Lí thuyết và trắc nghiệm giải nhanh về khoảng cách

BÀI GIẢNG: GIẢI TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH HÌNH KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
A. LÍ THUYẾT.
Bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
- Cấp độ 1: Mặt phẳng chứa đường cao  Dựng đường vuông góc với cạnh đối diện (Xem lại bài giảng cấp
độ 1)
- Cấp độ 2: Điểm là chân đường vuông góc (3 trường hợp)
- Cấp độ 3: Từ 1 điểm bất kì đến 1 mặt phẳng bất kì. (Ap dụng phương pháp đổi điểm)
B. BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC. Có SA   ABC  . Đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa đường thẳng SB và đáy
bằng 60o
a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng:
A.

a 3
2

B. a 3

C. 2a 3

b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) là X. Tỉ số

A.

3
5

B.

3
5

C.

D. 2a

X
là
a

3
5

D.

5
3

Hướng dẫn giải
a) Ta có: góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc giữa đường thẳng SB và
đường thẳng AB  SBA  60o
Mặt phẳng (SAC) có chứa đường cao SA  Cấp độ 1
Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại H  d  B,SAC   BH
BH

là

 BH 

đường

cao

của

tam

giác

đều

ABC

cạnh

a

a 3
a 3
 d  B,SAC  
2
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt
nhất!
1

 Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng a 3
 Đáp án B
b) Điểm A là chân vuông góc  Cấp độ 2
Từ A kẻ AI  BC  I  BC  ,AK  SI  K  SI 
Ta có: SA  AB.tanSBA  a.tan 600  a 3, AI 

1
1
1
1

 2
2
2
AK
SA
AI
a 3





2



1
2

a 3


 2 



a 3
2

1
4
5
 2 2
2
3a 3a
3a

3a
2
3
a
3
a
3
a
X
3
 AK 2 
 AK 

 X  AK 
  5 
5
a
a
5
5
5
 Đáp án C
Bài 2: Cho hình chóp SABCD với SA   ABCD  . Đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SCD) là

A. 2a

2a
. Thể tích của khối chóp này là
5

3

2a 3
B.
3

a3
C.
3

D. a 3

Hướng dẫn giải
Nhận xét: Mặt phẳng (SCD) không chứa đường cao  Không phải
cấp độ 1
Mặt khác điểm A là chân vuông góc  Cấp độ 2
Kẻ AH  SA  H  SD  ta có:

CD  AD
 CD   SAD   CD  AH

CD  SA  SA   SABCD  
AH  CD
2a
 AH   SCD   d  A,SCD   AH 

5
AH  SD
Trong tam giác vuông SADcó:

1
1
1


2
2
AH
SA AD2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt
nhất!

2




1
1
1
1
1
5
1
1



 2 2 2 2
2
2
2
2
SA
AH
AD
4a
a
4a
 2a  a



 5

 SA2  4a 2  SA  4a 2  2a
1
1
2a 3
 VS.ABCD  SA.SABCD  .2a.a 2 
3
3
3
 Đáp án B
Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Sau khi rút gọn tối giản thì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có giá trị của mẫu
số là
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9.

Hướng dẫn giải
+) H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt đáy (ABCD)
+) Từ H kẻ HI  CD  I  CD  , HK  SI  K  SI 
+) Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a  SH 

a 3
2

CD  HI
 CD   SHI   CD  HK

CD  SH SH   ABCD  
+) Ta có
HK  CD
 HK   SCD   d  H,SCD   HK

HK  SI
+) Trong tam giác vuông SHI:

1
1
1
1
1
4
1
7
3a 2
a 3 a 21
2









SK

 SK 

2
2
2
2
2
2
2
2
SK
SH
HI
3a
a
3a
7
7
7
a 3 a


 2 
 d  A,SCD   d  H,SCD   SK 

a 21
7

 Đáp án B
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O. Với AB = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm của
AO, SI   ABCD  ,SI  a. Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt (SCD) là

4a
thì khoảng cách từ I đến (SCD)
13

có giá trị bằng:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt
nhất!
3


A.

a
13

B.

3a
13

C.

2a
13

D.

a 3
13

Hướng dẫn giải

AB

SCD   d  A,SCD   d  B,SCD  

d  A,SCD 
d  I,SCD 



4a
13

AC 4
3
3 4a
3a
  d  I,SCD   d  A,SCD   .

IC 3
4
4 13
13

 Đáp án B

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ =a, AC = 2a. Tính khoảng cách từ A’
đến (ACD’)
A.

a 3
7

B.

a 7
3

C.

a 3
7

D.

a 7
3

Hướng dẫn giải
+) Từ D kẻ DM  AC  M  AC  ,DH  D'M  H  D'M 

AC  DM
 AC   DD'M   AC  DH


AC  DD'
+) Ta có:
DH  AC
 DH   ACD'  d  D,ACD'  DH

DH  D'M
+) Trong tam giác vuông ACD có:

AD2  AC2  DC2  4a 2  a 2  3a 2  BC  AD  a 3

 1
1
1
1
1
4


 2 2 2

2
2
2
AD DC 3a
a
3a
 DM
+) Trong tam giác vuông DD’M:
1
1

1
1
4
7
3a 2
a 3
a 3
2


 2  2  2  DH 
 DH 
 d  D, ACD'  
2
2
2
DH
DD' DM
a
3a
3a
7
7
7

+) A 'D  AD'  I 

d  A ', ACD' 
d  D, ACD' 



A 'I
a 3
 1  d  A ', ACD'   d  D, ACD'  
DI
7

 Đáp án A

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt
nhất!
4


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(1) Mặt phẳng chứa đường cao.
=> Dựng đường vuông góc với cạnh đối diện
(2) Xét xem thấy điểm đó là chân đường vuông góc
(3) Khoảng cách từ điểm bất kì đến mặt phẳng
Bài 1. Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC). Đáy là tam giác đều cạnh a. Góc giữa đường thẳng SB và đáy
bằng 600
a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng:
√

A.

b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) là x. Tỉ số
A.

√

B.

C. 2 √

√

B.

√

D. 2a

là:
C.

√
√

D.

√
√

Giải:
a)  SB;  ABC     SB; AB   SBA  600
Gọi H là trung điểm của AC ta có


 BH  AC
 BH   SAC   d  B;  SAC    BH

BH

SA
SA

ABC






Ta có BH 

a 3
a 3
 d  B;  SAC   
 2d  B;  SAC    a 3
2
2

Chọn B.
b) Gọi E là trung điểm của BC, trong  SAE  kẻ AK  SE  K  SE  ta có:

 BC  AE
 BC   SAE   BC  AK


 BC  SA  SA   ABC  
 AK  SE
 AK   SBC   d  A;  SBC    AK  x

 AK  BC
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt
nhất!
5


Ta có : AE 

a 3
2

Xét tam giác vuông SAB có : SA  AB.tan 600  a 3
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có :

1

AK 2
x
 
a

1
1
1
4

5
a 15

 2  2  2  AK 
x
2
2
SA
AE
3a 3a
3a
5
15
3

5
5

Chọn C.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD với SA ⊥ (ABCD). Đáy là hình vuông cạnh a. Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (SCD) là
A. 2a3

√

. Thể tích của khối chóp này là:
B.

C.

D. a3

Giải:
Kẻ AH  SD ta có:

CD  AD
 CD   SAD   CD  AH

CD  SA
 AH  CD
2a
 AH   SCD   d  A;  SCD    AH 

5
 AH  SD
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD có

1
1
1
5
1
1
 2
 2  2  2  SA  2a
2
2
AH
SA AD
4a

SA a
Vậy VS . ABCD

1
1
2a3
2
.
 SA.S ABCD  .2a.a 
3
3
3

Chọn B.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!
6


Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Sau khi rút gọn tối giản thì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có
giá trị của mẫu số là:
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Giải
Gọi H là trung điểm của AB  SH  AB  SH   ABCD 
Ta có: AB / /CD  AB / /  SCD   d  A;  SCD    d  H ;  SCD  
Gọi E là trung điểm của CD, trong mặt phẳng (SHE) kẻ

HK  SE ta có:
CD  HE
 CD   SHE   CD  HK

CD  SH
 HK  CD
 HK   SCD 

 HK  SE
 d  H ;  SCD    HK

Ta có: SH 

a 3
.
2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE có:
1
1
1
4
1
a 21



 2  2  HK 
2
2
2
HK
SH
HE
3a
a
7

Vậy d  A;  SCD   

a 21
.
7

Chọn B.
Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm
của AO, SI ⊥ (ABCD), SI = a. Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là

√

thì khoảng

cách từ I đến (SCD) có giá trị bằng

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

– GDCD tốt nhất!
7


A.

B.

√

C.

√

D.

√

√
√

Giải:

Ta có AB / / CD  AB   SCD   d  B;  SCD    d  A;  SCD  
Ta có:
AI   SCD   C 
 d  I ;  SCD   

d  A;  SCD  
d  I ;  SCD  



AC 4

IC 3

3
3
d  A;  SCD    d  B;  SCD  
4
4

3 4a
3a
.
 d  I ;  SCD    .

4 13
13
Chọn B.
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ = a, AC = 2a. Tính khoảng cách từ
A’ đến (ACD’)
A.

a 3
7

B.

a 7
3

C.

a 3
7

D.

a 7
3

Bài 5:
Giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!
8


Ta có:

A ' D   ACD '  O 

d  A ';  ACD ' 
d  D;  ACD ' 



A'O
1
DO

 d  A ';  ACD '   d  D;  ACD ' 
Kẻ HD  AC , trong mặt phẳng (DD’H) kẻ DK  D ' H ,
ta chứng minh được

DK   ACD '  d  D;  ACD '   DK .
Ta có: DA  4a 2  a 2  a 3
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACD ta có:
1
1
1
1
1
a 3


 2  2  DH 
2
2
2
DH
AD CD
3a
a
2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DD’H có:

1
1
1
4
1
a 3


 2  2  DK 
2
2
2
DK
DH
DD '
3a
a
7

Vậy d  A ';  ACD '   

a 3
.
7

Chọn A.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
– GDCD tốt nhất!
9