Dãy số có giới hạn hữu hạn

Dãy số có giới hạn hữu hạn
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
Xét dãy số với .
Ta có .
Ta nói rằng dãy số có giới hạn là 3.
Một cách tổng quát,ta có :
ĐỊNH NGHĨA
Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực L nếu
Khi đó ta viết hoặc hoặc .
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1. Dãy số không đổi với (c là hằng số) có giới hạn là c vì
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
Giải
Đặt
Vì nên
Chứng minh rằng ; .
Nhận xét
1) Từ định nghĩa vừa nêu,suy ra rằng khi và chỉ khi khoảng cách từ điểm
đến điểm L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh,khi n tăng các điểm
chụm lại quanh điểm L.
2) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
Chẳng hạn dãy số , tức là dãy số .
không có giới hạn hữu hạn.
Trên trục số,các số hạng của dãy số đó có được biểu diễn bởi hai điểm (1-) và 1.
Khi n tăng các điểm không chụm lại quanh bất kì một điểm L nào.
2. Một số định lí
Ta thừa nhận một số định lí sau
ĐỊNH LÍ 1
Giả sử . Khi đó
a) và ;
b) Nếu với mọi n thì và

Ví dụ 3. vì
Tìm .
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử và c là một hằng số.Khi đó
,
,
,
,
(nếu ).
Ví dụ 4. Tìm với
Giải
Ta có:
Ví dụ 5. Tìm với
Giải
Chia tử và mẫu của phân thức cho (n^3 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức),ta
được:
Vì
và nên .
Tìm giới hạn của dãy số với
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn có công bội q với (gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn).
Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là
.
Vì nên .Do đó
Ta gọi giới hạn đó là tổng của cấp số nhân đã cho và viết
.
Tìm tổng của cấp số nhân .
Ví dụ 5. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777... dưới dạng phân số.
Giải
Ta có

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội .
Do đó
Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131... dưới dạng phân số.
Các dạng bài liên quan:
Giới hạn
Một số bài tập
Baì 72486
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
<--- Click để xem đáp án
Baì 72485
Chọn một đáp án dưới đây
A. -1 B. 0
C. 1 D. 2
<--- Click để xem đáp án
Baì 72186
Chọn một đáp án dưới đây
A. 1 B. 2
C. -1 D. -2
<--- Click để xem đáp án
Baì 70954
bằng:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
<--- Click để xem đáp án
Baì 66928
Tính giới hạn sau:

Baì 66926
Tính giới hạn sau:
Baì 66168
Tìm giới hạn sau đây:
Chọn một đáp án dưới đây
A. 0 B. 1
C. D.
<--- Click để xem đáp án
Baì 66166
Tính giới hạn sau:
với
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C.
D.
<--- Click để xem đáp án
Baì 66074
Tính giới hạn sau:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.
<--- Click để xem đáp án
Baì 66073
Tính giới hạn sau đây:
Chọn một đáp án dưới đây
A. B.
C. D.