Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử 2018

CHUYÊN ĐỀ
“PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH MÔN TOÁN 8 ”
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn chuyên đề.
Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao) trong các kỳ
thi học sinh giỏi cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều công sức
của cả thầy và trò. Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả là rất cần thiết vì
không những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh kiên
cường, tự tin khi bước vào mỗi kỳ thi.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị trí
quan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng toán như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình, giải phương trình, chứng
minh chia hết,…Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
nhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh.
Vì vậy việc chọn chuyên đề: “Phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi
dưỡng học sinh khá giỏi toán 8” ở trường THCS Hồng Châu là rất thiết thực, giúp
giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt
hiệu quả, giúp học sinh có một kiến thức cơ bản khi lựa chọn phương pháp giải bài
toán liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học
sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS.
2. Mục đích nghiên cứu.
+ Nghiên cứu về “Phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh
khá giỏi toán 8” giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng
tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có
phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả.
+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó
định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.

+ Nghiên cứu về tình hình dạy và học về vấn đề này ở nhà trường.
+ Hệ thống hoá một số phương pháp “Phân tích đa thức thành nhân tử”
+ Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài.
+ Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm.
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.
4.1) Đối tượng nghiên cứu:


a. Các tài liệu
b. Nhóm học sinh khá giỏi môn Toán lớp 8 ở trường THCS Hồng Châu.
4.2) Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu các phương pháp “Phân tích đa thức thành nhân tử” trong giải
toán ở bậc THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
+ Phương pháp điều tra, khảo sát.
+ Phương pháp thử nghiệm.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Giả thuyết khoa học.
Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng chuyên đề,
giúp cho giáo viên giảng dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán
này hơn và nâng cao chất lượng mũi nhọn ở trường THCS Hồng Châu đặc biệt ở bộ
môn Toán.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cần
truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy học
sinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực,
sáng tạo và tự giác của học sinh.
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì
trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đó cho thành
tích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phương
pháp nâng cao để phân tích, đó là:
1) Phương pháp đặt nhân tử nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C).
2) Phương pháp dùng hằng thức:
Dùng khi các hạng tử của số thực có dạng giống hằng đẳng thức.
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp số thực khi số thực chưa có nhân tử chung hoặc
chưa áp dụng được hằng đẳng thức nhằm mục đích:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm rồi áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn số thực.
4) Phối hợp phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kĩ năng là sự kết hợp
nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức.

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
5) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
f(1)
f(-1)
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
và
đều là số
a-1
a+1
nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
6) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
3


Sử dụng cho các bài tậpkhông thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đã
học để giải.
7) Phương pháp tách hạng tử:
8) Phương pháp đặt biến phụ:
9) Phương pháp hệ số bất định: Đó là sự đồng nhất về hệ số của hai vế để từ đó
suy ra các hệ số cần tìm trong sự phân tích đa thức thành nhân tử.
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN.

“Phân tích đa thức thành nhân tử” là loại toán mà học sinh THCS coi là loại
toán khó, nhiều học sinh không biết cách áp dụng “Phân tích đa thức thành nhân tử”
để giải toán như thế nào? Có những phương pháp nào?

Các bài toán về ứng dụng của “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một dạng
toán hay và khó, được vận dung rất nhiều trong bài toán rút gọn phân thức, quy đồng
mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên
của phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…có nhiều trong các đề thi
học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này
rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn
trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên.
Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán có ứng dụng “Phân tích
đa thức thành nhân tử” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác
định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường
THCS.
3. THỰC TRẠNG HIỆN NAY.

a) Thuận lợi:
- Là giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán.
- Chúng tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức.
b) Khó khăn:
- Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt
là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo.
- Khi gặp một số bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?
Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
- Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp vào từng dạng toán khác nhau.
- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, hoặc máy móc thiếu sáng
tạo khi gặp bài toán khó.
4) CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:

* Quy trình và cách thức:

- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học.
- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ môn. Đặc biệt là phải học
được môn Toán.
4


- Tổ chức cho học ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp. Sau mỗi chuyên
đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm
quen dần )
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập
phong phú cho học sinh luyện tập không chỉ trên lớp mà cả ở nhà.
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết
tâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi. Động viên, khích lệ học sinh
thường xuyên và liên tục. Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể học
sinh trong từng buổi học.
- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai
thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là 2 lần bằng những bài
toán tương tự trên lớp. Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về nhà cho các em
luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng toán đã được ôn tập.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính
tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra
phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải
dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp
các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp
các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với
khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần
phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết
quả tốt trong các kỳ thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề " Phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương

pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù
hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
* Khảo sát thực tiễn
Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lung tung, thời
gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải. Để thực hiện đề tài này tôi đã tiến
hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:
Xếp loại
Tổng số HS

2

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

0

0

1

50

1

50

0

0

Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng
dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài
toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp dưới
đây:
5


5. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ.

I. Kiến thức cơ bản.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản và
hiểu bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử như:
+ Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức
thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
+ Biết thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa
thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa
thức đã sắp xếp…,
+ Các quy tắc đổi dấu đa thức.
+ Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
II. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Các phương pháp thông thường.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có
thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ1:
Phân tích thành nhân tử.
M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)
(Nhóm các hạng tử)
2
= 3(a - b) + (a - b) (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2:
Phân tích thành nhân tử.
2
M2 = a - b2 - 2a + 2b

= (a2 - b2) - (3a - 2b)
(Nhóm các hạng tử)
= (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a -b) (a + b - 2)
(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú
ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm
các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất
hiện nhân tử chung của các
nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

6


Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,
vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a 2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì
vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai
nhóm là (a + b):
M3 = 5(a + b) (a - b) + 3 (a + b)2 .
M3 đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)]

M3 = (a + b)(8a – 2b)
Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xyx2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử trong
ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp
sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích
được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa).
2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân
tích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau
để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
2.1. Phương pháp tách hạng tử.
7

* Dạng1: Đa thức bậc hai.
a) Ví dụ cơ bản:
Ví dụ 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 - 11x + 28
Lời giải:
x2 - 11x + 28 = x2 - 4x - 7x + 28
= x(x-4) - 7(x-4)
= (x-4)(x-7)
Ở ví dụ trên ta đã tách hạng tử thứ 2 như sau: -11 = -4 + (-7)
sao cho (-4).(-7) = 1.28 = 28
* Tổng quát: Cách tách trên xuất phát từ đẳng thức:
(x-a)(x-b) = x2 – (a + b)x + a.b
(x+a)(x+b) = x2 + (a + b)x + a.b
Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x2 – 5x – 24
Lời giải:
-24 = (-8). 3
2
x – 5x – 24 = x2 – 8x + 3x – 24
= (x2 – 8x) + (3x – 24)
= x(x – 8) + 3( x – 8)
= ( x – 8) ( x + 3)
b) Một số ví dụ khai thác.
Ví dụ 8. Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x4 – 5x2 – 36
Trong ví dụ này là đa thức bậc 4 tuy nhiên lại khuyết các hạng tử bậc lẻ nên đa
thức trên là trùng phương. Chúng ta giải như với đa thức bậc hai ở hai ví dụ trước.
Lời giải:
-36 = (-9) . 4
4
2
x – 5x – 36 = x4 – 9x2 + 4x2 – 36

= (x4 – 9x2) + ( 4x2 – 36)
= x2(x2 – 9) + 4(x2 – 9)
= (x2 – 9)( x2 + 4)
Ví dụ 9. Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x2 + 14xy + 48y2
Lời giải:
x2 + 14xy + 48y2 = x2 + 6xy + 8xy + 48y2
= (x2 + 6xy) + (8xy + 48y2)
= x (x + 6y) + 8y(x + 6y)
= (x + 6y)( x + 8y)
Ví dụ 10: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: 3x2 + 8x + 4
Lời giải: 3.4 = 12 = 2.6 và 8 = 2+ 6
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4
= (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x (3x + 2) + 2(3x + 2)
= (3x + 2) (x + 2)
c) Phương pháp tổng quát phân tích đa thức dạng: ax2 + bx + c
gồm các bước như sau:
+ Tách hệ số b = m +n sao cho m. n = a.c
+ Dùng phương pháp nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
8


* Ngoài ra một bài toán không chỉ tách hạng tử thứ hai mà chúng ta có thể tách
các hạng tử thứ nhất và hạng tử tự do.
Ví dụ 11: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1:
-6 = (-2) + (-4) và (-2).(-4) = 1.8
Lời giải:
a2 - 4a - 2a + 8 = (a2 - 4a) - (2a - 8)

= a (a - 4) - 2 (a - 4)
= (a - 4) (a - 2)
Ngoài ra ta có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong
đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử
còn lại.
Cách 2: Tách 8 = 9 - 1
N
= a2 - 6a + 9 - 1
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng thức)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt nhân tử chung)
Cách 3: Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a)
N
= a2 - 4a + 4 - 2a + 4
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử)
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là
thông dụng nhất;
- Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới
được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có
nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương
pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
* Dạng 2: Đa thức bậc ba.
a) Ví dụ cơ bản:
Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x3 – 19x +30
Lời giải: Ta có x3 - 19x +30 = x3 - 4x - 15x +30
= (x3 - 4x) - ( 15x - 30)

= x(x2 - 4) – 15(x - 2)
= x(x - 2)(x + 2) - 15(x - 2)
= (x - 2) [x(x + 2) – 15]
= (x - 2) (x2 + 2x - 15)
= (x - 2) (x - 3) (x + 5)
Trong ví dụ trên ta đã tách 19 = 15 +4 = 15 + 22 và 15 .2 = 1.30 = 30
9


Sau đó chúng ta nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Đa thức x2 + 2x – 15 được phân tích tiếp theo dạng 1.
Ví dụ 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 – (a2 + b)x - ab
Lời giải:
x3 – (a2 + b)x - ab
= x3 – a2x - bx - ab
= (x3 – a2x) - ( bx + ab)
= x(x2 – a2) – b(x + a)
= (x + a) [x(x - a) – b]
Chúng ta làm tương tự với bài toán: x3 – (a2 - b)x – ab
Ví dụ 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x3 – 28x – 48
Lời giải: 48 = 6.8 và 62 - 8 = 28
Ta có:
x3–28x– 48 = x3 – 36x + 8x – 48
= (x3 – 36x) + ( 8x – 48)
= x(x2 – 36) + 8(x – 6)
= (x - 6) [x(x + 6) +8]
= (x - 6)(x2 + 6x + 8 )
= (x - 6)(x+ 4)(x + 2)

b) Phương pháp tổng quát phân tích đa thức dạng: x3 – mx + n
gồm những bước sau:
+ Tách m = a2 + b ( hoặc a2 – b) sao cho n = a.b
+ Dùng phương pháp nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
2.2. Phương pháp thêm bớt hạng tử.
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
a. Các ví dụ cơ bản.
Ví dụ 15: Phân tích đa thức P1 = x4 + 4 thành nhân tử
P1 = x4 + 4 = (x2)2 + 22
= (x2)2 + 2.x2.2 + 22 – 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2
(nhóm hạng tử)
2
2
2
= (x + 2) - (2x)
(dùng hằng đẳng thức)
2
2
= (x + 2x + 2) (x - 2x + 2)
Ví dụ 16: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử.
P2 = a4 + 64 = (a2)2 + 82
= (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2)
= (a2 + 8)2 - (4a)2
= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
b. Phương pháp tổng quát:
A2 + B2 = A2 + 2.A.B + B2 – 2.A.B
c. Khai thác bài toán
Ví dụ 17: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử
Lời giải:

4x4 + 81 = (2x)2 + 92 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2
10


= (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
= (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Lời giải: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
=[(x4 +1)2 +(8x2)2] + 32x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2)
= (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 64y4
Lời giải:
x4 + 64y4 = (x2)2 + (8y2)2
= (x2)2 + 2x2. 8y2 + (8y2)2 – 16x2y2
= ( x2 +8y2 )2 – (4xy)2
= ( x2 +8y2 – 4xy) (x2 +8y2 +4xy)
Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,
song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bình
phương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương... thì mới phân tích triệt để được.
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung và sử dụng hằng
đẳng thức.
Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. x7 + x2 + 1
b. x5 + x + 1

c. x4 + x2 +1.
Lời giải:
a.
x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 )
= x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1]
= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
b.
x4 + x2 +1 = x4 + x- x+ x2 +1
= (x4 + x ) – ( x2 - x +1)
= x( x3 +1) + ( x2 - x +1)
= x( x+1) ( x2 - x +1) + ( x2 - x +1)
= ( x2 - x +1) ( x2 + x +1)
c.
x5 + x + 1 = x5 + x4 - x4 + + x3 – x3+ x2 - x2 +x+1
= ( x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + (x2 +x+1)
= x3( x2 +x+1) - x2 (x2 +x+1) +( x2 +x+1)
= ( x2 +x+1 ) (x3 – x2+1)
11


Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x2 + 1,… đều
chứa nhân tử là x2 + x + 1.
Ví dụ 18: Phân tích đa thức x7 + x5 + 1 thành nhân tử:
x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1]

= (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 19: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
= [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 )
= (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 20: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x � 0 ta viết :
6
1
1
1
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – x + 2 ) = x2 [(x2 + 2 ) + 6(x )+7]
x
x
x
1
1
Đặt x = y thì x2 + 2 = y2 + 2, do đó
x
x
1 2
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
x
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2

Ví dụ 21:
A = ( x2  y 2  z 2 )( x  y  z )2  ( xy  yz +zx)2
( x2  y 2  z 2 )  2( xy  yz +zx) �
( x2  y 2  z 2 )  ( xy  yz +zx)2
=�
�
�
�

�

Đặt x 2  y 2  z 2 = a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x 2  y 2  z 2 + xy + yz + zx)2
Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử:
B = 2(x4 + y4 +z4) - (x2 + y2 +z2)2 - 2(x2 + y2 +z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4
Lời giải:
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2(x2y2 + y2z2 + z2x2) và b – c2 = - 2(xy + yz + zx)
Do đó: B = - 4(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4 (xy + yz + zx)2
= -4x2y2 - 4y2z2 - 4z2x2 + 4x2y2 + 4y2z2 + 4z2x2 + 8
12


4 x2 y 2  4 y 2 z 2  4 z 2 x2  4 x 2 y 2  4 y 2 z 2  4 z 2 x 2  8x2 yz  8xy 2 z  8xyz 2
=
 8 xyz ( x  y  z )
Ví dụ 23: (a  b  c)3  4(a3  b3  c3)  12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m2 – n2
2 2

a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ). Ta có:
4
3
2
C = (m + c)3 – 4. m + 3mn  4c3  3c(m2 - n 2 ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2)
4
2
2
= 3[c (m - c) - n (m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
Ví dụ 19: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt
y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến). Khi đó ta có:
D1 = y2 + 4y - 12
Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12)
(Tách 4y = 6y - 2y)
D1 = y (y - 2) + 6(y - 2)
(đặt nhân tử chung)
D1 = (y – 2)(y + 6)
(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp
đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x +

1 2
3

) + 5 . Do vậy không phân tích tiếp được nữa
2
4

Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2).
2.4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du
ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đa
thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp
được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1.
 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)

13


+ Nếu không xét được tổng các hệ số như trên thì ta xét các ước của hệ số tự
do d (hệ số không đổi). Nếu ước nào của d làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó
là nghiệ
Ví dụ 24. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = �1; �2; �4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là
nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm
có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:
3

2
2
2
x3 – x2 – 4 = x  2 x  x  2 x   2 x  4   x  x  2   x( x  2)  2( x  2)
=



 x  2  x2  x  2





 



Cách 2:
x3  x 2  4  x3  8  x2  4  x3  8  x 2  4  ( x  2)( x2  2 x  4)  ( x  2)( x  2)





 





� 2
�
2
=  x  2  �x  2 x  4  ( x  2) � ( x  2)( x  x  2)
�

�

Ví dụ 25. Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: �1, �5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ.
1
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3
3
2
f(x) = 3x – 7x + 17x – 5 = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x +15x - 5
= (3x3 – x2) - (6x2 – 2x) + (15x-5)
= x 2 (3x 1)  2 x(3x 1)  5(3x 1)  (3 x 1)( x 2  2 x  5)
Vì x 2  2 x  5  ( x2  2 x  1)  4  ( x  1)2  4  0 với mọi x nên không phân tích được
thành nhân tử nữa.
Ví dụ 26. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng
tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta
có:

x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên
không phân tích được nữa
Ví dụ 28: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
14


a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0  x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1) 
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 29: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Ta thấy tổng và hiệu các hệ số của E2  0 do đó loại x =  1
Xét các Ư(2) =  2 có x = -2 là nghiệm của E2
 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1)
(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các phương pháp
thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó thành nhân tử giúp
cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương trình.
2.5. Ph ương ph áp hệ số bất định :
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là
ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
f(1)
f(-1)

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
và
đều là số
a-1
a+1
nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.
Ví dụ 26. x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số �1, �3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
�a  c  6
�ac  b  d  12
�
�
�ad  bc  14
�
đồng nhất đa thức này với đa thức đó cho ta có: �bd  3
1, �
3
Xét bd = 3 với b, d � Z, b �  �
với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành

�a  c  6
�ac  8
2c  8 �
c  4
�
�
��

��
�
ac  8
a  2
�
�a  3c  14 �
�
bd  3
�

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Ví dụ 27
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:
2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
15


�a  4  3
a 1
�
�
b  2 a  7 �
�
��
b  5
�
c  2b  6
�
�

c  4
�
�

2
c

8
4
3
2
�
�
= 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c

Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn
bằng nhau nên có 1 nhân tử là x + 1 nên
2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Ví dụ 28
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
ac  12
�
a4
�
�
bc


ad


10
�
�
c3
�
�
3
c

a

5
�
�
�
b  6
�
�
bd  12
�
�
d 2
�
3
d

b


12
�
��
� 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)

3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (ab  1)2 + (a + b)2 ;

b) x3 + 2x2 + 2x + 1;

c) x3  4x2 + 12x  27 ;

d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ;

e) x4  2x3 + 2x  1.
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x2  2x  4y2  4y ;
c) x2(1  x2)  4  4x2 ;

b) x4 + 2x3  4x  4 ;
d) (1 + 2x)(1  2x)  x(x + 2)(x  2) ;

e) x2 + y2  x2y2 + xy  x  y.
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;
b) (a + b + c)(ab + bc + ca)  abc ;
c) c(a + 2b)3  b(2a + b)3.

4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ;
b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;
16


c) (x + y)(x2  y2) + (y + z)(y2  z2) + (z + x)(z2  x2) ;
d) x3(y  z) + y3(z  x) + z3(x  y) ;
e) x3(z  y2) + y3(x  z2) + z3(y  z2) + xyz(xyz  1).
5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) a(b + c)2(b  c) + b(c + a)2(c  a) + c(a + b)2(a  b)
b) a(b  c)3 + b(c  a)3 + c(a  b)2 ;
c) a2b2(a  b) + b2c2(b  c) + c2a2(c  a) ;
d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)  2abc  a3  b3  c3 ;
e) a4(b  c) + b4(c  a) + c4(a  b).
6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) (a + b + c)3  (a + b  c)3  (b + c  a)3  (c + a  b)3 ;
b) abc  (ab + bc + ca) + a + b + c  1.
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử dung phương pháp tách hạng
tử và thêm bớt hạng tử.
1. a) 6x2 – 11x + 3 ;
d) 49x2 + 28x – 5 ;

b) 2x2 + 3x – 27 ;
e) 2x2 – 5xy – 3y2.

2. a) x3 – 2x + 3 ;
d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ;
h) x3 + 6x2 – x – 30 ;

b) x3 + 7x – 6 ;
c) x3 – 5x + 8x – 4 ;
e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ;
g) x3 – x2 + x – 2 ;
i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).

3. a) 27x3 + 27x +18x + 4 ;

b) 2x3 + x2 +5x + 3 ;

4. a) (x2 + x)2  2(x2 + x)  15 ;
c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2)  12 ;

c) x2 – 10x + 24 ;

c) (x2 – 3)2 + 16.

b) x2 + 2xy + y2  x  y  12 ;

5. a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ;
b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;
c) 2(x4 + y4 + z4)  (x2 + y2 + z2)2  2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
6. (a + b + c)3  4(a3 + b3 + c3)  12abc (bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a  b = n).
7. a) 4x4  32x2 + 1 ;
c) 3(x4 + x+2+ + 1)  (x2 + x + 1)2 ;

b) x6 + 27 ;
d) (2x2  4)2 + 9.

8. a) 4x4 + 1 ;

b) 4x4 + y4 ;

c) x4 + 324.

9. a) x5 + x4 + 1 ;
d) x5  x4  1 ;

b) x5 + x + 1 ;
e) x7 + x5 + 1 ;

c) x8 + x7 + 1 ;
g) x8 + x4 + 1.

10. a) a6 + a4 + a2b2 + b4  b6 ;

b) x3 + 3xy + y3  1.
17


Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử dùng phương pháp hệ số bất
định.
1. a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ;
c) x4  8x + 63 ;
2. a) x8 + 14x4 + 1 ;

b) x4  7x3 + 14x2  7x + 1 ;
d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.
b) x8 + 98x4 + 1.

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử dùng phương pháp xét giá trị riêng :
1. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :
a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
2. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.
3. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì
a = b = c = d.
4. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :
(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.
5. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0.
6. Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :
x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.
7. Tính các tổng sau :
a) S1 = 1 + 2 + 3 + … + n ;
b) S2 = 12 + 22 + 32 + … + n2.
* Một bài toán có rất nhiều cách giải Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh một số
ví dụ sau tạo hứng thú học tập cho các em.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
C1: Tách - 4x = - 3x + (-x)
C2: Tách 3 = 4 - 1.
C3: Tách 3 = 12 - 9
C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.
1b. 81x4 + 4
(thêm bớt hạng tử)
Gợi ý: Thêm 2 lần tích của 9a2 và 2  Hằng đẳng thức. Cụ thể: 36x2
1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y
1d: x3 - 2x2 - x + 2

(phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
18


a 3  4a 2  a  4
M= 3
với a = 102
a  7 a  14a  8

Gợi ý:
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa tử
thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử
chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) y2 - 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phương trình trở về phương trình tích.
3b: y 3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương
trình tích  giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
a)
A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý:

+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên
tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A  3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộc trong
hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4. Vậy A  8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
b)
B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý: + Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để
phân tích A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận.

19


Vì (x - 2)2  o và (y + 1)2  0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)2 +
(y + 1)2 + 7  7
Vậy AMin = 7 khi x = 2; y = -1
Trong chuyên đề có rất nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử,
có nhiều ví dụ hay. Tuy nhiên trong tiết minh họa này chúng tôi chỉ thực hiện một

phương pháp nhỏ trong chuyên đề bằng những ví dụ cụ thể được minh họa trong tiết
dạy như sau.
6. BÀI DẠY MINH HỌA.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. x2 - 11x + 28
Giải:
x2 - 11x + 28 = x2 - 4x - 7x + 28
= x(x-4) - 7(x-4)
= (x-4)(x-7)
Phương pháp : Xuất phát từ đa thức : (x+a)(x+b)= x2 + ax + bx + ab
=x2 + (a+b)x + ab
=>x2 + bx + c = x2 + (m+n)x + mn = (x+m)(x+n)
=> Cách tách: b =m+n sao cho m.n= c
Áp dụng :
b. x2 + 5x - 24
c. x4 - 5x2 - 36
d. x2 +14xy + 48y2
Hướng dẫn:
b. x2 + 5x - 24
= x2 + 8x - 3x - 24
= x(x + 8 ) - 3(x + 8)
= (x + 8)(x - 3)

c. x4 - 5x2 - 36
= x4 - 9x2 + 4x2 - 36
= x2 ( x2 – 9) + 4( x2 – 9)
= ( x2 – 9)(x2 +4)
=( x +3)(x -3)(x2 +4)

d. x2 +14xy + 48y2
= x2 + 6xy + 8xy +48y2
= x(x +6y) + 8y( x + 6y)
= ( x+ 6y) ( x+ 8y )

Ví dụ 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. 3x2 + 8x + 4
Giải :
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 6x + 2x + 4
= 3x(x +2) + 2( x+ 2)
= ( x+2) (3x + 2)
Phương pháp : xuất phát từ đa thức : ax2 + bx +c
Tách : b = m+ n sao cho m.n =a.c
Áp dụng :
b. 6x2 + x – 12
c. 4x2 – 11xy + 6y2
Hướng dẫn:
b , 6x2 + x – 12
c , 4x2 – 11xy + 6y2
= 6x2 + 9x – 8x – 12
= 4x2 -3xy - 8xy + 6y2
20


= 3x( 2x+3) – 4(2x+3)
= (2x +3)( 3x - 4)

= x(4x – 3y) – 2y( 4x – 3y)
= (4x – 3y)(x – 2y)

Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. x3 - 19x + 30
Giải :
a. x3 - 19x + 30 = x3 – 4x – 15x + 30
= x(x2 - 4 ) -15(x - 2 )
= x(x + 2)(x – 2) – 15(x-2)
= (x -2)(x2 + 2x -15)
= (x -2 )( x2 - 3x + 5x -15)
=( x -2)(x -3)(x +5)
Phương pháp tách:
x3 – (a2 +b)x – ab = x3 – a2x - bx – ab
= x( x2 – a2 ) – b(x+a)
= x( x +a) (x – a) – b(x+a)
= (x+a)( x2 +ax – b)
Áp dụng :
b. x3 - 28x - 48
c. x3 - 3x + 2
Hướng dẫn:
b ,x3 - 28x - 48
c ,x3 - 3x + 2
= x3 - 36x + 8x - 48
= x3 - x - 2x +2
= x( x2 -36) + 8( x – 6)
= x( x2 - 1) - 2( x – 1)
= x( x + 6) (x – 6) +8( x – 6)
= x( x + 1) (x – 1) - 2( x – 1)
2
= (x – 6) ( x +6x +8)
= (x – 1) ( x2 +x -2)
= (x – 6) ( x2 +2x + 4x +8)

= (x – 1) ( x2 - x + 2x -2)
= (x - 6) (x +2)(x + 4)
= (x - 1) (x -1 )(x +2)
= (x -1)2 (x +2)
BTVN:
1, 4x2 - 8x +3
2, x2 - 5x - 14
3, x2 – 7xy + 12y2
7. KÊT LUẬN.

7.1. Kết quả đạt được:
Áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy ở trường THCS Hồng Châu trong năm
học 2018 - 2019 đã thu được các kết quả khả quan .
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ
thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân
tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức
đạt kết quả tốt. Bên cạnh đó các phương pháp này giúp các em dễ dàng tiếp cận với các
dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong
quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
7.2. Bài học kinh nghiệm:
21


Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả
hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định
hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng
tạo và kết quả tốt từ việc giải toán, rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả
năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương

pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập,
say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được
như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài
toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra
các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương
pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng
phát hiện ra các cách giải: Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ở
trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức
thành nhân tử. Các kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên
đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường,trong cụm, đồng
nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều chuyên đề tốt hơn phục vụ tích cực cho việc
giảng dạy nhằm thực hiện tốt chương trình mới THCS.
7.3. Kiến nghị, đề xuất:
Đối với Ban Giám Hiệu nhà trường:
Nhà trường sắp xếp đảm bảo hợp lý, khoa học và hiệu quả thời gian bồi dưỡng
cùng các cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học của các môn.
Chế độ thưởng được nhà trường thực hiện kịp thời ngay sau khi có thông báo kết
quả các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, đạt giải.
Nhà trường nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dưỡng, chọn lọc qua các năm
và chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi dưỡng cụ thể, có
tính chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo.
Nhà trường nên xây dựng một cơ chế hỗ trợ xứng đáng tạo điều kiện cho giáo
viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển phấn đấu, an tâm hơn trong giảng dạy.
NGƯỜI VIẾT
(ký và ghi họ, tên)

22