FULL BÀI TẬP CƠ HỌC ĐẤT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (HAY)

Ví dụï 7.1 bài toán CU và CD trên đất cố kết thường NC
Đất NC có các đặc trưng: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 được tiến hành
thí nghiệm ba trục thoát nước và không thoát nước.
Hai mẫu đất trên cùng chòu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực 200 kPa. Tiếp đến là giữ
nguyên áp lực buồng và tăng áp lực đứng lên từng gia số 20 kPa.
Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u=0)
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (εv =0)
Tính các độ biến dạng và áp lực nước lỗ rỗng?
Giải:
Thể tích riêng v cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng đến p’c0, trạng thái ứng suất- biến
dạng mẫu đất nằm trên đường NCL thuộc mặt giới hạn:
v = v0 = N - λlnp’c0 = 3,32 - 0,2ln200 = 2,26
lúc này mẫu đất đang nằm trên mặt ngưỡng ban đầu có p’x tính theo công thức (7.25)
q
0
ln p x' =
+ ln p '−1 =
+ ln 200 − 1 = 4,298 p’x = 73,6 kPa
Mp '
1,02 × 200
200
200
cũng có thể tính p’x theo (7.31b) px' =
=
= 73,57 kPa =73,6kPa
2, 71828
e
q
p'
+ ln
=1

Phương trình mặt ngưỡng ban đầu có dạng:
Mp '
73,6
Mẫu A áp ứng suất lệch theo lộ trình AC - có thoát nước
Cách giải 1: tính theo các giá trò thể tích riêng (hoặc hệ số rỗng) của mẫu đất sau
mỗi gia số ứng suất.
Từ q0 = 0; p’0 = 200 kPa và v0 = 2,26 mẫu đất đang đường NCL thuộc mặt gia tải,
nếu gia tải lộ trình ứng suất sẽ di chuyển trên mặt ngưỡng và sẽ xuất hiện biến dạng
dẻo
Gia tải lần thứ nhất:
∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = ∂σ1 = 20 kPa
và
∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa
Bước 1. Tính q1 và p’1
q1 = q0 + ∂q = 20kPa và p’1 = p’0 + ∂p’ = 200 + 6,7 = 206,7kPa
lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm C0 đi trên mặt giới hạn và đến điểm
D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’C1 và cắt CSL tại p’X1, Từ công
thức (7.25) suy ra
q
20
ln p x' =
+ ln p '−1 =
+ ln 206,7 − 1 = 4,425
Mp '
1,02 × 206,7
p’x1 = 83,5 kPa
q
p'
Phương trình mặt ngưỡng C1 có dạng:

+ ln
=1
Mp'
83,5


thi du 12.1
120

100

X1
X0

q (kPa)

80

60

D2

40

D1

20

0
0

50

p’x00

p’x1
100

150

p' (kPa)

200

C0
p’c00

C1

250

C2

Hình 7.1 kết quả ví dụï 7.1 lộ trình thoát nước
Áp dụng công thức (7.37)
p'
0,05 206,7
κ
∆v e
Bước 2. tính ∆ε ve =

ln 'D1 =
ln
=
= 0,00073 = 0,073%
v
vC 0
200
p C 0 2,26
Bước 3. tính p’C1 nằm trên trục p’ có q = 0, nên từ công thức (7.25) suy ra:
'
ln pC1 = ln p x' + 1 = 5,425 ⇒ pC' 1 = 227 kPa
cũng có thể sử dụng công thức p’C1 = p’C0 = 2,718 × 83,5 = 227 kPa
Bước 4. tính biến dạng thể tích dẻo, áp dụng công thức (7.38):
 λ − κ  pC' 1 0,2 − 0,05 227
p
 ln ' =
ln
= 0,0084 = 0,84%
∆ε v = 
2,26
200
 v0  pC 0
Bước 5. tính tổng biến dạng thể tích
∆ε v = ∆ε ve + ∆ε vp = 0,073% + 0,84% = 0,913%
Bước 6. tính biến dạng dẻo cắt theo công thức
∂ε vp
0,84%
∂ε dp =
=
= 0,824%

q0
1,02
M− '
p0
Vì C1 nằm trên đường NCL có thể tính dễ dàng vC1 = 3,32 – 0,2ln227 = 2,235
Trên đường nở từ C1 có thể tính thể tích riêng tại D1

300


pC' 1
227
= 2,24
= 2,235 + 0,05 × ln
'
pD1
206,7
Gia tải lần 2
∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = ∂σ1 = 20 kPa và ∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa
Bước 1. Tính q2 và p2,
q2 = q1 + ∂q = 40kPa và p2 = p1 + ∂p’ = 213,4kPa, lúc này trạng thái mẫu đất đang
di chuyển từ D1 của đường ngưỡng (p’C1) trên mặt giới hạn đến điểm D2 của đường
ngưỡng (p’C2) , có giao điểm với CSL tại p’X2, Từ công thức (7.25) suy ra
q
40
ln p x' =
+ ln p '−1 =
+ ln 213,4 − 1 = 4,547
Mp '

1,02 × 213,4
p’x2 = 94,36 kPa
q
p'
Phương trình mặt ngưỡng C2 có dạng:
+ ln
=1
Mp '
94,36
Tính p’C2 trên trục p’ có q = 0
p C' 2
ln
=1
p’C2 = 256,5 kPa
94,36
hoặc p’C2 = p’x2 = 2,7183×94,36 = 256,5 kPa
Bước 2. tính biến dạng đàn hồi thể tích tương đối
p'
κ
∆v e
0,05 213,4
∆ε ve =
=
ln D' 2 =
ln
= 0,00072 = 0,072%
v
v D1
p D1 2,24 206,7
vD1 = vC1 + κ ln

Với v là thể tích riêng tại D1
Bước 3. Biến dạng dẻo thể tích tương đối ∆εpv
256,5 
1 
∆v
(0,2 − 0,05) ln
= 0,00818 = 0,82%
∆ε vp =
=

2,24 
227 
v
Với v là thể tích riêng tại D1
Bước 4. Tính biến dạng thể tích tương đối
∆ε v = ∆ε ve + ∆ε vp = 0,072% + 0,82% = 0,892%


thi du 12.1
350

300

250

q (k P a )

200

150

100

50

0
0

50

100

150

p’c0= 200

250

300

p' (kPa)
Bước 5. Tính biến dạng dẻo cắt
∂ε vp
0,82%
p
∂ε d =
=
= 0,89%
q1

20
M − ' 1,02 −
206,7
p1
Tính tuần tự các gia số biến dạng theo từng gia tải nối tiếp đến khi lộ trình ứng suất p’-q
cắt đường CSL trong mặt (p’, q), cần phải tính toán với từng gia tải vì quan hệ ứng suất –
biến dạng là phi tuyến.
cách giải 2: áp dụng trực tiếp các công thức.
Gia tải lần thứ nhất ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
CSL
từ q0 = 0; p’0 = 200 kPa và v0 = 2,26
tính q1 và p1

350


Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
q1 = 20kPa và p1 = 206,7kPa
∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa
Tính ∂εpv; ∂εpd; ∂εev và ∂εv

 λ − κ 
q
0,2 − 0,05
0


20 + (1,02 −
) × 6,7  = 0,00872
∂ε vp =  '  ∂q + ( M − 0' )∂p ' =


200
p0

 2,26 × 1,02 × 200 
 vp 0 M  

∂ε vp

∂ε dp =

=

0,00872
= 0,00855
1,02


q 
 M − 0' 
p0 

κ ∂p' 0,05 6,7
∂ε ve =
=
= 0,00074 = 0,074%
2,26 200
v p 0'
Từ ∂ε ve = 0,074 % và ∂ε vp = 0,872%

∂ε v = ∂ε ve + ∂ε vp = 0,872 + 0,074 = 0,946%

Với ∂ε dp = 0,855%
Có thể tính biến dạng dọc trục: ∂ε 1 = ∂ε d +

∂ε v
= 1,17%
3

Tính v1

∂v
⇒ ∂v = v × ε v = 2,26 × 0,00946 = 0,02
v
v1 = v0 - ∂v = 2,26 – 0,02 = 2,24
Gia tải lần thứ hai ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
Từ q1 = 20kPa và p’1 = 206,7kPa và v1 = 2,24
Tính q2 và p2
Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa
q2 = 40kPa và p2 = 213,4kPa
p
p
e
Tính ∂ε v; ∂ε d; ∂ε v và ∂εv

 λ − κ 
q
0,2 − 0,05
20



∂ε vp =  '  ∂q + ( M − 1' )∂p ' =
20 + (1,02 −
) × 6,7  = 0,0083

206,7
p1

 2,24 × 1,02 × 206,7 
 vp1 M  

εv =

2

∂ε =
p
d

∂ε vp

=

0,00832
= 0,00901
20
1,02 −
206,7


q 
 M − 1' 
p1 

κ ∂p' 0,05 6,7
∂ε ve =
=
= 0,000724 = 0,0724%
v p1' 2,24 206,7
Từ

∂ε ve = 0,0724 %

∂ε v = ∂ε ve + ∂ε vp = 0,832 + 0,0724 = 0,904%

Với ∂ε dp = 0,901%

và

∂ε vp = 0,832%


Có thể tính biến dạng dọc trục: ∂ε 1 = ∂ε d +
Tính v2

∂ε v
= 0,901 + 0,904 / 3 = 1,2%
3

∂v
⇒ ∂v = v × ε v = 2,24 × 0,00904 = 0,02
v
v2 = v1 - ∂v = 2,24 – 0,02 = 2,22

εv =

q

q

D
CSL

X1
X

D1

O

∂q

C1

C

p’

∂p’

v

v

ε1

NCL
O

C

Nở - Nén lại

D1

CSL

C1

D
p’

Hình 7.2 Ccác lộ trình ứng suất – biến dạng lần gia tải 1 trong ví dụï 7.1
Gia tải lần thứ ba ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
Từ q2 = 40kPa và p’2 = 213,4kPa và v2 = 2,22
Tính q3 và p3
∂q = 20 kPa và ∂p’= 6,7 kPa
Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
q3 = 60kPa và p2 = 220,1kPa

p
p
e
Tính ∂ε v; ∂ε d; ∂ε v và ∂εv

ε1


 λ −κ
∂ε vp = 
'
 v2 p 2 M
6
∂ε dp =



q
0,2 − 0,05
40


 ∂q + ( M − 2' )∂p ' =
20 + (1,02 −
) × 6,7  = 0,006

213,4
p2

 2,22 × 1,02 × 213,4 


∂ε vp

=

0,0066
= 0,0079
40
1,02 −
213,4


q 
 M − 2' 
p2 

κ ∂p' 0,05 6,7
∂ε ve =
=
= 0,00071 = 0,071%
2,22 213,4
v 2 p 2'
Từ ∂ε ve = 0,071 % và ∂ε vp = 0,66%

∂ε v = ∂ε ve + ∂ε vp = 0,66 + 0,071 = 0,73%

Với ∂ε dp = 0,79%
Có thể tính biến dạng dọc trục: ∂ε 1 = ∂ε d +
Tính v2

∂ε v
0,73
= 0,79 +
= 1,03%
3
3

∂v
⇒ ∂v = v × ε v = 2,22 × 0,0073 = 0,02
v
v3 = v2 - ∂v = 2,22 – 0,016 = 2,204

εv =

Mẫu B, thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng
suất lệch ngay: q0 = 0 và p’0 = 200 kPa, v0 = N - λlnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
vf = Γ - λlnp’ =3,17-0,2lnp’f = 2,26
lnp’f = (3,17 - 2,26)/0,2 =
p’f = 94,6kPa
[Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’0 = 200 kPa ứng với v0 = 2,26 trạng thái mẫu nằm trên
mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa]
q1 = 10kPa và p1 = 203,3kPa
Với gia tải ∂σ1 = 10 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = 10 kPa và ∂p= 3,3 kPa
Tính p’1
Mp '1
q1 =
[− λ ln p'1 +λ − κ + Γ − v0 ]
(λ − κ )
1,02 p '1

[− 0,2 Lnp'1 +0,2 − 0,05 + 3,17 − 2,26]
10 =
(0,2 − 0,05)
10 = 6.8 p '1 [− 0,2 Lnp'1 +1,06] ⇒ p'1 = 192,84kPa
Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng
∂u1 = p1 – p’1 = 203,3 – 192,84= 10,46 kPa
∂q
10
Hoặc ∂u1 = p 0' − p1' +
= 200 − 192,84 +
= 10,46kPa
3
3
Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂p’1
∂p '1 = p '1 − p ' 0 = 192,84 − 200 = −7,16kPa
Vì không thoát nước v0 = const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng
dẻo nhưng trái dấu và tính như sau:


κ∂p '

0,05 × 7,16
= 0,000792 = 0,0792%
v 0 p ' 0 2,26 × 200
1
0,0792%
Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình ∂ε dp =
∂ε vp =
≈ 0,078%
M

1,02
Tính biến dạng dọc trục
Mẫu không thoát nước thể tích không đổi
∂ε v = ∂ε vp + ∂ε ve = 0
∂ε vp = −∂ε ve =

=

Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình
dẻo
∂ε d = ∂ε dp = 0,078%

∂ε v
= 0,078%
3
[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 192,84 kPa; q = 10 kPa, v0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang
ở trên mặt ngưỡng ứng với
1
ln p x' =
(3,17 − 2,26 − 0,05 ln 192,84) = 4,3127 ⇒ p x' = exp(4,3127) = 74,64kPa
0,2 − 0,05
Thí nghiệm không thoát nước, ở cuối giai đoạn nén cố kết đẳng hướng áp ứng suất lệch
ngay:
q0 = 0 và p’0 = 200 kPa, v0 = N - λlnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
lnp’f = (3,17 - 2,26)/0,2 =
p’f = 94,6kPa
vf = Γ - λlnp’ =3,17-0,2lnp’f = 2,26
[Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’0 = 200 kPa ứng với v0 = 2,26 trạng thái mẫu nằm trên
mặt ngưỡng có p’x = 73,7 kPa]
q1 = 20kPa và p1 = 206,7kPa

Với gia tải ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂q = 20 kPa và ∂p= 6,7 kPa
Tính p’1
Mp '1
q1 =
[− λ ln p'1 +λ − κ + Γ − v0 ]
(λ − κ )
1,02 p '1
20 =
[− 0,2 Lnp'1 +0,2 − 0,05 + 3,17 − 2,26]
(0,2 − 0,05)
20 = 6.8 p'1 [− 0,2 Lnp'1 +1,06] ⇒ p'1 = 184,7kPa
Tính gia số áp lực nước lỗ rỗng
∂u1 = p1 – p’1 = 206,7 – 184,7 = 22 kPa
∂q
20
Hoặc
∂u1 = p 0' − p1' +
= 200 − 184,7 +
= 22kPa
3
3
Tính gia số ứng suất hữu hiệu trung bình ∂p’1
∂p '1 = p '1 − p ' 0 = 184,7 − 200 = −15,3kPa
∂ε 1 = ∂ε d +

Vì không thoát nước v0 = const nên biến dạng thể tích đàn hồi bằng với biến dạng
dẻo nhưng trái dấu và tính như sau:

∂ε vp = −∂ε ve =

κ∂p '
v0 p '0

=

0,05 × 15,3
= 0,169%
2,26 × 200

Biến dạng dẻo cắt hoặc biến hình

∂ε dp =

1
0,169
∂ε vp =
≈ 0,166%
M
1,02

Tính biến dạng dọc trục
Mẫu không thoát nước thể tích không đổi
∂ε v = ∂ε vp + ∂ε ve = 0
Mô hình Cam Clay không xét biến hình đàn hồi nên tổng biến hình bằng biến hình
dẻo
∂ε d = ∂ε dp = 0,166%

∂ε v

= 0,166%
3
[Cuối giai đoạn gia tải có p’ = 184,7 kPa; q = 20 kPa, v0 = 2,26, trạng thái mẫu đất đang
ở trên mặt ngưỡng ứng với
1
ln p x' =
(3,17 − 2,26 − 0,05 ln 184,7 ) = 4,327 ⇒ p x' = exp(4,3) = 75,72kPa
0,2 − 0,05
∂ε 1 = ∂ε d +

q

q

D
CSL
U
U1
∂q

O

p’X

C

p’

∂p’

v

ε1

V, u

NCL

Nở - Nén lại

O

U1

U

C
CSL
D
p’

ε1

Ghi chú quan trọng: khi tính toán không thoát nước, chúng ta vẫn sử dụng cùng bộ
thông số M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32 với bài toán thoát nước.


c- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)
Một mẫu đất cố kết trước là mẫu đất khi áp ứng suất lệch tại trạng thái ứng suất
nhỏ hơn ứng suất đã chòu trong quá khứ. Trong thí nghiệm nén 3 trục, mẫu đất chòu cố

kết đẳng hướng đến p’C0 rồi giảm áp trong buồng nén về p’0, ta có được mẫu đất cố
kết trước và trạng thái đang trong miền đàn hồi.
Nếu p’0 > p’X mẫu đất cố kết trước nhẹ
Và nếu p’0 < p’X mẫu đất cố kết trước nặng.
Từ p’0 tiến hành áp ứng suất lệch theo AY,trạng thái mẫu đất di chuyển trong miền
đàn hồi nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất chạm mặt
ngưỡng p’Y, xem hình 7.11. Trong giai đoạn này có thể tính thể tích riêng tại mỗi
trạng thái ứng suất rồi suy ra các biến dạng đàn hồi thể tích và biến dạng đàn hồi cắt
và cũng có thể sử dụng
Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển trên mặt
giới hạn “tương tự mặt Roscoe” có ứng xử đàn hồi – dẻo và lộ trình trạng thái mẫu
đất (p’, v, q) di chuyển qua các mặt ngưởng (tường đàn hồi) khác nhau, nhờ đặc điểm
này có thể tính được các biến dạng dẻo và đàn hồi của từng gia số ứng suất cho đến
khi lộ trình chạm đường CSL thì mẫu đất bò trượt. Các bước tính các gia số biến dạng
của từng gia số ứng suất tương tự như đất NC.
C

v

NCL

CSL

D

A
Y

vY

vC0

vD’1
vD1

C0

D’1
D1

vC1

p’X1

p’Y

C1

p’D1

p’
p’C0

p’X2

p’C1

CSL
q,

εpd

C1
qY

Pháp tuyến mặt ngưỡng
∂εp

D1

C0
Y
A
p’0

∂εpv

∂εpv

C0
p’C0

C1

p’, εpv


Hình 7.3 Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ
Lộ trình ứng suất A đến Y chỉ có biến dạng đàn hồi
v −v

∆ε e = A Y
vA
trong đó v A = vC 0 + κ ln
và vY = vC 0 + κ ln

pC' 0
p0'

pC' 0
pY'

Trong hình 7.12, xét một gia số ứng suất lệch YD1 của trạng thái mẫu đất di
chuyển trên mặt giới hạn, từ mặt ngưỡng C0C0 sang C1C1. trong gia số ứng suất lệch
này độ thay đổi thể tích riêng là : ∆v = vY – vD1
Thể tích riêng tại Y có thể tính theo đường nở từ C0
pC' 0
vY = vC 0 + κ ln '
pY
Thể tích riêng tại D1 có thể tính theo đường nở từ C1
pC' 1
vD1 = vC1 + κ ln '
pD1
mặt khác, thể tích riêng tại C1 có thể tính theo đường NCL từ điểm C0
p'
vC1 = vC 0 − λ ln C' 1
pC 0
Tính

∆v = vY – vD1 = vC 0 + κ ln

pC' 1
pC' 0
−
v
−
κ
ln
C1
pD' 1
pY'

Thay vC1 vào biểu thức ∆v
p'
p'
p'
p'
p'
p'
∆v = vC 0 + κ ln C' 0 − vC 0 + λ ln C' 1 − κ ln C' 1 = κ ln C' 0 + λ ln C' 1 − κ ln C' 1
pY
pC 0
pD1
pY
pC 0
pD1
∆v = κ ln pC' 0 − κ ln pY' + λ ln pC' 1 − λ ln pC' 0 − κ ln pC' 1 + κ ln pD' 1
∆v = λ ln p C' 1 − λ ln pC' 0 − κ ln pC' 1 + κ ln p C' 0 − κ ln pY' + κ ln p D' 1
∆v = (λ − κ ) ln

pC' 1

p D' 1
+
κ
ln
p C' 0
pY'

Biến dạng thể tích tương đối ∆εv


∆ε v =

p'
p' 
∆v 1 
= (λ − κ ) ln C' 1 + κ ln D' 1 
v
v
pC 0
pY 

(7.1)
Với v là thể tích riêng tại Y
Trong đó, biến dạng đàn hồi thể tích tương đối trong biến dạng thể tích tương đối
là:
∆ε ve =

∆v e κ p D' 1
= ln '
v

v
pY

(7.2)
Biến dạng thể tích dẻo có thể suy ra:
'
 λ − κ  pC1
p
e
∆ε v = ∆ε v − ∆ε v = 
 ln '
 v  pC 0
(7.3)
Biến dạng dẻo cắt có thể suy ra từ công thức :
1
∂ε dp =
∂ε vp
q
M−
p'
Và biến dạng dọc trục tính như công thức 7.59
Các gia số ứng suất lệch tiếp theo tính tương tự như thí nghiệm CD trên mẫu cố kết
thường.
d- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nhẹ (OC)
v
C
C

NCL

v

Y

U1

C0
C1

CSL

p’X0

qf

q

p’f

p’U1

CSL
Uf
U1

C

C

p’0

p’C0

p’


Hình 7.4 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nhẹ
Trong thí nghiệm CU, từ p’0 tiến hành áp ứng suất lệch theo AY, trạng thái mẫu
đất di chuyển trong miền đàn hồi theo giao tuyến của mặt v = v0 = const và tường đàn
hồi chứa điểm A, nên mẫu đất chỉ có ứng xử đàn hồi cho đến khi lộ trình ứng suất
chạm mặt ngưỡng tại Y, xem hình 7.13.
Trong quá trình không thoát nước, thể tích mẫu không đổi nên trong giai đoạn AY
biến dạng đàn hồi thể tích bằng với biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu.
∆ε e = ∆ε ve + ∆ε de ⇒ ∆ε ve = −∆ε de
Tiếp theo, trong giai đoạn áp ứng suất lệch từ ngưởng Y, theo Cam clay, không có
biến dạng đàn hồi cắt thì gia số biến dạng thể tích đàn hồi bằng với gia số biến dạng
thể tích dẻo nhưng trái dấu.
∂ε ve + ∂ε vp = 0 ⇒ ∂ε ve = −∂ε vp
gia số biến dạng đàn hồi thể tích được tính theo công thức (7.46)
∂p '
∂p '
∂ε ve = −κ
⇒ ∂ε vp = κ
vp'
vp'
Từ điểm ngưởng Y, nếu gia tăng ứng suất lệch trạng thái mẫu đất sẽ di chuyển
trên giao tuyến mặt ngưởng và mặt v = v0 = const. Lộ trình trạng thái mẫu đất (p’,
v=v0 , q) di chuyển qua các tường đàn hồi khác nhau, tính toán các biến dạng tương
tự như bài toán CU trên mẫu đất NC.
Ví dụï 7.2 về bài toán CU và CD trên đất cố kết trước nhẹ

Mẫu đất NC có: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32
Hai mẫu đất trên cùng chòu nén cố kết đẳng hướng đến áp lực p’c = 200 kPa. Tiếp đến
lùi áp lực buồng về p’0 = 100 kPa rồi giữ yên áp lực ngang và tăng áp lực đứng.
Mẫu A theo điều kiện thoát nước (u = 0)
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (v0 = const)
a) Phân tích chi tiết khi áp các gia số ứng suất lệch?
b) Tính các gia số biến dạng và gia số áp lực nước lỗ rỗng khi mẫu trượt?
Ghi chú: Nếu chúng ta tính toán theo trạng thái tới hạn sẽ có ngay ứng suất ở lúc bò
trượt.
Tính p’f và qf
qf = 3(p’f – 100)
p’f = 100 + (qf /3)
thay p’f = 1,02qf vào biểu thức trên:


qf = 3(1,02qf – 100)= 3,06qf -300 ⇒ 2,06 qf = 300 ⇒ qf = 145,63 kPa
p’f = 1,02 qf = 148,54 kPa
Mẫu đất NC có: M = 1,02; Γ=3,17; λ = 0,20; κ = 0,05; N = 3,32
vf = 3,17 – 0,2lnp’f ⇒ vf = 3,17 – 0,2ln148,54 = 2,17
Cũng có thể tính biến dạng thể tích nhưng kết quả sẽ chỉ cho điểm cuối.
Tuy nhiên để có thể tính đầy đủ đặc điểm phi tuyến của quan hệ thể tích riêng theo
trạng thái ứng suất, đặc biệt là các biến dạng cắt trong suốt quá trình chòu tải phải sử
dụng mô hình ứng xử của đất.
Giải: Cuối giai đoạn nén đẳng hướng có thể tích riêng v:
vc = N - λlnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
Lùi áp lực về 100 kPa thể tích riêng sẽ là:
v0 = 2,26 -0,05(ln100-ln200) = 2,26 – 0,05 (4,6 – 5,3) =2,295
Tính p’x
Tính p’x của mặt ngưỡng có p’c = 200 kPa
1

Sử dụng công thức: ln p x' =
(Γ − v − κ ln p'c )
λ −κ
1
ln px' =
( 3,17 − 2, 26 − 0, 05ln 200 ) = 4, 3 ⇒ px' = exp(4, 3) = 73, 6kPa
0, 2 − 0, 05
q
Phương trình mặt ngưỡng có dạng:
+ ln p '− ln 73, 6 = 1
1, 02 p '
Tính p’C0 = 2,1828p’x = 160,7 kPa
Mẫu A: Bài toán thoát nước
Tính tọa độ (p’y và qy) của điểm ngưỡng Y
Để đơn giản có thể xem khi áp ứng suất lệch từ p’=100kPa lộ trình ứng suất đi trong
miền đàn hồi theo lộ trình AC đến cắt mặt ngưỡng tại điểm ngưỡng Y có tọa độ (p’y; qy)
q
, giao điểm của đường ngưỡng
+ ln p '− ln 73, 6 = 1 và đường lộ trình AC có phương
1, 02 p '
trình p’ = 100 + (q/3)
p’y = 100 + (qy /3)
qy = 3(p’y -100)
thay giá trò qy vào mặt ngưỡng và rút gọn
3 p 'y − 300
+ ln p y' − 4,3 = 1 ⇒ (lnp’y – 2,36)p’y = 294,1
p’y = 120,85 kPa
1, 02 p 'y
Gia số ứng suất hữu hiệu trung bình trong miền đàn hồi
∂p’y = 120,85 – 100kPa = 20,85 kPa

Suy ra gia số ứng suất lệch tương ứng:
∂qy = qy = 3×20,85 = 62,55 kPa

(λ − κ ) q
M
p'
v= 3,17 + 0,2 – 0,05 – 0,2ln120,85 –(0,15/1,02)*(62,55/120,85)= 3,32 – 0,959 -

Tính thể tích riêng của mẫu trên mặt ngưỡng đầu tiên : v = Γ + λ − κ − λ ln p '−
0,076
= 2,285


∂v
0,1
=
= 0, 004 = 0, 4%
v 2, 295
Biến dạng đàn hồi thể tích:
∂v
∂p '
20,85
ε ve = − = κ
= 0, 05
= 0, 004 = 0, 4%
2, 295 × 100
v
vp'

∂v = 0,01

ε ve =

Tính module đàn hồi thể tích K’
∂p ' 20,85
K'= e =
= 5212.5kPa
ε v 0, 004
Tính G theo công thức do Randolph đề nghò:
G= 0,5 K’max = 2606 kPa
Tính biến dạng đàn hồi cắt
∂q
62,55
∂ε de =
=
= 0, 008 = 0,8%
3G 3 × 2606
∂ε v = (∂ε 1 + 2∂ε 3 ) = (∂ε a + 2∂ε r )
Mặt khác, trong thí nghiệm ba trục có:
2
2
Và biến dạng cắt
∂ε d = (∂ε 1 − ∂ε 3 ) = (∂ε a − ∂ε r )
3
3
nên dễ dàng tính ε1 và ε3
∂ε
0, 4
∂ε1 = v + ∂ε d =
+ 0,8 = 0, 9%

3
3
∂ε − ∂ε1 0, 4 − 0, 9
∂ε 3 = v
=
= −0, 25%
2
2


q

q

CSL
D

Y

qy

O
v

O

Nở - Nén lại

∂qY

C

p’y

∂p’Y

C

p’

v

ε1

∂p’

Y
NCL

CSL
D

p’

ε1

Hình 7.5 Lộ trình ứng suất – biến dạng trong miền đàn hồi của đất cố kết trước
nhẹ
Ghi chú: trong miền đàn hồi có đầy đủ các biến dạng đàn hồi.
Gia tải lần 1 từ điểm ngưỡng: p’y = 120,85 kPa; qy = 3×20,85 = 62,55 kPa; p’C0 = 160,7

kPa
và v = 2,285.
∂q = ∂σ1 = 20 kPa
Chọn gia số ∂σ1 = 20 kPa; ∂σ3 = 0
∂p = ∂p’ = ∂σ1/3 = 20/3 = 6,7 kPa
và
Bước 1) Tính qD1 và p’D1 (theo hình 7.11)
q1 = qy + ∂q = 82,55kPa và p’D1 = p’y + ∂p’ = 120,85 + 6,7 = 127,55kPa
lúc này trạng thái mẫu đất di chuyển từ điểm Y đi trên mặt giới hạn và đến điểm
D1 thuộc mặt ngưỡng mới có giao điểm với NCL tại p’C1 và cắt CSL tại p’X1, Từ công
thức (7.25) suy ra
q
82, 55
ln px' =
+ ln p '− 1 =
+ ln127, 55 − 1 = 4, 483
p’x1 = 88,5 kPa
Mp '
1, 02 × 127,55
q
p'
Phương trình mặt ngưỡng C1 có dạng:
+ ln
=1
Mp '
88, 5
p’C1 = 2,1828×p’x1 = 240,6 kPa
Tính p’C1:

Biến dạng thể tích tương đối ∆εv theo công thức 7.32
1 
240, 6
127,55 
∆ε v =
(0, 2 − 0, 05) ln
+ 0, 05 ln
=0,026 + 0,0012 = 0,0272

2, 285 
160, 7
120,85 
Trong đó ∆εpv = 0,026 và ∆εev = 0,0012
Biến dạng dẻo cắt có thể suy ra từ công thức :
1
0, 026
∂ε dp =
∂ε vp =
= 0,07
q
82,55
1, 02 −
M−
p'
127,55
q

q

CSL

D

D1

Y

qy

O
v

O

Nở - Nén lại

∂q
∂qY

C

p’y p’f

∂p’Y

C

qf

p’

v

ε1

∂p’

Y
D1

NCL

CSL
D

p’

ε1

Hình 7.6 Lộ trình ứng suất – biến dạng trên mặt gia tải của đất cố kết trước nhẹ
Mẫu B theo điều kiện không thoát nước (∂εv =0)
Tính p’x
Cuối giai đọan áp ứng suất lệch p’c = 200 kPa ứng với vc = 2,26
Tính p’x của mặt ngưỡng có p’c = 200 kPa
1
Sử dụng công thức: ln p x' =
(Γ − v − κ ln p'c )
λ −κ


1

( 3,17 − 2, 26 − 0, 05ln 200 ) = 4, 3 ⇒ px' = exp(4, 3) = 73, 6kPa
0, 2 − 0, 05
q
p'
Phương trình mặt ngưỡng có dạng
+ ln
=1
1, 02 p '
73, 6
Tính tọa độ (p’y và qy) của điểm ngưỡng Y trong điều kiện không thoát nước là giao
tuyến của mặt v = const và tường đàn hồi, trong mặt (p’, q)
p’y = p’0 = 100 kPa.
qy = (1 - lnp’y + ln73,6)1,03p’y = 70,87 kPa
ln px' =

q

q

CSL
U
∂q

qy
Y

O
v

Nở - Nén lại

O

p’y

p’

v

ε1

∂p’

C

CSL

NCL

ε1
p’

Tính p’f và qf
Cuối giai đoạn nén đẳng hướng có thể tích riêng v:
vc = N - λlnp’ =3,32-0,2ln200 = 2,26
Lùi áp lực về 100 kPa thể tích riêng sẽ là:
v0 = 2,26 -0,05(ln100-ln200) = 2,26 – 0,05 (4,6 – 5,3) =2,295
do điều kiện không thoát nước nên vf = v0 = 2,295 = Γ - λlnp’f = 3,17 – 0,2 lnp’f
ln p’f = (3,17-2,295)/0,2 = 4,375
p’f = 79,44 kPa

d- Trường hợp nén ba trục CD trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)
Một mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C0 nằm trên mặt ngưởng C0C0 và
p’C0, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’0 < p’X0, mẫu đất có trạng thái
cố kết trước nặng. Tiếp theo, áp ứng suất lệch có thoát nước, mẫu đất bò nén trong
miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt thoát nước với tường đàn hồi
tương ứng, như trong hình 9. 38 và trong hình 7. 15, giai đoạn này mẫu chỉ có ứng xử


đàn hồi. Tiếp đến, trạng thái mẫu đất di chuyển trên mặt giới hạn “tương đương
Hvorslev” mẫu đất nở ra và bò trượt khi cắt đường CSL tại Df. Lộ trình từ Y trên mặt
ngưởng đến điểm Df trên đường CSL, mẫu đất có cả biến dạng đàn hồi và biến dạng
dẻo và lộ trình đi qua nhiều mặt ngưởng mặt C0C0 đến C1C1. Mặt khác, vì ứng xử đàn
hồi – dẻo là phi tuyến nên để lời giải cần tiến hành tính với nhiều gia số ứng suất
giữa Y và Df như các trường hợp trên.
v

NCL

C1
Df

vf

C1

vC1
vC0

C0 A

CSL

vY

Y
p
p’0 ’
’p’

q

Y

C0
p’Y p’X0

p’C1

p’

p’C0

CSL

C0
Df
C1
p’
A

C1

C0

Hình 7.7. Lộ trình thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước nặng
e- Trường hợp nén ba trục CU trên mẫu đất cố kết trước nặng (OC)
Tương tự như trên, mẫu đất được cố kết đẳng hướng đến điểm C0 nằm trên mặt
ngưởng C0C0 và p’C0, sau đó giảm ứng suất đẳng hướng về điểm A có p’0 < p’X0, mẫu
đất có trạng thái cố kết trước nặng. Tiếp theo, áp ứng suất lệch trong điều kiện không
thoát nước, mẫu đất bò nén trong miền đàn hồi theo lộ trình AY là giao tuyến của mặt


có v = const với tường đàn hồi tương ứng, như trong hình 9.39 và trong hình 7.17, giai
đoạn này thể tích mẫu không đổi nên gia số biến dạng đàn hồi thể tích bằng gia số
biến dạng đàn hồi cắt nhưng trái dấu, mẫu chỉ có ứng xử đàn hồi. Tiếp đến, trạng thái
mẫu đất di chuyển trên mặt ngưỡng bò trượt khi cắt đường CSL tại Uf. Lộ trình từ Y
trên mặt ngưởng đến điểm Uf trên đường CSL.

v

NCL

CSL
C1
A

vf

Uf

C0

C1
C0

p’Y

p’f

p’X0

p’C1

p’

p’C0

CSL

q
qf

Y

Uf

C0
C1
p’
A

C1

C0

Hình 7.8 Lộ trình không thoát nước theo mô hình Cam- Clay đất cố kết trước
nặng
Mô hình Cam clay gốc là mô hình đầu tiên đã giải thích khá tường tận các ứng xử
của mẫu đất ở nhiều trạng thái “ban đầu” khác nhau từ NC đến OC nặng, tuy nhiên


hàm chứa nhiều một số nguy cơ sai số, trong đó nổi bật là vùng xung quanh điểm giao
của mặt ngưỡng và trục p’.

7.3 MÔ HÌNH CAM CLAY CẢI TIẾN [46]
1- Mặt ngưỡng của mô hình Cam clay cải tiến
Ngay sau khi công bố mô hình Cam clay, các tác giả đã công bố mô hình Cam clay
cải tiến bằng cách thay biểu thức năng lượng
p ' ∂ε vp + q∂ε qp = Mp ' ∂ε qp
Bằng biểu thức

p ' ∂ε vp + q∂ε qp = p ' ∂ε vp 2 + ( M ∂ε qp )2

(7.4)
và mặt giới hạn có dạng
q2
= p ' ( p c' − p ' )
M2
(7.5)
q 2 = M 2 [ p ' ( p ' c − p ' )]

(7.6)
q2
− p p + 2 =0
M

(p )

hay:

' 2

(7.7)

'

'
c

(

q 2 = M 2 p ' p c' − p ' 2

(7.8)

q=M

(p p
'

'

c

− p '2

)

)

(7.9)
Cách viết thuận tiện để thấy họ mặt giới hạn có dạng ellipse
p'
M2
=
p c' M 2 + η 2
(7.10)
Trong đó η = q/p’
p’c ứng suất trung bình cố kết đẳng hướng của mặt ngưỡng
Dạng của ellipse phụ thuộc giá trò M, tất cả các ellipse đều đi qua gốc O, kích
thước của ellipse phụ thuộc p’c. Trong quá trình gia tải sau khi trạng thái đất chạm
ngưỡng dẻo bắt đầu có biến dạng dẻo trên mặt tới hạn đi qua các tường đàn hồi p’c
khác nhau, sự thay đổi p’c theo sự thay đổi ứng suất hữu hiệu tác động thông qua vi
phân phương trình ngưỡng, Ví dụï như phương trình (7.52)
∂p c'
∂p '
2η∂η
+
− ' =0
p' M 2 + η 2
pc
(7.11)

Hoặc:


M 2 − η 2 ∂p '  2η∂η  ∂q ∂p c'
 −
+
=0
(7.12)
M 2 + η 2 p '  M 2 + η 2  p ' p c'
Sau cùng phương trình mặt giới hạn của mô hình Cam Clay cải tiến trong không gian (v,
p’, q) được Burland và giới thiệu năm 1968 có dạng sau:
2

 q 
 N − v − λ ln p ' 

 = exp
 −1
λ −κ


 Mp ' 

(7.13)
250

200

q (kPa)

150

100

50

0
0

50

100

150

200

250

300

350

p' (kPa)

Hình 7.9 Dạng mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến
2- Các đặc điểm cơ bản của mô hình Cam clay cải tiến
q
CSL
X

p’0

p’c

p’,p
v

v
Γ

NCL
CSL

CSL
X

p’X = p’c/2

vX
v0

p’0

p’c

NCL
X

1

p’c/2

p’0

p’c

Ln p’


Hình 7.10 Mặt ngưỡng của Cam clay cải tiến và các thông số cơ bản
p'
p 'X = c
Do mặt ngưỡng có dạng ellipse nên:
2
(7.14)
Với đất cố kết trước nhẹ, với mô hình Camclay cải tiến có nghóa cụ thể là
p c'
< p 0' < p c'
2
Giao điểm của đường CSL và đường nở có thể viết
p'
v X = v0 + κ ln ' 0
( pc ) / 2
(7.15)
Với v0 là thể tích riêng ứng với p’0
Mặt khác, trên đường CSL, có thể viết v X = Γ − λ ln

p c'
2

(7.16)
Từ (7.74) và (7.75) suy ra:
p'
p'
p'
Γ − λ ln c = v0 + κ ln ' 0 = v0 + κ ln p 0' − κ ln c
2
2
( pc ) / 2
p c'
p'
− κ ln c
2
2
'
p
Γ = v0 + κ ln p 0' + (λ − κ ) ln c
2
(7.17)
Như vậy trong mô hình Camclay cải tiến có thể tính thể tích riêng Γ ứng với p’ =
1kPa của đường CSL từ thể tích riêng của mẫu đất ở trạng thái ban đầu.
Nếu viết dưới dạng hệ số rỗng công thức (7.76) trở thành:
p'
eΓ = e0 + (λ − κ ) ln c + κ ln p 0'
2
(7.18)
Đất cố kết thường p 0' = p c' . Công thức (7.76) có dạng
Γ = v0 + κ ln p 0' + λ ln

Γ = v0 + λ ln

p c'
2

(7.19)
3- Các biến dạng của mô hình Cam clay cải tiến
Theo mô hình Cam Clay cải tiến, mặt giới hạn đàn hồi có dạng:


f = q 2 − M 2 [ p' ( p'c − p' )] = 0

Mặt thế năng dẻo trùng với mặt giới hạn trong tọa trục (p’, q)
g = f = q 2 − M 2 [ p' ( p'c − p' )] = 0
q2
=0
M2
Như vậy, phương của vecteur gia số biến dạng dẻo (∂εpv; ∂εpd) theo phương hướng
ra của pháp tuyến trên mặt ngưỡng, có thể viết
∂ε vp ∂g / ∂p ' M 2 (2 p '− p c' ) M 2 − η 2
=
=
=
2q
2η
∂ε dp ∂g / ∂q
f = ( p ') − p ' p c' +
2

(7.20)

Mặt ngưỡng đồng dạng ellipse và mở rộng theo giá trò ứng suất cuối giai đoạn nén
đẳng hướng p’c nằm trên đường NCL, thể tích riêng ứng với p’c luôn có dạng
v = N - λlnp’
Cường độ biến dạng dẻo theo công thức
∂ p c'
p
∂ε v = (λ − κ )
vp'
(7.21)
Như vậy, quan hệ tái bền có dạng
∂p c'
vp'
=
p
λ −κ
∂ε v
(7.22)
Mặt khác, vì p’c nằm trên mặt (v, p’) không gây biến dạng cắt

∂p c'
=0
∂ε dp

Các gia số biến dạng đàn hồi
1

∂ε ve   K ' 0  ∂p '
 e= 
1   ∂q 
∂ε d   0


3G 

(7.23)
Các gia số biến dạng dẻo
 M 2 −η 2
(2η )  ∂p'
p
 ∂ε v 
 
λ −κ


=
 4η 2  
(7.24)
 ∂ε  vp' ( M 2 + η 2 )  (2η )


 2
2   ∂q 
 d

 M − η 
4- Các cách tính biến dạng theo mô hình Cam clay thường được sử dụng
- Biến dạng thể tích
Biến dạng thể tích của mẫu đất gồm biến dạng thể tích đàn hồi và biến dạng thể
tích dẻo với các gia số
∆ε v = ∆ε ve + ∆ε vp

(

)


Trong thí nghiệm ba trục thoát nước, nén cố kết đẳng hướng đến C (p’c) rồi giảm
tải đẳng hướng về A (p’0), giữ áp lực ngang, tăng tải đứng và cho thoát nước, mẫu đất
đi trong miền đàn hồi sau đó đạt ngưỡng tại D, tiếp đến đặt một gia tải DE trạng thái
ứng suất – biến dạng di chuyển trên mặt giới hạn, điều này làm đường ngưỡng lớn ra
ứng với p’C và p’G .
Độ thay đổi tỷ số rỗng ứng với gia tải DE là: eE - eD
Hệ số rỗng tại D có thể tính theo đường nở từ C
p'
e D = eC + κ ln C'
pD
Hệ số rỗng tại E có thể tính theo đường nở từ G
p'
e E = eG + κ ln G'
pE
mặt khác, hệ số rỗng tại G có thể tính theo đường NCL từ điểm C
p'
eG = eC − λ ln G'
pC
Do đó:

∆e = e E − e D = eG + κ ln

p C'
p G'
e

−
−
κ
ln
C
p D'
p E'

Thay eG vào biểu thức trên:
p'
p'
p'
∆e = e E − e D = eC − λ ln G' + κ ln G' − eC − κ ln C'
pD
pC
pE
∆e = e E − e D = κ ln

p C'
p G'
p G'
+
λ
ln
−
κ
ln
p D'
p C'
p E'

κ(lnp’C – lnp’D) +λ(lnp’G – lnp’C)- κ(lnp’G-lnp’E) = (λ-κ)lnp’G - (λ-κ)lnp’C+κ(lnp’Elnp’D)
p E'
pG'
∆e = κ ln ' + (λ − κ ) ln '
pD
pC

biến dạng thể tích tương đối ∆εv ứng với gia tải DE
pG' 
p E'
∆e
1 
(
)
∆ε v =
=
κ
ln
+
λ
−
κ
ln


1 + eo 1 + e0 
p D'
pC' 
(7.25)

Với e0 là hệ số rỗng tại D
Trong đó, biến dạng thể tích đàn hồi tương đối trong biến dạng thể tích tương đối
là:
∆ε ve =

e − eE
p'
∆e
κ
ln E'
= D'
=
1 + eo
1 + e0
1 + e pD

(7.26)
Biến dạng thể tích dẻo có thể suy ra như sau: