Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số họ nghiệm của phương trình cot ( sin x ) = 1
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đáp án B
Ta có cot ( sin x ) = 1 sin x =
4
+ k , k
.
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi −1
Do k
4
nên k = 0 . Suy ra phương trình sin x =
+ k 1 −
1
−
1
1 1
k − .
4
4
có 2 họ nghiệm.
4
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm 0; để phương trình x 2 − 4 x + 6 − 4sin = 0 có
nghiệm kép.
A. 0;
2
B. ;
3 3
3
C. ;
2 2
5
D. ;
6 6
Đáp án D
Phương trình đã cho có nghiệm kép khi và chỉ khi
' = 0 sin =
1
5
; (do 0;2 )
2
6 6
Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho phương trình m sin 2x + sin x − cos x = 0 (m là tham
số).
Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng?
A. Trong khoảng − ; , phương trình đã cho vô nghiệm.
2 2
B. Trong khoảng − ; , phương trình đã cho có nghiệm.
2 2
C. Trong khoảng − ; , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
2 2
D. x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
Đáp án B
Xét hàm số f ( x ) = m sin 2x + sin x − cos x
Rõ ràng f ( x ) là hàm số liên tục trên
cho nên f ( x ) liên tục trong đoạn − ;
2 2
Ta có f = 1 0, f − = −1 0 (với mọi m).
2
2
Suy ra f − . f 0, m .
2 2
Do đó theo định lí trung gian phương trình đã cho có nghiệm x0 − ;
2 2
Suy ra A, C sai
Kiểm tra thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra D sai.
Vậy chỉ có B đúng.
Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình
cos 3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =
x = 16 + k 2
A.
(k
x = − + k
16
2
x = 16 + k 2
C.
(k
x = − + k
16
2+3 2
8
)
)
x = 16 + k
B.
(k
x = − + k
16
2
)
x = 16 + k 2
D.
(k
x = − + k
18
2
)
Đáp án A
Ta có cos 3 x cos3 x − sin 3 x sin 3 x =
cos 3 x.
2+3 2
8
cos 3 x + 3cos x
3sin x − sin 3 x 2 + 3 2
− sin 3 x.
=
4
4
8
2cos2 3x + 6cos3x cos x − 6sin 3x sin x + 2sin 2 3x = 2 + 3 2
2 ( cos 2 3 x + sin 2 3 x ) + 6 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) = 2 + 3 2
x = +k
2
16
2
cos 4 x =
(k
2
x = − + k
16
2
)
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình
)
(
sin 3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 = 0
4
A. 0
Đáp án C
B. 1
C. 2
D. 3
Điều kiện 9 x 2 − 16 x − 80 0 x 4
Phương trình đã cho tương đương với
( 3x −
4
)
90 x 2 − 16 x − 80 = k ( k
)
3x − 9 x2 −16 − 80 = 4k 9 x2 −16 x − 80 = 3x − 4k
4k
4k
x
x
3
3
2
9 x 2 − 16 x − 80 = ( 3x − 4k )2
x = 2k + 10
3k − 2
2k 2 + 10 4k
3k − 2 3
2k 2 + 10
Yêu cầu bài toán tương đương với x =
4
3k − 2
2k 2 + 10
3k − 2
2k 2 + 10 4k
−6k 2 + 8k + 30
0
3k − 2
2
3
3k − 2
Ta có
2
k 3
2
3
x = 2k + 10 4
2k − 12k + 18 0
3k − 2
3k − 2
Vì k
nên k 1;2;3
Với k = 1 suy ra
2k 2 + 10
= 12
3k − 2
Với k = 2 suy ra
2k 2 + 10 9 9
=
3k − 2
2 2
2k 2 + 10
= 4
Với k = 3 suy ra
3k − 2
Kết hợp với điều kiện ta suy ra x = 4; x = 12
Vậy có 2 giá trị nguyên dương cần tìm
Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình
cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3x + cos 2 4 x = 2
x = 2 + k
A. x = + k ( k
4
2
x = + k
10
5
)
x = − 2 + k
B. x = + k ( k
4
2
x = + k
10
5
)
x = 2 + k
C. x = − + k ( k
4
2
x = + k
10
5
x = 2 + k
D. x = + k
(k
4
2
x = − + k
10
5
)
)
Đáp án A
Phương trình đã cho tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1 + cos 2 x 1 + cos 4 x 1 + cos 6 x 1 + cos8 x
+
+
+
=2
2
2
2
2
cos 2x + cos 4x + cos6x + cos8x = 0
( cos 2 x + cos 4 x ) + ( cos 6 x + cos8x ) = 0
2cos3x cos x + 2cos7 x cos x = 0
2cos x ( cos3x + cos 7 x ) = 0 4cos x cos 2 x cos5 x = 0
x = 2 + k
x = 2 + k
cos x = 0
cos 2 x = 0 2 x = + k x = + k ( k )
2
4
2
cos 5 x = 0
5 x = + k
x = + k
2
10
5
Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. max sin x,cos x = cos x khi 0 x
C. max sin x,cos x = sin x khi
4
4
x
B. max sin x,cos x = cos x khi 0 x
D. max sin x,cos x = cos x khi
4
2
x
Đáp án B
sin x cos x khi
4
x và cos x sin x khi 0 x
Vậy max sin x,cos x = cos x khi 0 x
4
2
Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình
(1 − 4sin x ) sin 3x = 12
2
2
x = − 14 + k 7
A.
(k
2
x = + k
10
5
2
x = 14 + k 7
C.
(k
x = + k 2
10
5
)
)
2
x = 14 + k 7
B.
(k
2
x = − + k
10
5
)
2
x = − 14 + k 7
D.
(k
x = − + k 2
10
5
)
Đáp án C
Nhận xét cos x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Do đó, nhân cả hai vế của
phương trình cho cos x 0 ta được
( cos x − 4 cos x sin 2 x ) sin 3x = 12 cos x
2sin 3 x ( 4 cos3 x − 3cos x ) = cos x
2sin3x cos3x = cos x sin 6x = cos x
2
x = +k
14
7
sin 6 x = sin − x
(k
2
x = + k 2
10
5
Câu
f ( x, y ) =
A.
(Gv
8:
Văn
Phú
Quốc
2018)
)
Tìm
giá
C.
a+d
b+c
trị
nhỏ
nhất
của
D.
b+c
a+d
hàm
số
a sin 4 x + b cos4 y a cos 4 x + b sin 4 y
+
c sin 2 x + d cos2 y c cos 2 x + d sin 4 y
a+b
c+d
B.
a+c
b+d
Đáp án A
a sin 4 x + b cos4 y
a cos 4 x + b sin 4 y
;
f
=
2
a sin 2 x + b cos2 y
a cos 2 x + b sin 2 y
Ta có c + d = c ( sin 2 x + cos 2 x ) + d ( sin 2 y + cos 2 y )
Đặt f ( x; y ) = af1 + bf 2 với f1 =
Do đó ( O; R )
sin 4 x
cos4 x
2
2
2
2
+
( c + d ) f1 = ( c sin x + d cos y ) + ( c cos x + d sin y ) 2
2
2
2
c sin x + d cos y c cos x + d sin
sin 2 x
cos 2 x
=1
c sin 2 x + d cos 2 y
+ c cos 2 x + d sin 2 y
2
2
2
2
c
sin
x
+
d
cos
y
c
cos
x
+
d
sin
y
1
f1
c+d
1
a+b
Tương tự f 2
. Vậy f ( x; y ) = af1 + bf 2
c+d
c+d
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm nghiệm x của phương trình
2 ( sin 3 x + sin 2 x − sin x + 1) = 3 − 2sin x − cos 2 x
thỏa mãn điều kiện sin x
A. x = k , k .
Đáp án A
1
.
2
B. x =
2
+ k , k . C. x =
6
+ k , k . D. x .
y
sin x = 0
Phương trình đã cho tương đương với 2sin x + sin x = 0
.
sin x = − 1
2
3
Do điều kiện sin x
2
1
nên sin x = 0 x = k , k .
2
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm của phương trình
A. 1.
B. 2.
cos x 1
= .
x
5
C. 3.
D. 4.
Đáp án B
x 0
cos x 1
=
Ta có
x.
x
5
cos x = 5
Số nghiệm phương trình
cos x 1
x
= là số giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cos x và y = .
x
5
5
Để ý rằng đường thẳng y =
x
cắt đồ thị hàm số y = cos x tại hai điểm (trừ điểm x = 0 ) nên
5
phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Hãy xem hình vẽ dưới đây: (Gv Văn Phú Quốc
2018)
Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các họ nghiệm của phương trình
sin 3 x.sin 3x + cos3 x cos 3 x
1
=− .
8
tan x − .tan x +
6
3
A. x = −
C. x = −
6
6
+ k ( k
+ k 2 ( k
).
B. x =
).
D. x =
6
6
+ k ( k
+ k 2 ( k
Đáp án A
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x
6
+ k ( k
).
Ta có tan x − .tan x + = tan x − .cot − x = −1 .
6
3
6
6
Phương trình đã cho tương đương với
).
).
sin 3 x.sin 3 x + cos3 x.cos 3 x =
1
8
1 − cos 2 x cos 2 x − cos 4 x 1 + cos 2 x cos 2 x + cos 4 x 1
.
+
.
=
2
2
2
2
8
2 ( cos 2 x − cos 2 x.cos 4 x ) =
1
1
2 cos 2 x. (1 − cos 4 x ) =
2
2
x = + k
1
1
6
cos3 2 x = cos 2 x =
(k
8
2
x = − + k
6
Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn x = −
6
+ k ( k
)
).
Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho góc thỏa mãn điều kiện
3
và tan = 2 .
2
5
− 2 .
Tính giá trị của biểu thức M = sin 2 + sin + + sin
2
2
A.
1
.
5
B. −
1
.
5
C.
1− 5
.
5
D.
1+ 5
.
5
Đáp án C
Ta có
1
3
= 1 + tan 2 = 1 + 4 = 5 . Vì
nên cos 0
2
cos
2
Suy ra cos = −
1
.
5
5
− 2 = sin 2 + cos + cos 2
Khi đó M = sin 2 + sin + + sin
2
2
1 1 1− 5
.
= sin 2 + cos + 2cos 2 − 1 = cos 2 + cos = −
=
5
5
5
Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho góc thỏa mãn
3
và sin − 2cos = 1 .
2
Tính A = 2tan − cot .
A. 6.
B.
1
.
6
C. 2.
Đáp án B
Vì
3
nên sin 0, cos 0.
2
sin − 2cos = 1
2
Ta có 2
(1 + 2cos ) + cos 2 = 1
2
sin + cos = 1
D.
1
.
2
5cos 2 + 4 cos = 0 cos = −
4
5
3
3
4
Suy ra sin = − 1 − cos 2 = − ; tan = ;cot =
5
4
3
3 4 1
Vậy A = 2 tan − cot = 2. − = .
4 3 6
Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các nghiệm x 0; của phương trình sau
2
x
3
4sin 2 − − 3 sin − 2 x = 1 + 2 cos 2 x −
2
4
2
A. x =
5
.
18
5 7
B. x ; .
18 18
C. x =
7
.
18
D. x
Đáp án A
x
3
Ta có 4sin 2 − − 3 sin − 2 x = 1 + 2 cos 2 x −
2
4
2
3
2 1 − cos ( 2 − x ) − 3 cos 2 x = 1 + 1 + cos 2 x −
2
2 − 2cos x − 3 cos 2 x = 2 − sin 2 x sin 2 x − 3 cos 2 x = 2cos x
1
3
sin 2 x −
cos 2 x = cos x sin 2 x − = cos − x
2
2
3
3
5
2
2 x − 3 = 2 − x + k 2
x = 18 + k 3
2 x − = + x + k 2
x = 5 + k 2
3 2
6
(k )
5
.
Vì x 0; nên ta chọn được nghiệm x =
18
2
Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = sin 5 x + 3 cos x . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là sai?
A. M + m = 0 .
C. M − m = 2 3 .
B. Mm = −3 .
D.
Đáp án D
Ta có sin 5 x sin 4 x y sin 4 x + 3 cos x .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
2
(1 − cos x )(1 + cos x )(1 + cos x ) = ( 2 − 2 cos x )(1 + cos x )(1 + cos x )
M
=1.
m
1 2 − 2 cos x + 1 + cos x + 1 + cos x 32
3
=
2
3
27
3
3 − (1 − cos x )(1 + cos x )(1 + cos x ) 0
2
(1 − cos x ) 3 − (1 − cos x )(1 + cos x ) 0
3 (1 − cos x ) − sin 4 x 0 sin 4 x + 3 cos x 3
M = max y = 3 cos x = 1 x = k 2 , k
Ta lại có y − sin 4 x + 3 cos x .
Tương tự như trên, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
2
(1 + cos x )(1 − cos x )(1 − cos x ) = ( 2 + 2 cos x )(1 − cos x )(1 − cos x )
32
3
27
3 − (1 + cos x )(1 − cos x )(1 − cos x ) 0
2
(1 + cos x ) 3 − (1 + cos x )(1 − cos x ) 0
− sin 4 x + 3 cos x − 3
m = min y = − 3 cos x = −1 x = + k 2 , k .
Do đó
M
= −1 . Vì vậy, mệnh đề D sai.
m