(trường không chuyên) 65 câu nhị thức newton image marked image marked

Câu 1: (THPT Ba Đình-Thanh Hóa-Lần 1) Hệ số của x 4 y 2 trong khai triển Niu tơn của
biểu thức ( x + y ) là:
6

A. 20

B. 15

C. 25

D. 30

Đáp án B
6

Ta có ( x + y ) =  C6k x k y 6− k  hệ số của x 4 y 2 là C64 = 15
6

k =0

Câu

2

(THPT

Hóa-Lần
1.)Cho
khai
2017
Tính giá trị biểu

P ( x ) = (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + 2017 x ) = a0 + a1x + ... + a2017 x

T = a2 +

1 2
1 + 22 + ... + 2017 2 ) .
(
2

 2016.2017 
A. 

2



2

Hà

Trung-Thanh

 2017.2018 
B. 

2



2

C.

1  2016.2017 
.

2 
2


2

D.

triển
thức

1  2017.2018 
.

2 
2


2

Đáp án D
Ta có 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

n ( n + 1)( 2n + 1)

n ( n + 1)
và 1 + 2 + 3 + ... + n 2 =
6
2

Xét (1 + x )(1 + 2 x ) ... (1 + nx )  Hệ số của x 2 là

a2 = 1. ( 2 + 3 + ... + n ) + 2. ( 3 + 4 + ... + n ) + ... + ( n −1) n
= 1. (1 + 2 + ... + n ) − 1 + 2. (1 + 2 + ... + n ) − (1 + 2 )  + ... + ( n − 1) . (1 + 2 + ... + n ) − (1 + 2 + ... + n − 1) 
n
 n ( n + 1) k ( k + 1)  1 n
2
2
= k  
−
 =  k  ( n + n ) − ( k + k )
2  2 k =1
k =1
 2

2
2
2
2
2
 2

1 n
1  ( n + n ) ( n + n ) n ( n + 1)( 2n + 1)  ( n + n ) n ( n + 1)( 2n + 1)
2

3
2
=  ( n + n ) k − ( k + k ) =
−
−
=
−

2 k =1
2
2
4
6
8
12



(n
Vậy T =

2

+ n)
8

2

( 2017.2018)
⎯⎯⎯→ T =

n − 2017

8

2

1  2017.2018 
= 

2
2


2


Câu 3 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Số số ha ̣ng trong khai triển ( x + 2 )
A. 49.

B. 50

C. 52.

50

là

D. 51.

Đáp án D

( ) + (C )

Câu 4 (Hàm Rồng-Thanh Hóa 2018): Tính tổng S = C0n

( )

A. n. Cn2n

2

( )

C. Cn2n

B. C n2n

2

1 2
n

+ ... + ( Cnn ) bằng
2

2

D. n.C n2n

Đáp án B

Ta có (1 + x )

2n

= (1 + x ) . (1 + x )
n

n

Hệ số của số hạng chứ x n khi khai triển (1 + x ) là C n2 n
2n

( ) + (C )

Hệ số của số hạng chứ x n khi khai triển (1 + x ) . (1 + x ) là C0n
n

( ) + (C )

Vậy S = C0n

2

1 2
n

n

2

1 2
n

+ ... + ( Cnn )

2

+ ... + ( Cnn ) = Cn2n
2

Câu 5 (Hàm Rồng-Thanh Hóa 2018): Trong khai triển nhị thức ( a + 2 )

n +6

(n  )

có tất cả

17 số hạng . Khi đó giá trị n bằng
A. 10

B. 11

C. 12

D. 17

Đáp án A
Ta có ( a + 2 )

n +6

n +6

=  Ckn + 6 a k 2n + 6− k có 17 số hạng nên n + 6 + 1 = 17  n = 10
0

Câu 6: (THPT Thuận Thành Số1- Bắc Ninh): Số hạng không chứa x trong khai triển
1 

x − 2 
x 


45

là:
B. − C 545

A. − C15
45

C. C15
45

D. C30
45

Đáp án A
45− k

k x
 1 
k
−
=
C
.
−
1
= C k45 x 45−3k
(
)
45

2 
2k
x
 x 
k

k
45

Số hạng tổng quát C x

45− k

Số hạng không chứa x tương ứng với số hạng chứa k thỏa 45 − 3k = 0  k = 15 .
= −C15
Vậy số hạng cần tìm C15

45 . ( −1)
45
15


Nhận xét: Ta có thể chọn nhanh đáp án như sau: giói hạn lũy thừa ở phương án C có cơ số
lớn nhất trên tử nhỏ hơn cơ số lớn nhất dưới mẫu nên giới hạn tiến về 0
Câu 7: ( THPT THẠCH THÀNH I ) Khai triển đa thức P ( x ) = ( 5 x − 1)

2017

ta được:

P ( x ) = a2017 x2017 + a2016 x2016 + ... + a1x + a0 .
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
17
.517.
A. a2000 = −C2017

17
17
.52000. D. a2000 = C2017
.517.
C. a2000 = −C2017

17
.517.
B. a2000 = C2017

Đáp án D

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

( 5 x − 1)

2017

2017

k
=  C2017
.(5x )

2017 − k

k =0

2017

k
. ( −1) =  C2017
.(5x )
k

2017 − k

. ( −1) .x 2017 − k .
k

k =0

17
.( 5)
Hệ số của x 2000 ứng với 2017 − k = 2000  k = 17 → hệ số cần tìm −C2017

2000

Câu 8(THPT HAI BÀ TRƯNG LẦN 1-2018): Hệ số của x 6 trong khai triển (1 − 2x ) thành
10

đa thức là:
A. −13440

B. −210

C. 210

D. 13440

Đáp án D
10

Ta có (1 − 2 x ) =  C10k ( −2 x ) (1)
10

k

k =0

10 − k

10

=  C10k ( −2 ) x k .
k

k =0

Vậy hệ số của x 6 trong khai triển là C106 . ( −2 ) = 13340 .
6

Câu 9 (THPT NÔNG CỐNG I): Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển
n

1

2 n-2
2 3
3 n −3
 x −  . Biết có đẳng thức là: Cn Cn + 2Cn Cn + Cn Cn = 100
x

A. 9

B. 8

C. 6

D. 7

Đáp án C

Ta có Cnk = Cnn − k nêm đẳng thức


Cn2Cnn-2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100  ( Cn2 ) + 2Cn2C + ( Cn3 ) = 100
2

2

 ( Cn2 + Cn3 ) = 100  ( Cn3+1 ) = 100  Cn3+1 = 10  n = 4
2

2

1    1 

 x −  =  x + − 
x    x 

4

Số

hạng

tổng

quát

trong

khai

triển

4

là

k
k
 −1 
k 4−k
−k
k 4− 2 k
  = ( −1) C4 x .x = ( −1) C4 x
x
 
k

Tk +1 = C x
k
4

4−k

Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn 4 − 2k = 0  k = 2 và có giá trị là: ( −1) .C42 = 6
2

80
Câu 10 : (THPT LỤC NGẠN SỐ 1)Cho khai triển (x − 2) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x 80 .

Tổng S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80 có giá trị là:
A. -70.

B. 80

C. 70

D. -80

Đáp án D
Đặt y = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a80 x80
y ' = 1.a1 + 2a2 x + ... + 80a80 x 79

y ' (1) = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80
Mà y = ( x − 2 )  y ' = 80 ( x − 2 )
80

79

y ' (1) = −80
Vậy −80 = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + ... + 80a80
Câu 11: (THPT HẬU LỘC 2-2018) Tìm tập nghiệm của phương trình
B. −5;5

A. 0

C +C

C. 5

2

3

x

x

D. −5;0;5

Đáp án C.
Cx2 + Cx3 = 4 x ( x  3) 

(

)

x ( x − 1)

 3 ( x − 1) + x 2 − 3 x + 2 = 24  x 2 = 25  x = 5 .

2

+

= 4x .

x ( x − 1)( x − 2 )
6

= 4x


Câu 12 : (THPT HẬU LỘC 2-2018) Tính tổng P = (c n) 2 + (c n) 2 + ... + (c n) 2 theo n.
0

c

A.

n

B.

n

c

2

C.

n

c

1

n

n

2n

D. c 2 n

2n

Đáp án C.
Ta xét khai triển (1 + x ) = (1 + x ) . (1 + x ) . Xét khai triển ở cả hai vế, và xét hệ số của x n ta
2n

thấy

rằng

vế

trái

2

có

hệ

2

số

( ) + (C )

Cn0 .Cnn + Cn1 .Cnn −1 ++ Cnn .Cn0 = Cn0

2

C 2nn ;

là
1
n

2

vế

phải

( )

++ Cnn

2

có

hệ

số

của

xn

là

vậy ta có P = C2nn

Câu 13: (Nam Trực-Nam Định-2018) Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển

(x

2

− x + 1)

20

A. 950

C. −1520

B. 1520

D. −950

Đáp án C

(

)

Ta có: x 2 − x + 1

(

Mặt khác x 2 − x

20

)

k

(

có số hạng tổng quát là C20k x 2 − x

)

k

( )

có số hạng tổng quát là Cki x 2 . ( − x )
i

Do đó số hạng tổng quát của khai triển là C20k .Cki .x k +i ( −1)

k −i

= Cki x k +i . ( −1)

k −i

(với k ; i  ; i  k  20 )

k −i

i = 0; k = 3
3
1
3
2
.C30 . ( −1) + C20
.C21 . ( −1) = −1520
Với k + i = 3  
Hệ số bằng C20
i = 1; k = 2 

Câu 14 (THPT ĐỘI CẤN lần 1-2018): Cho khai triển nhị thức Newton của ( 2 − 3x ) , biết
2n

rằng n là số nguyên dương thỏa mãn C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 = 1024. Hệ số của x 7
bằng
A. −2099520

B. −414720

C. 2099520

D. 414720

Đáp án là A.
• Xét khai triển (x + 1)2 n + 1 =
Cho

x = 1,

Cho

x = - 1,

C 20n + 1 x 2 n + 1 + C 21n + 1 x 2 n + ... + C 22nn++11 .

ta được 22n+ 1 = C20n+ 1 + C21n+ 1 + ... + C22nn++11 .
ta được 0 = - C20n+ 1 + C21n+ 1 - ... + C22nn++11 .

(1)

(2)


Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
2 2 n + 1 = 2 (C 21n + 1 + C 23n + 1 + ... + C 22nn++11 ) Û 2 2 n + 1 = 2.1024 Û n = 5
10

10

• Xét ( 2 − 3 x ) =  C10k 210− k . ( −3 x ) =  ( −3) .210− k .C10k .x k
10

k

0

k

0

Hệ số của x 7 là ( −3) .23.C107 = −2099520.
7

Câu
S=

15

Quý

(Lê

Đôn-Hải

phòng

2018):

Tổng

1
( 2.3C22017 + 3.32 C32017 + 4.33 C42017 + ... + k.3k −1 Ck2017 + ... + 2017.32016 C2017
2017 ) bằng
2017

A. 42016 − 1.

B. 32016 − 1.

C. 32016.

D. 4 2016.

Đáp án A.
Ta có (1 + x ) = C0n + x.C1n + x 2Cn2 + ... + x n Cnn
n

Đạo hàm 2 vế của (*) ta được n (1 + x )

n −1

(*).

= C1n + 2x.C2n + 3x 2 C32017 + ... + n.x n −1Cnn

(1).

Thay n = 2017, x = 3 vào (1) ta được
2

2017.42016 = 2017 + 2.3C 2017
+ 3.2 2 C32017 + ... + 2017.32016 C 2017
2017 .

Suy ra S =

1
2017.42016 − 2017 ) = 42016 − 1.
(
2017

Câu 16 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018)Công thức số tổ hợp là:
A. A kn =

n!
( n − k )!

B. Akn =

n!
( n − k )!k!

C. Ckn =

n!
( n − k )!k!

D. Ckn =

n!

( n − k )!

Đáp án là C.
• HS xem lại lý thuyết
Câu 17 (THPT VIỆT TRÌ LẦN 1-2018): Tìm hệ số của x 7 trong khai triển ( 3 − 2x )

15

7 7 8
3 .2
A. −C15

7 8 7
3 .2
B. −C15

7 7 8
3 .2
D. C15

7 8 7
3 .2
C. C15

Đáp án là B.
15

15

• Ta có ( 3 − 2 x ) =  C15k 315− k ( −2 x ) =  ( −2 ) 315− k C15k x k

15

k =0

k

k

k =0

0  k  15, k 
k =7 .
Hệ số của x 7 ứng với 
k = 7

.


Vậy ( −2 ) 38 C157 = −C157 .38.27 là hệ số cần tìm.
7

Câu 18 (Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc Lần 1-2018): Số hạng không chứa x

trong khai triển

45

1 

 x − 2  là:

x 


A. − C 545

D. − C15
45

C. C15
45

B. C30
45

Đáp án D
45

45
1 

Ta có:  x − 2  = ( x − x −2 ) có số hạng tổng quát là: Ck45 x 45−k −x −2
x 


(

)

k

= Ck45 x 45−3k . ( −1) .
k

Số hạng không chứa x tương ứng với 45 − 3k = 0  k = 15. Vậy số hạng không chứa x là:
− C15
45

Câu 19 (THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018): Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai
12

 x 3
triển  − 
3 x

A.

55
.
9

(với x  0 )?

B. 40095.

C.

1
.
81

D. 924.

Đáp án A
n

Phương pháp: Công thức khai triển nhị thức New-ton: ( a + b ) =  Cnk a k b n −k .
n

k =0

12

12 − k

k

12
 x 3
 x  3
Cách giải: Ta có:  −  =  C12k    − 
3 x
3  x
k =0

k

12 − k

12
12 − k  1 

1
= C12k   x k ( −3)  
 3
 x
k =0

Số hạng chứa x 4 nên ta tìm k sao cho x k : x12− k = x 4  x 2 k −12 = x 4  2k − 12 = 4  k = 8.
8

C128 55
1
12 −8
Vậy hệ số của số hạng chứa x là: C .   . − 3 = 4 =
3
9
3
4

8
12

Câu 20(THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018): Cho k  , n  . Trong các công thức về
số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào là công thức đúng?
A. Cnk =

n!
(với ( 0  k  n ) ).
( n − k )!

C. Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 (với (1  k  n ) ).

Đáp án C
Phương pháp:

B. Ank =

n!
(với ( 0  k  n ) ).
k !( n − k )!

D. Cnk+1 = Cnk +1 (với ( 0  k  n − 1) ).


Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n: Ank =
Công thức tính số tổ hợp chập k của n : Cnk =

n!
.
n − k!

n!
.
k !n − k !

Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
Cnk = Cnn − k
Cnk+1 = Cnk + Cnk −1

Cách giải: Quan sát các đáp án đã cho ta thấy đáp án C đúng.
Câu 21(THPT HÀN THUYÊN LẦN 1 -2018)Có bao nhiêu giá trị dương của n thỏa mãn
5

Cn4−1 − Cn3−1 − An2− 2  0?
4
A. 6.

B. 4.

C. 7.

D. 5.

Đáp án A
Phương pháp: Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: Ank =

n!
n!
;Ckn =
k !( n − k )!
( n − k )!

để giải bất phương trình. Lưu ý điều kiện của Cnk là 0  k  n; k , n  .

n − 1  4

Cách giải:mĐK: n − 1  3  n  5
n − 2  2

Cn4−1 − Cn3−1 −

( n − 1)! − ( n − 1)! − 5 ( n − 2 )!  0
5 2

An − 2  0 
4!( n − 5 ) ! 3!( n − 4 )! 4!( n − 4 )!
4



( n − 2 )!  n − 1 − n − 1 − 5   0


( n − 5)!  24 6 ( n − 4 ) 4 ( n − 4 ) 



( n − 1)( n − 4 ) − 4 ( n − 1) − 5.6  0
24 ( n − 4 )



n −1
n −1
5
−
−
0
24 6 ( n − 4 ) 4 ( n − 4 )

 n 2 − 5n + 4 − 4n + 4 − 30  0  n 2 − 9n − 22  0  n  ( −2;11)

Kết hợp điều kiện ta có n 5;11)
Mà n là số nguyên dương nên n 5;6;7;8;9;10 .

2
2016
+ C32016 + ... + C2016
Câu 22 (THPT XUÂN HÒA LẦN 1-2018)Tổng C12016 + C2016
bằng:


Xét (1 + x )

C. 42016 − 1

B. 22016 + 1

A. 42016
Đáp án D

D. 22016 − 1

0
1
2
3
2016 2016
= C2016
+ C2016
x + C2016
x 2 + C2016
x 3 ... + C2016
x

2016

Chọn x = 1 , ta có:

(1 + 1)

2016

0
1
2
3
2016
= C2016
+ C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016

0
1
2
3
2016
 22016 − C2016
= C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016
1

2
3
2016
 C2016
+ C2016
+ C2016
+ ... + C2016
= 22016 − 1

Câu 23 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Tổng các nghiệm của phương trình
Cn4 + Cn5 = Cn6 là
A. 15

B. 16

C. 13

D. 14

Đáp án D
Điều kiện : n  6



Cn4 + Cn5 = Cn6

n!
1
n!
1

n!
1

+
+
=
=
( n − 4)!4! ( n − 5)!5! ( n − 6 )!6! ( n − 4)( n − 5) 5 ( n − 5) 30

 n = 1( l )
 30 + 6 ( n − 4) = ( n − 4)( n − 5)  n 2 − 15n + 14 = 0  
 n = 14 ( n )

Câu 24 (SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC LẦN 1-2018): Số hạng không chứa x trong khai triển
7

2 

Newton của biểu thức  x 2 − 3  là
x


A. −84.

B. −448.

C. 84.

D. 448.

Đáp án D
Số

hạng

tổng

quát

trong

khai

7-k

triển

7k −7
 −2 
7-k

(−2)7-k
k
2 k ( −2)
k 
7-k
3
= C7k x 2 k  1  = C7k x 2 k
=
C

x
=
C
x
 (−2)
7
7
7−k
7 −k
 3


x 3
x 3
x 
7k − 7
= 0  k=1
số hạng không chứa x ứng với k:
3

( )

Tk+1 = C x
k
7

2

7-k

k

 −2 
3 
 x

( )

Vậy số hạng không chứa x là: C17 (−2)7-1 = 448

( )

( )


Vậy P ( A ) =

1
5040

Câu 25 (THPT ĐỒNG HẬU LẦN 1-2018): Số hạng không chứa x trong khai triển
9

2

 − 3 x  ( x  0 ) là:
x


A. −5832

B. 489888

D. −1728

C. 1728

Đáp án B
2
Số hạng tổng quát của khai triển Tk +1 = C9k  
x

Ta có

9− k

(

. −3 x

)

k

3k

= 29− k . ( −3) x 2
k

−9

3k
6
− 9 = 0  k = 6  số hạng không chứa x là C96 23. ( −3) = 5832 = 489888
2

YÊN

Câu26:(THPT

DŨNG

2
3
S = ( C1100 ) + ( C100
) + ( C100
) + ... + ( C
2

2

A. S = C100
200

2

3-

LẦN

1-2018)Tính

tổng

).

100 2
100

C. S = C100
200 − 1

B. S = 2200 − 1

D. S = C100
200 + 1

Đáp án C
1
Có ( C100
) + (C1002 ) ++ (C100100 )
2

2

2

1
99
2

98
3
97
100
0
= C100
.C100
+ C100
.C100
+ C100
.C100
+ .. + C100
.C100
0
100
2
98
3
97
100
0
100
= C100
.C100
+ C100
.C100
+ C100
.C100
+ .. + C100
.C100

− 1 = C200
−1 .

Để chứng minh dòng trên ta có thể xét khai triển

(1 + x ) ( x + 1)
100

100

= (1 + x )

200

.
100

k
100 − k
100
Xét hệ số khi biến đối theo x100  C100
.
.C100
= C200
k =0

Câu 27 (THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Công thức tính số tổ hợp là:
n!
n!
n!

n!
A. Ckn =
B. Ckn =
C. A kn =
D. Akn =
( n − k )!k!
( n − k )!k!
( n − k )!
( n − k )!
Đáp án B
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp n phần tử, kí hiệu là

C

k
n

=

n!
k!( n − k )!

C

k
n

và được cho bởi công thức :

Câu 28(THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Nghiệm của phương trình A3n = 20n là:
B. n = 5

A. n = 6
Đáp án A

A


3
n

C. n = 8

D. không tồn tại

= 20n

n!
= 20n
( n − 3) !

 n ( n − 1)( n − 2 ) = 20n
 n 3 − 3n 2 + 2n − 20n = 0
 n = 0(L)
  n = −3(L)
 n = 6(tm)
6

2 


3
Câu 29 (THPT YÊN LẠC LẦN 1-2018): Trong khai triển  x +
 , hệ số của x ( x  0 )
x

là:
A. 60
B. 80
C. 160
D. 240

Đáp án A
6

k

1
1
3k
6
6
− 
− 
2  

k 6−k 
k k 6− 2
2
2

x
+
=
x
+
2x
=
x
2x
=
.2
.x
Ta có : 
  C6



 
C6
x 

k =0
k =0



6

Suy ra phương trình :
3k

=3
2
3k

=3
2
k=2

6−

Hệ số của x 3 trong khai triển là :

2

C .2
6

2

= 60 .

Câu 30 (THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Trong Với n  , n  2 và thỏa mãn

1
1
1
1 9
C5n + C3n + 2
+
+

+ ... + 2 = . Tính giá trị của biểu thức P =
.
C 22 C32 C 42
Cn 5
( n − 4 )!
61
90
Đáp án B

A.

B.

59
90

C.

29
45

D.

53
90


1
2

+

1
2

1

+

C C C
2

3

2

+ ... +

4

1

C

2

=

n

9
5

1 1
2
9
 1 + + + ... +
=
3 6
n(n − 1) 5
2
2
2
4

+
+ ... +
=
2.3 3.4
n(n − 1) 5
1 1 1 1
1
1 2
 − + − + ... +
− =
2 3 3 4
n −1 n 5
1 1 2
 − =
2 n 5

1 1
 =
n 10
 n = 10
Câu 31(THPT SƠN TÂY LẦN 1-2018): Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển
x 3 (1 − x )

8

A. −28

C. −56

B. 70

D. 56

Đáp án C
8

x 3 (1 − x)8 = x 3 . C8 ( − x )
k

k =0

8− k

8

=  C8 ( −1)

k

8− k

x11− k

k =0

Ta có phương trình : 11 − k = 6  k = 5
Vậy hệ số của x 5 trong khai triển là :

C ( −1)
5

8

3

= −56

Câu 32 : (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa-LẦN 1)Hệ số của x 6 trong khai triển
10

1
3
 + x  bằng:
x


A. 792

B. 252

C. 165

D. 210

Đáp án D
k 4k −10
4
, cho 4k − 10 = 6  k − 4  hệ số của x 6 là C10
= 210
SHTQ: C10 x

Câu 33 (Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1 2018).: Trong các khai triển sau, khai triển nào
sai?
n

A. (1 + n ) =  Cnk x n − k
n

k =0

n

C. (1 + n ) =  Cnk x k
n

k =1

Đáp án C

n

B. (1 + n ) =  Cnk x k
n

k =0

D. (1 + n ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn .x n
n


Câu 34 (Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1 2018).: Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai
triển

(1 − 2 x + 2015x

2016

− 2016 x 2017 + 2017 x 2018 )

A. −C603

60

3
B. C60

3

D. −8.C60

C. 8.C603

Đáp án D
Ta có (1 − 2 x + 2015 x 2016 − 2016 x 2017 − 2017 x 2018 ) =  (1 − 2 x ) (.....)
60

60

80 − k

k

k =0

Số hạng chứa x 3 trong khai triển là hệ số x 3 trong khai triển (1 − 2 x ) . (.....)
80

3
Khi đó số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C60
(1)

80 −3

Yên-Vĩnh
1
S = 319 C020 + 318 C120 + 317 C 220 + ... + + C 20
20
3

Câu

A.

35

(Vĩnh

418
3

B.

Phúc

419
3

3 3
. ( 2 x ) = −8.C60
x
3

2018):

C.

0

Giá

4 21
3

trị

D.

biểu

thức

4 20
3

Đáp án D
20

Ta có

Chọn

(3 + x )
3

20

=

C
k =0

k
20

320−k x k
3

(1 + 3)
x =1

20

3

20
1
=  Ck20 319−k x k = 319 C020 + x 2 318 C120 + ... + x 20 C20
20
3
k =0

1 20
420
= 319 C020 + 318 C120 + ... + C20
S=
3
3

Câu 36: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Cnk =

n!
k ( n − k )!

B. Cnk =

n!
k !( n − k )!

C. Cnk =

n!
k !( n − k )

D. Cnk =

n!
k !( n + k )!

Đáp án B
Câu 37 (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa): Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Ank = k !Cnn − k

B. Ank = k . Ank

Đáp án A
Ta có: Ckn = Ckn −k =

Ank
k!

C. Ank = k ! Ann − k

D. Ank = k .Cnk


(THPT
Triệu
Sơn
3-Thanh
Hóa)
2
2
1
2
2017 2017 2 2018 2018 2
1
2
S=
C2018
+
C2018
+ ... +
(
)
(
)
(C2018 ) + 1 (C2018 )

2018
2017
2

Câu

38

A. S =

:

1
2018
C4036
2018

B. S =

1
2018
C4036
2018

C. S =

2018 1009
C2018
2019

Tính

D. S =

tổng

2018 2018
C4036
2019

Đáp án D

2
( n − 1)! = C k .C k −1
k
k
n!
k
Ta có ( Cnk ) = 
=
C
.

n
n
n  k !( n − k ) ! 
( k − 1)!( n − k )! n n−1
2

0

1
1
2
2017
2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
Do đó C2018

Xét khai triển (1 + x )

2018

. ( x + 1) = (1 + x )

4036

Hệ số chứa x 2017 trong khai triển (1 + x )

2018

Hệ số chứa x 2017 trong khai triển (1+ x )

4036

2017
C4036

=

0
1
1
2
2017
2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
=S
. ( x + 1) là C2018

là

4036!
4036!
2018 2018 2018
=
.
=
C4036
2017!.2019! 2018!.2018! 2019 2019

Vậy S =

2018 2018

C4036
2019

Câu 39 : (THPT Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Tìm số hạng chứa x 3 y3 trong khai triển biểu
thức ( x + 2y ) thành đa thức.
6

A. 160x 3 y3

D. 8x 3 y3

C. 20x 3 y3

B. 120x 3 y3

Đáp án A
Ta

có:

6

6

( x + 2y ) =  C6k x 6−k ( 2y ) = C6k 2k x 6−k y k .
6

k =0

k

Số

hạng

chứa

k =0

6 − k = 3
x 3 y3  
 k = 3  a 3 = C36 23 x 3 y3 = 160x 3 y3 .
k
=
3


Câu 40 (THPT Lương Văn Tụy-Ninh Bình)Biết rằng hệ số của x n − 2 trong khai triển
n

1 
 x −  bằng 31. Tìm n .
4 


A. n = 32

B. n = 30

C. n = 31

D. n = 33


Đáp án A
2

n

Hệ

số

của

x n −2

trong

khai

 1
C2n .  −  .x n − 2
 4

1

 x −  là:
4


triển

Ta

có:

2

n!
 1
C2n .  −  = 31 
= 496  n ( n − 1) = 992  n = 32.
( n − 2 )!2!
 4

(

Câu 41 ( THPT TRIỆU SƠN 1)Cho khai triển 1 + x + x2

)

n

= a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a2 n x2 n

, với n  2 và a0, a1, a2,..., a2n là các hệ số. Biết rằng

a3

=

14

a4
41

khi đó tổng

S = a0 + a1 + a2 + ... + a2n bằng
D. S = 313.

C. S = 312.

B. S = 311.

A. S = 310.
Đáp án A

Ta

có

(

1 + x + x2

)

n

(

)

n

= 1 + x 1 + x  =



n

(

 Ckn xk 1 + x
k =0

)

k

n
 k

=  Cnk x k   C kj x k 
k =0
 j =0


æk
ö
÷
Þ Tk + 1 = Ckn x k çççå C kj x k ÷
Ta tính các số hạng như sau:
÷
÷
çè j= 0
ø

T0 = 1 ; T1 = Cn1Cn2 x + Cn1C11 x 2 = nx; T2 = Cn2Cn0 x 2 + Cn2C21 x 3 + Cn2C22 x 4 ,....
Như vậy ta có:

a3 = Cn2C21 + Cn3C20 ; a4 = Cn2C22 + Cn3C31 + Cn4C40

Theo giả thiết
a3 a4
C 2C1 + Cn3C20 Cn2C22 + Cn3C31 + Cn4C40
=
Þ n 2
=
14 41
14
41

n (n - 1) n (n - 1)(n - 2) n (n - 1) 3n (n - 1)(n - 2) n (n - 1)(n - 2)(n - 3)
+
+
+
2!

3!
2!
3!
4!
Û
=
14
41
2
Û 21n - 99n - 1110 = 0 Þ n = 10
2.


Trong khai

triển

(1 + x + x )

10

2

= a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a20 x20

cho

x= 1

ta

được

S = a0 + a1 + a2 + ... + a20 = 310
12

1

Câu 42 : (THPT KIM SƠN A)Số hạng chứa x trong khai triển  x +  là
x

2

A. C125 x 2

D. C125 x3

C. C128

B. C123

Đáp án A
12

k

12
12
1


1
Ta có  x +  =  C12k x12− k   =  C12k x12− 2 k . Xét 12 − 2k = 2  k = 5 .
x

 x
k =0
k =0

Số hạng chứa x 2 là C125 x 2 .
Câu

(1 + x + x

43
2

+x

:

)

3 10

(THPT

Hà

Trung-Thanh

Hóa-Lần

1.)Khai

triển

= a0 + a1 x + ... + a30 x30 . Tính tổng S = a1 + 2a2 + ... + 30a30 .

A. 5.210

C. 410.

B. 0.

D. 210.

Đáp án B
10
'
9
Ta có (1 + x + x 2 − x3 )  = ( a0 + a1 x + ... + a30 x 30 )  10 (1 + x + x 2 − x 3 ) (1 + x + x 2 − x 3 )


'

a1 + 2a2 x + ... + 30a30 x 29  10 (1 + x + x 2 − x3 ) a1 + 2a2 x + ... + 30a30 x 29
9

Chọn x = 1  10 (1 + 1 + 1 − 1) .0 = a1 + 2a2 x + ... + 30a30  S = 0
9

Câu 44: (THPT Hà Trung-Thanh Hóa-Lần 1.) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6

 2 2
 x +  với x  0
x


C. −24 C64 .

B. 22 C62 .

A. 24 C62 .
Đáp án A
6

k

6
6
6− k  2 
2
k
12 −3 k

Ta có  x 2 +  =  C6k ( x 2 )   =  C6k ( 2 ) ( x )
x  k −0

 x

k −0

Số hạng không chứa x = 12 − 3k = 0  k = 4  a4 = C64 24.

D. −22 C64 .


Câu 45 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong khai triển ( x − y ) , hệ số của số hạng
11

chứa x 8 .y3 là
5
C. −C11

3
B. −C11

3
A. C11

8
D. C11

Đáp án B
Câu 46 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

2C0n + 5C1n + 8C2n + ... + (3n + 2) Cnn = 1600.
A. 5

C. 10

B. 7

D. 8

Đáp án B
Ta có: S = 2 ( C0n + ... + Cnn ) + 3 ( C1n + 2C2n + 3C3n + ... + nCnn )
Xét khai triển (1 + x ) = C0n + C1n x + ... + Cnn x n
n

Đạo hàm 2 vế ta có: n (1 + x )

n −1

= C1n + 2C2n x + 3C3n x 2 + ... + nCnn x n −1

Cho x = 1 ta có: 2n = C0n + C1n + ... + Cnn ; n.2n −1 = C1n + 2Cn2 + 3C3n + ... + nCnn
SHIFT − CALC
→ n = 7.
Do đó S = 2.2n + 3.n2n −1 = 1600 ⎯⎯⎯⎯⎯

Câu 47 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Cho số nguyên dương n, tính tổng

( −1) nCnn
−C1n 2Cn2 3C3n
S=
+
−
+ ... +
2.3 3.4 4.5

( n + 1)( n + 2 )
n

A.

−n
( n + 1)( n + 2)

B.

2n
( n + 1)( n + 2)

C.

n

( n + 1)( n + 2)

D.

−2n
( n + 1)( n + 2)

Đáp án A
Giải trắc nghiệm: n = 2  S = −
Với n = 2 thay vào A được = −

1
nên đáp án B và Csai.

6

1
1
thay vào D được = − .
6
3

Câu 48 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
15

1

Newtơn P ( x ) =  x 2 + 
x


C. 3003

B. 2700

A. 4000
Đáp án C
15

k

15
15
15 − k  1 

1

k
k
. ( x 2 ) .   = C15
.x 30−3k .
Xét khai triển  x 2 +  =  C15
x

 x  k =0
k =0

Số hạng không chứa x ứng với x 30−3k = x 0 → k = 10.

D. 3600


Vậy số hạng cần tìm là C10
15 = 3003.
Câu 49 (Hải Hậu A-Nam Định 2018): Hệ số của x 3 y3 trong khai triển (1 + x ) (1 + y ) là
6

A. 20

B. 800

C. 36

6

D. 400

Đáp án D
2
 6 k k  6 k k  6
6
6
1
+
x
1
+
y
=
( ) ( )   C6 x   C6 y  =  ( C6k ) x k yk
 k =0
 k =0
 k =0

( )

Số hạng chứa x 3 y3  k = 3  a 3 = C36

2

x 3 y3 = 400x 3 y3

Câu 50 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Biết tổng các hệ số trong khai triển

( 3x − 1)

n

= a 0 + a1x + a 2 x 2 + ...a n x n là 211. Tìm a 6 .

A. a 6 = −336798

B. a 6 = 336798

C. a 6 = −112266

D. a 6 = 112266

Đáp án A
Cho x = 1 vào 2 vế ( 3x − 1) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ...a n x n ta được 2n = a1 + a 2 + a 3 + ... + a n
n

5 6
3 ( −1) = −336798
Vậy n = 11  a 6 = C11
5

Câu 51 (Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An 2018): Tìm hệ số của x 3 trong khai triển

(1 − 2 x )

10

B. −960

A. 120

C. 960

D. −120

.
Đáp án B
10

Ta có (1 − 2 x ) =  C10k (1)
10

10 − k

( −2 x )

k =0

k

10

=  C10k ( −2 ) ( x )
k

k

k =0

Số hạng chứa x3  k = 3  a3 = C103 ( −2 ) x3 = −960 x3
3

Câu 52 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Biết rằng hệ số của x 4 trong khai triển nhị thức
Newton ( 2 − x ) , ( n 
n

A. n = 8
Đáp án C

*

) bằng 280. Tìm n.
B. n = 6

C. n = 7

D. n = 5


(2 − x)

n

n

=  C kn ( − x ) .2n − k  hệ số của x 4 là: C4n ( −1) .2n − 4 = 280  n = 7
k

4

k =0

2 

Câu 53 (Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Số hạng không chứa x trong khai triển  x − 2 
x 


A. 110

B. 240

C. 60

6

D. 420

Đáp án C
6

k

6
6
2 
k

 2 

Ta có  x − 2  =  C6k x 6− k  − 2  =  C6k ( −2 ) x 6−3k
x  k =0

 x 
k =0

Số hạng không chứa x  6 − 3k = 0  x = 2  a 2 = C62 ( −2 ) = 60
2

Câu

54

Đăng

(Nguyễn

Đạo-Bắc

n

Ninh-2018):

Trong

khai

triển

k

n
n−k  1 
 2 1
2
x
+
=
Cnk .2n − k ( x 2 ) .   , ( x  0 ) hệ số của x 3 là 26 Cn9 . Tính n



x

 x
k =0

B. n = 13

A. n = 12

C. n = 14

D. n = 15

Đáp án D
n

k

n
n
1

1
Ta có  2 x 2 +  =  Cnk .2n − k .   = Cnk .2n − k x 2 n −3k
x

 x  k =0
k =0

Cho 2n − 3k = 3  Cnk .2n − k = 26.Cn9 .
2n − 3k = 3
Giải hệ  k n−k
6
9
Cn .2 = 2 .Cn

n = 15
Hệ này tương đối khó giải, thử 4 đáp án ta được  
k = 9

Câu

55

(Lương

Tài

2-Bắc

Ninh

2018)Tính

2017 2017
S = 2C02017 − 2C12017 + 4C22017 − 8C32017 + ... + 22016 C2016
C2017 ?
2017 − 2

B. S = 1

A. S = −1

C. S = 0

D. S = 2

Đáp án C
Xét khai triển (1 − x )

2017

2017
= C02017 − C12017 x + C22017 x 2 − ... − 22017 C 2017
.
2017 x

2

2016
2017
− 8C32017 + ... + 22016 C2017
− 22017 C2017
= −1
Cho x = 2 ta được C02017 − 2C12017 + 4C2017
2017 2017
C 2017 = 0.
Lại có C02017 = 1  S = 2C02017 − 2C12017 + 4C22017 − 8C32017 + ... + 22016 C2016
2017 − 2

tổng


Câu 56 (Kim Liên-Hà Nội 2018): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6

1 

 2x − 2  , x  0
x 


A. 15

B. 240

C. -240

D. -15

Đáp án B
6

6
6
1 
6−k
k 6 − k 6 −3k

k
−2 k
k
 2x − 2  =  C6 ( 2x ) ( x ) =  C6 ( −1) 2 x
x  k =0

k =0

Số hạng không chứa x  6 − 3k = 0  k = 2  a 2 = C62 ( −1) 24 = 240
2

Câu 57 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Sau khi khai triển và rút gọn biểu thức
12

3
1 


f ( x ) =  x 2 +  +  2x 3 + 2 
x

x 



A. 30

21

thì f ( x ) có bao nhiêu số hạng?

B. 32

C. 29

D. 35

Đáp án B
12 − k

12

3
3

k
xk  
Số hạng tổng quát của khai triển  x 2 +  là C12
x
x


k 12 − k 2k −12
= C12
3 x
( 0  k  12 )

21

i 1 
1 

Số hạng tổng quát của khai triển  2x 3 + 2  là Ci21 ( 2x 3 )  2 
x 
x 


21−i

k
= C12
2i x 5i −42 ( 0  k  21)

Cho 2k −12 = 5i − 42  5i − 2k = 30
Phương trình này có 3 nghiệm nguyên ( k;i ) là ( 0;6) ; (5;8) ; (10;5)
Do đó f ( x ) có 13 + 22 − 3 = 32 số hạng
Câu 58 (THANH CHƯƠNG NGHỆ AN 2018): Cho n là số nguyên dương; a, b là các số
n

b 


9 4
thực ( a  0) . Biết trong khai triển  a −
 có số hạng chứa a b . Số hạng có số mũ của a
a

n

b 

và b bằng nhau trong khai triển  a −
 là
a


A. 6006a 5 b 5
Đáp án D

B. 5005a 8 b8

C. 3003a 5 b 5

D. 5005a 6 b 6


n

k

3
n

n
b 
b 

k n− k k
k n −k 
k
2
Ta có  a −
=
C
a
−
=
C
−
1
a
b
(
)
  n

  n
a  k =0
a  k =0



 3

n − k = 9 n = 15
Có số hạng chứa a b  

2
k = 4
k = 4
9 4

3
6
6
Số mũ của a và b bằng nhau  15 − k = k  k = 6  a 6 = C15
( −1) a 6 b6 = 5005a 6b 6
2

Câu 59 (Lục Ngạn 1-Bắc Giang 2018): Với n là số nguyên dương thỏa mãn C1n + Cn2 = 55.
n

2 

Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của biểu thức  x 3 + 2  bằng
x 

5

C. 8440

B. 3360

A. 8064

D. 6840

Đáp án A
Ta có C1n + Cn2 = 55  

n ( n − 1)
n!
= 55  n +
= 55 → n = 10
2
( n − 2 )!.2!
n

10

k

10
10
10 − k  2 
2  
2 

k
k
. ( x 3 ) .  2  =  C10
.2k.x 30−5k
Xét khai triển  x 3 + 2  =  x 3 + 2  =  C10
x

x
x

 

 
k =0
k =0

5
= 8064
Số hạng chứa x 5 ứng với 30 − k = 5  k = 5 .Vậy hệ số cần tìm là 25.C10

Câu 60 (Đặng Thực Hứa-Nghệ An 2018): Kí hiệu A kn là số các chỉnh hợp chập k của n
phần tử (1  k  n ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. A kn =

n!
( n + k )!

B. Akn =

n!
k!( n + k )!

C. Akn =

n!
k!( n − k )!

D. A kn =

n!
( n − k )!

Đáp án D
40

Câu 61 (Thanh Chương 3 – lần 1 2018): Số hạng chứa x
31
B. C31
40 x

31
A. C37
40 x

31

C. C 240 x 31

1 

trong khai triển  x + 2  là
x 


D. C 440 x 31

Đáp án A

40

k

40
40
1 

 1 
Ta có  x + 2  =  Ck40 x 40− k  2  =  Ck40 x 40−3k
x 

x 
k =0
k =0

Số hạng chứa x 31  40 − 3k = 31  k = 3  a 3 = C340 x 31
Câu 62 (Yên Định 2-Thanh Hóa 2018)Khai triển

(1 + 2x + 3x )

2 10

= a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 20 x 20 . Tính tổng S = a 0 + 2a1 + 4a 2 + ... + 220 a 20 .


B. S = 1710.

A. S = 1510.

D. S = 7 20.

C. S = 710.

Đáp án B.

(

Chọn x = 2  1 + 2.2 + 3.22

)

10

= a 0 + 2a1 + 4a 2 + ... + 220 a 20  S = 1710.

Câu 63 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ckn =

k!
n!( n − k )!

B. Ckn =

k!
( n − k )!

C. Ckn =

n!

( n − k )!

D. Ckn =

n!
k!( n − k )!

Đáp án D
Câu 64 (Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Số hạng không chứa x trong khai triển
2n

3 

3
2
 2x − 3  với x  0 , biết n là số nguyên dương thỏa mãn Cn + 2n = A n +1 là
x

4 12
A. −C12
16 .2 .3

4 12
C. C12
16 .2 .3

0
.216
B. C16

0
D. C16
16 .2

Đáp án C
Ta có: C3n + 2n = A n2 +1 

( n + 1)!  n ( n − 1)( n − 2 ) + 2n = n + 1 n
n!
+ 2n =
( )
6
( n − 3)!3!
( n − 1)!

n = 8
 ( n − 1)( n − 2 ) + 12 = 6 ( n + 1)  n 2 − 9n + 8 = 0  
n =8
n = 1
16

k

4
16
16
16 − k
3 
3 
16 − k 

16 − k
k

k
Khi đó  2x − 3  =  C16
( 2x )  − 3  =  C16k ( 2 ) ( −3) .x 3
x
x  k =0


k =0

4
12
12 4
2 ( −3) .
Số hạng không chứa x  16 − k = 0  k = 12  a12 = C16
3
1

Câu 65(QUẢNG XƯƠNG 2 2018)Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  + x 3 
x

(với x  0) bằng
3

A. 54x 3

B. 36

C. 126

Đáp án D
9

9
1

1
Ta có  + x 3  =  C9k  
x
 k =0  x 

9−k

(x ) = C x
3 k

9

k =0

k
9

4k −9

→ hệ số cần tìm là C39 = 84
Hệ số của x 3 ứng với 4k − 9 = 3  k = 3 ⎯⎯

D. 84

9