Đối ngẫu của khung kết hợp_2

Header Page 1 of 54.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG DUY THẮNG

ĐỐI NGẪU
CỦA KHUNG KẾT HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018
Footer Page 1 of 54.


Header Page 2 of 54.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG DUY THẮNG

ĐỐI NGẪU
CỦA KHUNG KẾT HỢP
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Quỳnh Nga

HÀ NỘI, 2018
Footer Page 2 of 54.

HÀ NỘI, 2012


Header Page 3 of 54.

ớ ỡ
ổ tọ ỏ t ỡ t s s
ý ữớ ổ ữợ ồ t t t ữợ
tổ õ t t
ổ ụ tọ ỏ t ỡ t tợ Pỏ ồ
t ổ t trữớ ồ ữ
ở ú ù tổ tr sốt q tr ồ t t trữớ
tổ ụ ỷ ớ ỡ ỗ
ờ ụ ở t tổ t


ở t




Footer Page 3 of 54.


Header Page 4 of 54.

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✱ ❞÷î✐ sü ❝❤➾ ❜↔♦ ✈➔ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥
◗✉ý♥❤ ◆❣❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ✈î✐ ✤➲ t➔✐✿✏✣è✐ ♥❣➝✉
❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✑ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜ð✐ sü ♥❤➟♥ t❤ù❝ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉

❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ t→❝ ❣✐↔✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛
♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔

❍♦➔♥❣ ❉✉② ❚❤➢♥❣

Footer Page 4 of 54.


Header Page 5 of 54.
✷

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✸

✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✻

✶✳✶

❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

❑❤✉♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷

✣è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣

✷✹

✷✳✶

❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✷✳✷

✣è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✸

❚♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝➦♣ ❞➣② ❦➳♣ ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✾

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

Footer Page 5 of 54.

✹✹
✹✺


Header Page 6 of 54.



ồ t
r ự ổ tỡ ởt tr ỳ
q trồ t ỡ s ớ õ ộ tỡ tr ổ
õ t t ữ tờ ủ t t ừ tỷ tr ỡ s
tr t ỡ s t ổ sỹ ử tở
t t ỳ tỷ tr ỡ s õ t
t ổ t ữủ ỡ s tọ ởt số ờ
s ỵ ú t t ởt ổ ử t ỡ
ởt ổ ử ữ ú t
ộ tỷ tr ổ ữ ởt tờ ủ t t ổ

ừ tỷ tr ữ ổ ỏ ọ t ở t
t ỳ tỷ
ữủ ợ t 1952 r
tr ự ộ rr ổ ỏ ở ỗ t
ồ ổ r t q trồ ừ t
30 trữợ ổ tr t t t 1980
t ố s õ ỳ t q ỡ tr
ỳ ừ ộ rr ổ ỏ

1986, s ừ s rss r [5] t ỵ
tt ợ ữủ ồ q t rở r õ

Footer Page 6 of 54.


Header Page 7 of 54.


ự ử tr ỷ ỵ t ỵ tt t ỳ
ởt tr ỳ ỹ trữợ t ỹ
ỳ t ữỡ s õ s ỹ t ử tứ
ỳ t ởt ữ ừ ỵ tữ ú
ỹ õ ỳ ự ử t ỡ ứ
ự ố ỳ t ữỡ ừ õ
s t [2] ữ r ừ ổ
r sss ởt t ồ ừ ừ ổ
t ủ s r t ủ õ t
ữ tờ qt õ ừ t ủ ởt ổ ử t ồ
qt ỳ t ỷ ỵ t t tờ ủ ỳ
t ủ t t sỷ ử

tr ởt ồ ổ ỗ ợ ố
t s s ỡ t ủ t t ố ừ õ
ữủ sỹ ỗ ỵ ữợ ừ ý tổ qt
ồ ố ừ t ủ t ồ ừ


ử ự
ự tờ q ố ừ t ủ

ử ự
ỳ tự ỡ t tỷ t t tr
ổ rt ỵ tt tờ qt tr ổ rt

ữủ ởt số ởt số t t ỡ t
ủ ởt số t q ố ừ t ủ t tỷ
Footer Page 7 of 54.


Header Page 8 of 54.
✺

❝õ❛ ❝➦♣ ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧✳

✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
• ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✳
• ❈→❝ ❜➔✐ ❜→♦✱ t➔✐ ❧✐➺✉ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛
❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✳

✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠ ✤➸ t✐➳♣ ❝➟♥

✈➜♥ ✤➲✳
❚❤✉ t❤➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ❜➔✐
❜→♦ ♠î✐ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ♥÷î❝ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♠➔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➲ ❝➟♣ tî✐✳

✻✳ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣ ✈➲ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✳

Footer Page 8 of 54.


Header Page 9 of 54.


ữỡ
tự
r ữỡ ú tổ s ởt số t t ỡ
t tỷ t t tr ổ rt t
t ỡ ừ tr ổ rt ở ừ ữỡ
ỹ tr t [4], [8].
ổ sỷ ử tr tt ổ rt

tỷ t t tử tr ổ
rt
tỷ t t T tứ ổ rt H ổ
rt K tử õ tỗ t số

c > 0 s
T(x) c

x , ợ ồ x H.

L (H, K) t tt t tỷ t t tứ H
K. H = K t L (H, K) ữủ ỡ L (H) .
ừ T L(H, K) ữủ số c ọ t tọ


T(x) c

x , ợ ồ x H. õ ởt tữỡ ữỡ
T = sup { T (x) : x H, x 1}
= sup { T (x) : x H, x = 1}

Footer Page 9 of 54.


Header Page 10 of 54.


sỷ H, L, K ổ rt T
L (H, K) t tỗ t t ởt tỷ T L (K, H) s





T (x), y = x, T (y) , x K, y H

ỡ ỳ
(aS + bT ) = aS + bT .
(RS) = S R.

(T ) = T.
I = I, tr õ I t tỷ ỗ t tở L(H).
T t T ụ (T 1) = (T )1, tr
õ S, T L (H, K) , R L (K, L) a, b C.
tỷ T 1.1.1 ữủ ồ t tỷ t t ủ
ừ t tỷ T.


sỷ T L(H, K) S L (K, L) . õ



T (x) T



ST S

.



T = T

.



TT = T

2

.

x
T

.
.

.

tỷ T L(H) ữủ ồ t tỷ tỹ ủ T = T ,
t T T = T T = I. T ữủ ồ ữỡ ( T 0)

T (x) , x 0 ợ ồ x H. T, K L(H), T K T K 0.
ú ỵ r ợ ộ T L(H) t T T (x) , x = T (x) , T (x) 0 ợ
ồ x H. õ T T ữỡ
Footer Page 10 of 54.


Header Page 11 of 54.



sỷ T L(H). õ

T tỹ ủ T (x) , x tỹ ợ ồ x H.
t t tỷ ữỡ tỹ ủ
T t T t tữỡ

ữỡ t t ổ ữợ tứ H H.
T L (H, K) tr õ H, K ổ rt


KerT = {x H : Tx = 0} ,
Range(T ) = {y K : y = T x} ợ ồ x H.




sỷ T L (H) . õ

r Range(T ) = Ker(T ) Range(T ).



T L(H, K). õ

Range(T ) õ tr K Range(T ) õ tr H.
T t tỗ t c > 0 s
ợ ồ y K.

T (y) c

y

T L(H) õ T t T
ỡ õ tr õ

q

ự sỷ T

t tự Range(T ) = H.

1.1.4 t Ker(T ) = 0. õ T ỡ ỵ 1.1.1(ii) tỗ
t c > 0 s

T (y) c

y

ợ ồ y H. sỷ t õ

{T (yk )} ở tử tợ v õ k . ứ õ

T (yk ) T (ym ) 0

k, m . ứ õ yk ym 0 k, m . ứ õ yk
ở tử ởt y õ tở H T (yk ) ở tử T (y)

Footer Page 11 of 54.


Header Page 12 of 54.
✾

k → ∞. ❉♦ ✤â v = T ∗ (y) ✈➔ Range(T ∗ ) ✤â♥❣✳
◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû T ∗ ✤ì♥ →♥❤ ✈➔ Range(T ∗ ) ✤â♥❣✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲

1.1.4 Range(T ) = H. ❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ 1.1.1(i) Range(T ) ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â
Range(T ) = H ❤❛② T t♦➔♥ →♥❤✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✶✳✷✳

❈❤♦ T ∈ L(H) ✈➔

I − T < 1.

❑❤✐ ✤â T ❧➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳

❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❧î♣ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤
❧✐➯♥ tö❝ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦✳
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ♥❤í t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✱ ❝â t❤➸ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤→✐
♥✐➺♠ trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ ✈❡❝tì✱ ♠ët ✈❡❝tì ✈î✐ ♠ët t➟♣ ❤❛② ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣
♥❤÷ s❛✉
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳

❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ u, v ∈ H ✈➔ M, N

❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ H. ❚❛ ♥â✐
✭✶✮ u trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ v ♥➳✉ u, v = 0.
✭✷✮ u trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ M ♥➳✉ u, x = 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ M.
✭✸✮ M trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ N ♥➳✉ x, y = 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ M, y ∈ N.
❑þ ❤✐➺✉ M ⊥ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✈❡❝tì tr♦♥❣ H ✈➔ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ M.

❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H. ❇➜t ❦ý ♣❤➛♥ tû x ♥➔♦ ❝õ❛ H ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠ët
❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t ❞÷î✐ ❞↕♥❣ x = y + z ✈î✐ y ∈ M ✈➔ z ∈ M ⊥, tr♦♥❣ ✤â y ❧➔
♣❤➛♥ tû ❝õ❛ M ❣➛♥ x ♥❤➜t✱ tù❝ ❧➔ x − y ≤ x − u ✈î✐ ♠å✐ u ∈ M.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✺✳

M ⊥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛ M tr♦♥❣ H. ❚❛ ✈✐➳t H =
M ⊕ M ⊥.

Footer Page 12 of 54.


Header Page 13 of 54.


Pữỡ tr M (y + z) = y, y M, z M ởt t tỷ
t t M : H M. õ M ữủ ồ trỹ tứ

H M. ú ỵ r I M trỹ tứ H M
(I M )(y + z) = z, y M, z M .
y, z = 0 y M z M , t õ
M (y + z) 2 = y 2 y 2 + z 2 = y + z

2

M (y + z) y + z .
õ M ợ M 1. õ

M (y + z), y + z = y, y + z = y

2

0

M ụ t tỷ ữỡ õ M tỹ ủ M y = y
ợ ồ y M, M = 1 trứ trữớ ủ M = {0} M = 0.
2
= M M = {M x : x H} = {y H : M y = y}
ú ỵ r M

M = {z H : M z = 0} .
ữủ sỷ B(H) 2 = = . õ
trỹ tứ H M = {x : x H} .
ữ õ ởt q 1 1 ỳ ổ õ M ừ
ởt ổ rt H trỹ tr H.

tr ổ rt
r ự ổ tỡ ởt tr ỳ
q trồ t ỡ s ớ õ ộ tỡ tr ổ
õ t t ữ tờ ủ t t ừ tỷ tr ỡ s
tr t ỡ s t ổ sỹ ử
tở t t ỳ tỷ tr ỡ s õ
t t ổ t ữủ ỡ s tọ ởt số
ờ s ú t t ởt ổ ử t

Footer Page 13 of 54.


Header Page 14 of 54.


ỡ ởt ổ ử ữ t
ộ tỷ tr ổ ữ ởt tờ ủ t t ừ
tỷ tr ữ ổ ỏ ọ t ở t t ỳ

tỷ
H ởt ổ rt ợ t ổ ữợ ., . .

I ởt t số ỳ ổ ữủ
{fi }iI ữủ ồ ss tr H tỗ



t số B > 0 s

| f, fi |2 B f 2 , f H.



iI

B ữủ ồ ss ừ {fi }iI . ởt ss {fi }iI ữủ ồ
ởt tỗ t số A > 0 s

A

f

2

| f, fi |2 , f H.

iI

t õ ữ s


ởt {fi }iI tr H ởt tỗ t

số 0 < A B < s

A

f

2

| f, fi |2 B f 2 , f H.





iI

số A B ữủ ồ ừ ú ổ t
A ởt ữợ ừ t tt số ữỡ ọ ỡ A
ụ ởt ữợ ừ ữỡ tỹ ữ B ởt
tr ừ t tt số ợ ỡ B ụ ởt tr
ừ ú t s ồ ữợ tố ữ sr
tr tt ữợ tr tố ữ tr

Footer Page 14 of 54.


Header Page 15 of 54.


tt tr ú ỵ r tố ữ
tt sỹ t ồ A B ữợ tố ữ tr tố
ữ ừ t A = sup M ợ

M=

A>0:A f

2

| f, fi |2 , f H


iI

B = infN ợ
N =

0
f

2

2



| f, fi | , f H .
iI

ừ t M = , N = A > 0

B < . A = supM tỗ t ởt {Aj }
j=1 M s
A = lim Aj . ồ f ởt tỷ tũ ỵ tở H
j

Aj

f

2

| f, fi |2 j t ụ õ A



f

2

iI

| f, fi |2 .
iI

õ A ởt ữợ ừ {fi }iI .

| f, fi |2 B

ữỡ tỹ t ự ữủ

f

2

ợ ồ f H.

iI

õ B ởt tr ừ {fi }iI .
{fi }iI ữủ ồ t A = B ữủ ồ Prs
A = B = 1.

ởt {fj }mj=1 tr ổ rt V.
õ {fj }mj=1 ởt ừ s {fj }mj=1 .



ự õ t sỷ r ổ tt fj

ổ ứ t tự r t s r
m

| f, fj |2
j=1

Footer Page 15 of 54.



m

fj
j=1

2

f

2

m



fj 2

=
j=1

f 2,


Header Page 16 of 54.


tứ õ tr tọ ợ B =

m

fj 2 .

j=1

ớ W :=

span {fj }m
j=1

t tử
m

| f, fj |2 .

: W R, (f ) :=
j=1

t ỡ tr W t t õ t t g W ợ

g = 1 s
m

| g, fj |2 = inf

A :=
j=1




m



j=1

| f, fj |2 : f W, f = 1





ó r A > 0 ớ t f W, f = 0 t õ
m

m
2

| f, fj | =
j=1

j=1

2

f
, fj
f

. f

2

A. f 2 .

ứ õ s r ữợ ụ ữủ
ữủ ự
q

ởt ồ tỷ {fj }mj=1 ừ V ởt ừ V

span {fj }mj=1 = V.
ự ứ

t s r span {fj }m
j=1 = V t

m
{fj }m
j=1 ởt ừ V. ớ t ự r {fj }j=1

ởt ừ V t span {fj }m
j=1 = V.

sỷ f V\ {0} f (span {fi }m
j=1 ) õ f fj ợ ồ j =

1, m. ứ õ | f, fj | = 0 ợ ồ j = 1, m.
{fj }m
j=1 ừ V tỗ t A > 0 s
m

| f, fj |2 A

f

2

ợ ồ f H.

j=1

| f, fj | = 0 ợ ồ j = 1, m

m
j=1

Footer Page 16 of 54.

| f, fj |2 = 0 A

f

2

ợ ồ


Header Page 17 of 54.
✶✹

f ∈ H.
❚ø ✤â t❛ ❝â ♠➙✉ t❤✉➝♥✱ ✈➟② span {fj }m
j=1 = V.
❚ø ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ s✉② r❛ ♥❣❛② r➡♥❣ ♠ët ❦❤✉♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♠ët ❞➣②
❇❡ss❡❧✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣✳ ❚❛
①❡♠ ①➨t ✈➼ ❞ö s❛✉✳

❚r➯♥ R2, ❝❤♦ f1 = (1, 0)T , f2 = (2, 0)T , f3 = (3, 0)T . ❑❤✐
✤â {f1, f2, f3} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ❝õ❛ R2. ❚❤➟t ✈➟②✱ ❝❤♦ x = (x1, x2)T .
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳

❑❤✐ ✤â

3
j=1

| x, fj |2 = x21 +4x21 + 9x21
= 14x21
≤ 14 x21 + x22
= 14

x

2

❚✉② ♥❤✐➯♥ {f1 , f2 , f3 } ❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ R2 ✈➻ span {f1 , f2 , f3 } =
R2 .
√

√

▲➜② H = R2, e1 = (1, 0)T , e2 = 23 , 12 , e3 = 23 , − 12
❑❤✐ ✤â {e1, e2, e3} ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❧➔ 32 . ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐
x = (x1 , x2 )T ∈ R2 ❜➜t ❦➻✱ t❛ ❝â
T

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳

√

3
2

| x, ej | =
j=1

x22

+

3
1
x1 + x2
2
2

√

2

+

3
1
x1 − x2
2
2

2

3
= (x21 + x22 )
2
3
=
x 2.

2
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳

Footer Page 17 of 54.

●✐↔ sû {ek }∞k=1 ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ H. ❑❤✐ ✤â

T


Header Page 18 of 54.
✶✺
∞
✐✮ {ek }∞
k=1 ❧➔ ❦❤✉♥❣ P❛rs❡✈❛❧✳ ❚❤➟t ✈➟② ❞♦ {ek }k=1 ❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥
∞

♥➯♥

k=1

| f, ek |2 = f 2 . ❉♦ ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ {ek }∞
k=1 ❧➔ ❦❤✉♥❣

P❛rs❡✈❛❧✳
✐✐✮ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➦♣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❞➣② {ek }∞
k=1 ❤❛✐ ❧➛♥ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
∞
{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...} ❦❤✐ ✤â {fk }k=1 ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥

❦❤✉♥❣ A = 2.
❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â

∞

| f, fk |2 = 2

k=1

∞

| f, ek |2 = 2

f 2 , ∀f ∈ H.

k=1

◆➳✉ ❝❤➾ e1 ✤÷ñ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ {fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...} ❦❤✐ ✤â

{fk }∞
k=1 ❧➔ ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝➟♥ A = 1, B = 2. ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â
∞

∞

| f, fk |2 = | f, e1 |2 +

k=1

| f, ek |2

k=1
∞

| f, ek |2 +

≤
k=1

∞

| f, ek |2

k=1

∞

=2

| f, ek |2

k=1

=2
▼➦t ❦❤→❝

| f, e1 |2 +

∞

f 2.
| f, ek |2 ≥

k=1

∞

| f, ek |2

k=1

= f 2.
❉♦ ✤â f

2

∞

≤

| f, fk |2 ≤ 2. f

2

✈î✐ ♠å✐ f ∈ H.

k=1

❱➻ ✈➟② {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ♠ët ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❞÷î✐ ❧➔ 1 ✈➔ ♠ët ❝➟♥
❦❤✉♥❣ tr➯♥ ❧➔ 2✳
❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ l2 (I) =
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✶✳

Footer Page 18 of 54.

{ck }k∈I ⊂ C :

|ck |2 < ∞ .
k∈I

●✐↔ sû {fk }∞k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ H. ❑❤✐ ✤â {fk }∞k=1 ❧➔


Header Page 19 of 54.
✶✻

♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇❡ss❡❧ B ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
∞

T :

{ck }∞
k=1

→

✭✶✳✹✮

ck fk
k=1

❧➔ t♦→♥ tû ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✱ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ❜à ❝❤➦♥ tø l2 (N) ✈➔♦ H ✈➔
T ≤

√

B.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ❣✐↔ sû {fk }∞k=1

❧➔ ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇❡ss❡❧ B.

∞
2
●✐↔ sû {ck }∞
k=1 ∈ l (N) ✳ ❚❛ ❝❤➾ r❛ T ({ck })k=1 ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✱
∞

tù❝ ❧➔

ck fk ❤ë✐ tö✳

k=1

❳➨t m, n ∈ N, n > m.
❑❤✐ ✤â
n

m

ck fk −
k=1

n

ck fk =

ck fk

k=1

k=m+1
n

= sup

ck fk , g

g =1

k=m+1
n

≤ sup

|ck fk , g |

g =1 k=m+1
∞

1
2

|ck |2

≤

n

sup
g =1

k=m+1

≤

√

n

2

|ck |

B

| fk , g |2

1
2

k=m+1

1
2

k=m+1

❉♦

{ck }∞
k=1

∈ l (N) t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ {
2

❚➼♥❤ t♦→♥ tr➯♥ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ {

n
k=1

n

|ck |2 }∞
n=1 ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ R.

k=1

ck fk }∞
n=1

❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ H ✈➔

❞♦ ✤â ❤ë✐ tö✳ ❱➟② T ({ck })∞
k=1 ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❘ã r➔♥❣ T ❧➔ t✉②➳♥
t➼♥❤✳
❚ø

Footer Page 19 of 54.


Header Page 20 of 54.
✶✼
∞

∞

ck fk = sup
g =1

k=1

ck fk , g
k=1

∞

≤ sup

|ck fk , g |

g =1 k=1
∞

(|ck |2 )

≤ sup

1
2

g =1 k=1

❂

∞

(|ck |2 ) sup
g =1

k=1

❂✭

2

|ck | )

| fk , g |2

1
2

k=1
1
2

∞

∞

1
2

√

∞

| fk , g |2

1
2

k=1

B.

k=1

√
∞
2
❚❛ s✉② r❛ T ({ck }∞
)
≤
B {ck }∞
k=1
k=1 ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {ck }k=1 ∈ l (N)
√
❉♦ ✤â T ≤ B ✈➔ T ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû T : l2 (N) → H ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
√
(1.4) ❧➔ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈➔ T ≤ B ✳ ●å✐ T ∗ : H → l2 (N) ❧➔ t♦→♥
2
tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ T ✳ ●å✐ {ej }∞
j=1 ❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ❝õ❛ l (N),

tù❝ ❧➔ ❤➺ ❣ç♠ ❝→❝ ✈❡❝tì ej , ❜➡♥❣ 1 ð ✈à tr➼ t❤ù j, ❜➡♥❣ 0 ð ❝→❝ ✈à tr➼ ❝á♥
❧↕✐✳ ❚ø (1.4) t❛ s✉② r❛ T (ek ) = fk ✈î✐ ♠å✐ k ∈ N. ❑❤✐ ✤â

T ∗ (f ), ek = f, T (ek ) = f, fk .
❚ø ✤â

T ∗ (f ) = { f, fk }∞
k=1 .
❚❛ ❝â

∞

| f, fk |2 = T ∗ (f )

✭✶✳✺✮

2

k=1
2

≤ T∗
= T

2

f

≤ B f 2.

Footer Page 20 of 54.

2

f
2


Header Page 21 of 54.
✶✽

❉♦ ✤â {fk }∞
k=1 ❧➔ ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇❡ss❡❧ B.
∞

◆➳✉ {fk }∞k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ H✱ ✈➔ ck fk ❤ë✐ tö ✈î✐
k=1
∞
∞
2
♠å✐ {ck }k=1 ∈ l (N) t❤➻ {fk }k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✷✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳

❈❤✉é✐

∞
k=1

❧➔ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♥➳✉
♠å✐ ❤♦→♥ ✈à σ ❝õ❛ N.

gk tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✤÷ñ❝ ❣å✐
∞

gσ(k) ❤ë✐ tö tî✐ ❝ò♥❣ ♠ët ♣❤➛♥ tû ✈î✐

k=1

∞

◆➳✉ {fk }∞k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣ H✱ t❤➻ ck fk ❤ë✐
k=1
∞
2
tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈î✐ ♠å✐ {ck }k=1 ∈ l (N).
❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✸✳

2
❉♦ ♠ët ❦❤✉♥❣ {fk }∞
k=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ♥➯♥ t♦→♥ tû T : l (N) →

H,

T ({ck }∞
k=1 )

∞

=

tû tê♥❣ ❤ñ♣✳

ck fk ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ✣à♥❤ ❧þ 1.2.1. T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥

k=1

●å✐ T ∗ : H → l2 (N) ❧➔ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ T ✳ ❚❤❡♦ ✭✶✳✺✮ t❛ ❝â T ∗ (f ) =

{ f, fj }∞

j=1 .
T ∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❍ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ T ✈➔ T ∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S : H → H, S (f ) = T T (f ) =
∗

∞

f, fk fk .
k=1

▼➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❝❤♦ t❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S.

●✐↔ sû {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ S ✈➔
❝→❝ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ A, B ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✷✳

✐✮ S t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥✱ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✱ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔ ❧➔ t♦→♥ tû ❞÷ì♥❣✳
✐✐✮ {S −1fk }k∈I ❧➔ ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝➟♥ B −1✱A−1, ♥➳✉ A, B ❧➔ ❝→❝ ❝➟♥ tè✐
÷✉ ❝õ❛ {fk }k∈I t❤➻ ❝→❝ ❝➟♥ B −1, A−1 ❧➔ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ {S −1fk }k∈I . ❚♦→♥
tû ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ {S −1fk }∞k=1 ❧➔ S −1.

Footer Page 21 of 54.


Header Page 22 of 54.
✶✾

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✐✮ S ❜à ❝❤➦♥ ♥❤÷ ♠ët sü ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ t♦→♥ tû ❜à

❝❤➦♥✳ ❚❛ ❝â

S = TT∗ ≤ T . T∗ = T

2

≤ B.

❉♦ S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S t♦→♥ tû S ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤ñ♣✳ ❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

A

f

2

| f, fk |2 ≤ B

≤

f

2

k∈I

❝â t❤➸ ✈✐➳t t❤æ♥❣ q✉❛ t♦→♥ tû S ❧➔

A f

2

≤ S(f ), f ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

❚ø ✤â AI ≤ S ≤ BI ✱ ❞♦ ✤â S ❞÷ì♥❣✳
−1

−1

❉♦ S ≤ BI ♥➯♥ B S ≤ I ❤❛② I − B S ≥ 0✳
❉♦ AI ≤ S ♥➯♥

A
BI

−1

≤ B S.

−1

A
❚ø ✤â I − B S ≤ I − B
I=
−1

❉♦ ✤â 0 ≤ I − B S ≤

B−A

A I.

B−A
B I.

❚❛ ❝â
−1

−1

I − B S = sup | (I − B S)(f ), f | ≤
f =1

B−A
B

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ 1.1.2 t❛ ❝â S ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳
✐✐✮ ❈❤ó þ r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ H,

| f, S −1 (fk ) |2 =
k∈I

Footer Page 22 of 54.

| S −1 (f ), fk |2
k∈I

≤B

S −1 (f )

2

≤B

S −1

f

2

2

≤ 1.


Header Page 23 of 54.
✷✵

◆❣❤➽❛ ❧➔✱ {S −1 (fk )}k∈I ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳ ❚ø ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ t♦→♥
tû ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ {S −1 fk }k∈I ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥â
t→❝ ✤ë♥❣ ❧➯♥ f ∈ H ❜ð✐

f, S −1 (fk ) S −1 (fk )
k∈I

= S −1 (

S −1 (f ), fk fk )

k∈I

= S −1 SS −1 (f )
= S −1 (f ).

✭✶✳✻✮

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ {S −1 fk }k∈1 ❜➡♥❣ S −1 ✳
❚♦→♥ tû S −1 ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✈î✐ ❝↔ S ✈➔ I ✳ ❱➻ t❤➳ t❛ ❝â t❤➸ ♥❤➙♥ ❜➜t ✤➥♥❣
−1

−1

t❤ù❝ AI ≤ S ≤ BI ✈î✐ S −1 , ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤♦ t❛ B I ≤ S −1 ≤ A I
tù❝ ❧➔

B −1

f

≤ S −1 (f ), f ≤ A−1

2

f

2

, ∀f ∈ H.

❚ø (1.6) t❛ ❝â

S −1 (f ), f =

f, S −1 (fk ) S −1 (fk ), f
k∈I

f, S −1 (fk )

=

S −1 (fk ), f

k∈I

f, S −1 (fk )

=

2

.

k∈I

❱➻ ✈➟②

B −1

f

2

| f, S −1 (fk ) |2 ≤ A−1

≤

f 2 , ∀f ∈ H.

k∈I

❉♦ ✤â✱ S −1 (fk )

k∈I

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ B −1 , A−1 .

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❝➟♥ ✭tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ A, B ❧➔
Footer Page 23 of 54.


Header Page 24 of 54.
✷✶

❝→❝ ❝➟♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ {fk }k∈I ), ❣✐↔ sû A ❧➔ ❝➟♥ ❞÷î✐ tè✐ ÷✉ ❝õ❛{fk }k∈I ✈➔
❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝➟♥ tr➯♥ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ S −1 (fk )

k∈I

❧➔ C < A1 . ❇➡♥❣ ❝→❝❤

→♣ ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ t❛ ✈ø❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ ❦❤✉♥❣ S −1 (fk )
tû ❦❤✉♥❣ S −1 t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ {fk }k∈I =

−1

(S −1 ) S −1 (fk )

❞÷î✐ ❧➔ C > A1 , ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ❱➻ ✈➟② S
❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝â ❝➟♥ tr➯♥ tè✐ ÷✉ ❧➔

1
A✳

❝â t♦→♥

k∈I
k∈I
−1

❝â ❝➟♥

(fk )

k∈I

▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝➟♥

❞÷î✐ tè✐ ÷✉✳
❑❤✉♥❣ S −1 (fk )

k∈I

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ❝õ❛ {fk }k∈I .

❑❤❛✐ tr✐➸♥ ❦❤✉♥❣ ❞÷î✐ ✤➙② ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t
✈➲ ❦❤✉♥❣✳ ◆â ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♥➳✉ {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ H t❤➻ ♠å✐ ♣❤➛♥
tû tr♦♥❣ H ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♥❤÷ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✈æ ❤↕♥✮ ❝õ❛
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤✉♥❣✳ ❉♦ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❦❤✉♥❣ ♥❤÷ ♠ët ❞↕♥❣ ❝ì sð s✉②
rë♥❣✳
✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✷✳✷✳

✤â

●✐↔ sû {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❧➔ S. ❑❤✐
f, S −1 (fk ) fk , ∀f ∈ H,

f=

✭✶✳✼✮

k∈I

✈➔ ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈î✐ ♠å✐ f ∈ H.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû f

∈ H✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣

tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ 1.2.2 t❛ ❝â

f = SS −1 (f ) =

S −1 (f ), fi fi =
k∈I

❉♦ {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈➔

f, S −1 (fi ) fi , ∀f ∈ H.
k∈I

f, S −1 (fk )

k∈I

∈ l2 (I)✱ t❤❡♦ ❍➺ q✉↔

1.2.3 ❝❤✉é✐ ❤ë✐ tö (1.7) ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳

▼ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ {gk }k∈I ❝õ❛ H ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤è✐

♥❣➝✉ t❤❛② ♣❤✐➯♥ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ {fk }k∈I ❝õ❛ H ♥➳✉

Footer Page 24 of 54.


Header Page 25 of 54.


f, gk fk , f H.

f=
kI

t

ứ ỵ 1.2.2 t s r ố t ởt trữớ
ủ t ừ ố t
ỵ T1 , T2 t tỷ t ừ {fi }iI {gi }iI
ừ H õ {gi }iI ố t ừ {fi }iI
T1 T2 = IH tr õ IH ỵ t tỷ ỗ t tr H
õ {gi }iI ụ ởt ừ H.
t

f = T1 T2 f
T1

T2 f

= T1

T2 f

= T1


| f, gi |2

1
2

1
T1

f

2

1
2

| f, gi |

.

t ủ ợ {gi }iI ss ừ H t s r {gi }iI ởt
ừ H. ủ ừ T1 T2 = IH t ữủ T2 T1 = IH tự

{fi }iI ởt ố t ừ {gi }iI .
ỵ s t ố ỳ t tỷ t t
tỷ tờ ủ t ợ õ

{fi}iI ởt tr H. õ
s tữỡ ữỡ
{fi}iI ởt ừ H.
tỷ tờ ủ T t t t

Footer Page 25 of 54.