Dạy bài tập thể tích

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà - THPTBC Nguyễn Trãi
DẠY BÀI TẬP KHỐI ĐA DIỆN
A. Đặt vấn đề :
Mỗi mơn học trong chương trình tốn phổ thơng đều có vai trò rất quan
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Trong q trình giảng dạy, giáo viên ln phải đặt ra cái đích là giúp học
sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó
tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta
còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải tốn nhất là hình học
khơng gian của học sinh còn rất yếu. Chương Khối đa diện trong chương trình
hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến
thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhìn hình khơng gian,
khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao… Xuất phát từ thực
tế trên tơi chuẩn bị một hệ thống bài tập chương khối đa diện dạy trong các tiết
bài tập trên lớp (trên cơ sở bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỷ năng giải
tốn trên khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh lĩnh hội kiến thức cơ bản
nhất của chương.
I. Cơ sở lý luận :
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy bài tập về khối
đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. Khi giải bài tập tốn, người học
phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài
tốn đã làm và bài tốn mới. Các tiết dạy bài tập của một chương phải được
thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho
học sinh trong q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ
thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản
nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã
học một cách linh hoạt vào giải tốn và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có
hứng thú và động cơ học tập tốt.
II. Cơ sở thực tiển :
Trong q trình giảng dạy hình học khơng gian (chương trình cũ rơi vào lớp
11, chương trình mới rơi vào lớp 11 và 12) tơi thấy đa phần học sinh rất lúng

túng, kỹ năng giải tốn hình khơng gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo
khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa
được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt q khó đối
với học sinh yếu, học sinh trường bán cơng dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và e
sợ khơng học. Do đó dạy bài tập đặc biệt với chương này tìm tòi, chọn bài tập,
kết hợp bài tập sách giáo khoa, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó
khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng,
3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà - THPTBC Nguyễn Trãi
kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong
kiểm tra, đánh giá.
• Mục tiêu của đề tài: Học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương:
phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh
rèn được kỷ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa
diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đã nắm được kiến cơ bản đó học sinh
rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện.
• Thời gian thực hiện: 6 tiết (4 tiết bài tập theo phân phối chương trình và 2
tiết tự chọn).
Đối tượng: học sinh khối 12 trường bán công có đầu vào chất lượng hơi yếu,
học theo chương trình chuẩn.
• Thực trạng của học sinh khi thực hiện đề tài:
+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác.
+ Các kiến thức cơ bản về hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp… còn hạn
chế.
+ Kỷ năng phát hiện quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng và chứng
minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng còn rất
yếu.
III. Cách thực hiện :
+ Trang bị cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác
vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân, hình vuông,…(giao về

nhà yêu cầu ôn lại và kiểm tra đầu tiết)
+ Trang bị cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song,
vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt
phẳng đã học ở lớp 11( đầu năm giành 1 tiết ôn tập trước khi dạy chương
trình 12)
+ Hệ thống bài tập giao cho học sinh trong các giờ bài tập của chương: được
đưa ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để các bài tập trong sách giáo khoa kết
hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo dạng.
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong
sách giáo khoa có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để
học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những
yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài.
+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị
trước.
+ Dạy xong các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập.
Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ
bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú
trong học tập.
4
A
C
B
S
A'
C'
B'
A
C
B
H

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà - THPTBC Nguyễn Trãi
B. Nội dung nghiên cứu:
I.Kiến thức cơ bản :
1) Cho
ABC∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +
b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
+=

e)
sin , os , tan
AC CB AC
B c B B
AB AB CB
= = =
2) Công thức tính diện tích tam giác :
Đặc biệt :
ABC∆
vuông ở A :

1
.
2
S AB AC=
,
ABC∆
đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
3) Định lý đường trung bình, Talet.
4) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:
;
, ;
d a d b
d
a b a b
α
α
⊥ ⊥

⇒ ⊥

⊂ ∩ ≠ ∅

5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:
d
d a

a
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

6) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
α
:
+ Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng
α

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a
7) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích
Cho hình chóp SABC,
' , ' , 'A SA B SB C SC∈ ∈ ∈
, ta có:
' ' '
' ' '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
(*)

II. Nội dung chính:
Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học
sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác
nhau.
1) Bài tập dạng : Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và
đáy của khối đa diện.
Phương pháp:
+ Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện.
+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc
đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60
ο
.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Lời giải:
5
B
O
C
D
A
I
M
H
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà - THPTBC Nguyễn Trãi

D
S
C

B
A
M
H
Yêu cầu:
+ Học sinh xác định được góc.
+ Xác định được công thức thể tích của
khối, tính độ dài đường cao SA.
+Xác định được đường cao trong
trường hợp chân đường cao có thể
không thuộc mặt đáy của khối.
+Sử dụng được hệ thức trong tam giác
vuông
a)Ta có
1
.
3
ABCD
V S SA
=
+
2 2
(2 ) 4
ABCD
S a a= =
+
ó : tan 2 6SAC c SA AC C a
∆ = =
3
2

1 8 6
4 .2 6
3 3
a
V a a
⇒ = =
b) Kẻ
/ / ( )MH SA MH DBC⇒ ⊥
Ta có:
1
2
MH SA=
,
1
2
BCD ABCD
S S=

3
D
1 2 6
4 3
MBC
a
V V
⇒ = =
Nhận xét:
+Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
+Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam
giác vuông.

Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Yêu cầu:
+ Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện
đều và tính chất đặc biệt của khối.
+Xác định được đường cao và ghi thể
tích của khối
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của
ABC
∆
( )DO ABC⇒ ⊥

1
.
3
ABC
V S DO
=
+
2
3
4
ABC
a
S = ,
2 3
3 3
a

OC CI= =
+
2 2
ô ó :DOC vu ng c DO DC OC
∆ = −

6
3
a
=

2 3
1 3 6 2
.
3 4 3 12
a a a
V
⇒ = =
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M
đến mp(ABC) là MH
6
A'
C'
B
A
c
D
D'
B'
O

M
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà - THPTBC Nguyễn Trãi
+Sử dụng được định lý Pitago

1 6
2 3
a
MH DO= =

Nhận xét:
+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó.
+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ.
+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
3AB a=
, AD = a, AA’=a,
O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Yêu cầu:
+Học sinh xác định công thức thể
tích của khối hộp và khối chóp.
+Biết khai thác tính chất của hình hộp
đứng để làm bài: Chọn đáy của khối
OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên
hình hộp)
+Giải được câu b) tương tự như bài
1b
Lời giải:

a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
Ta có :
. D.AA 'V AB A=

2 3
3. 3a a a
= =

2 2
ó : 2ABD c DB AB AD a
∆ = + =
.
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và
đường cao giống khối hộp nên:

3
' ' ' '
1 3
3 3
OA B C D
a
V V
⇒ = =
b) M là trung điểm BC
( ' ')OM BB C⇒ ⊥
2 3
' ' ' '
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 12

O BB C BB C
a a a
V S OM
⇒ = = =
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
diện OBB’C’. Ta có :
' '
'
3
'
OBB C
OBB
V
C H
S
=

2 2
ó : 2ABD c DB AB AD a
∆ = + =

2
'
1
2
OBB
S a⇒ =
' 2a 3C H⇒ =
+ Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật.
+ Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo

thể tích.
2) Bài tập dạng : Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa
diện.
Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính
thể tích.
(Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)
7