hàm số 6 image marked image marked

Câu 436: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và

có bảng xét dấu của đạo hàm như hình bên. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Đáp án D
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đổi dấu qua các điểm x = −1, x = 0, x = 2, x = 4 nên hàm
số có 4 điểm cực trị.
Câu 437: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên
tục trên

, có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng

y = −2018 tại bao nhiêu điểm?

A. 2

B. 4

C. 0

D. 1

: Đáp án A
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra đường thẳng y = −2018 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm.

Câu 438 (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3): Giá trị của lim

x →−

B. −2

A. 0

C. −

Đáp án B

Ta có lim

x →−

1
x
= lim
= −2
2
x →−
1
1
x +1 −1
− 1+ 2 −

x
x
2x −1

2−

2x − 1
x2 + 1 − 1
D. 2.

bằng:


Câu 439: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f  ( x ) = x ( x − 2 ) với x 
3

. Hàm sô đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

B. ( −1;0 ) .

A. (1;3) .

D. ( −2;0 ) .

C. ( 0;1) .

Đáp án C
Hàm số nghịch biến khi f  ( x )  0  x ( x − 2 )  0  0  x  2  x  ( 0; 2 )
3

Câu 440: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Đồ thị hàm số y =

x +1
x2 − 1

có tất cả

bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Đáp án C
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 , tiệm cận ngang là y = −1; y = 1 .

(

)

Câu 441: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Đạo hàm của hàm số y = x 2 + x + 1

1
3

?

A. y  =

C. y  =

2x + 1
3 3 ( x 2 + x + 1)

B. y  =

2

2
−
1 2
x
+
x
+
1
(
) 3.
3

D. y  =

2
1 3
3 .
x
+

x
+
1
(
)
3

2x + 1
3 x + x +1
3

2

.

Đáp án A
Ta có y =

1
−1
1 2
2x +1
x + x + 1) 3 . ( 2 x + 1) =
(
2
3
3 3 ( x 2 + x + 1)

Câu 442: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Hàm số y = ( x 2 − x ) nghịch biến trên
3

khoảng nào dưới đây?

 1
A.  0; 
 2
Đáp án C

B. (1;2 )

C. ( −2;0 )

D. ( 0;1)


x  0
2

Ta có y = 2 ( x − x ) ( 2x − 1)  0   1
  x 1
2
Câu 443: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x )
liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng và có bảng biến thiên được cho như hình vẽ
dưới đây:

Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Phương trình f ( x ) = g ( x ) không có nghiệm thuộc khoảng ( −;0 ) .
B. Phương trình f ( x ) + g ( x ) = m có 2 nghiệm với mọi m  0 .
C. Phương trình f ( x ) + g ( x ) = m có nghiệm với mọi m.
D. Phương trình f ( x ) = g ( x ) − 1 không có nghiệm

Đáp án D
Ta chọn được f ( x ) = − x + x2 + 3 thỏa mãn.
Thật vậy f  ( x ) = −1+

x
x2 + 3

=

x − x2 + 3
x2 + 3

 0, x  .

f ( x ) = − x + x2 + 1  lim f ( x ) = +.
x →−

f ( x ) = − x + x2 + 1 =

1
x + x2 + 1

 lim f ( x ) = 0.

Với f ( x ) = − x + x2 + 5 và g ( x ) =

x →+

4
 x = 2 thỏa mãn f ( x ) = g ( x ) −1.

x

Câu 444: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phương trình 4 x + 2 x + 4 = 3m ( 2 x + 1) có 2 nghiệm phân biệt.
A. 1  m  log3 4
: Đáp án B

B. 1  m  log3 4

C. log 4 3  m  1

D. log 4 3  m  1


HD: Đặt t = 2x ( t  0) ta có: t 2 + t + 4 = 3m ( t + 1)  3m =
Xét hàm số g ( t ) = t +

t2 + t + 4
4
=t+
= g (t ) .
t +1
t +1

4
4
= 0  t =1
( t  0 ) ta có g ' ( t ) = 1 −
2
t +1

( t + 1)

Lập BBT
t

0

g ' (t )

+

1
–

0

+
+

4

g (t )
3
Do mỗi giá trị của t có một giá trị của x nên phương trình đã cho có 2 nghiệm khi phương
trình g ( t ) = 3m có 2 nghiệm  3  3m  4  1  m  log 3 4 . Chọn B.
Câu 445: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm
số y = f  ( x ) được cho như hình bên. Hàm số y = −2 f ( 2 − x ) + x2 nghịch biến trên khoảng
A. ( −3; −2 )

B. ( −2; −1)

C. ( −1;0 )

D. ( 0; 2 )

Đáp án C
HD: Xét hàm số g ( x ) = −2 f ( 2 − x ) + x2  g ' ( x ) = 2 f ' ( 2 − x ) + 2 x  0  f ' ( 2 − x )  − x

 f '(2 − x)  2 − x − 2
Đặt t = 2 − x  f ' ( t )  t − 2
Dựa vào đồ thị ta thấy f ' ( t )  t − 2 với 1  t  3  1  2 − x  3  −1  x  1
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;0). Chọn C.

Câu 446: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho đồ thị ( C ) : y =

x −1
và d1 , d 2 là hai
2x

tiếp tuyến của (C) song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa d1 và d 2 là:
A. 3.
Đáp án C

B. 2 3

C. 2

D. 2 2.

 a −1   b −1 
HD: Gọi A  a;
 ; B  b;
 (a  b)
 2a   2b 
Do tiếp tuyến A và B song song với nhau nên y ' ( a ) = y ' ( b ) 

1
1
= 2  a = −b
2
2a
2b

 1
Suy ra A, B đối xứng nhau qua tâm đối xứng I  0; 
 2
1
a −1
x − a) +
()
2 (
2a
2a

PTTT tạo A là: y =

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến:
d = 2d ( I ;  ) = 2

−

1 1 1 1
− + −
2a 2 2 2a
=
1
+1
4a 4

(Do theo BĐT Co-si ta có

2
1
+ a2
2
4a

2



= 2.

1
2
4

1
1

+ a2  2
)
2
4a
4

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa d1 và d2 là 2. Chọn C.
Câu 447: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3)Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = mx +

36
trên 0;3 bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x +1

A. 0  m  2

B. 4  m  8

C. 2  m  4

Đáp án C
HD: Ta có: y ' = m −

36

( x + 1)

2

; y ( 0 ) = 36; y ( 3) = 3m + 9

9

m 
TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn  0;3  
( vn )
4
3m + 9 = 20

TH2: y ' = m −

36

( x + 1)

2


 x = −1 +
m 0
⎯⎯⎯
→

 x = −1 −


6
  0;3
m
6

( loai )
m

6 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 20  y  −1 +
 = 20
m


D. m  8


 m = 100 ( loai )
6 
36

. Chọn C.
 m  −1 +
 −m + 6 m + 6 m = 20  
+
m  −1 + 6 + 1

m = 4
m
Câu 448: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f  ( x ) = ( x 3 − 2 x 2 )( x 3 − 2 x ) , với mọi x 

. Hàm số y = f (1 − 2018 x ) có nhiều nhất bao

nhiêu điểm cực trị?
A. 9.

B. 2018.

C. 2022.

D. 11.

Đáp án A

(

HD: Ta có f  ( x ) = x3 − 2x2

)( x

3

)

(

)

− 2x = x3 ( x − 2) x2 − 2 ; x  .

Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) = f (1 − 2018x ) là tổng
•

Số nghiệm phương trình g ( x ) = 0  −2018. f  (1 − 2018x ) = 0 ⎯⎯
→ có 4 điểm.

•

→ có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm
Số nghiệm của phương trình f (1 − 2018x ) = 0 ⎯⎯

có 4 nghiệm.
Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị.
Câu 449: (Chuyên ĐH Vinh – Nghệ An – Lần 3) Cho hàm số v ( x ) liên tục trên đoạn 0;5
và có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

3x + 10 − 2 x = m.v ( x ) có nghiệm trên đoạn 0;5 ?

A. 6.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

Đáp án C
HD: Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng v ( x )  1;4 với x  0;5.
Xét hàm số f ( x ) = 3x + 10 − 2 x trên 0;5 , có f  ( x ) =

3
2 3x

−

1
10 − 2 x

= 0  x = 3.

Suy ra min f ( x ) = f ( 0) = 10;max f ( x ) = f ( 3) = 5  10  3x + 10 − 2 x  5.
0;5

0;5


Khi đó m =

1
3x + 10 − 2x  10 
3x + 10 − 2 x
1 
mà
  ;1 ⎯⎯
→

;5 .
u ( x)  4 
u ( x)
4
u ( x)



 10 
;5 .
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm  m  
 4


Câu 450: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như
hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;2 )

B. ( −;0 )

C. ( 0; 2 )

D. ( 2;+ )

: Đáp án C
Phương pháp
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và kết luận.
Cách giải
Theo đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( 0; 2 )

Câu 451: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2x − 1)
1

A. D =  ; + 
2


B. D =

1 
\ 
2

1

C. D =  ; + 
2


n

D. D =

Đáp án C
Phương pháp
Hàm số y = x n có TXĐ:
n

+

D=

n

−

D=

n

\ 0

D = ( 0; + )

Cách giải

  Hàm số xác định  2x − 1  0  x 

1
1

 D =  ; + 
2
2


Câu 452: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Giá trị lớn nhất của y = −x 4 + 4x 2 trên đoạn [−1; 2]
bằng:


A. 1

B. 4

C. 3

D. 5

Đáp án B
Phương pháp
Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f ( x ) trên a;b
+) Giải phương trình y ' = 0  các nghiệm xi a;b
+) Tính các giá trị f ( a ) ;f ( b ) ;f ( x i )
+) So sánh và kết luận:
max f ( x ) = max f ( a ) ;f ( b ) ;f ( x i ); min f ( x ) = min f ( a ) ;f ( b ) ;f ( x i )
a;b

a;b

Cách giải

TXD: D =
 x = 0   −1; 2

Ta có: y ' = 4x 3 + 8x = 0   x = 2   −1; 2

 x = − 2   −1; 2

y ( 0 ) = 0; y

y=4
( 2 ) = 4; y ( −1) = 3; y ( 2) = 0  max
 
a;b

Câu 453: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 1 +
trên khoảng (1; + ) . Tìm m?

A. m = 2

B. m = 5

C. m = 3

: Đáp án D
Phương pháp
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm
Cách giải
x  0  x −1  0
y = x −1 +

4
2
x −1

( x − 1) .

Dấu bằng xảy ra  x − 1 =

4
= 2.2 = 4
x −1

4
2
 ( x − 1) = 4  x = 3
x −1

D. m = 4

4
x −1


Câu 454: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Tìm tham số thực m để hàm số
 x 2 + x − 12
khi x  −4

liên tục tại điểm x 0 = −4
y = f (x) =  x + 4
mx + 1
khi x = 4


B. m = 3

A. m = 4

D. m = 5

C. m = 2

: Đáp án C
Phương pháp
Hàm số liên tục tại x = x 0  lim f ( x ) = f ( x 0 )
x →x0

Cách giải

x 2 + x − 12
= −7
x →−4
x+4

Ta có lim f ( x ) = lim
x →−4

Hàm số liên tục tại x = −4  lim f ( x ) = f ( 4 ) = −7 = −4m + 1  m = 2
x →−4

Câu 455: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Cho bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hỏi đây là
bảng biến thiên của hàm số nào trong các hàm số sau?

−

x

+

1

−

y'

−
+

y

1

1
−

A. y =

−x + 2
x −1

B. y =

x+2
x −1

C. y =

x+2
x +1

D. y =

: Đáp án D
Phương pháp
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số suy ra TCĐ và TCN của đồ thị hàm số.
Cách giải
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ x = 1 và TCN y = 1.

x −3
x −1


Câu 456: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
A. x =

2
3

B. y =

2
3

C. x = −

1
3

x −1
là?
−3x + 2

D. y = −

1
3

: Đáp án D

Phương pháp
Hàm bậc nhất trên bậc nhất y =

ax + b
a
( ac  bd ) có TCN là y =
c
cx + d

Cách giải
Đồ thị hàm số có TCN là y = −

1
3

Câu 457: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m có đồ thị (C) . Biết đồ
thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC. Phát biểu
nào sau đây đúng?
A. m  ( 0; + )

B. m  ( −; −4)

C. m  ( −4;0)

D. m  ( −4; −2 )

: Đáp án C
Phương pháp
+) Ba nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 + m = 0 lập thành 1 CSC.
+) Sử dụng định lí Vi-et phương trình bậc ba.

Cách giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 + 3x 2 + m = 0 (1) .
Vì đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC nên
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành 1 CSC.
Gọi 3 nghiệm đó lần lượt là x 0 − d; x 0 ; x 0 + d ( d  0 )
Theo định lí Vi-et có x 0 − d + x 0 + x 0 + d =

−b
= −3  3x 0 = −3  x 0 = −1 là 1 nghiệm của
a

phương trình (1).
 ( −1) + 3. ( −1) + m = 0  m + 2 = 0  m = −2  m  ( −4;0 )
3

2

Câu 458 ( Chuyên Thái Bình- Lần 5): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m  [−2018; 2018] để hàm số y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên ( −; + )


A. 2017

B. 2019

C. 2020

D. 2018

Đáp án D

Phương pháp
 y '  0x 

Hàm số đồng biến trên
Cách giải

TXĐ: D =
Có y ' =

x

−m

x2 +1

Để hàm số đồng biến trên
 y '  0x 

Ta có f ' ( x ) =



x
x2 +1

x

 f (x) =

x2 +1

 mx 

 m  min f ( x )

x

x2 +1 − x
x +1
2

− m  0x 

x2 +1 =

1

x + 1 ( x 2 + 1)
2

 0x 

Có lim f ( x ) = −1  min f ( x )  −1  m  −1
x →−

Kết hợp điều kiện đề bài m  [−2018; −1].
Câu 459: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên
dưới đây: Tìm số điểm cực trị của hàm số y = e2f ( x )+1 + 5f ( x )
A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

: Đáp án D
Phương pháp
Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là số nghiệm của phương trình f ' ( x ) = 0 mà qua đó

f ' ( x ) đổi dấu.
Cách giải
Ta có y ' = 2f ' ( x ) .e
Vì
y=e

2f ( x ) +1

+ f ' ( x ) .5f ( x ) = f ' ( x ) 2e 2f ( x )+1 + 5f ( x )  = 0

2e2f ( x )+1 + 5f ( x )  0x  y ' = 0  f ' ( x ) = 0 
2f ( x ) +1

+5 (

f x)

Số

điểm

cực

trị

bằng số cực trị của hàm số y = f ( x )

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị.

của

hàm

số


Vậy hàm số y = e2f ( x )+1 + 5f ( x ) cũng có 3 điểm cực trị.

Câu

460:

(

Chuyên

Thái

(1 + cos x )( cos 4x − mcos x ) = msin 2 x.

Bình-

Lần

5)Cho

phương

trình

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng

 2 
3 nghiệm phân biệt thuộc  0; 
 3 
 1 1
A. m   − ; 
 2 2

B. m  ( −; −1  1; + )

C. m  ( −1;1)

 1 
D. m   − ;1
 2 

: Đáp án D

Phương pháp

+) Sử dụng công thức sin 2 x = 1 − cos2 x = (1 + cos x )(1 − cos x )
+) Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng cos x = m
+) Biểu diễn nghiệm trên đường trìn lượng giác và kết luận
Cách giải

(1 + cos x )( cos 4x − m cos x ) = m sin 2 x
 (1 + cos x )( cos 4x − m cos x ) = m (1 + cos x )(1 − cos x )
 (1 + cos x )( cos 4x − m cos x − m + m cos x ) = 0
cos x = −1(1)
 (1 + cos x )( cos 4x − m ) = 0  
cos 4x = m ( 2 )
2 
 k 
 3 

(1)  x =  + k2 ( k  ) ; x =  + k2  0;


 2 
 Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thuộc  0;   Phương trình (2) có 3 nghiệm
 3 
 2 
thuộc  0; 
 3 

 2 
 8 
Với x  0;   4x  0;  biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta có:
 3 
 3

 8 
 1 
Dễ thấy để phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt thuộc 0;   m   − ;1
 3
 2 

Câu 461: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ 0 và có bảng
biến thiên như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 3 f ( 2x − 1) − 10 = 0 là:
−

x

0

+

1

−

y'

+

+

y

+
3

−

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Đáp án C
Phương pháp
+ Đặt t = 2x − 1  3 f ( t ) − 10 = 0  f ( t ) =

10
3

+) Từ BBT của đồ thị hàm số f ( x ) suy ra BBT của đồ thị hàm số y = f ( t ) và biện luận số
nghiệm của phương trình.
Cách giải
Đặt t = 2x − 1  3 f ( t ) − 10 = 0  f ( t ) =

10
3

Ta suy ra được BBT của đồ thị hàm f ( t ) như sau:
t

−

f '( t )

f (t)

-1

−
+

+

1
-

+

+

+
3


−

 BBT của đồ thị hàm số y = f ( t ) :
−

t

f '( t )
f (t)

-1

−

-

+

+

+

1
+

+

+
y=0

3
−

Số nghiệm của phương trình f ( t ) =
đường thẳng y =

10

là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và
3

10
. Dựa vào BBT ta thấy phương trình có 4 nghiệm.
3

Câu 462 ( Chuyên Thái Bình- Lần 5): Cho hàm số f ( x ) ;g ( x ) ; h ( x ) =

f (x)
. Hệ số góc
3− g(x)

của các tiếp tuyến của các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x 0 = 2018 bằng nhau
và khác 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f ( 2018 )  −

1
4

B. f ( 2018 )  −

1
4

C. f ( 2018 ) 

1
4

D. f ( 2018 ) 

1
4

: Đáp án A
Phương pháp
Hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x 0 = 2018
bằng nhau và khác 0  f ' ( 2018) = g ' ( 2018) = h ' ( 2018)  0
Cách giải


h '( x ) =

f ' ( x ) . ( 3 − g ( x ) ) + f ( x ) .g ' ( x )

(3 − g ( x ))

2

f ' ( 2018 ) = g ' ( 2018 ) = h ' ( 2018 ) =
 f ' ( 2018 ) =

=

3f ' ( x ) − f ' ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x )

(3 − g ( x ))

2

3f ' ( 2018 ) − f ' ( 2018 ) .g ( 2018 ) + f ( 2018 ) .g ' ( 2018 )

( 3 − g ( 2018) )

2

0

3f ' ( 2018 ) − f ' ( 2018 ) .g ( 2018 ) + f ( 2018 ) .g ' ( 2018 )

( 3 − g ( 2018) )

2

3 − g ( 2018 ) + f ( 2018 )

( f ' ( 2018)  0 )
( 3 − g ( 2018) )
 f ( 2018 ) = ( 3 − g ( 2018 ) ) − 3 + g ( 2018 )

 f ' ( 2018 ) =

2

2

5
25 1
 f ( 2018 ) = g 2 ( 2018 ) − 5g ( 2018 ) + 6 = g 2 ( 2018 ) − 2. g ( 2018 ) + −

2
4 4
2

5 1
1

 f ( 2018 ) = g ( 2018 ) −  −  −
2 4
4

Câu 463: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Cho hàm số y = x 4 − 2m2 x 2 + m2 có đồ thị (C) . Để
đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho 4 điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O
là gốc tọa độ) thì giá trị của tham số m là:
A. m = − 2

B. m = 

2
2

C. m =  2

D. m =

2
2

: Đáp án D
Phương pháp

+) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
+) Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số A, B, C ( A  Oy )
+) Gọi I là trung điểm của BC, để ABOC là hình thoi  I là trung điểm của OA.
Cách giải

TXĐ: D =
x = 0
Ta có y ' = 4x 3 − 4m2 x = 0   2
2
x = m
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  m  0
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; m 2 ) ; B ( m; −m 4 + m 2 ) ;C ( −m; −m 4 + m 2 )
Dễ thấy B, C đối xứng qua trục Oy.


Gọi I là trung điểm của BC ta có I ( 0; −m 4 + m 2 ) . Để tứ giác ABOC là hình thoi  I phải là
trung điểm của OA  m 2 = −2m 4 + 2m 2  2m 4 = m 2  m 2 ( 2m 2 − 1) = 0  m =

1
2

Câu 464: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5)Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến trên

( 0; + ) , y = f ( x )

liên tục, nhận giá trị dương trên

( 0; + )

và thỏa mãn f ( 3) =

2
3

và

f ' ( x )  = ( x + 1) f ( x ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

A. 2613  f 2 (8)  2614

B. 2614  f 2 (8)  2615

C. 2618  f 2 (8)  2619

D. 2616  f 2 (8)  2617

: Đáp án A
Phương pháp
Lấy căn bậc hai hai vế, sử dụng công thức

(

)

f (x) ' =

f '( x )
2 f (x)

Cách giải

f ' ( x )  = ( x + 1) f ( x )  f ' ( x ) = x + 1 f ( x )x  ( 0; + )
8
8
f '( x )
f '( x )
x +1
x +1
19

=

dx = 
dx =
2
2
3
2 f (x)
3 2 f (x)
3
2

8

 f (x) =
3

19
19

2 19
 f (8 ) − f ( 3) =  f (8 ) =
+
3
3
3 3
2

 2 19 
 f ( 8 ) = 
+   2613, 26  ( 2613; 2614 )
 3 3
2

Câu 465: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

x
y'
y

−

−

−1
0

+

+

0
0

−

1
0

Số nghiệm của phương trình f ( x ) − 6 = 0 là

+

+

5
1
2

+

1
2


A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Đáp án B
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng biến thiên, xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng
y=m
Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f ( x ) = 6  5 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 466: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên:
x

−

y'

2
+

y

0
3

−

+

4

−

0

+

+

5

−2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = −2
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
: Đáp án D
Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa điểm cực trị của hàm số và bảng biến thiên
Lời giải:
→ − khi đi qua x = 2  Hàm số đạt cực đại tại x = 2
Vì y đổi dấu từ + ⎯⎯
Câu 467: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Đường cong của hình vẽ bên là đồ thị
ax + b
của hàm số y =
với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng
cx + d
A. y '  0, x  1
B. y '  0, x  2
C. y '  0, x  1

D. y '  0, x  2

: Đáp án D
Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng, đường tiệm cận đồ thị hàm số
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 và đi xuống
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;2 ) và ( 2; + )  y'  0, x  2


Câu 468: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên
có bảng biến thiên
−
x
y'
−
y
+

−1
0

+

0
0

−

và

+

1
0

+

+

5

4

4

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng
A. Hàm số đồng biến trong các khoảng ( −; −1) và ( 0;1)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+ )
C. Hàm số đồng biến trong các khoảng ( −1;0 ) và (1;+ )
D. Hàm số nghịch biến trong khoảng ( 0;1)
: Đáp án C
Phương pháp giải:
Dựa vào bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Lời giải:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
• Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0 ) và (1;+ )
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) và ( 0;1)
Câu 469: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau
x
y'

y

−

−

−1
0

+

+

0
0

−

+

1
0

+

+

0
−1

−1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x ) = 2m có nhiều nhất 2 nghiệm.
1

A. m   −; −   ( 0; + )
2


B. m  ( 0; + )  −1

C. m  ( −; −1  ( 0; + )

 1
D. m  ( 0; + )  − 
 2

Đáp án A
Phương pháp giải:
Phương trình có nhiều nhất n nghiệm thì xảy ra các trường hợp có n nghiệm, có n – 1 nghiệm,
… , vô nghiệm, dựa vào bảng biến thiên để biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số
Lời giải:


m  0
 2m  0
TH1. Phương trình f ( x ) = 2m có 2 nghiệm phân biệt  

m = − 1
2m

=
−
1


2
TH2. Phương trình f ( x ) = 2m có nghiệm duy nhất  m 
TH3. Phương trình f ( x ) = 2m vô nghiệm  2m  −1  m  −

1
2

1

Vậy phương trình f ( x ) = 2m có nhiều nhất 2 nghiệm khi và chỉ khi m   −; −   ( 0; + )
2


Câu 470: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 2
trên đoạn [−1; 2] đạt tại x = x 0 . Giá trị x 0 bằng bao nhiêu?
A. 2
B. 1
C. −2
D. −1
Đáp án B
Phương pháp giải: Khảo sát hàm số trên đoạn để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất
Lời giải:
Xét hàm số f ( x ) = 2x3 + 3x 2 −12x + 2 trên [−1; 2] có f ' ( x ) = 6x 2 + 6x −12

 x = 1  −1; 2

Phương trình f ' ( x ) = 0  6x 2 + 6x − 12 = 0  
 x = −2   −1; 2
Tính f ( −1) = 15;f (1) = 15;f ( 2 ) = 6
Do đó, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −5. Xảy ra khi x =1

Câu 471: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số y = x 4 − 4x 2 + 3 có đồ thị (C). Có bao
nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
: Đáp án C
Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k và đi qua điểm thuộc Oy, sử
dụng điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc tìm tham số m
Lời giải:
Gọi M ( 0;m)  Oy  Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng ( d ) : y = kx + m
4
2

 x − 4x + 3 = k
 x 4 − 4x 2 + 3 = ( 4x 3 − 8x ) x + m
Vì (C) tiếp xúc với (d)   4
2

 x − 4x + 3 = kx + m

 m = −3x 4 + 4x 2 + 3. Yêu cầu bài toán  m = f ( x ) có 3 nghiệm phân biệt.
f (x)

Xét hàm số f ( x ) = −3x + 4x + 3 trên

4

Ta có BBT

2

x = 0
, có f ' ( x ) = −12x + 8x;f ' ( x ) = 0  
x =  6

3
3


x

−

y'
y

−
+

0

6
3

0

−

+

6
3

0

+

0

−

+

13
3

13
3
−

−

3

Dựa vào bảng biến thiên, để m = f ( x ) có 3 nghiệm phân biệt  m = 3

Vậy có duy nhất 1 điểm M  Oy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 x2 + x − 6
khi x  2

Câu 472: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Cho hàm số f ( x ) =  x − 2
. Xác
 −2ax + 1 khi x  2

định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2
1
A. a =
B. a = −1
C. a = 1
D. a = 2
2
Đáp án B
Phương pháp giải: Áp dụng điều kiện để hàm số liên tục tại điểm
Lời giải:

x2 + x − 6
= lim+ ( x + 3) = 5; lim− f ( x ) = lim− (1 − 2ax ) = 1 − 4a
Ta có lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
x →2
x →2
x →2
x−2
Và f ( 2 ) = (1 − 2ax ) x = 2 = 1 − 4a
Do

đó,
để
hàm
số
liên
tục
lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( 2 )  5 = 1 − 4a  a = −1
x →2

tại

điểm

x=2

khi:

x →2

Câu 473: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3)Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
y = − x 3 + mx 2 − m đồng biến trên khoảng (1;2 )
3

3 
A.  ;3 
B.  −; 
C. 3;+ )
D. ( −;3
2


2 
Đáp án A
Phương pháp giải: Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải: Ta có y = −x 3 + mx 2 − m  y ' = −3x 2 + 2mx, x 

Yêu cầu bài toán  y'  0, x 

 −3x 2 + 2mx  0, x  (1;2)

 −3x 2 + 2mx  0  2m  3x, x  (1;2)  2m  3.2  m  3
Câu 474: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Biết M ( −2;5) , N ( 0;13) là các điểm cực trị của đồ
thị hàm số y = ax + b +

c
. Tính giá trị của hàm số tại x = 2
x +1


A. −

13
3

B.

16
16
47
C.
D.

9
3
3

Đáp án D
Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để một điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải:
c
c
Ta có y = ax + b +
⎯⎯
→ y ' = ax −
; x  −1
2
x +1
( x + 1)


a − c = 0
 y ' ( −2 ) = 0
Vì M ( −2;5) , N ( 0;13) là các điểm cực trị  

a=c
a
−
c
=
0
y
'

0
=
0
(
)



 y ( −2 ) = 5 2a + b − c = 5
a = c = 2
2
 y ( x ) = 2x + 11 +
Và 
mà a = c  

x +1
b = 11
b + c = 13
 y ( 0 ) = 13
2 47
Vậy y ( 2 ) = 2.2 + 11 + =
3 3
Câu 475: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x 3 − mx + 1 đồng biến trên (1;+ )

A. m  0
B. m  3
C. m  3
Đáp án B
Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng
Lời giải:
Ta có y = x 3 − mx + 1  y ' = 3x 2 − m; x 

D. m  0

Yêu cầu bài toán  y'  0; x 1; + )  3x 2 − m  0  m  3x 2 ; x  1; + )

 m  min 3x 2  mà 3x 2  3; x  1 nên suy ra m  3 là giá trị cần tìm.
1;+)

Câu 476: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  [−5; 5]
1
để hàm số y = x 4 + x 3 − x 2 + m có 5 điểm cực trị?
2
A. 7
B. 5
C. 4
D. 6
Đáp án D
Phương pháp giải:
Tính đạo hàm của hàm trị tuyệt đối, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để biện luận số điểm
cực trị
Lời giải:
1


4x 3 + 3x 2 − x )  x 4 + x 3 − x 2 + m 
(
1

2

 ; x  D
Ta có y = x 4 + x 3 − x 2 + m  y ' =
1
2
x 4 + x3 − x 2 + m
2



1

 4x 3 + 3x 2 − x = 0
 x  −1;0; 4 


Phương trình y ' = 0   4

x + x3 − 1 x 2 + m = 0
1 2

4
3

2
 −m = f ( x ) = x + x − 2 x
1

Để hàm số có 5 điểm cực trị  −m = f ( x ) có 2 nghiệm phân biệt khác −1; 0;  (*)

4

1
1

Xét hàm số f ( x ) = x 4 + x 3 − x 2 , có f ' ( x ) = 4x 3 + 3x 2 − x;f ' ( x ) = 0  x = −1;0; 
2
4


1
3
1
Tính f ( −1) = − ;f ( 0 ) = 0;f   = −
2
256
4

 −m  0
m  0


Khi đó (*) 
 −m   − 1 ; − 3 
 m   3 ; 1 



 2 256 
 256 2 

Kết hợp với m  và m  [−5; 5] ta được m  {−5; −4; −3; −2; −1;0}.

Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 477: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang?
A. y = x 3 − x − 1.

B. y =

x3 + 1
.
x2 +1

C. y =

x3 + 1
.
x2 +1

D. y = 2x 2 + 3.

: Đáp án C.
Phương pháp giải:
Tính giới hạn khi x dần tới vô cùng để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đường thẳng

y=b

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y = f ( x )  lim f ( x ) = b.

x →

Lời giải: Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
•

y = x 3 − x − 1 ⎯⎯
→ lim y = lim ( x 3 − x − 1) =   ĐTHS không có TCN.

•

1
1+ 3
x3 + 1
x3 + 1
y = 2 ⎯⎯
→ lim y = lim 2 = lim x =   ĐTHS không có TCN.
x →
x → x + 1 x → 1
1
x +1
+ 3
x x

•

3x 3 + 2x − 1
3x 3 + 2x − 1
y=
⎯⎯
→

lim
=
lim
= lim
x →
x →
x →
4x 2 + 5
4x 2 + 5

•

y=

x →

x →

2x 2 + 3 ⎯⎯
→ lim y = lim
x →

x →

2x 2 + 3 =  

2 1
−
x x 2 = 3  y = 3 là TCN.
5

4
4
4+ 2
x

3+

ĐTHS không có TCN.

Câu 478: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1) Cho hàm số f ( x ) liên trục trên
hình vẽ bên. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng nào ?

và có đồ thị như


A. ( −; 0 ) .

B. ( −; −1) .

C. (1; +) .

D. ( −1;1) .

Đáp án C.
Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng của đồ thị để xét tính đơn điệu.
Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;0) và (1; +) .

Câu 479: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)

lim

x →−

A. 3.

3x − 1
x +5

B. -3.

C.

bằng
1
− .
5

D. 5.

Đáp án A.
Phương pháp giải: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của mẫu số để tính lim

1
3x − 1
= lim x = 3 vì
Lời giải: Ta có lim
x →− x + 5
x →−
5
1+

x
3−

lim

x →−

1
= 0.
x