GIẢI TÍCH I KHÓA 62 GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015, 2016 (K60 và K61)

TUẤN TEO TÓP

SĐT: 01668766321

ĐH Bách Khoa HN

GIẢI TÍCH I KHÓA 62
GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI
NĂM 2015, 2016 (K60 và K61)
Ngày : 14/04/2017

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 09 trang)

Mã đề thi 002

Câu 1: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 1)

ln  cos3x 
9
 1 Đáp số: a   ;  2

x 0
a.x
2

Tìm các số thực a; thõa mãn lim

9 x 2
2

3 x  x 0
3x

Ta có: ln  cos3x   ln 1  2sin 2  2sin 2
2
2


9 x2
ln  cos3x 
9 x2
9
2
 lim
 lim
1 
 a.x  a   ;   2


x 0
x

0
a.x
a.x
2
2


Câu 2: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 2)

Tìm các số thực a; thõa mãn lim

1  sinx 

5

 lim

a.x

3

5

1  sinx 

3

 1  1  sinx  5  1

5

1  sinx 

3

1

a.x

x 0

1



x 0

Ta có:

3

x 0

3
sinx
5

3
 1 Đáp số: a  ;  1
5

3
x
5

3x
3x
3
 lim 5   1 

 a.x  a  ;   1
x 0 a.x
5
5

Câu 3: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 3)

x5  sin  x5 

Tính giới hạn sau: lim

15

x 0

Vì  sinx 

x 0

x  lim

sin x

x5  sin  x5 
sin15 x

x 0

Đáp số: L 

 lim
x 0

1
6

x5  sin  x 5 
x15

t  sint
1  cost 1
 ( L) lim

3
t 0
t 0
t
3t 2
6

Đặt t  x5  x  0  t  0   lim

 L  lim
x 0

x5  sin  x5 
15

sin x



1
6

Câu 4: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 4)
Tính giới hạn sau: lim
x 0

x 7  ln 1  x 7 
14

tan x

Đáp số: L 

1
2

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 1/9


TUẤN TEO TÓP
Vì  tanx 

x 0

x  ln 1  x

7

x  lim

7

14

x 0

tan x

  lim x

7

 ln 1  x

7

x 0

x

t  ln  t  1
 ( L) lim
t 0
t 0
t2

 L  lim
x 0

14

tan x





14

Đặt t  x7  x  0  t  0   lim

x 7  ln 1  x 7 

SĐT: 01668766321

1
1
2
t  1  ( L) lim  t  1  1
t 0
2t
2
2

1

1
2

Câu 5: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 5)
Tính giới hạn sau: lim x   2arctan  2 x  Đáp số: L  1
x 
L  lim x   2arctan  2 x    lim
x 
x 

  2arctan  2 x 

1
x
(Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 6)

 lim

x 



4
2
1  4 x 2  lim 4 x  lim 4  1 Câu 6:
x  1  4 x 2
x 1
1
 2
4

x
x2

Tính giới hạn sau: lim x.ln | x | Đáp số: L  0
x 0

1
ln | x |
L  lim x.ln | x | lim
 ( L) lim x   lim x  0
x 0
x 0
x 0
x 0
1
1
 2
x
x

Câu 7: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 7)
1

 x  x 5
Tính giới hạn sau: lim   Đáp số: L  e 5
x 5 5
 
1

1

lim
ln
 x  x 5
Ta có: lim    e x5 x 5 5
x 5 5
 
1

x

1
1
  x 5 
1  x 5 1
  x  5   x 0 x  5
 x
)
ln    lim
ln 1  
 lim
 ( vì ln 1  





x 5 x  5
5
 5  x5 x  5   5   x5 x  5  5  5

  5 

lim

1

 x  x 5
 L  lim    e 5
x 5 5
 
1

Câu 8: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 8)
1

 x  1  x 1
2
Tính giới hạn sau: lim 
 Đáp số: L  e
x 1
 2 
1

1

1
x 1
lim
ln
 x  1  x 1

x1 x 1
2

e
Ta có: lim 

x 1
 2 

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 2/9


TUẤN TEO TÓP
SĐT: 01668766321
1
1
  x 1  
1  x 1  1
  x  1   x 0 x  1
 x 1 
)
lim
ln 
 lim
ln 1  
 lim
 ( vì ln 1  







x 1 x  1
2
 2  x1 x  1   2   x1 x  1  2  2
  2 
1

 x  1  x 1
2
 L  lim 
 e
x 1
 2 
1

Câu 9: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 1)
e x  cosx  ln 1  x 
3
Đáp số: L 
2
x 0
x
2

Tính giới hạn sau: lim

e  cosx  ln 1  x 
 ( L) lim
x 0
x 0
x2
x

L  lim

1
1
e x  cosx 
2
1  x   3
1  x  ( L) lim
x 0
2x
2
2

e x  sinx 

Câu 10: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 2)

sinx  ln 1  x 
1
Đáp số: L 
2
x 0
x

2

Tính giới hạn sau: lim

1
1

sinx

2
cosx 
sinx  ln 1  x 
1 x

1
1

x
 L  lim
 (L) lim
 ( L) lim

2
x 0
x 0
x 0
x
2x
2
2

Câu 11: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 3)
1.Tính giới hạn sau: lim

x

e

1

x  x2

x 0

Đáp số: L  1 (Dùng vô cùng bé tương đương)

1
x  1 Đáp số: L   1
x2
2

ex 
2.Tính giới hạn sau: lim
x 0

 L  lim

1
2
1
ex 

ex 
2
3
 x  1  ( L) lim
 x  1   1
x  1  (L) lim
x 0
x 0
x2
2x
2
2

ex 

x 0

Câu 12: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 4)
ex 1
1.Tính giới hạn sau: lim 2
Đáp số: L  1
3
x 0 x  x
2

Ta có: e  1
x2

x 0

x ;x  x
2

2

3

x 0

ex 1
x2
x  L  lim 2

lim
1
3
2
x 0 x  x
x  0 x
2

2

e x  sinx  cosx
Đáp số: L  1
x 0
x2

2.Tính giới hạn sau: lim

e x  sinx  cosx
e x  cosx  sinx
e x  sinx  cosx

(
L
)
lim

(
L
)
lim
1
x 0
x 0
x 0
x2
2x
2

Ta có: L  lim

Câu 13: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 5)
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 3/9


TUẤN TEO TÓP

SĐT: 01668766321
e 1
2
Đáp số: L  
x 0 ln 1  3 x 
3
2x

1.Tính giới hạn sau: lim

Ta có e2 x  1

x 0

2 x; ln 1   3x 

x 0

e2 x  1
2x
2
 lim

x 0 ln 1  3 x 
x 0 3 x
3

 3x  L  lim

ln 1  x   sinx
1
Đáp số: L  
2
x 0
x
2

2.Tính giới hạn sau: lim

1
1

 sinx
2
 cosx
ln 1  x   sinx
x

1


1
 ( L) lim x  1
 ( L) lim

Ta có: L  lim
2
x 0
x 0

x 0
x
2x
2
2
Câu 14: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20161 K61 đề số 6)
1
1  cosx
Đáp số: L  
2
x 0 ln 1  x
2
 

1.Tính giới hạn sau: lim

x2
x 0 x 2
x 0
1  cosx
1
Ta có: 1  cosx
; ln 1  x 2 
x 2  L  lim
 lim 22 
2
x 0 ln 1  x
2
  x 0 x 2

e2 x  sin2 x
Đáp số: L  2
x 0
x2

2.Tính giới hạn sau: lim

e2 x  sin2 x
2.e2 x  2cos 2 x
4.e2 x  4sin2 x
Ta có: L  lim
 ( L) lim
 ( L) lim
2
x 0
x 0
x 0
x2
2x
2x
Câu 15: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 1)

x100  2 x  1
Đáp số: L  
x 1 x 4  2 x  1

1.Tính giới hạn sau: lim

Ta có: lim  x100  2 x  1  1100  2.1  1  2 và lim  x 4  2 x  1  14  2.1  1  0
x 1

x 1

x100  2 x  1
 L  lim 4

x 1 x  2 x  1
arctan  2 x   2arctan  x 
Đáp số: L  2
x 0
x3

2.Tính giới hạn sau: lim

Câu 16: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 2)

x6  2 x  1
Đáp số: L  0
x 1 x 50  2 x  1

1.Tính giới hạn sau: lim

 x6  2x  1  1  2  1  0 và lim
 x50  2x 1  1  2 1  2
Ta có: lim
x 1
x 1
x6  2 x  1
0
x 1 x 50  2 x  1

 L  lim

3arctan  2 x   2arctan  3x 
Đáp số: L  10
x 0
x3

2.Tính giới hạn sau: lim

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 4/9


TUẤN TEO TÓP
Câu 17: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 3)
1.Tính giới hạn sau: lim
x



3

SĐT: 01668766321

cos 2 x  3cosx  1
Đáp số: L  0
sin2 x  2sinx  3





1 3
3
3
3
2
 3
Ta có: lim  cos 2 x  3cosx  1     1  0 và lim sin2 x  2sinx  3 


2
2
2
2 2
x
x
3

3

 L  lim
x



3

cos 2 x  3cosx  1
0
sin2 x  2sinx  3
ln 1  2 x   2ln 1  x 
Đáp số: L  1
x 0
x2

2.Tính giới hạn sau: lim

4
2
2
2


2
2

L
ln 1  2 x   2ln 1  x  L
1  2 x  1  x 

1

2
x
1

x

 lim
 lim
 1
Ta có: L  lim
x 0
x 0
x 0
x2
2x
2

Câu 18: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 4)
1.Tính giới hạn sau: lim
x



6

sin2 x  3sinx  3
Đáp số: L  
cos 2 x  sinx  1





Ta có: lim sin2 x  3sinx  3 
x



6

 L  lim
x



6

1 1
3 3
3 3
  3
và lim  cos 2 x  sinx  1    1  0

2 2
2
2 2
x
6

sin2 x  3sinx  3

cos 2 x  sinx  1
3ln 1  2 x   2ln 1  3x 
Đáp số: L  3
x 0
x2

2.Tính giới hạn sau: lim

12
18
6
6


2
2

3ln 1  2 x   2ln 1  3x 
1  2 x  1  3 x 

1

2
x
1

3
x
Ta có: L  lim
 ( L) lim
 ( L) lim
3
x 0
x 0
x 0

x2
2x
2

Câu 19: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 5)



1.Tính giới hạn sau: lim 1  cos x
x 0



Ta có: L  lim 1  cos x
x 0



sinx



sinx

Đáp số: L  1



x 0

1
 x2 x
 ( L) lim
 lim
x 0
2 x 1  cos x  1 x0
x
x2
2 x
2
sin x







 lnL  lim sin xln 1  cos x  lim

 

2

x 0



ln 1  cos x



x

 0  L  e0  1


1
1
1 
2.Tính giới hạn sau: lim 
Đáp số: L 




x 1 ln 1  2 x 
2
x 1 


ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 5/9


TUẤN TEO TÓP

x  1  ln  2  x 
x  1  ln  2  x 

1
1 

 lim
  lim
Ta có: L  lim 

2

x 1 ln  2  x 
x 1
x  1  x1  x  1 ln  2  x 
 x  1


SĐT: 01668766321

1
1 x
1
 ( L)  lim 2  x   lim

x 1 2  x  1
x 1 2  x  1 2  x 
2
1

( Vì ln  2  x   ln 1  1  x  1  x khi x  1 )
Câu 20: (Trích đề thi giữa kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 6)
1.Tính giới hạn sau: lim  ln 1  x  

sin x

x 0

Ta có: lnL  lim  ln 1  x  

sin x

x 0

 ( L) lim
x 0

Đáp số: L  1

 lim sin xln  ln 1  x    lim
x 0

x 0

ln  ln 1  x  
1
x

1
1
2 x x
 lim
 0  L 1

x 0 1  x  x
1  x  ln 1  x   1
2x x

x ; ln 1  x 

( Vì sin x

x khi x  0 )

3
3 
1
2.Tính giới hạn sau: lim   3 x  Đáp số: L 
x 0 x
2
e 1 


Câu 21: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 1)
1
1 
 1
1.Tính giới hạn sau: lim  x
Đáp số: L  


x 0 e  1
2
sinx 



sinx   e x  1
sinx   e x  1
1 
 1
Ta có: L  lim  x


lim

lim

x 0 e  1
x 0
sinx  x0 sinx  e x  1
x2

cosx  e x
sinx  e x
1
 ( L) lim

x 0
x

0
2x
2
2

 (L) lim

e x  1 x khi x  0 và sinx

x khi x  0   e x  1 sinx

2.Tính giới hạn sau: lim 1  sin x 
2

cotx
x

x 0

Ta có: L  lim 1  sin x 
2

x 0

cotx
x

Đáp số: L  e1



ln 1 sin2 x

e

lim

x0

x2

x.tanx



e

lim

x0

 sin2 x
x.tanx

 e1 (vì ln 1  sin2 x 

sin2 x khi x  0 )

Câu 22: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 2)

1
1
1 
1.Tính giới hạn sau: lim 

Đáp số: L 


x 0  ln 1  x 
2
sinx 


ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 6/9


TUẤN TEO TÓP

sinx  ln 1  x 
sinx  ln 1  x 
1
1 
L  lim 

 lim
 lim


x 0 ln 1  x 
sinx  x0 ln 1  x  .sinx x0
x2

1

1
 sinx 
2
cosx 
1 x

1
1

x
 ( L) lim
 ( L) lim

x 0
x

0
2x
2
2

ln 1  x 

x khi x  0  ln 1  x  .sinx

x khi x  0 và sinx

2.Tính giới hạn sau: lim 1  3sinx 

cotx

x 0

Ta có: L  lim 1  3sinx 

cotx

x 0

lim

 e x0

SĐT: 01668766321

x2

Đáp số: L  e3

ln13 sinx 
tanx

ln 1  3sinx 
3sinx
 lim
 3 (Vì ln 1  3sinx 
x 0
x 0 tanx
tanx

mà lim

3sinx khi

x 0)
 L  lim 1  3sinx 

 e3

cotx

x 0

Câu 23: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 3)
e x  cosx
1
1.Tính giới hạn sau: lim
Đáp số: L 
x 0 ln 1  2 x 
2

e x  cosx
e x  sinx 1
 ( L) lim

x 0 ln 1  2 x 
x 0
2
2
1 2x

Ta có: L  lim

1

2.Tính giới hạn sau: lim  e x  3x  sinx Đáp số: L  e4
x 0

Ta có: L  lim  e x  3x 



ln e x 3 x

1
sinx

lim

 e x0

x 0



sinx

ex  3
ln  e  3x 
x

mà lim
 ( L) lim e  3x  4
x 0
x 0 cosx
sinx
x

1

 L  lim  e x  3x  sinx  e4
x 0

Câu 24: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 4)
e x  cosx
1
Đáp số: L  
x 0 ln 1  3 x 
3

1.Tính giới hạn sau: lim

e x  cosx
e x  sinx
1
 ( L) lim

x 0 ln 1  3 x 
x 0
3
3


1  3x

Ta có: L  lim

2.Tính giới hạn sau: lim  e  2 x 
x

1
sinx

x 0

Ta có: L  lim  e x  2 x 

1
sinx

x 0



Đáp số: L  e3

ln e x  2 x
lim

 e x0

sinx



ex  2
ln  e  2 x 
x
mà lim
 ( L) lim e  2 x  3
x 0
x 0 cosx
sinx
x

1

 L  lim  e x  2 x  sinx  e3
x 0

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 7/9


TUẤN TEO TÓP
Câu 25: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 5)
Tính giới hạn sau: lim  sinx 

x

Đáp số: L  1

x 0

Ta có: L  lim  sinx 

x .ln sinx 

lim

 e x0

x

x 0

SĐT: 01668766321

cosx
ln  sinx 
 (L) lim sinx 3  0
Mà lim x .ln  sinx   lim
1
x 0
x 0
x 0

1 
x 2
 .x 2
2

 L  lim  sinx 

 e0  1

x

x 0

Câu 26: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 6)
Tính giới hạn sau: lim  tanx 

x

Đáp số: L  1

x 0

Ta có: L  lim  tanx 

x .ln tanx 

lim

 e x0

x

x 0

1
cos 2 x
ln  tanx 
Mà lim x .ln  tanx   lim
 (L) lim tanx 3  0
1
x 0
x 0
x 0

1 
x 2
 .x 2
2

 L  lim  tanx 
x 0

x

 e0  1

Câu 27: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 7)
Tính giới hạn sau: lim 1  cosx 

x

x 0

Ta có: L  lim 1  cosx 

x

x 0

lim

 e x0

Mà lim x .ln 1  cosx   lim
x 0

x

x 0

x .ln1cosx 

ln 1  cosx 

x 0

 L  lim 1  cosx 

Đáp số: L  1

x



1
2

sinx
 (L) lim 1  cosx3  0
x 0
1 
 .x 2
2

 e0  1

Câu 28: (Trích đề thi cuối kỳ học kỳ 20151 K61 đề số 7)
Tính giới hạn sau: lim 1  cosx 
x 0

Ta có: L  lim 1  cosx 
x 0

3

x

3

x

Đáp số: L  1

lim 3 x .ln1 cosx 

 e x0

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 8/9


TUẤN TEO TÓP

SĐT: 01668766321

Mà lim 3 x .ln 1  cosx   lim
x 0

ln 1  cosx 

x 0

x

 L  lim 1  cosx 
x 0

3

x



1
3

sinx
 (L) lim 1  cosx4  0
x 0
1 
 .x 3
3

 e0  1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI – LỚP HỌC TOÁN CAO CẤP FREE

Trang 9/9