Tích Phân và Ứng dụng (Power Point)

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN VÀ

Ứng dụng





b
Phương pháp
đổi biến số

I = ∫ f ( x)dx

Tính



a

Đổi biến số dạng 1:
+Quy tắc:
Bước 1: Chọn x = u (t )
Bước 2: - Lấy vi phân dx
- Đổi cận : Giả sử

Khi đó

β

( một cách thích hợp )

= u '(t )dt

x = a ⇒t =α
x=b⇒t =β

I = ∫ f (ut ).u '(t )dt
α

Bước 3: Tính

β

I = ∫ f (ut ).u '(t )dt
α




Đổi biến số dạng 1


Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chon u(t)

Dấu hiệu

Cách chọn

a −x
2

2

a +x
2
2
(a + x )
2

2


 π π
 x = a sin t , t ∈ - 2 ; 2 



 x = a cos t , t ∈ [ 0;π ]

 π π
 x = atgt , t ∈  - 2 ; 2 ÷



 x = a cot gt , t ∈ ( 0;π )


I. Phương pháp đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
2

1

dx
I1 = x 1 − x dx I 3 = ∫ 2
x − 2x + 2
1
0
2
dx
2
3
(t = 1 − x )
=∫
( x − 1 = tgt )
2
( x − 1) + 1
1

∫

2

I2 =

2

3

∫

dx

1

4− x
( x = 2sin t )
1

I 4 = ∫ x x + 1dx
2

2

0

( x = tgt )
(t = x + 1)
2


Bài giải

1

I1 = ∫ x 3 1 − x 2 dx
0

Đặt:

t = 3 1 − x2 ⇒ t 3 = 1 − x2 ⇒ x2 = 1 − t 3

x = 0 ⇒ t =1
Ta có: 2 xdx = −3t 2 dt
3 2
x =1⇒ t = 0
⇒ xdx = − t dt
2
0
3
Vậy: I1 = t ( − t 2 ) dt
∫1 2
1

3 3
3 4
= ∫ t dt = t
8
20

1
0



3
=
8

Cách 2
1

1
2 3

1
2
I1 = ∫ x 1 − x dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )
20
0
1

3

2

4
2 3 1
0

3
= − (1 − x )
8

3
=
8

2

I2 =

∫

dx

4− x
 π π
Đặt: x = 2sin t , t ∈ - ; 
 2 2
π
π
Ta có: x = 1 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t =
6
2
dxπ = 2cos tdt
π
2

1

2

Vậy: I 2 = ∫

π

6π
2

2

2cos tdt
4 − 4sin 2 t

=∫
π
2

π
6

2cos tdt
2 1 − sin 2 t

2cos tdt
=∫
= ∫ dt = t
π 2cos t
π
6


6

π
2

π
6

π π π
= − =
2 6 3


2

2

dx
I3 = ∫ 2
=
x − 2x + 2
1

dx
∫1 ( x − 1)2 + 1

 π π
Đặt: x − 1 = tgt , t ∈  − ; ÷
 2 2
π
x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t =
Ta có:
4
1
2

dx =
dt
=
1
+
tg
t dt
2
cos x

(

Vậy
:

2

π
4

)

π
4

dx
(1 + tg t )
∫1 ( x − 1)2 + 1 = ∫0 tg 2t + 1 dt = ∫0 dt = t
2

π
4
0

π
=
4


1

I 4 = ∫ x x 2 + 1dx
0

 π π
Đặt: x = tgt , t ∈  − ; ÷
 2 2
Ta có:

1
dx =
dt
2
cos t

x=0 ⇒ t =0

π

x =1 ⇒
t=
π
4
2
Vậy: I 4 = tgt tg 2t + 1 1 dt = sin xdx
∫0
∫0 cos4 x
cos 2 t
π
4

π
4

d (cos t )
1
= −∫
=
4
3
cos
t
3cos t
0


π
4

0

2 2 −1
=
3


1

I 4 = ∫ x x 2 + 1dx
0

Đặt:

t = 1+ x

2

⇒ t =1+ x
2

2

⇒ xdx = tdt

Ta có: 2tdt = 2 xdx
x = 0 ⇒ t =1

x =1⇒ t = 2
Vậy: I 4 =

2

2

1
3
t
.
tdt
=
t
dt
= t
∫1
∫1
3

2

2



1

1
= (2 2 − 1)
3

Bài 2: Tính các tích phân sau
1

1,

3

5
3
x
1
−
x
dx
∫

2,

0

0

(t = 1 − x )
3

(t = x + 1)

π

sin x cos 3 x
3, ∫
dx
2
1 + cos x
0
2

e

4, ∫
1

5,

∫x
0

3

1 − x dx ( x = sin t )
2

(t = 1 − x )
2

1 + 3ln x .ln x
dx
x

(t = 1 + 3ln x )

(t = cos x + 1)
2

1

∫

x2 + 1
dx
x +1

3

6,

∫
0

1
(1 + x )

2 3

dx ( x = tgt )


Phương pháp tích phân từng phần


b

b

a

a

b
udv
=
uv
Sử dụng công thức:∫
(1)
a − ∫ vdu

Bước Biến đổi tích phân ban đầu về
b
b
1:
dạng:
I = ∫ f ( x)dx = ∫ f1 ( x). f 2 ( x)dx
a

a

u = f1 ( x)
du =
⇒

Đặt: 
dv = f 2 ( x)dx v =

Bước
2:
Bước ¸p dụng (1) ta
3:
có:

b

I = uv − ∫ vdu



b
a

a




Khi sử dụng
phương pháp
tích phân từng
phần cần chú ý:

1, Lựa chọn
phép đặt dv

sao cho v
được xác
định một
cách dễ dàng
2, Tích phân
sau phải đơn
giản hơn tích
phân trước

Một số dạng cơ
bản:
b
∫ P( x)ln f ( x)dx Đặt: u = ln

f ( x)

a

b

∫ P ( x )e

αx

dx

a

b

∫ P( x)sin α xdx
a

b

} Đặt:

u = P ( x)

e
Đặt: u = 
sin β x
αx

∫e

αx

sin β xdx

a




II. Phương pháp tích phân từng phần
Bài 3: Tính các tích phân sau
1

I1 =

2
x
ln(3
+
x
) dx
∫
0

(u = ln(3 + x )
I2 =

2

π
4

∫ x cos 2 xdx
0

(u = x)

ln 2

I3 =

∫
(u = x)

xe − x dx

0

π

I 4 = ∫ e sin 2 xdx
2x

0

(u = e )
2x


Bài giải
1

I1 =

2
x
ln(3
+
x
)dx
∫
0

Đặt:

2x

du =
dx
2
u = ln(3 + x 2 ) 
3+ x
⇒


2
dv
=
xdx
x

v =
 3 2
1

x2
Vậy: I1 = ln(3 + x 2 ) 10 − ∫ x 2 dx
2
3+ x
0
1

1
3x

= ln 4 − ∫ ( x −
)dx
2
2
3+ x
0

1
x2 3
= ln 4 − ( − ln 3 + x 2 ) 10
2
2 2
1
 1 3

3
1
 3
= ln 4 −  − ln 4 ÷− ln 3 = 2ln 4 − ln 3 −
2
2
2
 2
 2 2




I2 =

π
4

∫ x cos 2 xdx
0

Đặt:
Vậy:

du = dx
u
=
x


⇒


1
dv = cos 2 xdx v = sin 2 x

2

1
I 2 = x sin 2 x
2

π
4
0

π
4

1
− ∫ sin 2 xdx
20

1 π
π 1
= . sin + cos 2 x
2 4
2 4

π
4
0

π 1
π
π 1
= + (cos − cos0) = −
8 4
2
8 4



ln 2

I3 =

∫

−x

xe dx

0

u = x
du = dx
⇒
Đặt: 
−x
−x
dv
=
e
dx
v
=
−
e



Vậy:

I 3 = − xe

− x ln 2
0

ln 2

+

∫e

−x

dx

0

= −e

− ln 2

ln 2 − e

− x ln 2
0

1
− ln 2
0
= − ln 2 − (e
−e )

2
1
1
1 1
= − ln 2 − + 1 = − ln 2
2
2
2 2


π

I 4 = ∫ e sin 2 xdx
2x

0

Đặt:
Vậy
:

2x

du
=
2
e
dx
2x
u = e


⇒

1
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x

2

1 2x
I 4 = − e cos 2 x
2

π
0

π

+ ∫ e 2 x cos 2 xdx
0

π

1 2π 1
'
2x
'
= − e + + I 4 ( I 4 = ∫ e cos 2 xdx)
2
2
0

π

Tính:

I 4' = ∫ e 2 x cos 2 xdx
0

Đặt:

2x

du
=
2
e
dx
2x
u = e

⇒

1
dv = cos 2 xdx v = sin 2 x

2

π

1
2x
π
2x
Ta
I = e sin 2 x 0 − ∫ e sin 2 xdx = − I 4
2
có:
0
1
1
2
π
Vậy: I 4 = − e + − I 4
2
2
1
1
2π
⇒ 2 I 4 = (1 − e ) ⇒ I 4 = (1 − e 2π )
2
4
'
4




Bài 4: Tính các tích phân sau

( Sử dụng pp từng phần )
e

lnx
I1 = ∫
dx
2
1 ( x + 1)

1

I3 =

0

e

(u = ln x)
I2 =

2π

∫
0

x
x sin dx
2
2

(u = x )
2

2
x
(
x
+
2
x
)
e
dx
∫

(u = x + 2 x)
2

π
2

I 4 = ∫ e cos xdx
0

x

2

(u = e )

x


a

Với

I=

∫ f ( x)dx

−a
π

Với

2

I = ∫ f ( x )dx
0

π

Với

I = ∫ f ( x)dx

Có thể đặt

x = −t

π
Có thể đặt x = − t
2
Có thể đặt x = π − t

0

Với

I=

2π

∫

f ( x) dx

Có thể đặt

x = 2π − t

Có thể đặt

x = a +b−t

0

Với

b

I = ∫ f ( x)dx
a




Tính các tích phân sau:
1

I1 = ∫ x 2006 sin xdx
−1

Đặt: x = −t
Ta có: dx = − dt x = −1 ⇒ t = 1

x = 1 ⇒ t = -1

−1

1

Vậy: I1 = ∫ (−t ) 2006 sin(−t )(−dt ) = − ∫ t 2006 sin tdt
−1

1

1

= −∫ x
−1

2006

sin xdx = − I1

⇒ 2 I1 = 0
⇒ I1 = 0

(Tích phân không
phụ thuộc vào
biến)


π
2

sin n x
I2 = ∫ n
dx
n
sin x + cos x
0

π
Đặt: x = − t
2
π
π

Ta có: dx = − dt x = 0 ⇒ t = ; x = ⇒ t = 0
n π
sin ( − t )
2

0

I2 = ∫
π
2

π
2

π
n π
sin ( − t ) + cos ( − t )
2
2π
n

2

2

(−dt )

2
cos n t
cos n x

=∫
dt = ∫
dx
n
n
n
n
cos t + sin t
cos x + sin x
0
0

(Tích phân không phụ
thuộc vào biến)




π
2

π
2

n

n

sin x
cos x

Vậy: 2 I 2 = ∫
dx + ∫
dx
n
n
n
n
cos x + sin x
cos x + sin x
0
0
π
2

= ∫ dx = x
0

π
2
0

π
=
2

π
⇒ I2 =
4

π

I 3 = ∫ x cos x sin xdx
2

3

0

Đặt: x = π − t
Ta có: dx = − dt

x = 0 ⇒ t = π; x = π ⇒ t = 0
0

Vậy I 3 = ∫ (π − t )cos 2 (π − t )sin 3 (π − t )(−dt )
π
:
π

= ∫ (π − t )cos t sin tdt
2

3

0