu =

huab v1
√
2




=



, mtU =

v1 u
√
h
2 uu
v1 u
√
h
2 cu

v1 u
√
h
2 tu

v1 u
√
h
2 uc
v1 u
√
h
2 cc
v1 u
√
h
2 tc

0

0

y√
t v2
2

v1 u
√
h
2 ut

v1 u
√
h
2 ct
v1 u
√
h
2 tt
y√
t v2
2

0



0




 (2.12)



0
yF vs + mΨ

và mU = yF vs + mΨ .

Theo [1], chúng tôi có thể chọn cơ sở mà trong đó hai thế hệ đầu tiên
của các quark (tức là quark u và c) nằm trong các trạng thái khối lượng,
tuy nhiên ma trận khối lượng Dirac cho t - U và b - D quark có thể
được xây dựng bởi.

Mt =

mt

0

(2.13)

mtU mU

Tương tự cho D quark
Mb =
Ở đây mb =

d
h√
v1
2

, mbD =

y√
b v2
2

mb

0

mbD mD

,

(2.14)

và mD = mU = yF vs + mΨ .

Chúng tôi có thể viết trạng thái khối lượng dưới dạng:

(tL , U L )Mt

tR
UR

tR

= (tL , U L ) VLt† VLt Mu VRt† VRt
= (tL , U L )VLt† VLt Mt VRt† VRt
≡

mass
mass
(tL , U L )Mtdiag

tmass

R
URmass

UR
tR
UR
,

(2.15)

Ở đây Mudiag là ma trận chéo, trạng thái khối lượng liên hệ với trạng thái