bài tập he PT tuyen tinh tong quat

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
TỔNG QUÁT
1. Các dạng biểu diễn của hệ phương
trình.
 Dạng khai triển (dạng tổng quát):
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số
,

,…,

có dạng:


⋯

+
+
⋯
+

⋯

+ ⋯ +
+ ⋯ +
⋯
⋯
⋯
+ ⋯ +

 Dạng ma trận

=


=



=

×

: ma trận hệ số

: cột ẩn số

⋮
×

⋯

=
=

⋯ ⋯
=




Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột

= hạng tự do B: cột
số
hạng
tự do.
số
biểu
diễn
tuyến
⋮
tính qua các cột của ma trận hệ
số ×, , … , .

 Dạng véc tơ:

+


+ ⋯+

=

:cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của
ma trận hệ số)


2. Điều kiện có nghiệm
Định lý (Cronecker - Capelli)
“Hệ

phương

trình

tuyến

tính

có

nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận hệ số bằng hạng của ma trận mở
rộng:

=

”

Chứng minh(gồm hai phần)


 Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng
=

minh:

.

+ Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta
có:

=

,

,…,

= (

,

,…,

; )

+ Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua
,
⟶

,…,
,

⟶
,…,

=

,

=
,…,

;


 Giả sử :

=

. Ta cần chứng

minh hệ có nghiệm
=

+ Thật vậy, Giả sử:

= ,

Lấy một cơ sở của hệ véc tơ cột của
A:

,

,…,

. Dễ thấy

,

(hệ con ĐLTT có số véc tơ bằng hạng)

,…,
cũng là

cơ sở của hệ véc tơ cột của . Suy ra,
B bdtt qua

,

,…,

⟶


⟶B bdtt qua

,

,…,

lại gán hệ số bằng 0). Như

(mỗi véc tơ còn

vậy, cột số hạng

tự do B bdtt qua các cột của ma trận
hệ số, do đó hệ có nghiệm. Định lý
được chứng minh.
3. Khảo sát tổng quát hệ pttt
Xét hệ pttt n ẩn số:

,

,…,


Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ
số và ma trận mở rộng:

, ( )

 Nếu

≠ ( ) ⟹ Hệ vô nghiệm.

 Nếu

=

= : Hệ có nghiệm.

Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức
con cơ sở bất kỳ của A. Không mất
tổng quát ta giả sử:


=

…
…

=

⋯

⋯

⋯
⋯

≠
⋯ ⋯
⋯

Là một định thức con cơ sở của A.
Do

= , nên D đồng thời cũng là

định thức con cơ sở của . Từ đây suy
ra, r dòng đầu của

là một cơ sở của

hệ véc tơ dòng của nó.


Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến
dòng m bdtt qua r dòng đầu. Từ đó ta
có thể biến đổi các dòng r+1,…,m

thành các dòng bằng 0. Điều này
chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với
hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số
dòng với định thức con cơ sở):


Chú ý: +
+ ⋯ +
=
=
+
+ ⋯ +
⋯
bằng
cách
giữ

∎ Hệ PT cơ sở được
lập
⋯ ⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯ +
=
+
+

lại các PT của hệ ban đầu có cùng chỉ
Hệ PT
sởthức
củacon
hệ ban
đầu
số dòng
vớicơ
định
cơ sở
của ma




trận hệ số.
Nếu = thì hệ đã cho là hệ cramer, do
đóVà
nóviệc
có giải
nghiệm
định
∎
hệ banduy
đầunhất
được(xác
chuyển
theo quy tắc Cramer)
thành việc giải hệ PT cơ sở (vì chúng
Nếu < . Theo các chỉ số trên của

…
tương
đương)
định thức
con cơ sở
… ≠ :


Ta gọi

,

,…,

là các ẩn chính, các

ẩn còn lại là các ẩn tự do.
Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta
được một hệ Cramer (với các ẩn
chính). Giải hệ Cramer theo quy tắc
Cramer ta biểu diễn được ẩn chính
qua ẩn tự do. Trường hợp này hệ có
Vô số nghiệm.


Tóm tắt các bước giải hệ
Bước 1: Lập ,

và tính

, ( )

 Nếu

≠ ( ) ⟶ hệ vô nghiệm.

 Nếu

=

=

(n:số ẩn) ⟶ hệ

là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy
nhất (xác định bằng quy tắc Cramer)

 Nếu

=

=

<

⟶ hệ có vô

số nghiệm, chuyển sang Bước 2

=

Bước 2: Từ

= ,

 Chọn một định thức con cơ sở của A:
=

…
…

≠

 Từ D lập hệ phương trình cơ sở (Giữ
lại các PT có cùng chỉ số dòng với
định thức con cơ sở)


∎ Giải hệ cơ sở bằng cách: Quy định ẩn

chính là

,

,…,

(Các ẩn cùng chỉ

số cột của định thức con cơ sở), các ẩn

còn lại là các ẩn tự do.
∎ Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý,

chuyển chúng sang vế phải ta được hệ
Cramer với các ẩn là ẩn chính. Giải hệ
này ta thu được nghiệm tổng quát.


Lưu ý: Chỉ bằng 3 số tự nhiên là:

, ( ) và

ta có thể biết được số

nghiệm của hệ (không cần giải)
∎

≠ ( ): hệ vô nghiệm

∎

=

∎

= ( ) < : hệ vô số nghiệm

= : hệ có nghiệm duy nhất

Ví dụ: Giải hệ sau

−

−
+
−

Giải:
∎ Tìm

Ta có:

,

+
−
+

−
+
−

=
=−
=


−
+

−

−

+
−
+

−
=
−

−

Biến đổi sơ cấp trên

−
+
−

=
=−
=

−
− −
−
(Không đổi chỗ

cột cuối cho các cột còn lại)

−
=
−

−

−
⟶
−

−
− −
−

−
− −
−


−
⟶
−
−
⟶
⟹

−
− −

−
−
− −
=

=


∎Chọn một định thức con cơ sở của A

=

(cấp 2 khác 0):

−

=

≠

∎Từ định thức con cơ sở này ta lập hệ
PT cơ sở (giữ lại 2 PT đầu của hệ đã
cho)

−
+

+
−

−

+

=
= −

∎Cũng từ định thức con cơ sở ta quy
định ẩn chính là , , ẩn tự do ,


∎Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý:
= ,
= , ta được hệ:

−
+

−
=

= − +

∎Giải hệ này ta thu được:

= − +
=

− +

−
−

+
−


∎Nghiệm tổng quát của hệ đã cho là:

= − +

−

=
=
=

−

− +


Ví dụ 2: Giải hệ sau

−

+
+
+

Giải:
∎ Tìm

Ta có:

,

−
+
−

+
−
+

=
=
= −


+
+
+

−

−
+
−

+
−
+

=
=
= −

−
=
−

−
−
−

Biến đổi sơ cấp trên

(Không đổi chỗ

cột cuối cho các cột còn lại)