Slide Bài giảng các quy luật phân phối xác suất rời rạc

Bài 3

CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA BNN RỜI RẠC

26/07/2018

1


Mục tiêu
Cung cấp các quy luật phân phối xác suất đặc biệt của BNN
rời rạc để khi học xong chương này sinh viên có thể:
1. Giải bài tốn phân phối xác suất nhị thức
2. Giải bài toán phân phối xác suất siêu bội.
3. Giải bài toán phân phối xác suất Poisson.
4. Giải các bài toán phân phối xấp xỉ giữa siêu bội, nhị thức
và Poisson.

26/07/2018

2


Nội dung
•
•
•
•
•

Phân phối nhị thức
Phân phối siêu bội
Phân phối Poisson
Xấp xỉ pp siêu bội bằng pp nhị thức
Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson

26/07/2018

3


Cơng thức Bernoulli
• Dãy n phép thử Bernoulli là dãy n phép thử thỏa mãn 3
điều kiện:
1. Các phép thử của dãy độc lập với nhau
2. Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A hoặc 𝐴 xuất hiện
3. P(A)=p (khơng đổi trong mọi phép thử)⇒ 𝑃(𝐴)= 1-p =q
• Bài tốn đưa đến cơng thức Bernoulli
Tìm xác suất xuất hiện x lần biến cố A trong dãy n phép thử
Bernoulli, kí hiệu Pn(x)
Cơng thức: Pn(x)= 𝐶𝑛𝑥 px qn-x

26/07/2018

4


Ví dụ Cơng thức Bernoulli
Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra
một phế phẩm của máy là 0.01.

a. Cho máy sản xuất 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm.
b. Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít
nhất 1 chính phẩm trên 0.99.

26/07/2018

5


Giải ví dụ
Máy sản xuất ra n sản phẩm tương ứng là dãy n phép thử
Bernoulli với xác suất xuất hiện phế phẩm P(A)=0.01
X- biến cố phế phẩm xuất hiện x lần trong dãy n phép thử
P(X)=Pn(x)= 𝐶𝑛𝑥 px qn-x
2
a. P(X)= P10(2)= 𝐶10
(0.01)2 (0.99)10-2=0.0042
b. Y - biến cố có ít nhất 1 chính phẩm do máy sản xuất ra trong
dãy n phép thử
P(Y) = Pn(x ≥ 1) = 1 − Pn(0)
= 1 − 0.01𝑛 > 0.99
⇒ 0.01𝑛 < 0.01 ⇔ 𝑛𝑙𝑛 0.01 < ln 0.01 ⟺ 𝑛 > 1
Vậy cần sản xuất ít nhất 2 sản phẩm.
26/07/2018

6


Bài tập
Một người bắn vào một tấm bia với khả năng bắn trúng bia

của mỗi viên đạn là 0,6. Người đó phải bắn ít nhất bao nhiêu
viên để xác suất “có ít nhất 1 viên trúng bia” lớn hơn 0,99?

26/07/2018

7


Bài tập
Thời gian xếp hàng chờ phục vụ của khách hàng là BNN X
(phút) liên tục có hàm phân phối xác suất như sau:
0
𝑥≤0
F 𝑥 = 𝑎𝑥4 0 < 𝑥 < 3
0
𝑥≥3
1. Tìm a.
2. Tìm hàm mật độ xác suất của X
3. Tìm xác suất trong 3 người xếp hàng thì có 2 người phải
chờ khơng q 2 phút.

26/07/2018

8


Phân phối nhị thức
Bài toán dẫn đến phân phối nhị thức
• Xét 1 phép thử T có 2 biến cố A và 𝐴 xuất hiện.
P(A)= p (không đổi) và P(𝐴) = 1 − 𝑝 = 𝑞

• Tiến hành 1 dãy n phép thử T độc lập
• Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử.
• X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất
X
0
P(X=x) 𝐶𝑛0 𝑝0 𝑞 𝑛

26/07/2018

1
𝐶𝑛1 𝑝1 𝑞 𝑛−1

….

x
𝐶𝑛𝑥 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥

…

n
𝐶𝑛𝑛 𝑝𝑛 𝑞 0

9


Phân phối nhị thức
• Định nghĩa:
X có phân phối nhị thức với tham số n và p, kí hiệu
X(Ω) = {0, 1, …, n}
X~B(n,p) nếu

𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪𝒙𝒏 𝒑𝒙 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 , 𝒙 𝝐 𝑿(𝜴)

• Tham số đặc trưng:
Kỳ vọng của X: EX=  = np

Phương sai của X: VX= 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 với q = 1 – p
Độ lệch chuẩn của X: 𝜎 = 𝑉𝑋
𝑛 + 1 𝑝 − 1 ≤ ModX ≤(n+1)p
26/07/2018

10


Ví dụ
Trong phép thử tung 1 đồng xu cơng bằng 3 lần.
a) Tính xác suất sẽ xuất hiện 2 lần mặt sấp.
b) Tính xác suất xuất hiện khơng q 1 mặt sấp
c) Tính xác suất xuất hiện ít nhất 1 mặt sấp.
Giải
Gọi X là số mặt sấp trong 3 lần tung đồng xu.
X={0, 1, 2, 3}.
Xác suất để tung được mặt sấp trong một lần tung:
p = 0.5 (không đổi).
n = 3; p = 0.5; q = 1 – p = 0.5.
Xem 3 lần tung đồng xu công bằng như một dãy 3 phép
thử độc lập. X ̴ B(3, 0.5).
26/07/2018

11

Ví dụ
P ( X  x )  C nx p x q n x ; x  0,1, 2, 3
a ) P ( X  2)  C 32 p 2q
b ) P ( X  1)  P ( X  0)  P ( X  1)  ???

c ) P ( X  1)  1  P ( X  1)  1  P ( X  0)

26/07/2018

12


Ví dụ
Tại một địa phương tỷ lệ bầu cử cho ứng cử viên B là 65%
Thăm dò 100 cử tri. Tính xác suất:
a. Có 10 cử tri bầu cho ứng cử viên B
b. Có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ứng cử viên B
c. Theo bạn có bao nhiêu cử tri bầu cho ứng cử viên B

26/07/2018

13


Ví dụ
Xác suất của 1 khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của
công ty bảo hiểm A khi được nhân viên chào mời là 20%.
a. Tính xác suất trong 15 người được chào mời có ít nhất

2 người mua.
b. Bạn tin chắc nhất có bao nhiêu người mua trong 15
người được chào mời

26/07/2018

14


Phân phối siêu bội
Ví dụ: Một hộp chứa 6 sản phẩm loại 1 và 4 sản phẩm loại 2.
Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm (khơng hồn lại), tìm xác suất có
đúng 3 sản phẩm loại 1.
• Để có đúng 3 sản phẩm loại 1, ta có biến cố chọn ngẫu
nhiên được:
– 3 sản phẩm loại 1 và
– 1 sản phẩm loại 2.
C(6; 3)C(4; 1)
• Vậy xác suất cần tìm là: p 

C(10; 4)

26/07/2018

15


Phân phối siêu bội
Bài toán dẫn đến phân phối siêu bội:

• Tổng thể có N phần tử trong đó M phần tử có tính chất
A và (N – M) phần tử khơng có tính chất A.
• Chọn ngẫu nhiên n phần tử khơng hồn lại.
• Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n phần tử
⇒ X là BNN rời rạc, X(Ω) = {0, 1, …, n}.

• BNN X có giá trị theo mơ hình như thế được gọi là có
phân phối siêu bội.

26/07/2018

16


Phân phối siêu bội
• Định nghĩa:
X có phân phối siêu bội với tham số N, M và n, kí hiệu

X(Ω) = {0, 1, …, n}
X~H(N, M, n) nếu
• Tham số đặc trưng:

C(M;x)C(N  M;n  x)
P(X  x) 
C(N;n)

Kỳ vọng của X: EX=  = np với p=M/N

Phương sai của X: VX=

𝜎2

=

𝑁−𝑛
𝑛𝑝𝑞
𝑁−1

Độ lệch chuẩn của X: 𝜎 = 𝑉𝑋 =
26/07/2018

với q = 1 – p

𝑛𝑝𝑞

𝑁−𝑛
𝑁−1
17


Ví dụ
Có 60 người nộp đơn thi vào trường Đại học Kinh Tế Tài Chính,
trong đó 40 người từ miền Đơng. Chọn ngẫu nhiên 20 đơn,
tìm xác suất có:
a) Đúng 10 đơn từ miền Đông.
b) Không quá 2 đơn từ miền Đông.
Giải
Gọi X là số đơn từ Miền Đông
Chọn ngẫu nhiên 20 đơn nên
coi như lấy khơng hồn lại

=> X~ H(60,40,20)
a) 𝑃 𝑋 = 10 =

10 𝐶 10
𝐶40
20
20
𝐶60

≈ 0.0374

b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
26/07/2018

18


Ví dụ
Một cơng ty kiểm tốn có 100 nhân viên, trong đó có 30 nhân
viên có bằng kiểm tốn quốc tế.
Chọn ngẫu nhiên 5 nhân viên. Tính xác suất:
a) Có 3 nhân viên có bằng kiểm tốn quốc tế.
b) Nhiều nhất 2 nhân viên có bằng kiểm tốn quốc tế.

26/07/2018

19


Ví dụ

Đồn thanh niên trường A tổ chức cắm trại cho đoàn viên của
trường nhân ngày 26 -3, tham dự có: 20 sinh viên K1, 40 sinh
viên K2 và 100 sinh viên K3.
Bầu 1 ban điều hành gồm 8 người. Tính xác suất trong ban
điều hành có:
a. 3 sinh viên K3.
b. Ít nhất 2 nhân viên K3
c. Nhiều nhất 4 sinh viên K3

26/07/2018

20


Phân phối Poisson
Bài tốn dẫn đến phân phối Poisson

• Gọi X là số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng
thời gian t tại những thời điểm bất kì
• 𝜆 là số lần trung bình biến cố A xuất hiện trong thời
gian t
• X là BNN rời rạc, X~P(𝜆)
Chú ý:

Số lần xuất hiện của A trong khoảng thời gian t tỉ lệ với độ
dài của khoảng đó và khơng ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện
trong khoảng thời gian kế tiếp.
26/07/2018

21

Phân phối Poisson
• Định nghĩa:

X được gọi là BNN có phân phối Poisson với tham số
𝜆 𝜆 > 0 , kí hiệu X~P() nếu

X(Ω) = {0, 1, …, n,…}

• Tham số đặc trưng:

λxe−λ
P(X=x)=
, 𝑥𝜖𝑋(Ω)
x!

EX= VX= 𝝀
ModX= x0 với 𝝀-1≤ 𝑥0 ≤ 𝝀
• Chú ý: Dù X nhận vơ hạn giá trị nhưng khi X khá lớn so
với 𝝀 thì xác suất rất nhỏ gần như bằng 0
26/07/2018

22


Phân phối Poisson
Nhận xét:
Số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút.
Số tai nạn giao thông xảy ra tại một giao lộ trong 1 tuần.

Số lỗi trong 1 trang sách.
Số khách hàng đến giao dịch trong 1 ngân hàng trong
10 phút.
Chú ý:
BNN rời rạc vô hạn X mà chỉ biết  > 0 (trong một khoảng thời
gian/khơng gian nào đó) thì thường X sẽ có phân phối
Poisson
26/07/2018

23


Ví dụ
Tại một cơng ty liên doanh, theo số liệu các năm vừa qua
trung bình một năm có 2 vụ đình cơng.
Tính xác suất trong năm nay 2014
a) Khơng có vụ đình cơng nào
b) Có ít nhất 3 vụ đình cơng
Giải
Số vụ đình cơng trung bình trong 1 năm λ= 2
Gọi X là số vụ đình cơng trong năm nay, X~P(2)
a) P(X= 0)= 0.135
b) P(X≥ 3) = 1 - P(X< 3)
= 1- [P(X= 0)+ P(X= 1)= P(X= 2)]
= 0.323
26/07/2018

24

Ví dụ
Tại một lãnh sự qn trung bình 1 giờ có 30 người được
phỏng vấn.
Tính xác suất trong khoảng thời gian từ 9h – 9h10 có:
a. Ít nhất 7 người được phỏng vấn
b. Nhiều nhất 10 người được phỏng vấn

26/07/2018

25