Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

§2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA
I.
Phƣơng trình bậc nhất một ẩn là phƣơng trình có dạng:
ax  b  0  a  0  (1) với x là ẩn, a ≠ 0.
 b
 a

b
a

Ta có: 1  x   . Do đó tập nghiệm của (1) là S    .
II.

Phƣơng trình bậc hai một ẩn là phƣơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 với x là ẩn, a ≠ 0

1. Công thức nghiệm
  b2  4ac .

Nếu   0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 
Nếu   0 : phương trình có 1 nghiệm (kép) x  

b  
2a

b
.
2a

Nếu   0 : phương trình vô nghiệm
2. Định lí Vi–ét

Nếu hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 thì chúng thỏa mãn
các hệ thức x1  x2  

b
c
và x1 x2  .
a
a

3. Ứng dụng của định lí Vi–ét
a) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai:
Đặc biệt: a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1 và x2 =

c
.
a
c
a

a – b + c = 0 ⇒ x1 = – 1 và x2 = – .
b) Phân tích đa thức thành nhân tử:
Nếu đa thức f  x   ax 2  bx  c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử
f  x   a  x  x1  x  x2  .

c) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là các nghiệm của phương trình x2  Sx  P  0
d) Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giả sử phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 và x2 (x1 ≤ x2).
Đặt S  

c
b
và P  . Khi đó:
a
a

Nếu P < 0 thì x1 < 0 < x2 ( hai nghiệm trái dấu)
Nếu P > 0 và S > 0 thì 0 < x1 ≤ x2 ( hai nghiệm dương)
Nếu P > 0 và S < 0 thì x1 ≤ x2 < 0 ( hai nghiệm âm)
B. PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1: Giải và biện luận phƣơng trình dạng ax + b = 0
1. Phƣơng pháp
a) Giả sử hai hệ số a và b chứa tham số m. Ta xét các trường hợp sau:
1) a ≠ 0: nghiệm duy nhất x = 

b
a

2) a = 0 và b ≠ 0: phương trình vô nghiệm.
3) a = 0 và b = 0: phương trình có tập nghiệm là ℝ.
b) Trong trường hợp bài toán có kèm theo điều kiện, thì ta cần so sánh nghiệm với điều kiện.
2. Ví dụ
Giải và biện luận phương trình: m2x – 4 = 16x + m
(1)

Giải
2
Phương trình (1) ⇔ (m – 16)x = m + 4
 m2 – 16 ≠ 0 ⇔ m ≠ 4 và m ≠ –4:
Phương trình có nghiệm duy nhất là x 

m4
1

2
m  16 m  4

 m2 – 16 = 0 ⇔ m = ± 4:
Với m = 4: phương trình trở thành 0x = 8 nên phương trình vô nghiệm.
Với m = –4: phương trình trở thành 0x = 0 nên phương trình có nghiệm x tùy ý.

 1 
.
m  4

Kết luận: *m ≠ –4 và m ≠ 4: S = 
*m = 4 : S = Ø.
*m = –4: S = ℝ.

3. Bài tập
1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) 2(m – 1)x – m(x – 1) = 2m – 3
b) 3(m + 2)x + 4 = 2x + 5(m + 2)
c) m2(x – 1) = x – 3m + 2
d) m2x – 9 = 9mx + 3m.

Giải

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a) 2(m –1)x – m(x –1) = 2m – 3 (1)
(1) ⇔ 2mx – 2x – mx + m = 2m – 3
⇔ (m – 2)x – m + 3 = 0.
 a = m – 2 = 0 ⇔ m=2:
(1) ⇔ 0x + 1 = 0 ⇔ x ∈ Ø.
 a = m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2:
(1) ⇔ x =

3 m
.
m2

Kết luận: *m = 2: S = Ø.

3  m 
.
m  2

* m ≠ 2: S = 

b) 3(m + 2)x + 4 = 2x + 5(m + 2) (2)
(2) ⇔ 3mx + 6x – 3x + 5 – 5m – 10 = 0
⇔ (3m + 3)x – 5m – 5 = 0.

 a = 3m + 3 = 0 ⇔ m = –1:
(2)⇔ 0x + 0 = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
 a = 3m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ –1:
(2)⇔ x 

5m  5 5
 .
3m  3 3

Kết luận: *m = –1: S = ℝ.

5
3

*m ≠ –1: S =  
c) m2(x – 1) = x – 3m + 2 (3)
(3)⇔ (m2 – 1)x –m2 + 3m –2 = 0
* a = m2 – 1 = 0 ⇔ m = ± 1:
* m = 1: (3)⇔ 0x + 0 = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
* m = ––1: (3)⇔ 0x + 6 = 0 ⇔ x ∈ Ø.
* a = m2 –1 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±1:

m2  3m  2 m  2
(3)⇔ x 

.
m2  1
m 1
Kết luận: *m = 1: S = ℝ.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


*m = –1: S = Ø.

m  2
.
 m 1

*m ≠ –1 và m ≠ 1: S = 
d) m2x – 9 = 9mx + 3m

(4)

(4)⇔ (m2 – 9m)x – 3m – 9 = 0.
 a = m2 – 9m = 0 ⇔ m = 9 hay m = 0:
*m = 9: (4) ⇔ 0x – 36 = 0 ⇔ x ∈ Ø.
*m = 0: (4) ⇔ 0x – 9 = 0 ⇔ x ∈ Ø.
 a = m2 – 9m ≠ 0 ⇔ m ≠ 9 và m ≠ 0:
(4)⇔ x =

3m  9
.
m 2  9m

Kết luận: *m = 0 hay m = 9: S = Ø.

 3m  9 

.
2
 m  9m 

*m ≠ 0 và m ≠ 9: S = 

2. Giải và biện luận các phương trình:

a)m(m 2  1) x  m(m  1)
b) x m  2  m  2.
c)(m  1) x  m  1
(m  2) x m 2  4
d)

.
m 1
m 1
Giải

a)m(m  1) x  m(m  1)
2

(1)

 a = m(m –1) = 0 ⇔ m = 0 hoặc m = ±1:
*m = 1: (1) ⇔ 0x = 2 ⇔ x ∈ Ø.
*m = –1: (1) ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
*m = 0: (1) ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
2

 a = m(m2 – 1) ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ ±1:
(1)⇔ x 

m(m  1)
1

m(m 2  1) m  1

Kết luận: *m = 0 hay m = –1: S = ℝ.
*m = 1: S = Ø.

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 1 
.
 m  1

*m ≠ 0; m ≠ 1 và m ≠ –1: S = 

b) x m  2  m  2.

(2)

*a  m  2  0  m  2 :
(2)  0x  0  x  .
*a  m  2  0  m  2 :
m2

(2)  x 
 m  2.
m2
KL :*m  2 : S  .
*m  2 : S  .
*m  2 : S 



m2



c)(m  1)x  m  1
(3)
*a  m  1  0  m  1:
(3)  0x  0  x  .
*a  m  1  0  m  1
m 1
1

.
m 1
m 1
KL :*m  1: S  .
*m  1: S  
(3)  x 

 1 
*m  1: S  


 m 1
(m  2)x m 2  4
d)

.
(4)
m 1
m 1
(4)  (m  2)x  m 2  4(m  1)
*a  m  2  0  m  2 :
(4)  0x  0  x  .
*a  m  2  0  m  0;m  1:
m2  4
 m  2.
m2
KL :*m  2 : S  .
*m  1: S  
(4)  x 

*m  2;m  1: S  m  2

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3.
a)
b)

c)
d)

Giải và biện luận các phương trình:
m2(x – 1)= 2 – 2x
2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2
m3x+1=m2(x+1)
(x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0.
Giải
2

a) m (x – 1) = 2 – 2x

(1)

(1)⇔(m2 + 2)x – m2 – 2 = 0.
Ta có ∀ m ∈ ℝ thì a = m2 + 2 ≠ 0 nên

m2  2
(1)⇔ x  2
 1.
m 2
b) 2x(m – 1)=m(x–1)+m2–2

(2)

(2)⇔ (m – 2)x = m2 – m – 2
*a = m – 2 = 0 ⇔ m = 2:
(2)⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
*a = m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2:

(2) ⇔ x 

m2  m  2
 m 1.
m2

Kết luận: *m = 2: S = ℝ.
*m ≠ 2: S = {m + 1}.
c) m3x+1=m2(x+1)

(3)

(3)⇔ (m3 – m2)x = m2 – 1
*a = m3 – m2 = 0 ⇔ m = 1 hay m = 0:
Khi m = 0: (3) ⇔ 0x = –1 ⇔ x ∈ Ø.
Khi m = 1: (3) ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
*a = m3 – m2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 và m ≠ 0:

m2  1 m  1
(3) ⇔ x  3

.
m  m2
m2
Kết luận: *m = 1: S = ℝ.
*m = 0: S = Ø.

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

 m  1
2 
 m 

*m ≠ 1 và m ≠ 0: S = 
d) (x–1)m2–(2x+1)m+x+2=0

(4)

(4)⇔ (m2 – 2m + 1)x – m2 – m + 2 = 0 ⇔ ( m – 1)2x – (m – 1)(m + 2) = 0.
*a = (m – 1)2 = 0 ⇔ m =1:
(4) ⇔ 0x = 0 ⇔ x ∈ ℝ.
*a = (m – 1)2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1:

m2  m  2 m  2
(4) ⇔ x 
.

(m  1)2
m 1
Kết luận: *m = 1: S = ℝ.

m  2
.
 m 1 

*m ≠ 1: S = 

4. Giải và biện luận phương trình:

x  a x  b 2b(x  a)

 2
 0 (a   b)
ab ab
a  b2
Giải

x  a x  b 2b(x  a)

 2
 0 (a   b)
ab ab
a  b2
⇔ (x – a)(a + b) + (x – b)(a – b) + 2b(x + a) = 0
⇔ (2a + 2b)x – a2 – ab – ab + b2 + 2ab = 0
⇔ 2(a + b)x = a2 – b2.

a 2  b2 a  b
Vì a ≠ ± b nên phương trình có nghiệm duy nhất là x=
.

2(a  b)
2
Vấn đề 2: Định m để phƣơng trình ax + b = 0 thỏa điều kiện về tập nghiệm
1. Phƣơng pháp: Xét phương trình ax + b = 0 (1).

a  0

b  0

a) (1) có tập nghiệm là ℝ ⇔ 

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a  0
b  0

b) (1) vô nghiệm ⇔ 

c) (1) có nghiệm duy nhất ⇔ a ≠ 0.

a  0

d) (1) có nghiệm⇔  a  0
  b  0
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Định m để phương trình sau có tập nghiệm là ℝ.
m2(x – 1) + 3x = 4mx – 9 (1).
Giải
2
2
Ta có (1) ⇔ (m – 4m + 3)x + 9 – m = 0; a = m2 – 4m + 3; b = 9 – m2.

m 2  4m  3  0
a  0


Do đó: (1) có tập nghiệm là ℝ  
2
b  0 9  m  0
m  1 hay m = 3

m3
m
=

3
hay
m
=
3

Vậy m thỏa yêu cầu bài toán ⇔ m=3.
Ví dụ 2: Cho phương trình m3x – m2(3x – 1) + 3(x + 1) + 4m = mx (2).
Định m để phương trình (2) vô nghiệm.
Giải
Ta có:
(2)⇔ m3x – 3m2x + m2 + 3x + 3 + 4m = mx
⇔ (m3 – 3m2 – m + 3)x + m2 + 4m + 3 = 0.
(a = m3 – 3m2 – m + 3 = (m2 – 1)(m – 3), b = m2 + 4m + 3)
Do đó (2) vô nghiệm

(m 2  1)(m  3)  0
a  0
m  1  m  1  m  3 m  1


 2


b  0 m  4m  3  0
m  1  m  3
m  3
Vậy m thỏa yêu cầu là m = 3 hoặc m = 1.
Ví dụ 3: Cho phương trình m2(x + 1) = 2(2x – 1) + 3m (3).
Định m để phương trình (3) có nghiệm.
Giải
Ta có:
(3)⇔ (m2 - 4)x + m2 – 3m + 2 = 0
(a = m2 – 4 và b = m2 – 3m + 2)
(3) có nghiệm

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


m2  4  0
a  0
 m  2  m  2

 m  2  m  2


  a  0   m 2  4  0
  m  2  m  2  
 m  2 .

m

2




 b  0  m 2  3m  2  0
 m  1  m  2

Vậy (3) có nghiệm ⇔ m ≠ –2.
3. Bài tập
1. Định m để các phương trình sau vô nghiệm:
a) (m + 1)x – (x + 2m) = 4
b) (m + 1)2x – 2 = (4m + 9)x + m
c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4)
d) (4m2 – 2)x = 1 + 2m – x
Giải
a) (m + 1)x – (x + 2m) = 4 (1)
⇔ mx – 2m – 4 = 0

a  0
m  0

m0
b  0 2m  4  0

Ta có: (1 ) vô nghiệm ⇔ 

b) (m + 1)2x – 2 = (4m + 9)x + m (2)

⇔ (m2 – 2m – 8)x – m – 2 = 0

m 2  2m  8  0
a  0

m4
Ta có: (2 ) vô nghiệm ⇔ 
b  0 m  2  0
c) m2(x – 1) = 2(2x – m – 4)

(3)

⇔ (m2 – 4)x – m2 + 2m + 8 = 0

m 2  4  0
a  0
 2
 m  4
Ta có: (3 ) vô nghiệm ⇔ 
b  0 m  2m  8  0
d) (4m2 – 2)x = 1 + 2m – x

(4)

⇔ (4m2 – 1)x – 2m – 1 = 0

4m 2  1  0
a  0
1


m .
Ta có: (4 ) vô nghiệm ⇔ 
2
b  0 2m  1  0
2. Xác định các giá trị của tham số để các phương trình sau có tập nghiệm là ℝ:
a) m2x + m + 2 = m2 + 4x
b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – 2

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


c) m2x – m = 4x – 2
d) m2(x – 1) = 9x + m – 6
Giải
2

2

a) m x + m + 2 = m + 4x (1)
⇔ (m2 – 4)x – m2 + m + 2 = 0

m 2  4  0
a  0
 2
m2
Ta có : (1) có tập nghiệm là ℝ ⇔ 
b  0 m  m  2  0
b) a(x + 1) + b(2x – 1) = x – 2

(2)

⇔ (a + 2b – 1)x + a – b + 2 = 0

a  2b  1  0 a  1

a

b

2

0

b  1

Ta có : (2) có tập nghiệm là ℝ ⇔ 
c) m2x – m = 4x – 2

(3)

⇔ (m2 – 4)x – m + 2 = 0

m 2  4  0
a  0

m2
Ta có : (3) có tập nghiệm là ℝ ⇔ 
b


0

m

2

0


d) m2(x – 1) = 9x + m – 6 (4)
⇔ (m2 – 9)x – m2 – m + 6 = 0
2
a  0
m  9  0
 2
 m  3 .
Ta có : (4) có tập nghiệm là ℝ⇔ 
b

0

m

m

6

0




Định m để các phương trình sau có nghiệm:
m2x = 4x + m2 + m –2
m2(x – 1) = x – m
m(x – m) = x – m
m(x – 1) = x – m2
Giải
2
2
a) m x = 4x + m + m –2
3.
a)
b)
c)
d)

⇔ (m2 – 4)x – m2 – m + 2 = 0

(1)

m 2  4  0
a  0
 2
 m  2
Ta có (1) vô nghiệm ⇔ 
b  0 m  m  2  0
Do đó (1) có nghiệm ⇔ m ≠ –2

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


b) m2(x – 1) = x – m
⇔ (m2 – 1)x – m2 + m = 0

(2)

m 2  1  0
a  0
 2
 m  1
Ta có (2) vô nghiệm ⇔ 
b

0

m

m

0



Do đó (2) có nghiệm ⇔m ≠ –1
c) m(x – m) = x – m
⇔ (m – 1)x – m2 + m = 0

(3)

m  1  0
a  0
 2
 m 
b  0 m  m  0

Ta có (3) vô nghiệm ⇔ 

Do đó (3) có nghiệm ⇔ m ∈ ℝ.
d) m(x – 1) = x – m2
⇔ (m – 1)x + m2 – m = 0

(4)

m  1  0
a  0
 2
 m 
b  0 m  m  0

Ta có (4) vô nghiệm ⇔ 

Do đó (4) có nghiệm ⇔ m ∈ ℝ.
Vấn đề 3: Giải và biện lụn phƣơng trình dạng ax2 + bx + c = 0
1. Phƣơng pháp
 Trường hợp a = 0: Ta giải phương trình bx + c = 0
 Trường hợp a ≠ 0: Ta tính biệt thức ∆ = b2 – 4ac.
*∆ > 0: (1) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 

*∆ = 0: (1) có một nghiệm (kép) là x  

b  
.
2a

b
2a

*∆ < 0: (1) vô nghiệm.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 (1)
Giải và biện luận phương trình (1) theo tham số m.
Giải

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 a = 0 ⇔ m = –1:
(1)⇔ 0x – 4 = 0; Phương trình vô nghiệm
 a ≠ 0 ⇔ m ≠ –1:
∆’ = 4m + 4.
*∆’ > 0 ⇔ m > –1:
(1) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 

m  1  4m  4
.
m 1

*∆’ < 0 ⇔ m < –1:
(1) vô nghiệm.
Kết luận:
*m > –1: (1) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 

m  1  4m  4
.
m 1

*m ≤ – 1: (1) vô nghiệm.
Ví dụ 2: Cho phương trình

x2  2(m  1)x  m2  3
0
x2

(2).

Giải và biện luận phương trình (2).
Giải

x 2  2(m  1)x  m 2  3  0 (3)
(2)  
x  2
Ta có (3) có a = 1 ≠ 0 và ∆’ = 2m – 2.
 ∆’ < 0 ⇔ m < 1:
(3)vô nghiệm nên (2) vô nghiệm
 ∆’ = 0 ⇔ m = 1:
(3)⇔ x  

b' m  1

 2 (loại)
a
1

 ∆’ > 0 ⇔ m > 1:
(3)có hai nghiệm phân biệt là

12

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


x1  m  1  2m  2;x 2  m  1  2m  2
Ta thấy: Với m > 1 thì x2 > 2.
Lại có x1  2  m  1  2m  2  2

 2m  2  m  1
 m  1( 2  m  1)  0
 2  m 1  0
 m 1  2  m  3
Do đó: + m > 3: (2) có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.
+1 < m ≤ 3: (2) có một nghiệm là x = x2
Kết luận: *m ≤ 1: S = Ø.
*1 < m ≤ 3: S = {m + 1 +
*m > 3: S = {m + 1 –

2m  2 }.

2m  2 ; m + 1 +

2m  2 }.

3. Bài tập
1. Giải các phương trình

a)x 2  (2  2)x  2 2  0
b)x 2  5( 2  1)x  5 2  0
c)x 2  (2m  1)x  m(m  1)  0
d)x 2  2x  1  4m 2  0
e)x 2  (m  2)x  1  m  0
f)x 2  (m 2  1)x  m 2  2  0
Giải

a)x  (2  2)x  2 2  0
2

  (2  2)2  4.(2 2)  (2  2)2  0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x

13

2 2 2 2
2  2  (2  2)
 2;x 
 2

2
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


b)x 2  5( 2  1)x  5 2  0






2

5( 2  1)  4.5 2  5(3  2 2)  20 2

 5(3  2 2) 





2

5( 2  1) .

Do đó phương trình có hai nghiệm:

x

5( 2  1)  5( 2  1)
5( 2  1)  5( 2  1)
 5;x 
 10.
2
2

c)x 2  (2m  1)x  m(m  1)  0
  (2m  1)2  4m(m  1)  1  0, m.
Do đó phương trình có hai nghiệm:

x

2m  1  1
2m  1  1
 m  1;x 
m
2
2

d)x 2  2x  1  4m 2  0
 '  1  (1  4m 2 )  4m 2 .
*m = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 1.
*m ≠ 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là
x = 1 + 2m; x = 1 – 2m.

e)x 2  (m  2)x  1  m  0
Phương trình có dạng a – b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là:
x = –1 ; x = m – 1.

f)x 2  (m 2  1)x  m 2  2  0
Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có hai nghiệm là:
x = 1; x = m2 – 2.
2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m hoặc k:

a)mx 2  2(m  3)x  m  3  0
b)(m  1)x 2  2(2m  1)x  4m  1  0
c)3mx 2  (4  6m)x  3(m  1)  0
d)(k 2  5k  36)x 2  2(k  4)x  1  0
e)(x  1)[(k  1)x  4]  0
f)(mx  2)[(m  2)x  2]

14

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giải

a)mx 2  2(m  3)x  m  3  0 (1)
 a = m = 0:
(1)⇔ –6x + 3 = 0 ⇔ x =

1
.
2

 a = m ≠ 0:
∆’ = (m + 3)2 – m(m + 3) = 9 + 3m.

*m < –3: ∆’ < 0 nên (1) vô nghiệm.
*m = –3: ∆’ = 0 nên (1) có nghiệm kép là x = 0.
*m > –3: ∆’ > 0 nên (1) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 

m  3  3m  9
.
m

1 
2 

Kết luận: *m = 0: S =  
*m = –3: S = {0}
*m < –3: S = Ø.

 m  3  3m  9 

m



*m > –3 và m ≠ 0: S = 

b)(m  1)x 2  2(2m  1)x  4m  1  0
*a  m  1  0  m  1:
5
(2)  2x  5  0  x 
2
*a  m  1  0  m  1:

(2)

 '  (2 m  1)2  (m  1)(4m  1)  2  m
*m < –2: ∆’ < 0 nên (2) vô nghiệm.
*m = –2: ∆’ = 0 nên (2) có nghiệm kép là x 

2m  1
 3.
m 1

*m > –2: ∆’ > 0 nên (2) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 

15

2m  1  m  2
m

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


5
KL :*m  1: S   
2 
*m  2 : S  3
*m  2 : S  
 2m  1  m  2 
*m  2;m  1: S  

m




c)3mx 2  (4  6m)x  3(m  1)  0
*a  3m  0  m  0 :
4
(3)  4x  3  0  x 
3
*a  3m  0  m  0 :

(3)

 '  (2  3m)2  3m(3m  3)  3m  4.
*m >

4
: ∆’ < 0 nên (3) vô nghiệm
3

*m =

3m  2 1
4
 .
: ∆’ = 0 nên (3) có nghiệm kép là x 
3m
2
3

*m <

3m  2  4  3m
4
.
: ∆’ > 0 nên (3) có hai nghiệm phân biệt là x1,2 
3m
3

4
KL :*m  0 : S   
3
4
1 
*m  : S   
3
2 
4
*m  : S  
3
 3m  2  4  3m 
4
*m  ;m  0 : S  

3
3m



16

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

d)(k 2  5k  36)x 2  2(k  4)x  1  0

(4)

*a  k 2  5k  36  0  k  9  k  4
1
*k=9:(4)  26x  1  0  x  .
26
*k  4 : (4)  0x  1  0  x .
*a  k 2  5k  36  0  k  9;k  4 :
 '  (k  4)2  (k 2  5k  36)  13k  52.
*k < –4: ∆’ < 0 nên (4) vô nghiệm.
*k > –4: ∆’ > 0 nên (4) có hai nghiệm phân biệt là

x1,2 

k  4  13k  52
k 2  5k  36

Kết luận:

 1
*k  9 : S   
 26 
*k  4 : S  
 k  4  13k  52 
*k  4;k  9 : S  


2
 k  5k  36 
e)(x  1)[(k  1)x  4]  0

(5)

x  1
(5)  
(k  1)x  4 (5a)
*k  1: (5a)  0x  4  x .
4
*k  1: (5a)  x 
 x0.
k 1
(5a) có nghiệm x = 1 ⇔ k + 1 = 4 ⇔ k = 3.
Do đó : +k = 3: x0 = 1 ⇒ (5) có một nghiệm là x = 1
+k ≠ 3: x0 ≠ 1 ⇒ (5) có hai nghiệm là x = 1; x =

4
.
k 1

Kết luận:

17

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


*k  1 hay k  3 : S  1.

 4 
*k  1;k  3 : S  1;

 k  1
f)(mx  2)[(m  2)x  2]

(6)

(6a)
 mx  2  0
(6)  
(6b)
(m  2)x  2  0
0x  2  0
*m  0 : (6)  
 x  1.

2x

2

0

2x  2  0
*m  2 : (6)  
 x  1.
0x

2


0

2
2
*m  0;m  2 : (6)  x1 
hay x 2 
.
m
2m
Ta có: x1 = x2 ⇔ m = 2 – m ⇔ m = 1. Khi đó x1= x2 = 2.
Do đó: m = 1: (6) ⇔ x = 2.
m ≠ 1: (6) ⇔ x = x1 hay x = x2.

*m  0 hay m=2 : S  1
Kết luận: *m  1: S  2

*m  0;m  1;m  2 : S  x1;x 2 
3. Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
a) mx2 – (1 – 2m)x + m + 4 = 0
b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – 5 = 0
c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = 0.
d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] = 0.
Giải
2
a) mx – (1 – 2m)x + m + 4 = 0
(1)

m  0
a  0


2
  0 (1  2m)  4m(m  4)  0

(1)có hai nghiệm phân biệt  

m  0
1

 m  ;m  0
20
20m  1  0
b) (m – 2)x2 + 2(m – 3)x + m – 5 = 0

18

(2)

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


m  2  0
a  0

2
  0 (m  3)  (m  2)(m  5)  0

(2)có hai nghiệm phân biệt  

m  2
m  1



m  1  0 m  2
c) (x – 2)[(m – 1)x + 2] = 0.

x  2
(m  1)x  2  0

(3)  

(3)

(3a)

(3) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (3a) có nghiệm duy nhất khác 2.

m  1  0
m  1


(m  1).2  2  0
m  0
d) (mx – 3)[(m + 1)x – 3] = 0.

 mx  3  0
(m  1)x  3  0

(4)  

(4)

(4a)
.
(4b)

(4) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (4a) và (4b) có nghiệm duy nhất khác nhau.


m  0
m  0

 m  1  0  
m  1
3
3
 
m m 1
4. Cho hai phương trình: x2 + 2x – m = 0 (1) và x2 – 3x + 4m = 0 (2).
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. Suy ra giá trị của m để phương trình (x2
+ 2x – m)( x2 – 3x + 4m) = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
Giải
Xét phương trình: x2 + 2x – m = 0 (1) và x2 – 3x + 4m = 0 (2).

x02  2x0  m  0
*(1) và (2) có nghiệm chung x0   2
x0  3x0  4m  0
x 0  m
5x0  5m  0
 2
 2

 m  0  m  1.
x

2x

m

0
m

m

0

 0
0

19

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Với m = 0 thì (1) ⇔ x = 0 hay x = –2; (2) ⇔ x = 0 hay x = 3. Do đó (1) và (2)
chung là x = 0

có

nghiệm

Với m = –1 thì (1) ⇔ x = –1; (2) ⇔ x = –1 hay x = 4. Do đó (1) và (2) có nghiệm chung là x = –

1.
Vậy (1) và (2) có nghiệm chung ⇔ m = 0 hay m = –1.

x 2  2x  m  0
(*)
(x + 2x – m)( x – 3x + 4m) = 0   2
x

3x

4m

0

2

2

Do đó:
(*)có bốn nghiệm phân biệt
⇔ (1) và (2) cùng có hai nghiệm phân biệt và không có nghiệm chung.

 '(1)  0 m  1  0

9


 (2)  0
9  16m  0 1  m 




16 .
m

0
m  0

m  0
m  1
m  1

5. Tìm các hệ số m và k trong phương trình x2 + mx + k = 0, biết rằng phương trình có hai
nghiệm phân biệt lần lượt là m và k.
Giải
2
Phương trình x + mx + k = 0 có hai nghiệm phân biệt lần lượt là m và k

m 2  m.m  k  0  k  2m 2


m  1
  k 2  mk  k  0  4m 4  2m 3  2m 2  0  
 k  2
m  k
m  k


6. Cho hai phương trình x2 – 8x + 4m =0 (1) và x2 + x – 4m = 0 (2).
Xác định m để một trong các nghiệm của (1) gấp đôi một nghiệm của (2).

Giải
2
2
Xét x – 8x + 4m =0 (1) và x + x – 4m = 0 (2).
Giả sử (1) có nghiệm x1 gấp hai nghiệm x0 của (2) ⇒ x1 = 2x0
Khi đó ta có:

x02  x0  4m  0
5x02  15x0  0 x0  0
x0  3


hay




2
2
(2x0 )  8(2x0 )  4m  0 4m  x0  x0
m  0
m  3.
Với m = 0:

20

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


(1) ⇔ x2 – 8x = 0 ⇔ x1 = 0 hay x2 = 8.

(2) ⇔ x2 +x = 0 ⇔ x3= 0 hay x4 = –1.
Ta thấy x1 = 2x3 nên m = 0 nhận
Với m = 3:
(1) ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ x1 = 2 hay x2 = 6.
(2) ⇔ x2 +x – 12 = 0 ⇔ x3= 3 hay x4 = –4.
Ta thấy x2 = 2x3 nên m = 3 nhận
Vậy m = 0 hoặc m = 3.
7. Tìm k nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình:
x2 – 2(k + 2)x + k + 14 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Giải
*Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0 ⇔ (k + 2)2 – k – 14 > 0 ⇔ k2 + 3k – 10 > 0
⇔ (k + 5)(k – 2) > 0 ⇔ k < –5 hoặc k > 2
Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất nên k = 3.
8. Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x + m2 – 12 = 0 (1).
Định m để phương trình (1) có hai nghiệm:
a) Có giá trị tuyệt đối bằng nhau
b) Có giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau.
Giải
a) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| = |x2 |

 '  0
 x1  x 2 hay x1  x 2   '  0 hay 
S  0
4m  16  0
 4m  16  0 hay 
m  2  0
 m  4 hay m  2.
b) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1| và |x2 | là nghịch đảo của nhau:

21

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 '  0
 x1.x 2  1  
P  1 hay P  1
4m  16  0
 2
2
m  12  1 hay m  12  1
m  4

 m   13 hay m=  11
m   13 hay m=  11

Vấn đề 4: Dùng phƣơng pháp đồ thị để biện luận số nghiệm của phƣơng trình bậc hai
1. Phƣơng pháp
Giả sử phương trình được biến đổi về dạng ax2 + bx + c = m (1)
trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0, còn m là tham số.
Bước 1: Ta nói rằng phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (P): y = ax2
+ bx + c và (d): y = m.
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (d) và (P).
Bước 2: Vẽ parabol (P): y = ax2 + bx + c và đường thẳng (d) : y = m trong cùng hệ trục tọa độ.
Đường thẳng (d) song song hoặc trùng với Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ m.
Bước 3: Quan sát đồ thị, tùy theo giá trị của m, ta xác định được số giao điểm của hai đồ thị, từ đó
suy ra số nghiệm của phương trình (1).

22

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình

x  1(x2  4x  1  m)  0

(1)

a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phn biệt
Giải

x  1

Ta có: (1)  

2
x  4x  1  m (2)

Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao giiểm của hai đường:
*(d): y = m là đường thẳng song song với Ox, cắt
Oy tại điểm có tung độ m.
*(P): y = x2 – 4x + 1 là parabol ứng với x ≥ 1, có
đỉnh (2;–3), bề lõm quay lên.
Khi x = 1 thì y = –2.
Theo dồ thị ta có:
a) Phương trình đã cho có nghiệm

⇔ (d) và phần đồ thị (P) với x ≥ 1 có giao
điểm ⇔ m ≥ –3.
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

23

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


⇔ (d) và phần đồ thị (P) với x≥1 có đúng hai giao điểm phân biệt
⇔ –3 < m ≤ –2.
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị của hai hàm số
y = 2mx + 2 (d) và y = (m – 6)x2 + m không cắt nhau?
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (d) và (P) là:
(m – 6)x2 + m = 2mx + 2 ⇔ (m – 6)x2 – 2mx +m – 2 = 0

(1)

(d) và (P) không cắt nhau ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm
Với m = 6: (1) ⇔ –12x + 4 = 0 : (1) có nghiệm
Với m ≠ 6: (1) vô nghiệm ⇔ ∆ ‘ = 8m – 12 < 0 ⇔ m < 3/2.
3. Bài tập
1. Dùng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
a) x2 – x +2 = 3x + m
b) 2x2 – m = 4x – 3.
Giải
2
2
a) x – x +2 = 3x + m ⇔ x – 4x + 2 = m (1)

*Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = m với parabol
(P): y = x2 – 4x + 2.
*Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (P) và (d).
*Ta có đồ thị (P) có dạng sau:

*Nhìn đồ thị (P) ta có:
+m < –2: (P) và (d) không có giao điểm
⇒ (1) vô nghiệm
+m = –2: (P) và (d) có một giao điểm
⇒ (1) có một nghiệm.
+m > –2: (P) và (d) có hai giao điểm
⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt.

24

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


b) 2x2 – m = 4x – 3⇔ 2x2 – 4x + 3 = m (2)
*Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = m với parabol
(P): y = 2x2 – 4x + 3.
*Số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của (P) và (d).
*Ta có đồ thị (P) có dạng sau:

*Nhìn đồ thị (P) ta có:
+m < 1: (P) và (d) không có giao điểm
⇒ (2) vô nghiệm
+m = 1: (P) và (d) có một giao điểm
⇒ (2) có một nghiệm.
+m > 1: (P) và (d) có hai giao điểm

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt.
2. Cho phương trình x2 – 2x + 3 – m = 0 (*). Dùng đồ thị để:
a) Biện luận theo m số nghiệm của (*)
b) Biện luận theo m số nghiệm x ∈ [ –1;2] của (*)
c) Xác định m để (*) có đúng một nghiệm nhỏ hơn 2.
Giải
2
a) Ta có (*) ⇔ x – 2x + 3 = m.
*Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d): y = m với parabol
(P): y = x2 – 2x + 3.
*Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (P) và (d).
*Ta có đồ thị (P) có dạng sau:

25

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!