Dãy số

Dãy số
Người đăng: Quỳnh Phương - Ngày: 02/08/2017

Dãy số là gì, có những loại dãy số như thế nào ? Để biết chi tiết hơn, Tech12h xin chia sẻ với
các bạn bài: Dãy số. Với kiến thức trọng tâm và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng
đây sẽ là tài liệu giúp các bạn học tập tốt hơn.

Nội dung bài viết gồm 2 phần:


Ôn tập lý thuyết



Hướng dẫn giải bài tập sgk

A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa
Dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô
hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n)


Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2,u3, ….,un,….,



trong đó un = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đàu
của dãy số (un )

Dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, ..., m}, với m Є N * được gọi
là một dãy số hữu hạn


Dạng khai triển của nó là: u1, u2,u3, ….,um, trong đó u1là số hạng đầu, um là số hạng
cuối.

II. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát


Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N* .



Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng
chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được u n.

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả


Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số.
Tuy nhiên, thường thì không tìm ngay được u n với n tuỳ ý.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)


Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)



Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vào số
hạng) đứng trước đó.

III. Dãy số tăng, dãy số giảm
Dãy số tăng : Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n Є N* ;
Dãy số giảm : Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n Є N* .
Dãy số bị chặn


Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Un ≤ M, với mọi n Є N*.



Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Un ≥ m, với mọi n Є N*.



Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn
tại hai số m, M sao cho:


m ≤ Un ≤ M, với mọi n Є N*.

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

a) un = n2n−1;
b) un = 2n−12n+1 ;
c) un = (1+1n)n;
d) un = nn2+1√
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 2: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Cho dãy số Un , biết: u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 3: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Dãy số un cho bởi: u1 = 3; un+1 = 1+u2n−−−−−√, n ≥ 1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp
quy nạp
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 4: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:
$a) un = \frac{1}{n} - 2;$
$b) un = \frac{n-1}{n+1};$


$c) un = (-1)n(2n + 1)$
$d) un = \( \frac{2n+1}{5n+2}.$
=> Xem hướng dẫn giải
Câu 5: Trang 92 - sgk đại số và giải tích 11
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị
chặn?
a) un = 2n2 -1;
b) un = 1n(n+2)

c) un = 12n2−1;
d) un = sinn + cosn
=> Xem hướng dẫn giải