(sở giáo dục) 7 câu nhị thức newton image marked image marked

Câu 1 (Sở GD Bắc Ninh 2018): Cho khai triển (1 − 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 20 x 20 . Giá
20

trị của a 0 + a1 + a 2 + ... + a 20 bằng
B. 320

A. 1

D. −1

C. 0

Đáp án A
20

Ta có (1 − 2x ) =  Ck20 ( −2 ) x k = 1 + ( −2 ) x + ( −2 ) x 2 + ( −2 ) x 3 + ... + ( −2 ) x 20 .
20

k

2

3

20

k =0

Chọn x = 1  (1 − 2 ) = 1 + ( −2 ) + ( −2 ) + ... + ( −2 )  a 0 + a1 + a 2 + ... + a 20 = 1.
20

2

20

Câu 2 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 )Hệ số của x3 trong khai triển
8
( x − 2 ) bằng
B. −C83 .23

A. C83 .23

C. −C85 .25

D. C85 .25

Đáp án C

Phương pháp:
n

-Sử dụng khai triển nhị thức NewTon ( a − b ) =  Cnk .a n −k . ( −b )
n

k

k =0

-Dựa vào điều kiện số mũ của đề bài để tìm ra k từ đó suy ra hệ số
Cách làm:
8

Ta có ( x − 2 ) =  C8k .x8−k . ( −2 )
8

k

k =0

Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với 8 − k = 3  k = 5
5
Vậy hệ số của x3 trong khai triển là C85 . ( −2 ) = −C85 .25 .

Câu 3 ( Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Hà Nội 2018 ): Tìm hệ số của x 5 trong khai
triển (1 + x + x 2 + x3 )

10

A. 252

B. 582

C. 1902

Đáp án C

Phương pháp:
Phân tích đa thức 1 + x + x 2 + x3 thành nhân tử.

D. 7752

n

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( a + b ) =  Cnk .a n − k .b k
n

k =0

Cách giải:

(1 + x + x

2

+ x3 ) = (1 + x ) + x2 (1 + x ) = (1 + x 2 ) (1 + x )
10

10

10

Áp dụng khai triển nhị thức Newton ta có:
(1 + x 2 ) (1 + x )  =  C10k .x 2 k . C10m .x m ( k , m 


k =0
k =0
10

10

10

)

Để tìm hệ số của x 5 ta cho 2k + m = 5  ( k; m) ( 0;5) ; (1;3) ; ( 2;1)
Vậy hệ số của x 5 là : C100 .C105 + C101 .C103 + C102 .C101 = 1902
Câu 4 (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018): Tìm hệ số của số hạng x10 trong
2
khai triển biểu thức  3x 3 − 2 
x 


5

C. −810

B. −240

A. 240

D. 810

Đáp án C
5

k

5
5

5− k
2
2
5− k
k
Ta có  3x 3 − 2  =  C5k ( 3x 3 )  2  =  C5k ( 3) ( −2 ) x15−5k
x  k =0

x 
k =0
1
Số hạng chứa x10  15 − 5k = 10  k = 1  a1 = C15 34 ( −2 ) x10 = −810x10

Câu 5: (Sở Giáo Dục-ĐT Bình Phước 2018)
Với n là số nguyên dương thỏa mãn C1n + C3n = 13n, hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai
n

1 

triển của biểu thức  x 2 + 3  bằng
x 


A. 120

B. 252

C. 45

D. 210

Đáp án A
Ta có

n!
n!
1
+
= 13n  n + n ( n − 1)( n − 2 ) = 13n  6 + ( n − 1)( n − 2 ) = 78  n = 10
6
( n − 1)! ( n − 3)!3!
n

n
n
 2 1 
2
−3 10
k
2 10 − k
−3 k
k
x
+
=
x
+
x
=
C

x
x
=
C10
x 20−5k
(
)
)
(
)


10 (

3 
x 

k =0
k =0


3
= 120 .
Giải 20 − 5k = 5  k = 3 => hệ số cần tìm là C10

Câu 6 (Sở GDĐT Bắc Giang -Lần 2)
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cn0 + 2Cn1 + 22 Cn2 + ...2n Cnn = 14348907 . Hệ số
n

1

của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức  x 2 − 3  ( x  0) bằng
x


A. −1365 .

B. 32760 .

Đáp án C
n

Xét khai triển (1 + x ) =  Cnk .1n−k.x k
n

k =0

 (1 + x ) = Cn0 .x 0 + Cn1 .x1 + Cn2 .x 2 + ... + Cnn .x n
n

Thay x = 2 ta được
 (1 + 2 ) = Cn0 + Cn1 .21 + Cn2 .22 + ... + Cnn .2n
n

3n = 14348907

n = log3 14348907

n = 15
15

1
Xét  x 2 − 3 
x 


SHTQ: C15k ( x 2 )

15 − k

= C .x
k
15

30 − 2 k

( −1)
.

 −1 
. 3 
x 

k

k

x3k

= C15k . ( −1) .x 30− 2 k −3k
k

Số hạng chứa x10  30 − 5k = 10
k =4
 Số hạng cần tìm là C154 ( −1) = 1365 .
4

C. 1365 .



D. −32760 .


Câu 7: ( Sở GD&ĐT Đà Nẵng2018) Giá trị của
A=

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
bằng
1!.2018! 2!.2017! 3!.2016!
1008!.1011! 1009!.1010!

A.

22017 − 1
.
2018!

B.

22017
.
2018!

C.

22017
.
2019!

D.

22018 − 1
.
2019!

Đáp án D.
Cách 1 (Giải theo trắc nghiệm - Tổng quát hóa – Đặc biệt hóa)
Bài toán tổng quát:
Cho A =

1
1

1
1
1
+
+
+ ... +
+
1!. ( 2n )! 2!. ( 2n − 1)! 3!. ( 2n − 2 )!
( n −1)!. ( 2n )! n!. ( n + 1)!

22 n −1
22 n −1 − 1
22 n
22 n − 1
. D.
.
. C.
. B.
Giá trị của A là: A.
( 2n + 1)!
( 2n + 1)!
( 2n ) !
( 2n ) !

Đặc biệt hóa: Cho n = 2, ta có: A =

1
1
1
+

= .
1!.4! 2!.3! 8
24 − 1 1
= .
5!
8

Khi n = 2 ứng với 4 đáp án A, B, C, D, ta thấy chỉ có đáp án D:
Cách 2 (Làm tự luận)
1009

1009
1009
1
2019!
k
 2019!. A = 
=  C2019
k
!.
2019
−
k
!
k
!.
2019
−
k
!

(
)
(
) k =1
k =1
k =1

Ta có: A = 

k
2019 − k
= C2019
Chú ý rằng: C2019
nên

Ngoài ra (1 + 1)

2019

1009

k
=
 C2019
k =1

2018



k =1010

k
C2019

2019

k
=  C2019
= 22019
k =0

1009

k
  C2019
=
k =1

1 2018 k
1  2019 k
 1
22018 − 1
C2019 =   C2019
− 2  = 22019 − 2 = 22018 − 1. Do đó A =
.

2 k =1
2  k =0
2019!

 2

(

)

Câu 8: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)

Cho khai triển (1 − 3x + 2 x 2 )
A. 9136578

2017

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ...a4034 x 4034 . Tìm a2 .

B. 16269122

C. 8132544

D. 18302258

Đáp án D
k
k
Cki ( 2 x 2 ) . ( −3x )
Số hạng tổng quát của khai triển là C2017
( 2x2 − 3x ) = C2017
k

k

= C2017
.Cki .2i. ( −3)

k −i

.x k +1 ( 0  i  k  2017 )

i

k −i


 k = 2; i = 0
 k = 1; i = 1

Cho k + i = 2  

2
0
2
1
.C20 .20. ( −3) + C2017
.C11.21. ( −3) = 18302258
Vậy a2 = C2017

Câu 9: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
n

1
Trong khai triển  3x 2 +  , biết hệ số của x3 là 34 Cn5 . Giá trị của n có thể nhận là

x


A. 9

B. 15

C. 12

D. 16

Đáp án A
n

k

n
n
n−k
1
1
Xét khai triển  3x 2 +  =  Cnk . ( 3x 2 ) .   =  Cnk .3n− k.x 2 n −3k
x

x
k =0
k =0

k = 5
n−k

k
4
5

n = 9
3 .Cn = 3 .Cn

Hệ số của x ứng với  2 n−3k 3
 n − k = 4  
=x

2n − 3k = 3 k = 5
x

3

Câu 10: (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018) Trong khai triển đa thức
2 

P(x) =  x +

x


6

( x  0) ,

hệ số của x 3 là:

B. 80

A. 60

C. 160

D. 240

Đáp án A
Số hạng tổng quát của khai triển là:
k

k
6

C .x
6−

6−k

= C .2 .x
k
6

k

6−k

−k
3k

6−
 −21 
k
k 6 −k
k
k
2
2
x
=
C
.2
.x
.x
=
C
.2
.x
. Hệ số cỉa x 3 ương ứng với:


6
6



3k
= 3  k = 2  hệ số của x 3 là C62 .22 = 60 .
2

Câu 11: ( Liên trường Sở Nghệ An 2018)
Hệ số góc của số hạng chứa x 5 trong khai triển ( x − 2 ) là
9

A. ( −2 ) C59 x 5

B. −4032

5

Đáp án D
9

Ta có ( x − 2 ) =  C9k x 9− k ( −2 )
9

k =0

k

C. 2 4 C94 x 5

D. 2016


Số hạng chứa x 5  9 − k = 5  k = 4  a 4 = C94 ( −2 ) x 5 = 2016x 5
4