Tải bản đầy đủ (.doc) (51 trang)

8 chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng file word có đáp án chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (540.02 KB, 51 trang )

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
TRONG MẶT PHẲNG

1/ Phép Dời Hình ……………………………………………………………………….

trang 2

2/ Phép Tịnh Tiến............................................................................................................

trang 5

3/ Phép Đối Xứng Trục………………………………………………………………..

trang 10

4/ Phép Đối Xứng Tâm………………………………………………………………

trang 18

5/ Phép Quay.................................................................................................................

trang 22

6/ Hai hình bằng nhau…………………………………………………………………

trang 30

7/ Phép Vị Tự………………………………………………………………………….

trang 32


8/ Phép Đồng Dạng……………………………………………………………………

trang 38


PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Phép biến hình.
 ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một
điểm duy nhất điểm M �
của mặt phẳng. Điểm M �
gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó.
 Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M �
là ảnh của M qua phép f . Ta viết:
f
M�
 f  M  hay f  M   M �hay f : M a M �hay M ��
.
�M �

Lưu ý :

+ Điểm M gọi là tạo ảnh, M �
là ảnh.
+ f là phép biến hình đồng nhất � f  M   M , M �H . Điểm M gọi là điểm bất

động, điểm kép, bất biến.
+ f1 , f 2 là các phép biến hình thì f 2 o f1 là phép biến hình.
 f  M  , với M �H , tạo thành hình H �

 Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M �
 f H .
được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H �
2/ Phép dời hình.
Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là
, N�
N�
 MN .(Bảo toàn khoảng cách)
với hai điểm bất kì M , N và ảnh M �
của chúng, ta luôn có: M �
3/ Tính chất (của phép dời hình):
 ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng
hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
 HQ: Phép dời hình biến:
+ Đường thẳng thành đường thẳng.
+ Tia thành tia.
+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
+ Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm � trực tâm, trọng tâm � trọng tâm,
…)
, R�
 R)
+ Đường tròn thành đường tròn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: I � I �
+ Góc thành góc bằng nó.

B . BÀI TẬP



x�
=2x  1

1 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f: M(x;y) I��
� M�
=f(M) = �
.
y�
=y +3

T�
m a�
nh cu�
a ca�
c�
ie�
m sau : a) A(1;2) b) B(  1;2) c) C(2;  4)
Gia�
i:
a) A �
=f(A) =(1;5)
b) B�
=f(B) =(  7;6)

c) C =f(C) =(3;  1)

x�
=2x  y  1
2 Trong mpOxy cho phe�
p bie�

n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) = �
.

y
� =x  2y +3
T�
m a�
nh cu�
a ca�
c�
ie�
m sau : a) A(2;1) b) B(  1;3) c) C(  2;4)
Gia�
i:
a) A �
=f(A) =(4;3)

b) B =f(B) =(  4;  4)
c) C�
=f(C) =(  7;  7)
3 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(3x;y) . �a�
y co�

pha�
i la�
phe�
p d�

i
h�
nh hay kho�
ng ?

Gia�
i : La�
y hai �
ie�
m ba�
t k�M(x1;y1),N(x2;y2)
Khi �
o�
f : M(x1;y1) I��
� M�
=f(M) =(3x1; y1) .
f : N(x2;y2) I��
� N�
=f(N) =(3x2; y2)
Ta co�
: MN = (x2  x1)2  (y2  y1)2 , M ��
N = 9(x2  x1)2  (y2  y1)2
Ne�
u x1 �x2 th�M ��
N �MN . Va�

y : f kho�
ng pha�
i la�
phe�
p d�

i h�
nh .
(V�
co�
1 so�

ie�
m f kho�
ng ba�
o toa�
n khoa�
ng ca�
ch) .
4 Trong mpOxy cho 2 phe�
p bie�
n h�
nh :
a) f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(y ; x-2)
b) g : M(x;y) I��
� M�
=g(M) =( 2x ; y+1) .
Phe�

p bie�
n h�
nh na�
o tre�
n�
a�
y la�
phe�
p d�

i h�
nh ?
HD :
a) f la�
phe�
p d�

i h�
nh
b) g kho�
ng pha�
i la�
phe�
p d�

i h�
nh ( v�
x1 �x2 th�M ��
N �MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phe�

p bie�
n h�
nh :
a) f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(y +1 ;  x)
b) g : M(x;y) I��
� M�
=g(M) =( x ; 3y ) .
Phe�
p bie�
n h�
nh na�
o tre�
n�
a�
y la�
phe�
p d�

i h�
nh ?
Gia�
i:
a) f la�
phe�
p d�

i h�
nh

b) g kho�
ng pha�
i la�
phe�
p d�

i h�
nh ( v�
y1 �y2 th�M ��
N �MN )
6 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(2x;y  1) . T�
m a�
nh cu�
a�



ng
tha�
ng () : x  3y  2 =0 qua phe�
p bie�
n h�
nh f .
Gia�
i:

Ca�
ch 1: Du�
ng bie�
u th�

c toa�

o�


� x�


x�
= 2x
x

Ta co�
f : M(x;y) I��
� M =f(M) = �
��
y�
 y1 � 2

y  y�
1

x�
V�M(x;y) �() � (
)  3(y�

 1)  2  0 � x�
 6y�
 2  0 � M ���
(x ;y ) �(�
) : x  6y  2  0
2
Ca�
ch 2: La�
y 2�
ie�
m ba�
t k�M,N �() : M �N .
+M �() : M(2;0) I��
� M�
 f(M)  (4;1)
+N �() : N(  1;  1) I��
� N�
 f(N)  (2;0)

Qua M �
(4;1)
x+4 y  1
uuuuur
(�
) �(M ��
N ): �
� PTCta�
c (�
):


� PTTQ (�
): x  6y  2  0
6
1
VTCP : M ��
N  (6; 1)


7 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x  3;y  1) .
a) CMR f la�
phe�
p d�

i h�
nh .
b) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) : (x +1)2 +(y  2)2 =4 .


I��
� (C�
) : (x  2)2 +(y  3)2 =4

8 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x  3;y  1) .
a) CMR f la�
phe�
p d�

i h�
nh .
b) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tha�
ng () : x +2y  5 =0 .
c) T�
m a�
nh cu�
a�




ng tro�
n (C) : (x +1)2 +(y  2)2 =2 .
d ) T�
m a�
nh cu�
a elip (E) :

x2
y2
+
=1 .
3
2

Gia�
i : a) La�
y hai �
ie�
m ba�
t k�M(x1;y1),N(x2;y2)
Khi �
o�
f : M(x1;y1) I��
� M�
=f(M) =(x1  3; y1  1) .
f : N(x2;y2) I��
� N�
=f(N) =(x2  3; y2  1)

Ta co�
: M ��
N = (x2  x1)2  (y2  y1)2 = MN
Va�
y : f la�
phe�
p d�

i h�
nh .
b) Ca�
ch 1: Du�
ng bie�
u th�

c toa�

o�

x�
=x  3 �
x  x�
3
Ta co�
f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) = �
��
y�
 y1 �

y  y�
1

V�M(x;y) �() � (x�
 3)  2(y�
 1)  5  0 � x�
 2y�
 4  0 � M ���
(x ;y ) �(�
) : x  2y  4  0

Ca�
ch 2: La�
y 2�
ie�
m ba�
t k�
M,N �() : M �N .
+M �() : M(5 ;0) I��
� M�
 f(M)  (2;1)
+N �() : N(3 ; 1) I��
� N�
 f(N)  (0;2)


�Qua M �
(2;1)
x 2 y1
uuuuur

(�
) �(M ��
N ): �
� PTCta�
c (�
):

� PTTQ(�
): x  2y  4  0
2
1
N  (2;1)
�VTCP : M ��
Ca�
ch 3: V�f la�
phe�
p d�

i h�
nh ne�
n f bie�
n ���

ng tha�
ng () tha�
nh ��
��
ng tha�
ng (�
) // ( ) .

+La�
y M �() : M(5 ;0) I��
� M�
 f(M)  (2;1)
+V�(�
) // () � (�
): x +2y  m =0 (m �5) . Do : (�
)  M�
(2;1) � m = 4 � (�
): x  2y  4  0
c) Ca�
ch 1: Du�
ng bie�
u th��
c toa�
�o�
�x�
=x  3 �
x  x�
3
Ta co�
f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) = �
��
 y1 �
y  y�
1
�y�
V�M(x;y) �(C) : (x +1)2 +(y  2)2 =2 � (x�

 4)2  (y�
 3)2  2 �
� M ���
(x ;y ) �(C�
) : (x  4)2  (y  3)2  2


+Ta�
m I(  1;2) f
+Ta�
mI�
=f [I(  1;2)]  (4;3)
Ca�
ch 2: (C) �
��
� (C�
)�
=R = 2
� BK : R = 2
� BK : R�

� (C�
) : (x  4)2  (y  3)2  2

d) Du�
ng bie�
u th��
c toa�

o�


x�
=x  3 �
x  x�
3
Ta co�
f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) = �
��


y

y

1
y

y

1



V�
M(x;y) �(E) :

x2
y2

(x�
+3)2
(y�
 1)2
(x +3)2 (y  1)2
+
=1 �
+
=1� M ���
(x ;y ) �(E�
):
+
=1
3
2
3
2
3
2

9 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x  1;y  2) .
a) CMR f la�
phe�
p d�


i h�
nh .
b) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tha�
ng () : x  2y  3 =0.
c) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) : (x +3)2 +(y  1)2 =2 .
d) T�
m a�
nh cu�
a parabol (P) : y2 =4x .
�S : b) x  2y  2 =0

c) (x +2)2 +(y  1)2 =2

d) (y +2)2 =4(x  1)


10 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x;y) . Kha�
ng �

nh na�
o sau �
a�
y
sai ?
A. f la�
1 phe�
p d�

i h�
nh
C. M va�
f(M) �
o�
i x�

ng nhau qua tru�
c hoa�
nh

B. Ne�
u A(0 ; a) th�f(A) =A

D. f [M(2;3)]��



ng tha�
ng 2x +y +1 =0


�S : Cho�
n C . V�M va�
f(M) �
o�
i x�

ng nhau qua tru�
c tung � C sai .

12 Trong mpOxy cho 2 phe�
p bie�
n h�
nh :
f1 : M(x;y) I��
� M�
=f1(M) =(x +2 ; y  4) ; f2 : M(x;y) I��
� M�
=f2(M) =(  x ;  y) .
T�
m toa�

o�

a�
nh cu�
a A(4;  1) qua f1 ro�
i f2 , ngh�
a la�
t�
m f2[f1(A)] .
f

1� A �
2� A �

�S : A(4;  1) I��
(6;  5) I��
(6; 5) .

x
11 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =( ; 3y) . Kha�
ng ��
nh na�
o sau �a�
y sai ?
2
A. f (O) =O (O la�
�ie�

m ba�
t bie�
n)
B. A�
nh cu�
a A �Ox th�a�
nh A �
=f(A) �Ox .
C. A�
nh cu�
a B �Oy th�a�
nh B�
=f(B) �Oy .
D. M �
=f [M(2 ;  3)] =(1;  9)
�S : Cho�
n D . V�
M�
=f [M(2 ;  3)] =(1; 9)

Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
r
1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ ulà một phép dời hình biến điểm M thành điểm M �
sao cho
uuuuur r
MM �
u.
uuuuu
r r

r .Khi �
r (M)  M �
K�hie�
u : T hay Tu
o�
: Tu
� MM �
u
gPhe�
p t�
nh tie�
n hoa�
n toa�
n�



c xa�
c�

nh khi bie�
t vect�t�
nh tie�
n cu�
a no�
.
r (M)  M ,M th�Tr la�
gNe�
u To
p�

o�
ng nha�
t.
o phe�
r
r.
2/ Biểu thức tọa độ: Cho u =(a;b) và phép tịnh tiến Tu
�x�
=x +a
r (M)  (x��
M(x;y) I��
� M�
=Tu
;y ) th��
=y +b
�y�
3/ Tính chất:


g�L : Phe�
p t�
nh tie�
n ba�
o toa�
n khoa�
ng ca�
ch gi��
a hai �
ie�
m ba�

t k�.
gHQ :
1. Ba�
o toa�
n t�
nh tha�
ng ha�
ng va�
th�

t��
cu�
a ca�
c�
ie�
m t�
�ng �

ng .
2. Bie�
n mo�
t tia tha�
nh tia .
3. Ba�
o toa�
n t�
nh tha�
ng ha�
ng va�
th��

t��
cu�
a ca�
c�
ie�
m t��
ng ��
ng .
5. Bie�
n mo�
t�
oa�
n tha�
ng tha�
nh �
oa�
n tha�
ng ba�
ng no�
.
6. Bie�
n mo�
t�
��

ng tha�
ng tha�
nh mo�
t�
��


ng tha�
ng song song hoa�
c tru�
ng v��
i�

��
ng tha�
ng �a�
cho .
7. Bie�
n tam gia�
c tha�
nh tam gia�
c ba�
ng no�
. (Tr�

c ta�
m I��
� tr�

c ta�
m , tro�
ng ta�
m I��
� tro�
ng ta�
m)


8. ��


ng tro�
n tha�
nh �



ng tro�
n ba�
ng no�
.
(Ta�
m bie�
n tha�
nh ta�
m : I I��
� I�
, R�
=R )

 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM
�x�
=x +a
r (M)  (x��
M(x;y) I��
� M�
=Tu

;y ) th��
=y +b
�y�
 PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .
Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường tròn: không đổi)
1/ Lấy M ξ���
(H) I
2/

M � (H�
)

g(H) ��



ng tha�
ng ��
� (H�
) ��



ng tha�
ng cu�
ng ph�

ng



 Ta�
mI
 Ta�
m I�
g(H) �(C) �
I��
� (H�
) �(C�
)�
(ca�
n t�
mI�
).
+bk : R
+bk : R�
=R



Ca�
ch 2 : Du�
ng bie�
u th�

c to�
a�
o�
.
T�
m x theo x�

, t�
m y theo y�
ro�
i thay va�
o bie�
u th�

c to�
a�
o�
.
Ca�
ch 3 : La�
y hai �
ie�
m pha�
n bie�
t : M, N ��
(H) I

M�
, N� (H�
)

B. BÀI TẬP
r
1 Trong mpOxy . T�
m a�
nh cu�
a M�

cu�
a�
ie�
m M(3;  2) qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(2;1) .
Gia�
i
uuuuu
r r

x�
 3 2 �
x�
5
r (M) � MM �
Theo �

nh ngh�
a ta co�
: M�
=Tu
 u � (x�
 3;y�
 2)  (2;1) � �
��


y  21 �

y  1


� M (5; 1)
r
2 T�
m a�
nh ca�
c�
ie�
m ch�
ra qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u :
r
a) A(  1;1) , u =(3;1)
� A�
(2;3)
r
b) B(2;1) , u =(  3;2)
� B�
(  1;3)
r
c) C(3;  2) , u =(  1;3)
� C�
(2;1)


r

3 Trong mpOxy . T�
m a�
nh A ��
,B la�
n l���
t cu�
a �ie�
m A(2;3), B(1;1) qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(3;1) .
uuur uuuur
T�
nh �o�
da�
i AB , A ��
B .
Gia�
i
uuur
uuuur
r (A)  (5;4) , B�
r (B)  (4;2) , AB =|AB | 5 , A ��
Ta co�
: A�
=Tu
=Tu
B =|A ��
B | 5 .
r r

r
r (M),M  Tr (M ). T�
r (M) .
4 Cho 2 vect�u1;u2 . G�
a s��
M1  Tu
m v �e�
M 2  Tv
2 u2 1
1
Gia�
i
uuuuur r
uuuuuuur r
r (M) � MM  u
r (M ) � M M  u
Theo �e�
: M1  Tu
,
M

T
1
1
2 u
1
1 2
2.
1 uuuuuu
r r r uuuuuur 2

uuuuur uuuuuuur r r
r r r
r (M) � MM  v � v  MM  MM  M M  u +u .Va�
Ne�
u : M 2  Tv
y : v  u1+u2
2
2
1
1 2 1 2
5 ��


ng tha�
ng  ca�
t Ox ta�
i A(  1;0) , ca�
t Oy ta�
i B(0;2) . Ha�
y vie�
t ph�

ng tr�
nh �



ng tha�
ng �
la�

a�
nh
r
cu�
a  qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(2;  1) .

r (A)  (1; 1) , B�
r (B)  (2;1) .
Gia�
i V�: A �
 Tu
 Tu


gqua A �
(1;uuuu
1)
r () � �
ur
Ma�
t kha�
c : �
 Tu

i qua A ��
,B . Do �
o�

: �

gVTCP : A ��
B =(1;2)



x  1 t
� ptts �
:�
y  1 2t


6 ��


ng tha�
ng  ca�
t Ox ta�
i A(1;0) , ca�
t Oy ta�
i B(0;3) . Ha�
y vie�
t ph�

ng tr�
nh �




ng tha�
ng �
la�
a�
nh
r
cu�
a  qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(  1;  2) .
Gia�
i
r (A)  (0; 2) , B�
r (B)  (1;1) .
V�: A �
 Tu
 Tu

gqua A �
(0;uuuu
2)

x  t
r () � �
ur
Ma�
t kha�
c : �
 Tu


i qua A ��
,B . Do �
o�
: �
� ptts �
:�

y  2  3t
gVTCP : A ��
B =(  1;3)


r
7 T�

ng t�

: a)  : x  2y  4 =0 , u =(0 ; 3)
r
b)  : 3x  y  3 =0 , u =(  1 ;  2)

� �
: x  2y  2  0
� �
: 3x  y  2  0


r
8 T�

m a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) : (x +1)2  (y  2)2  4 qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(1;  3) .
Gia�
i

x�
=x +1 �
x =x�
1
r la�
Bie�
u th�

c toa�

o�
cu�
a phe�
p t�
nh tie�
n Tu

:�
��


y
=
y

3
y
=
y
+
3


2  (y�
V �: M(x;y) �(C) : (x +1)2  (y  2)2  4 � x�
 1)2  4 � M ���
(x ;y ) �(C�
) : x2  (y  1)2  4
Va�
y : A�
nh cu�
a (C) la�
(C�
) : x2  (y  1)2  4

9 Trong mpOxy cho phe�
p bie�

n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x  1;y  2) .
a) CMR f la�
phe�
p d�

i h�
nh .
b) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tha�
ng ( ) : x  2y  3 =0.
c) T�
m a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) : (x +3)2 +(y  1)2 =2 .
d) T�
m a�

nh cu�
a parabol (P) : y2 =4x .
�S : b) x  2y  2 =0

c) (x +2)2 +(y  1)2 =2

d) (y +2)2 =4(x  1)

10 Trong mpOxy cho phe�
p bie�
n h�
nh f : M(x;y) I��
� M�
=f(M) =(x;y) . Kha�
ng �

nh na�
o sau �
a�
y
sai ?
A. f la�
1 phe�
p d�

i h�
nh
B. Ne�
u A(0 ; a) th�f(A) =A
C. M va�

f(M) �
o�
i x�

ng nhau qua tru�
c hoa�
nh
D. f [M(2;3)]��



ng tha�
ng 2x +y +1 =0
�S : Cho�
n C . V�M va�
f(M) �
o�
i x�

ng nhau qua tru�
c tung � C sai .
r
9 T�
m a�
nh cu�
a�



ng tro�

n (C) : (x  3)2  (y  2)2  1 qua phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(  2;4) .

x�
=x  2 �
x =x�
+2
r la�
Gia�
i : Bie�
u th�

c toa�

o�
cu�
a phe�
p t�
nh tie�
n Tu
:�
��
y�
=y  4 �
y =y�
4

V�: M(x;y) �(C) : (x  3)2  (y  2)2  1� (x�

 1)2  (y�
 2)2  1� M ���
(x ;y ) �(C�
) : (x�
 1)2  (y�
 2)2  1
Va�
y : A�
nh cu�
a (C) la�
(C�
) : (x  1)2  (y  2)2  1
r
BT T�

ng t�

: a) (C) : (x  2)2  (y  3)2  1, u =(3;1)
r
b) (C) : x2  y2  2x  4y  4  0, u =(  2;3)

� (C�
) : (x  1)2  (y  2)2  1
(C�
) : x2  y2  2x  2y  7  0


10 Trong he�
tru�
c toa�


o�
Oxy , xa�
c�

nh toa�

o�
ca�
c�

nh C va�
D cu�
a h�
nh b�
nh ha�
nh ABCD bie�
t�

nh
A(  2;0), �

nh B(  1;0) va�
giao �
ie�
m ca�
c�




ng che�
o la�
I(1;2) .
Gia�
i
uur
uur
uur
gGo�
i C(x;y) .Ta co�
: IC  (x  1;y  2),AI  (3;2),BI  (2; 1)
gV�
I la�
trung �
ie�
m cu�
a AC ne�
n:
uur uur


x  1 3
x 4
C =Tuur (I) � IC  AI � �
��
� C(4;4)
AI
y 2 2 �
y 4


gV�
I la�
trung �
ie�
m cu�
a AC ne�
n:
uur uur


x  1 2
x 3
D =Tuur (I) � ID  BI � � D
� �D
� D(3;4)
BI
yD  2  2 �
yD  4


Ba�
i ta�
p t�

ng t�

: A(  1;0),B(0;4),I(1;1)

� C(3;2),D(2;  2) .


. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d �
. Hỏi
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d �
có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?


Gia�
i : Cho�
n2�
ie�
m co�


nh A �d , A �
�d�
uuuuu
r uuur
La�
y�
ie�
m tuy�
y�
M �d . G�
a s�

: M�
=Tuuur (M) � MM �
 AB
AB
uuuu

r uuuur
� MA  M �
B � M�
B / /MA � M �
�d�
� d�
=Tuuur (d)
AB
Nha�
n xe�
t : Co�
vo�
so�
phe�
p t�
nh tie�
n bie�
n d tha�
nh d�
.
12 Cho 2 �



ng tro�
n (I,R) va�
(I �
,R�
) .Ha�
y ch�ra mo�

t phe�
p t�
nh tie�
n bie�
n (I,R) tha�
nh (I �
,R�
).
uuuuu
r uu
r
r (M) � M M �
Gia�
i : La�
y�
ie�
m M tuy�
y�
tre�
n (I,R) . G�
a s�

: M�
=Tuu
 II �

II
uuu
r uuuu
r

r [(I,R)]
� IM  I ��
M � I ��
M  IM  R � M �
�(I �
,R�
) � (I �
,R�
) =Tuu
II �

13 Cho h�
nh b�
nh ha�
nh ABCD , hai �

nh A,B co�


nh , ta�
m I thay �
o�
i di �
o�
ng
tre�
n�




ng tro�
n (C) .T�
m quy�
t�
ch trung �
ie�
m M cu�
a ca�
nh BC.
Gia�
i
uuu
r uur
Go�
i J la�
trung �
ie�
m ca�
nh AB . Khi �
o�
de�
tha�
y J co�


nh va�
IM  JB .
Va�
y M la�
a�

nh cu�
a I qua phe�
p t�
nh tie�
n Tuur . Suy ra : Quy�
t�
ch cu�
a M la�
JB
uur
a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) trong phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�JB

r
14 Trong he�
tru�
c toa�

o�
Oxy , cho parabol (P) : y =ax2 . Go�
i T la�

phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(m,n)
va�
(P�
) la�
a�
nh cu�
a (P) qua phe�
p t�
nh tie�
n �o�
. Ha�
y vie�
t ph�

ng tr�
nh cu�
a (P�
).
Gia�
i:
uuuuu
r r
uuuuu
r
r
Tu
gM(x;y) I���

� M ���
(x ;y ) , ta co�
: MM �
=u , v�

i MM �
=(x�
 x ; y�
 y)
uuuuu
r r

x�
 x =m �
x =x�
m
V�MM �
=u � �
��


y  y =n
y =y  n


Ma�
: M(x;y) �(P): y  ax2 � y�
 n =a(x�
 m)2 � y�
=a(x�

 m)2  n � M ���
(x ;y ) �(P�
) : y =a(x  m)2  n
r la�
Va�
y : A�
nh cu�
a (P) qua phe�
p t�
nh tie�
n Tu
(P�
) : y =a(x  m)2  n � y =ax2  2amx  am2  n .
r
r
r ( ) .
15 Cho �t : 6x +2y  1=0 . T�
m vect�u �0 �
e�
 =Tu
r
r
r
r
r () � u cu�
Gia�
i : VTCP cu�
a  la�
a =(2;  6) . �e�
:  =Tu

ng ph��
ng a . Khi �
o�
: a =(2;  6)  2(1; 3)
r
� cho�
n u =(1;  3) .
r
r
r (A) , C =Tr (B) . T�
16 Trong he�
tru�
c toa�

o�
Oxy , cho 2 �
ie�
m A(  5;2) , C(  1;0) . Bie�
t : B =Tu
m u va�
v
v

e�
co�
the�
th�

c hie�
n phe�

p bie�
n�
o�
i A tha�
nh C ?
Gia�
i
uuur r uuur r uuur uuur uuur r r
r
Tu
Tvr
.
Ta
coù
:
AB
 u,BC  v � AC  AB  BC  u  v  (4; 2)
A(  5;2) I���
� B I���
� C(1;0)


r r
Tu+v

r
r
17 Trong he�
tru�
c toa�


o�
Oxy , cho 3 �
ie�
m K(1;2) , M(3;  1),N(2; 3) va�
2 vect�u =(2;3) ,v =(  1;2) .
r ro�
r.
T�
m a�
nh cu�
a K,M,N qua phe�
p t�
nh tie�
n Tu
i Tv
uuur r uuur r uuur uuur uuur r r
r
r
Tu
Tv
HD : G�
a s�

: A(x;y) I���
� B I���
� C(x��
;y ) . Ta co�
: AB  u,BC  v � AC  AB  BC  u  v  (1;5)
uuuu

r


x�
 1 1
x�
2
r r (K) � KK �
Do �
o�
: K�
=Tu
 (1;5) � �
��
� K�
(2;7) .
v


y

2

5
y

� 7
T�

ng t�


: M�
(4;4) , N�
(3;2) .

18 Trong he�
tru�
c toa�

o�
Oxy , cho ABC : A(3;0) , B(  2;4) , C(  4;5) . G la�
tro�
ng ta�
m ABC va�
phe�
p
r r
r
t�
nh tie�
n theo vect�u �0 bie�
n A tha�
nh G . T�
m G�
=Tu(G) .


Gia�
i
r

r
Tu
Tu
A(3;0) I���
� G(1;3) I���
� G���
(x;y )
uuur
u
u
u
u
r
r
r

x�
 1  4 �
x�
 5
V�AG  (4;3)  u . Theo �
e�
: GG�
 u� �
��
� G�
(5;6).


y


3

3
y


� 6
19 Trong ma�
t pha�
ng Oxy , cho 2 �

��
ng tro�
n (C) : (x  1)2  (y  3)2  2,(C�
) : x2  y2  10x  4y  25  0.
r
Co�
hay kho�
ng phe�
p t�
nh tie�
n vect�u bie�
n (C) tha�
nh (C�
).
HD : (C) co�
ta�
m I(1;  3), ba�
n k�

nh R =2 ; (C�
) co�
ta�
mI�
(5;  2), ba�
n k�
nh R�
=2 .
r

Ta tha�
y : R =R =2 ne�
n co�
phe�
p t�
nh tie�
n theo vect�u =(4;1) bie�
n (C) tha�
nh (C�
).

20 Trong he�
tru�
c toa�

o�
Oxy , cho h�
nh b�
nh ha�
nh OABC v�


i A(  2;1) va�
B � :2x  y  5 =0 . T�
m ta�
p
h�

p�

nh C ?
Gia�
i
uuur uuur
r
r (B) v�
gV�OABC la�
h�
nh b�
nh ha�
nh ne�
n : BC  AO  (2; 1) � C  Tu

i u =(2; 1)
uuur r
r
Tu


x�
x 2

x  x�
2
gB(x;y) I���
� C(x��
;y ) . Do : BC  u � �
��
y�
 y  1 �
y  y�
1

��
gB(x;y) � � 2x  y  5 =0 � 2x�
 y�
 10 =0 � C(x;
y ) ��
: 2x  y  10 =0
21 Cho ABC . Go�
i A1,B1,C1 la�
n l�


t la�
trung �ie�
m ca�
c ca�
nh BC,CA,AB. Go�
i O1,O2,O3 va�
I1,I 2,I3
t�


ng �

ng la�
ca�
c ta�
m�
��

ng tro�
n ngoa�
i tie�
p va�
ca�
c ta�
m�



ng tro�
n no�
i tie�
p cu�
a ba tam gia�
c AB1C1,
BC1A1, va�
CA1B1 . Ch�

ng minh ra�
ng : O1O2O3  I1I 2I 3 .

HD :
wXe�
t phe�
p t�
nh tie�
n : T1uuur bie�
n A I��
� C,C1 I��
� B,B1 I��
� A1 .
AB
2
T1uuur
T1uuur
T1uuur
AB

AB

AB

2 � C BA ;O I����
2 � O ;I I����
2 �I .
� AB1C1 I����
1 1 1
2 1
2
uuuuuur uuuur
� O1O2  I1I 2 � O1O2  I1I 2.

wLy�
lua�
n t�

ng t�

: Xe�
t ca�
c phe�
p t�
nh tie�
n T1uuur ,T1uuur suy ra :
BC
CA
2
2
uuuuuur uuuur
uuuuuu
r uuuu
r
O2O3  I 2I 3 va�
O3O1  I 3I1 � O2O3  I 2I 3,O3O1  I 3I1 � O1O2O3  I1I 2I 3 (c.c.c).

�  60o,B
�  150ova�
�  90o.
22 Trong t�

gia�
c ABCD co�

AB =6 3cm ,CD  12cm , A
D
T�
nh �
o�
da�
i ca�
c ca�
nh BC va�
DA .
HD :
uuuu
r uuur
Tuuur

�  150o)
BC � M � AM  BC.Ta co�
wXe�
t : A I���
: ABCM la�
h�
nh b�
nh ha�
nh va�
BCM
 30o(v�B


�  360o  (90o 60o  150o)  60o � MCD
�  30o.

La�
i co�
: BCD
��
nh ly�
ha�
m cos trong MCD :
3
MD2  MC2 DC2 2MC.DC.cos30o  (6 3)2 (12)2  2.6 3.12.
 36
2
� MD =6cm .
1
Ta co�
: MD = CD va�
MC =MD 3 � MDC la�
tam gia�
c�
e�
u
2
�  90o va�

� MCD la�
n�

a tam gia�
c�
e�
u � DMC

MDA
 30o.


�  30o � AMD la�
Va�
y : MDA
 MAD
 MAB
tam gia�
c ca�
n ta�
iM.
6 3
Dựng MK  AD � K làtrung điể
m củ
a AD � KD=MDcos30o 
cm� AD  6 3cm
2

m lại : BC =AM =MD =6cm , AD =AB =6 3cm

Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
A . KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ ĐN1:Điểm M �
gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn
MM �
Phe�
p�
o�

i x�

ng qua �



ng tha�
ng co�
n go�
i la�
phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c . ��


ng tha�
ng a go�
i la�
tru�
c�
o�
i x�

ng.

�N2 : Phe�

p�
o�
i x�

ng qua �



ng tha�
ng a la�
phe�
p bie�
n h�
nh bie�
n mo�
i�
ie�
m M tha�
nh �
ie�
mM �
o�
i x�

ng
v�

i M qua �




ng tha�
uuuunug
ura . uuuuuu
r
K�hie�
u : �a(M)  M �
� M oM �
 M oM , v�

i M o la�
h�
nh chie�
u cu�
a M tre�
n�



ng tha�
ng a .
Khi đó :

gNe�
u M �a th�
�a(M)  M : xem M la�

o�
i x�


ng v�

i ch�
nh no�
qua a . ( M co�
n go�
i la�

ie�
m ba�
t�
o�
ng )

gM �a th��a(M)  M �
� a la�
����
ng trung tr��
c cu�
a MM �
gĐa(M)  M �
thì Đa(M �
) M
gĐa(H)  H�
thì Đa(H�
)  H , H�
làả
nh củ
a hình H .
g�N : d la�

tru�
c�
o�
i x�

ng cu�
a h�
nh H � �d(H)  H .
gPhe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c hoa�
n toa�
n xa�
c�

nh khi bie�
t tru�
c�
o�
i x�

ng cu�
a no�
.
Chu�
y�

: Mo�
t h�
nh co�
the�
kho�
ng co�
tru�
c�
o�
i x�

ng ,co�
the�
co�
mo�
t hay nhie�
u tru�
c�
o�
i x�

ng .
2/ Biểu thức tọa độ: M(x;y) I��
� M�
 �d(M)  (x��
;y )
�x�
=x
�d �Ox : �


�y = y

�x�
= x
�d �Oy : �

�y =y

3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình.


gHQ :
1.Phe
p
o
i x

ng tru
c bie
n ba
ie
m tha
ng ha
ng tha
nh ba
ie
m tha
ng ha
ng va
ba

o toa
n th

t

cu
a ca
c

ie
m t

ng

ng .
2.


ng tha
ng tha
nh



ng tha
ng .
3. Tia tha
nh tia .
4. oa
n tha

ng tha
nh
oa
n tha
ng ba
ng no
.
5. Tam gia
c tha
nh tam gia
c ba
ng no
. (Tr

c ta
mI
tr

c ta
m , tro
ng ta
mI
tro
ng ta
m)
6.


ng tro
n tha

nh



ng tro
n ba
ng no
. (Ta
m bie
n tha
nh ta
m : I I
I
, R
=R )
7. Go
c tha
nh go
c ba
ng no
.
PP : Tỡm aỷ
nh M
=ẹa(M)
1. (d) M , d a
2. H =d a
3. H laứtrung ủieồ
m cuỷ
a MM
M

?
PP : T
m a
nh cu
a



ng tha
ng :
=a()
wTH1:()// (a)
1. La
y A,B () : A B
2. T
m a
nh A
=a(A)
3.
A
, // (a)
w TH2 : // a
1. T
m K = a
2. La
y P : P K .T
m Q =a(P)
3.
(KQ)
m M () : (MA +MB)min.

PP : T

T
m M () : (MA+MB)min
wLoa
i 1 : A, B na
m cu
ng ph
a
o
i v

i () :
1) go
i A
la
o
i x

ng cu
a A qua ()
2) M (), thMA +MB MA
+MB A
B
Do
o
: (MA+MB)min=A
B M =(A
B) ()
wLoa

i 2 : A, B na
m kha
c ph
a
o
i v
i () :
M ( ), thMA +MB AB
Ta co
: (MA+MB)min =AB M =(AB) ()
B . BI TP


1 Trong mpOxy . T�
m a�
nh cu�
a M(2;1) �
o�
i x�

ng qua Ox , ro�
i�
o�
i x�

ng qua Oy .





Oy
Ox � M �

HD : M(2;1) I���
(2;  1) I���
� M�
(2; 1)

2 Trong mpOxy . T�
m a�
nh cu�
a M(a;b) �
o�
i x�

ng qua Oy , ro�
i�
o�
i x�

ng qua Ox .




Oy
Ox � M �

HD : M(a;b) I���
� M�

(  a;b) I���
(a;  b)




a�

3 Cho 2 �



ng tha�
ng (a) : x  2 =0 , (b) : y +1 =0 va�

ie�
m M(  1;2) . T�
m : M I��
� M�
I��b�
� M�
.




a�

HD : M(  1;2) I��
� M�

(5;2) I��b�
� M�
(5; 4) [ ve�
h�
nh ] .

4 Cho 2 �



ng tha�
ng (a) : x  m =0 (m >0) , (b) : y +n =0 (n >0).




a�

��
T�
m M�
: M(x;y) ��
� M ���
(x ;y ) ��b�
� M�
(x ��
;y �
).

�a

�b


x�
 2m x
x�
 2m x

HD : M(x;y) I����
� M�
I������
� M�
��
��
t�
(m;y)
t�
(
2m

x;

n)
y y
y�
 2n  y



5 Cho �

ie�
m M(  1;2) va�




ng tha�
ng (a) : x +2y +2 =0 .
HD : (d) : 2x Ǯy+
�4
=0 , H =d a H( 2;0) , H la�
trung �
ie�
m cu�
a MM � M �
( 3; 2)
6 Cho �
ie�
m M(  4;1) va�




ng tha�
ng (a) : x +y =0 .
� M�
=�a(M)  (1;4)
7 Cho 2 �




ng tha�
ng ( ) : 4x  y +9 =0 , (a) : x  y +3 =0 . T�
m a�
nh �
=�a() .
HD :
4 1
gV� � ��
ca�

t aǮ K
a K( 2;1)
1 1
gM(  1;5) � � d  M,  a � d: x  y  4  0 � H(1/ 2;7/ 2): t�
ie�
m cu�
a MM �
� M�
 �a(M)  (2;2)
g�
�KM �
: x  4y +6 =0
8 T�
m b =�a(Ox) v�

i�




ng tha�
ng (a) : x +3y +3 =0 .
HD : ga�Ox =K(  3;0) .
3 9
gM �O(0;0) �Ox : M �
=�a(M) =(  ;  ) .
5 5
gb �KM �
: 3x +4y  9 =0 .
9 T�
m b =�a(Ox) v�

i�



ng tha�
ng (a) : x +3y  3 =0 .
HD : ga�Ox =K(3;0) .
gP �O(0;0) �Ox .

+Qua O(0;0)
g �
�  :3x  y  0
+a

3 9
3 9
gE =a� � E( ; ) la�
trung �

ie�
m OQ � Q( ; ) .
10 10
5 5
gb �KQ : 3x +4y  9 =0 .
10 T�
m b =�Ox(a) v�

i�



ng tha�
ng (a) : x +3y  3 =0 .
Gia�
i:
Ca�
ch 1: Du�
ng bie�
u th�

c toa�
�o�(ra�
t hay)
Ca�
ch 2: gK=aǮ Ox K(3;0)
gP(0;1) �a � Q =�Ox (P) =(0;  1)
gb �KQ : x  3y  3 =0 .



11 Cho 2 �



ng tha�
ng ( ) : x  2y +2 =0 , (a) : x  2y  3 =0 . T�
m a�
nh �
=�a( ) .
PP :  / /a
Ca�
ch 1 : T�
m A,B � � A ��
,B ��
� �
�A �
B�
Ca�
ch 2 : T�
m A � � A �
��
� �
/ / , �
 A�
Gia�
i : gA(0;1) � � A �
 �a(A)  (2; 3)
g�
 A ��
, / /  � �

: x  2y  8  0
12 Cho ��


ng tro�
n (C) : (x+3)2  (y  2)2  1 , �



ng tha�
ng (a) : 3x  y +1=0 . T�
m (C�
) =�a[(C)]
HD : (C�
) : (x  3)2  y2  1 .

13 Trong mpOxy cho ABC : A(  1;6),B(0;1) va�
C(1;6) . Kha�
ng �

nh na�
o sau �
a�
y sai ?
A. ABC ca�
n�

B
B. ABC co�
1 tru�

c�
o�
i x�

ng
C. ABC  �Ox (ABC)
D. Tro�
ng ta�
m : G =�Oy(G)
HD : Cho�
nD
14 Trong mpOxy cho �ie�
m M(  3;2), ����
ng tha�
ng () : x +3y  8 =0, ����
ng tro�
n (C) : (x+3)2 (y  2)2 4.
T�
m a�
nh cu�
a M, ( ) va�
(C) qua phe�
p �o�
i x��
ng tru�
c (a) : x  2y +2 =0 .
Gia�
i : Go�
i M�
, (�

) va�
(C�
) la�
a�
nh cu�
a M, () va�
(C) qua phe�
p �o�
i x��
ng tru�
c a.

g Qua M(  3;2)
a) T�
m a�
nh M �
: Go�
i ����
ng tha�
ng (d) :�
ga

+(d)  (a) � (d) : 2x  y +m =0 . V�(d)  M(  3;2) � m = 4 � (d): 2x  y  4 =0

1
xH  (xM  xM �
)

2
+H =(d) �(a) � H(  2;0) � H la�

trung �
ie�
m cu�
a M,M �
� H�
1

yH  (yM  yM �
)

2

1
2  (3 xM �
)


x
 1
2
��
� �M�
� M�
(1; 2)
1
y


2



M

0  (2  yM �
)
� 2
b) T�
m a�
nh (�
):
1
3
gV� � � ( ) ca�
t (a) � K=( ) �(a)
1 2

x +3y  8 =0
� Toa�

o�
cu�
a K la�
nghie�
m cu�
a he�
: �
� K (2;2)
x  2y +2 =0



gLa�
y P �K � Q =�a[P(  1;3)] =(1; 1) . ( La�
m t�

ng t�

nh�ca�
u a) )

g Qua P(  1;3)
Go�
i �



ng tha�
ng (b) : �
g a



+(b)  (a) � (b) : 2x  y +m =0 . V�(b)  P(  1;3) � m = 1� (b): 2x  y  1 =0
+E =(b) �(a) � E(0;1) � E la�
trung �
ie�
m cu�
a P,Q �

� 1
1

xE  (xP  xQ ) �
0  (1 xQ ) �
xQ  1


� 2

2
� E�
��
��
1
1
yQ  1


yE  (yP  yQ ) �
1 (3 yQ )

2
� 2

gQua K(2;2)
x 2 y 2
uuur
+(�
) �(KQ) : �
� (�
):


� 3x  y  4  0
1
3
gVTCP : KQ  (1; 3)  (1;3)

c) +T�
m a�
nh cu�
a ta�
m I(  3;2) nh�ca�
u a) .



� Q(1; 1)



�a
�a
m I I���
m I � .T�
+ V�phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c la�
phe�

p d�

i h�
nh ne�
n (C): gTa�
�(C�
) : gTa�
m I I���
� I�
gR  2
gR�
R2

2 2
�a

m I(  3;2)I���
+Ta�
m I�
=�a [I(  3; 2)]  ( ; )
Va�
y : (C) +Ta�
� (C�
)�
5 5
 BK : R =2

 BK : R�
=R =2


2
2
� (C�
) : (x  )2  (y  )2  4
5
5



15 Trong mpOxy cho �ie�
m M(3;  5), ����
ng tha�
ng () : 3x +2y  6 =0, ����
ng tro�
n (C) : (x+1)2 (y  2)2 9.
T�
m a�
nh cu�
a M, () va�
(C) qua phe�
p �o�
i x��
ng tru�
c (a) : 2x  y +1 =0 .
HD :
�a
33 1
9 13
a) M(3;  5) I���
� M�

( ;  ),(d): x  2y  7  0,t�ie�
m H(  ;  )
5 5
5 5
4 15
b) +K= Ǯ (a) K( ; )
7 7
+P �() : P(2;0) �K , Q =�a[P(2;0)] =(  2;2)
� (�
) �(KQ) : x  18y  38  0
�a
9 8
9
8
c) +I(1;  2) I���
� I�
(  ; ) , R�
=R =3
� (C�
) : (x + )2  (y  )2  9
5 5
5
5
16 Cho �
ie�
m M(2;  3), �



ng tha�

ng () : 2x +y  4 =0, �



ng tro�
n (C) : x2 y2  2x  4y  2  0.
T�
m a�
nh cu�
a M, () va�
(C) qua phe�
p�
o�
i x�

ng qua Ox .
�Ox

�x  x
�x�
x
HD : Ta co�
: M(x;y) ���� M �
(1) � �
(2)



�y  y
�y  y



Ox � M �
gThay va�
o (2) : M(2;  3) ���
(2;3)

gM(x;y) �() � 2x�
 y�
 4 =0 � M ���
(x ;y ) �(�
) : 2x  y  4 =0 .
2 y�
2  2x�
gM(x;y) �(C) : x2 y2  2x  4y  2  0 � x�
 4y�
2 0

� (x�
 1)2  (y�
 2)2  3 � M ���
(x ;y ) �(C�
) : (x  1)2  (y  2)2  3


17 Trong mpOxy cho �



ng tha�

ng (a) : 2x  y+3 =0 . T�
m a�
nh cu�
a a qua �Ox.
�Ox


x�
x
x  x�
Gia�
i : Ta co�
: M(x;y) I���
�M�
��
��
y  y �
y   y�

�: 2x  y +3 =0
V�M(x;y) �(a) : 2x  y+3 =0 � 2(x�
)  (y�
)+3 =0 � 2x�
 y�
+3 =0 � M�
(x��
;y ) �(a)


Oy

�: 2x  y +3 =0
Va�
y : (a) I���� (a)

18 Trong mpOxy cho �



ng tro�
n (C) : x2  y2  4y  5 =0 . T�
m a�
nh cu�
a a qua �Oy.
�Oy

x�
 x �
x  x�
Gia�
i : Ta co�
: M(x;y) I���� M �
��

y�
y
y  y�



2  4(y�

2  y�
2  4y  5 =0
V�M(x;y) �(C) : x2  y2  4y  5 =0 � (  x�
)2  y�
)  5 =0 � x�
� M ���
(x ;y ) �(C�
) : x2  y2  4y  5 =0
�Oy
Va�
y : (C) I���� (C�
) : x2  y2  4y  5 =0

19 Trong mpOxy cho �
tha�
ng (a) : 2x  y  3 =0 , () : x  3y  11 =0 , (C) : x2  y2  10x  4y  27 =0 .
a) Vie�
t bie�
u th�

c gia�
i t�
ch cu�
a phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c �a .

b) T�
m a�
nh cu�
a�
ie�
m M(4;  1) qua �a.
c) T�
m a�
nh : (�
) =�a(),(C�
)  �a(C) .
Gia�
i
a) To�
ng qua�
t (a) : Ax +By +C=0 , A 2  B2 �0
uuuuu
r
uuuuu
r r
�a
r
Go�
i M(x;y) I���
� M ���
(x ;y ) , ta co�
: MM �
 (x�
 x;y�
 y) cu�

ng ph�

ng VTPT n =(A;B) � MM �
 tn
x  x�y  y�

x�
 x  At �x�
 x  At
��
��
(t ��) . Go�
i I la�
trung �
ie�
m cu�
a MM �
ne�
n I(
;
) �(a)
y�
 y  Bt �y�
 y  Bt
2
2

x  x�
y  y�
x  x  At

y  y  Bt
� A(
)  B(
)  C  0 � A(
)  B(
) C  0
2
2
2
2
2(Ax +By +C)
� (A 2  B2)t  2(Ax +By +C) � t 
A 2  B2

2A(Ax +By +C)
2B(Ax +By +C)
� �x�
 x
;y�
 y

A 2  B2
A 2  B2


4(2x  y  3)
3
4 12
x�
 x

x�
  x y




5
5
5
5
A�
p du�
ng ke�
t qua�
tre�
n ta co�
:�
��
2(2x

y

3)
4
3
6

�y�
y�
 y

 y y
5
5
5

� 5
�a
4 7
b) M(4;  1) I���
� M�
( ; )
5 5


a�  �
c)  I���
:3x  y  17  0


a� (C�
d) (C) I���
):(x  1)2  (y  4)2  2


20 Trong mpOxy cho đườ
ng thẳ
ng ( ) : x  5y  7 =0 và(�
) : 5x  y  13 =0 . Tìm phé
p đố
i xứ

ng qua
trục biế
n () thà
nh (�
).

Giả
i
1 5
Vì � � () và(�
) cắ
t nhau . Do đótrục đố
i xứ
ng (a) củ
a phé
p đố
i xứ
ng biế
n ( ) thà
nh (�
) chính
5 1
làđườ
ng phâ
n giá
c củ
a gó
c tạo bở
i () và(�
).

x y  5  0 (a1)
| x  5y  7| |5x  y  13| �

��
x  y  1 0 (a2)
1 25
25 +1

Vậ
y có2 phé
p đố
i xứ
ng qua cá
c trục (1) : x  y  5  0 , ( 2): x  y  1 0
Từđósuy ra (a) :

21 Qua phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c �a :
1. Nh�

ng tam gia�
c na�
o bie�
n tha�
nh ch�

nh no�
?
2. Nh�

ng �



ng tro�
n na�
o bie�
n tha�
nh ch�
nh no�
?
HD :
1. Tam gia�
c co�
1�

nh �tru�
c a , hai �

nh co�
n la�
i�
o�
i x�

ng qua tru�

ca.
2. ��


ng tro�
n co�
ta�
m �a .
22 T�
m a�
nh cu�
a�



ng tro�
n (C) : (x  1)2 (y  2)2 4 qua phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c Oy.
PP : Du�
ng bie�
u th�

c toa�

o�� �S : (C�

) : (x  1)2 (y  2)2 4
23 Hai ABC va�
A ���
B C cu�
ng na�
m trong ma�
t pha�
ng toa�

o�
va�

o�
i x�

ng nhau qua tru�
c Oy .
Bie�
t A(  1;5),B(4;6),C�
(3;1) . Ha�
y t�
m toa�

o�
ca�
c�

nh A �
, B�
va�

C.
�S : A �
(1;5), B�
(4;6) va�
C(  3;1)
24 Xe�
t ca�
c h�
nh vuo�
ng , ngu�
gia�
c�
e�
u va�
lu�
c gia�
c�
e�
u . Cho bie�
t so�
tru�
c�
o�
i x�

ng t�

ng �

ng cu�

a mo�
i
loa�
i�
a gia�
c�
e�
u�
o�
va�
ch�ra ca�
ch ve�
ca�
c tru�
c�
o�
i x�

ng �
o�
.


�S :
gH�
nh vuo�
ng co�
4 tru�
c�
o�

i x�

ng , �
o�
la�
ca�
c�



ng tha�
ng �
i qua 2 �

nh �
o�
i die�
n va�
ca�
c�



ng tha�
ng

i qua trung �
ie�
m cu�
a ca�

c ca�
p ca�
nh �
o�
i die�
n.
gNgu�
gia�
c�
e�
u co�
5 tru�
c�
o�
i x�

ng ,�
o�
la�
ca�
c�



ng tha�
ng �
i qua �

nh �
o�

i die�
n va�
ta�
m cu�
a ngu�
gia�
c�
e�
u.
gLu�
c gia�
c�
e�
u co�
6 tru�
c�
o�
i x�

ng , �
o�
la�
ca�
c�



ng tha�
ng �
i qua 2 �


nh �
o�
i die�
n va�
ca�
c�



ng tha�
ng �
i
qua trung �
ie�
m cu�
a ca�
c ca�
p ca�
nh �
o�
i die�
n.

25 Go�
i d la�
pha�
n gia�
c trong ta�
i A cu�

a ABC , B�
la�
a�
nh cu�
a B qua phe�
p �o�
i x�

ng tru�
c �d . Kha�
ng �

nh
na�
o sau �a�
y sai ?
A. Ne�
u AB ��
tre�
n ca�
nh AC .
B. B�la�
trung �ie�
m ca�
nh AC .
C. Ne�
u AB =AC th�B�
�C .
D. Ne�

u B�
la�
trung �ie�
m ca�
nh AC th�AC =2AB .
�S : Ne�
u B�
=�d(B) th�B�
�AC .
gA �
u�
ng . V�AB AB�
=AB ne�
n AB�
��
tre�
n ca�
nh AC .
1
gB sai . V�gia�
thie�
t ba�
i toa�
n kho�
ng �
u�
kha�
ng �


nh AB = AC.
2
gC �u�
ng . V�AB�
=AB ma�
AB =AC ne�
n AB�
=AC
B� C .
gD �
u�
ng . V�Ne�
u B�la�
trung �ie�
m ca�
nh AC th�AC=2AB�
ma�
AB�
=AB ne�
n AC=2AB .
26 Cho 2 �
��

ng tha�
ng a va�
b ca�
t nhau ta�
i O . Xe�
t 2 phe�

p �o�
i x��
ng tru�
c �a va�
�b :




a� B I���
b� C . Kha�
A I���
ng �

nh na�
o sau �a�
y kho�
ng sai ?
A. A,B,C ��
��

ng tro�
n (O, R =OC) .
B. T�

gia�
c OABC no�
i tie�
p.
C. ABC ca�

n ��
B
D. ABC vuo�
ng �

B
HD : gA. Kho�
ng sai . V�d1 la�
trung tr��
c cu�
a AB � OA =OB , d2 la�
trung tr��
c
cu�
a BC � OB =OC � OA =OB =OC � A,B,C ���


ng tro�
n (O, R =OC) .
gCa�
c ca�
u B,C,D co�
the�
sai .

27 Cho ABC co�
hai tru�
c�
o�
i x�


ng . Kha�
ng �

nh na�
o sau �
a�
y�
u�
ng ?
A. ABC la�
 vuo�
ng
B. ABC la�
 vuo�
ng ca�
n
C. ABC la�
�
e�
u
HD : G�
a s�

ABC co�
2tru�
c�
o�
i x�


ng la�
AC va�
BC

AB =AC
��
� AB  AB  BC � ABC �
e�
u.
BC =BA


D. ABC la�
 ca�
n.


�  110o. T�
� va�
��
28 Cho ABC co�
A
nh B
C
e�
ABC
co�
tru�
c�
o�

i x�

ng .


� =45o va�
�  25o
o
A. B =50 va�
C  20o
B. B
C

� =40o va�
�  30o
C. B
C

� =C
�  35o
D. B

HD : Chọn D . Vì : ABC cótrục đố
i xứ
ng khi ABC câ
n hoặ
c đề
u
o
o


Vì A  110  90 � ABC câ
n tại A , khi đó:
o �
o
o
�C
�  180  A  180  110  35o
B
2
2

29 Trong ca�
c h�
nh sau , h�
nh na�
o co�
nhie�
u tru�
c�
o�
i x�

ng nha�
t?
A. H�
nh ch�

nha�
t

B. H�
nh vuo�
ng
C. H�
nh thoi
�S : Cho�
n B. V�: H�
nh vuo�
ng co�
4 tru�
c�
o�
i x�

ng .

D. H�
nh thang ca�
n.

30 Trong ca�
c h�
nh sau , h�
nh na�
o co�

t tru�
c�
o�
i x�


ng nha�
t?
A. H�
nh ch�

nha�
t
B. H�
nh vuo�
ng
C. H�
nh thoi
�S : Cho�
n D. V�: H�
nh thang ca�
n co�
1 tru�
c�
o�
i x�

ng .

D. H�
nh thang ca�
n.

31 Trong ca�
c h�

nh sau , h�
nh na�
o co�
3 tru�
c�
o�
i x�

ng ?
A. H�
nh thoi
B. H�
nh vuo�
ng

C.  �
e�
u

D.  vuo�
ng ca�
n.

�S : Cho�
n C. V�:  �
e�
u co�
3 tru�
c�
o�

i x�

ng .
32 Trong ca�
c h�
nh sau , h�
nh na�
o co�
nhie�
u h�
n 4 tru�
c�
o�
i x�

ng ?
A. H�
nh vuo�
ng
B. H�
nh thoi
C. H�
nh tro�
n
�S : Cho�
n C. V�
: H�
nh tro�
n co�
vo�

so�
tru�
c�
o�
i x�

ng .

D. H�
nh thang ca�
n.

33 Trong ca�
c h�
nh sau , h�
nh na�
o kho�
ng co�
tru�
c�
o�
i x�

ng ?
A. H�
nh b�
nh ha�
nh
B.  �
e�

u
C.  ca�
n
D. H�
nh thoi .
�S : Cho�
n A. V�: H�
nh b�
nh ha�
nh kho�
ng co�
tru�
c�
o�
i x�

ng .
34 Cho hai h�
nh vuo�
ng ABCD va�
AB���
C D co�
ca�
nh �
e�
u ba�
ng a va�
co�



nh A chung .
Ch�

ng minh : Co�
the�
th�

c hie�
n mo�
t phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c bie�
n h�
nh vuo�
ng ABCD tha�
nh�
AB���
CD .
��
HD : G�
a s�

: BC �B C =E .
�B
��
Ta co�

: AB =AB�
,B
 90o,AE chung .
�ABE
���
= AB
 �
F



EB =EB�
B I AE

t AB =AB�
�bie�

B�




EC =EC�
Ma�
t kha�
c: �
���
C I  AE C�
AC =AC�
=a 2



��
�  90o  BAB�
Ngoa�
i ra : AD�
=AD va�
D
AE  DAE
2
�A
�AE
����
D I  ��
 D� ABCD I
AB���
CD

35 Gọi H làtrực tâ
m ABC . CMR : Bố
n tam giá
c ABC , HBC , HAC , HAC có
đườ
ng trò
n ngoại tiế
p bằ
ng nhau .
HD :

� =C

� (cu�
� )
Ta co�
:A
ng cha�
n cung BK
1
2
� =C
� (go�
� =C

A
c co�
ca�
nh t�

ng �

ng  ) � C
1
1
1
2
� CHK ca�
n �K �
o�
i x�

ng v�


i H qua BC .
Xe�
t phe�
p�
o�
i x�

ng tru�
c BC .






BC H ; B I����
BC B ; C I����
BC C
Ta co�
: K I����


BC ��
Va�
y : ��


ng tro�
n ngoa�

i tie�
p KBC I����


ng tro�
n ngoa�
i tie�
p HBC

36 Cho ABC va�




ng tha�
ng a �
i qua �

nh A nh�
ng kho�
ng �iqua B,C .
a) T�
m a�
nh ABC qua phe�
p�
o�
i x�

ng �a.
b) Go�

i G la�
tro�
ng ta�
m ABC , Xa�
c�

nh G�
la�
a�
nh cu�
a G qua phe�
p�
o�
i x�

ng �a.
Giả
i
a) Vì a làtrục củ
a phé
p đố
i xứ
ng Đa nê
n:
gA �a � A  Đa(A) .
gB,C Ͼ�����
a nê
n Đa : B I
b) Vì G Ͼ��
a nê

n Đa :G I

B�
,C I

C�
sao cho a làtrung trực củ
a BB�
,CC�

G�
sao cho a làtrung trực củ
a GG�
.

37 Cho �



ng tha�
ng a va�
hai �
ie�
m A,B na�
m cu�
ng ph�
a�
o�
i v�


i a . T�
m tre�
n�



ng
tha�
ng a �
ie�
m M sao cho MA+MB nga�
n nha�
t.
Gia�
i : Xe�
t phe�
p�
o�
i x�

ng �a : A I��
� A�
.
M �a th�MA =MA �
. Ta co�
: MA +MB =MA �
+MB �A �
B
�e�
MA +MB nga�

n nha�
t th�cho�
n M,A,B tha�
ng ha�
ng

Va�
y : M la�
giao �
ie�
m cu�
a a va�
AB.
38 (SGK-P13)) Cho go�
c nho�
n xOy va�
M la�
mo�
t�
ie�
m be�
n trong go�
c�
o�
. Ha�
y
t�
m�
ie�
m A tre�

n Ox va�

ie�
m B tre�
n Oy sao cho MBA co�
chu vi nho�
nha�
t.
Gia�
i
Go�
i N =�Ox(M) va�
P =�Ox(M) . Khi �
o�
: AM=AN , BM=BP
T�


o�
: CVi =MA+AB+MB =NA+AB+BP �NP
(�



ng ga�
p khu�
c ��




ng tha�
ng )
MinCVi =NP Khi A,B la�
n l�


t la�
giao �
ie�
m cu�
a NP v�

i Ox,Oy .


39 Cho ABC ca�
n ta�
i A v�

i�



ng cao AH . Bie�
t A va�
H co�


nh . T�
m ta�

p h�

p

ie�
m C trong mo�
i tr�


ng h�

p sau :
a) B di �
o�
ng tre�
n�



ng tha�
ng  .
b) B di �
o�
ng tre�
n�



ng tro�
n ta�

m I, ba�
n k�
nh R .
Gia�
i
a) V�
: C =�AH (B) , ma�
B � ne�
n C ��
v�

i �
=�AH ( )
Va�
y : Ta�
p h�

p ca�
c�
ie�
m C la�




ng tha�
ng �
b) T�

ng t�


: Ta�
p h�

p ca�
c�
ie�
m C la�




ng tro�
n ta�
m J , ba�
n k�
nh R la�
a�
nh cu�
a




ng tro�
n (I) qua �AH .

Vấn đề 4 : PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 �N : Phe�

p�
o�
i x�

ng ta�
m I la�
mo�
t phe�
p d�

i h�
nh bie�
n mo�
i�
ie�
m M tha�
nh �
ie�
m M�

o�
i x�

ng v�

i M qua I.
Phe�
p�
o�
i x�


ng qua mo�
t�
ie�
m co�
n go�
i la�
phe�
p�
o�
i ta�
m.
�ie�
m I go�
i la�
ta�
m cu�
a cu�
a phe�
p�
o�
i x�

ng hay �

n gia�
n la�
ta�
m�
o�

i x�

ng .
uuur
uuu
r
Kí hieä
u : ÑI (M)  M �
� IM �
 IM .

gNe�
u M �I th�M �
�I

gNe�
u M �I th�M  �I (M) � I la�
trung tr��
c cu�
a MM �
.
g�N :�ie�
m I la�
ta�
m �o�
i x��
ng cu�
a h�
nh H � �I (H)  H.
Chu�

y�
: Mo�
t h�
nh co�
the�
kho�
ng co�
ta�
m �o�
i x��
ng .
�I
2 Bie�
u th�

c to�
a�
o�
: Cho I(xo;yo) va�
phe�
p�
o�
i x�

ng ta�
m I : M(x;y) I���
� M�
 �I (M)  (x��
;y ) th�


x�
=2xo x
��
y  2yo y

3 T�
nh cha�
t:
1. Phe�
p�
o�
i x�

ng ta�
m ba�
o toa�
n khoa�
ng ca�
ch gi�

a hai �
ie�
m ba�
t k�.
2. Bie�
n mo�
t tia tha�
nh tia .
3. Ba�
o toa�

n t�
nh tha�
ng ha�
ng va�
th�

t�

cu�
a ca�
c�
ie�
m t�

ng �

ng .
4. Bie�
n mo�
t�
oa�
n tha�
ng tha�
nh �
oa�
n tha�
ng ba�
ng no�
.
5. Bie�

n mo�
t�



ng tha�
ng tha�
nh mo�
t�



ng tha�
ng song song hoa�
c tru�
ng v�

i�



ng tha�
ng �
a�
cho .
6. Bie�
n mo�
t go�
c tha�
nh go�

c co�
so�

o ba�
ng no�
.
7. Bie�
n tam gia�
c tha�
nh tam gia�
c ba�
ng no�
. ( Tr�

c ta�
m � tr�

c ta�
m , tro�
ng ta�
m � tro�
ng ta�
m)
8. ��


ng tro�
n tha�
nh �




ng tro�
n ba�
ng no�
. ( Ta�
m bie�
n tha�
nh ta�
m : I I��
� I�
, R�
=R )
B . BÀI TẬP


1 T�
m a�
nh cu�
a ca�
c�
ie�
m sau qua phe�
p�
o�
i x�

ng ta�
mI :
1) A(  2;3) , I(1;2)

2) B(3;1) , I(  1;2)
3) C(2;4) , I(3;1)
Giả
i:

� A�
(4;1)

� B (5;3)
� C�
(4; 2)





uur
uur
x�
 1 3
x�
4
a) Gỉ
a sử: A �
 ĐI (A) � IA  IA � (x�
 1;y�
 2)  (3;1) �

� A�
(4;1)



y  2  1
y 1

ch �: Dù
ng biể
u thứ
c toạđộ

2 T�
m a�
nh cu�
a ca�
c�



ng tha�
ng sau qua phe�
p�
o�
i x�

ng ta�
mI :
1) (): x  2y  5  0,I(2; 1)
2) () : x  2y  3  0,I(1;0)
3) ():3x  2y  1 0,I(2; 3)


� (�
): x  2y  5  0
� (�
) : x  2y  1 0
� (�
):3x  2y  1 0

Gia�
i
PP : Co�
3 ca�
ch
Ca�
ch 1: Du�
ng bie�
u th�

c toa�

o�
Ca�
ch 2: Xa�
c�

nh da�
ng �
//  , ro�
i du�
ng co�
ng th�


c t�
nh khoa�
ng ca�
ch d(;�
) � �
.
��




Ca�
ch 3: La�
y ba�
t ky�
A,B � , ro�
i t�
m a�
nh A ,B � �  �A B
�I


x�
 4 x
x  4  x�
1) Ca�
ch 1: Ta co�
: M(x;y) I���
� M�

��
��
y  2  y �
y  2  y�

V�M(x;y) � � x  2y  5  0 � (4  x�
)  2(2  y�
)  5  0 � x�
 2y�
 5 0
���

� M (x ;y ) � : x  2y  5  0
�I
Va�
y : ( ) I���
� (�
) : x  2y  5  0

Ca�
ch 2: Go�
i  =�I () � �
song song  � �
: x +2y +m =0 (m �5) .
|5|
| m|

m  5 (loa�
i)
Theo �

e�
: d(I; ) =d(I;�
)�

� 5  | m|� �
m  5

12  22
12  22
� (�
): x  2y  5  0
Ca�
ch 3: La�
y : A(  5;0),B(  1;  2) � � A �
(9; 2),B�
(5;0) � �
�A ��
B : x  2y  5  0
3 T�
m a�
nh cu�
a ca�
c�



ng tro�
n sau qua phe�
p�
o�

i x�

ng ta�
mI :
1) (C) : x2  (y  2)2  1,E(2;1)
2) (C) : x2  y2  4x  2y  0,F(1;0)
3) (P) : y =2x2  x  3 , ta�
m O(0;0) .

� (C�
):(x  4)2  y2  1
� (C�
) : x2  y2  8x  2y  12  0
�/ nghia�
hay bie�
u th�

c toa�

o�
��������������(P�
): y =  2x2  x  3

HD :1) Co�
2 ca�
ch gia�
i:
Ca�
ch 1: Du�
ng bie�

u th�

c toa�

o�
.
�E
Ca�
ch 2: T�
m ta�
m I I���
� I�
,R�
 R  (�
a�
cho) .
2) T�

ng t�

.
4 Cho hai �
ie�
m A va�
B .Cho bie�
t phe�
p bie�
n�
o�
i M tha�

nh M �
sao cho AMBM �
la�
mo�
t h�
nh b�
nh ha�
nh .


×