Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân

Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG
DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI – TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018
Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ
ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - 2018
Footer Page 2 of 128.


Header Page 3 of 128.
i

Lời cảm ơn
Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người
đã tận tâm hướng dẫn, động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới phòng sau đại học, khoa
toán, các thầy cô giáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích
- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám đốc Trung tâm GDNNGDTX Lập Thạch huyện Lập Thạch tỉnh Vĩnh Phúc đã giúp đỡ tác giả
và tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành khóa học này.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình tác
giả, các đồng nghiệp của tác giả, các bạn học viên cao học Toán Giải
Tích khóa 20 - Đợt 1 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện tốt cho
tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Footer Page 3 of 128.


Header Page 4 of 128.
ii

Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Trong
khi thực hiện đề tài nghiên cứu này tác giả đã tham khảo một số tài liệu
đã được ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả xin khẳng định kết
quả của đề tài “Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi – tích phân” là kết quả của việc
nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.

iii

Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Nội dung chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

1.2

1.3

Footer Page 5 of 128.

4

Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không gian hàm

4

1.1.1

Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Không gian Banach C[a,b] . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

m
Không gian định chuẩn C[a,b]
. . . . . . . . . . . .

6

Một số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . .

7

1.2.1

Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Phương trình vi phân thường cấp n . . . . . . . .

7

1.2.3

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

8

1.2.4

Điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.5

Định lý tồn tại nghiệm

. . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.6

Định lý duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.7

Định lý tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . .

9

Một số kiến thức về phương trình tích phân . . . . . . .

9

Header Page 6 of 128.
iv

1.4

1.3.1

Phương trình tích phân tuyến tính loại hai . . . .

9

1.3.2

Phương trình tích phân phi tuyến tính loại hai . .

9

Một số kiến thức về phương trình vi - tích phân . . . . .

10

2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

11

2.1

Một số kiến thức về phương pháp nhiễu đồng luân . . . .

11

2.1.1

Định nghĩa đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân

13

2.3

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 18

2.4

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích
phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

22

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi – tích
phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

Footer Page 6 of 128.


Header Page 7 of 128.
1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những phương pháp để giải xấp xỉ phương trình vi phân,
phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, phương trình đạo
hàm riêng, tuyến tính và phi tuyến là phương pháp nhiễu đồng luân
(Homotopy Pertubation Method) viết tắt là HPM. Phương pháp này
được phát triển trong những năm cuối thế kỉ 20. Đó là sự kết hợp của

phương pháp nhiễu truyền thống và kỹ thuật đồng luân trong tôpô. Theo
phương pháp nhiễu đồng luân việc giải một phương trình phi tuyến ban
đầu được đưa về giải một dãy các phương trình tuyến tính.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Phương pháp nhiễu đồng luân
và các ứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS
Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp nhiễu đồng luân
và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân”
để thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương
trình vi - tích phân.

Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.
2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương
trình vi - tích phân tuyến tính và phi tuyến.

4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phương
trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích số.
- Thu thập các tài liệu liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân.
- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phương
pháp nhiễu đồng luân và các ứng dụng của nó.

6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Hệ thống lại một số ứng dụng của Phương pháp nhiễu đồng luân vào
giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương
trình vi - tích phân.

Footer Page 8 of 128.


Header Page 9 of 128.
3

Nội dung chính
Luận văn dự kiến gồm hai chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không gian hàm
1.2 Một số khái niệm về phương trình vi phân
1.3 Một số khái niệm về phương trình tích phân
1.4 Một số khái niệm về phương trình vi - tích phân
• Chương 2: Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
vi - tích phân
2.1 Một số khái niệm về phương pháp nhiễu đồng luân
2.2 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân
2.3 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân
2.4 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân
tuyến tính

2.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân
phi tuyến

Footer Page 9 of 128.


Header Page 10 of 128.
4

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại một số kiến thức về các không gian hàm C[a,b] ,
m
, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi C[a,b]

tích phân. Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [3], [4], [5].

1.1

Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không
gian hàm

1.1.1

Chuỗi hàm

Cho dãy hàm {un } cùng xác định trên tập U ⊂ R. Chuỗi hàm là một
tổng vô hạn có dạng
∞

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + . . . + un (x) + . . . =

un (x).

(1.1)

n=1
∞

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số

un (x0 ) hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ
n=1
∞

un (x0 ) phân kì thì ta nói chuỗi hàm (1.1)

của chuỗi hàm (1.1), nếu
n=1

phân kỳ tại x0 .
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ
của chuỗi hàm đó.
Footer Page 10 of 128.


Header Page 11 of 128.
5

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.1), khi đó với x ∈ A chuỗi
∞

un (x) có tổng là S(x). Như vậy
n=1
∞

un (x), ∀x ∈ A.

S(x) =

(1.2)

n=1

1.1.2

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi hàm có dạng

∞

an x n
n=0

được gọi là chuỗi lũy thừa.
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa có dạng (−R, R), trong đó R là bán
kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
1.1.3

Chuỗi Taylor

Cho tập mở U ⊂ R. Giả sử hàm f : U → R khả vi mọi cấp trong một
lân cận nào đó của x0 ∈ U chuỗi lũy thừa có dạng
∞

n=0

f (x0 )
f (n) (x0 )
f (n) (x0 )
n
(x − x0 ) =f (x0 )+
(x−x0 )+. . .+
(x − x0 )n +. . .
n!
1!
n!

được gọi là chuỗi Taylor của hàm f .
Nếu chuỗi Taylor của hàm f có tổng bằng f (x) trong khoảng hội tụ
(−R, R) thì ta nói hàm f phân tích được thành chuỗi Taylor trên khoảng
(−R, R). Khi đó ta có
f (x0 )
f (n) (x0 )
f (x) = f (x0 )+
(x−x0 )+. . .+
(x − x0 )n +. . . , x ∈ (−R, R)
1!

n!
Nếu x0 = 0 thì chuỗi
f (0)
f (n) (0) n
f (x) = f (0) +
x + ... +
x + ...
1!
n!

Footer Page 11 of 128.


Header Page 12 of 128.
6

được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x).
Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản
x2 x3 x4
+
+
+ ... =
1) e = 1 + x +
2!
3!
4!

∞

x

−x

2) e

2

3

4

x
x
x
=1−x+
−
+
+ ... =
2!
3!
4!
2

3) cosx =1 −

∞

4

x

x
+
+ ... =
2!
4!
3

5

x
x
4) sin x =x −
+
+ ... =
3!
5!
1.1.4

n=0
∞

xn
;
n!
(−1)

n=0
n
(−1) 2n

n=0
∞

n=0

2n!

n
nx

n!

;

x ;

(−1)n 2n+1
x
.
(2n + 1)!

Không gian Banach C[a,b]

Định nghĩa. Không gian C[a,b] là tập tất cả các hàm số x(t) giá trị
thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).
Chuẩn trong không gian C[a,b] được xác định bởi công thức
x = max |x(t)| .
[a,b]

Hơn nữa C[a,b] còn là một không gian Banach.

1.1.5

m
Không gian định chuẩn C[a,b]

m
Không gian C[a,b]
là tập tất cả các hàm số x(t) giá trị thực xác định,

liên tục và có đạo hàm liên tục cấp m trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).
m
Chuẩn trong không gian C[a,b]
được xác định bởi công thức

x =

Footer Page 12 of 128.

m
k=0

max0≤t≤1 x(k) (t) .


Header Page 13 of 128.
7

1.2

Một số khái niệm về phương trình vi phân

1.2.1

Phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.2.1. Phương trình vi phân thường là phương trình có
dạng
F (x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x)) = 0.
Trong đó y(x) là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp
nào đó) của ẩn y. Cấp cao nhất của đạo hàm gọi là cấp của phương
trình.
1.2.2

Phương trình vi phân thường cấp n

Định nghĩa 1.2.2. Phương trình vi phân thường cấp n có dạng
F x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x) = 0

(1.3)

y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )

(1.4)

hay

trong đó x là biến độc lập, y(x) là hàm cần tìm và y (x), y (x), . . . , y (n) (x)
là các đạo hàm của ẩn y, f là hàm số trong miền G trong không gian
Rn+1 .

Nghiệm của bài toán phương trình vi phân cấp n là hàm số y(x) khả vi
cấp n xác định trong khoảng (a, b) sao cho
x, ϕ (x) , ϕ (x) , . . . , ϕ(n) (x) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)
và F x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).

Footer Page 13 of 128.


Header Page 14 of 128.
8

1.2.3

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.4) là bài toán tìm nghiệm
của phương trình đó thỏa mãn n điều kiện ban đầu:
y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )
(n−1)
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)

trong đó x0 , y0 , y0 , . . . , y0

(1.5)

là một điểm trong tùy ý cho trước thuộc

G.
1.2.4

Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1 , ..., un ) thỏa mãn điều kiện
Lipchitz theo biến u1 , ..., un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với hai
điểm (x, u1 ,..., un ) ∈ G, (x, u1 ,..., un ) ∈ G bất kỳ ta có bất đẳng thức:
n

f (x, u1 ,..., un ) − f (x, u1 ,..., un ) ≤ L

ui − ui
i=1

1.2.5

Định lý tồn tại nghiệm

Xét bài toán (1.5) Nếu f (x, u1 , u2 , . . . , un ) là hàm liên tục trong miền
G ⊂ Rn+1 thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) của
phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện (1.5).
1.2.6

Định lý duy nhất nghiệm

Xét bài toán (1.5) Nếu f (x, u1 , u2 , . . . , un ) là hàm liên tục trong miền
G ⊂ Rn+1 và hàm f (x, u1 , u2 , . . . , un ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
u1 , u2 , . . . , un , thì nghiệm của bài toán (1.5) xác định là duy nhất.

Footer Page 14 of 128.

Header Page 15 of 128.
9

1.2.7

Định lý tồn tại nghiệm duy nhất

Giả sử hàm f (x, u1 , u2 , . . . , un ) liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , . . . , un . Khi đó với điểm trong
x0 , y0 , y0 , . . . , y0 (n−1) ∈ G bất kì tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của
phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0 (n−1) .
Nghiệm đó xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0 .

1.3

Một số kiến thức về phương trình tích phân

1.3.1

Phương trình tích phân tuyến tính loại hai

Phương trình tích phân tuyến tính Fredhohm loại hai trong trường
hợp tổng quát là phương trình có dạng
b

u(x) = f (x) + λ

k(x, t)u(t)dt,

(1.6)

a

u = u(x) là hàm cần tìm, trong đó k(x, t) gọi là hạt nhân của phương
trình tích phân, hàm f và hằng số λ cho trước. Các hàm k(x, t), u(t)
được giả thiết sao cho tích phân nói trên tồn tại.
1.3.2

Phương trình tích phân phi tuyến tính loại hai

Phương trình tích phân phi tuyến Fredhohm loại hai trong trường
hợp tổng quát là phương trình có dạng
b

u(x) = f (x) + λ

k(x, t, u(t))dt,

(1.7)

a

u = u(x) là hàm cần tìm, trong đó k(x, t, u) gọi là hạt nhân của phương
trình tích phân, các hàm k(x, t, u), f và hằng số λ cho trước. Các hàm
k(x, t), u(t) được giả thiết sao cho tích phân nói trên tồn tại.
Footer Page 15 of 128.

Header Page 16 of 128.
10

1.4

Một số kiến thức về phương trình vi - tích phân

Trong luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân
giải phương trình vi – tích phân Volterra bậc n có dạng sau
x
(n)

K[x, t, u(t), u (t), . . . , u(n) (t)]dt

u (x) = g(x) +
0

u(0) = u0 , u (0) = u1 , . . . , u(n−1) (0) = un−1
và phương trình vi – tích phân Fredholm bậc n như sau
1
(n)

K[x, t, u(t), u (t), . . . , u(n) (t)]dt, ∀x ∈ [0, 1],

u (x) = g(x) +
0

u(0) = u0 , u (0) = u1 , . . . , u(n−1) (0) = un−1 .

Footer Page 16 of 128.

Header Page 17 of 128.
11

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG
LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI
– TÍCH PHÂN
Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân giải phương
trình tích phân, phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra, phương
trình vi - tích phân phi tuyến và một số ví dụ áp dụng. Nội dung của
chương này được tham khảo trong các tài liệu [6], [7], [8], [9], [10], [11],
[12].

2.1

Một số kiến thức về phương pháp nhiễu đồng
luân

Phương pháp nhiễu đồng luân là một trong những phương pháp quan
trọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán phi tuyến của phương trình vi
phân, phương trình tích phân và phương trình vi – tích phân.

Footer Page 17 of 128.


Header Page 18 of 128.
12

2.1.1

Định nghĩa đồng luân

Giả sử X và Y là hai không gian tôpô, f và g là hai ánh xạ từ X vào
Y . Một ánh xạ liên tục
H (x, p) : X × [0, 1] → Y
được gọi là phép đồng luân của f và g nếu
H (x, 0) = f (x) ,
2.1.2

H (x, 1) = g (x) ,

∀x ∈ X.

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình toán tử

Giả sử X và Y là hai không gian Banach, A là một toán tử từ X vào
Y.
Xét phương trình toán tử
Au = y

(2.1)

trong đó y là phần tử cho trước thuộc Y , u là phần tử cần tìm, L là toán
tử tuyến tính khả nghịch cho trước. Để giải phương trình (2.1) người ta
xây dựng một phép đồng luân lồi có dạng
H (u, p) ≡ (1 − p) L (u − u0 ) + p (Au − y) , p ∈ [0, 1]

(2.2)

và phương trình đồng luân
H(u, p) = 0,

p ∈ [0, 1]

(2.3)

Khi p = 0 từ (2.3) ta có phương trình
L(u − u0 ) = 0
Giả sử phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất u = u0 .
Khi p = 1 từ (2.3) ta có phương trình
Au = y
Footer Page 18 of 128.

(2.4)


Header Page 19 of 128.
13

Ký hiệu nghiệm chính xác của phương trình (2.1) là u = u(x). Giả sử
phương trình đồng luân có nghiệm ϕ = ϕ(x, p) giải tích theo biến p
∝

un (x) pn

ϕ (x, p) =

(2.5)

n=0

Thay ϕ(x, p) vào phương trình đồng luân và cân bằng các hệ số bên các
lũy thừa cùng bậc ta đi đến những phương trình (hoặc biểu thức) để xác
định các hàm un (x) (n = 0, 1, 2, . . .). Cho p = 1 ở biểu thức (2.5) ta
được

∝

u (x) = ϕ (x, 1) =

un (x)
n=0

Giả sử ta xác định được N hàm un (x). Khi đó nghiệm xấp xỉ của phương
trình có dạng
N

un (x)

uN (x) =
n=0

2.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
vi phân

Ví dụ 2.2.1. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán

Cauchy sau
y − 2xy = 0, y(0) = 1

(2.6)

Giải.
Chọn
L(y) = y ,

N (y) = −2xy

Từ điều kiện ban đầu ta chọn y0 = 1
Xây dựng phương trình đồng luân sau
H(y, p) = (1 − p)(y − 0) + p(y − 2xy) = 0

Footer Page 19 of 128.

(2.7)


Header Page 20 of 128.
14

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + . . .

(2.8)

Thay (2.7) vào (2.8) ta được

(1 − p)(y 0 + y 1 p + y 2 p2 + ...) + p y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .
−2x y0 + y1 p + y2 p2 + ...

=0

⇔ y0 + y1 p + y2 p2 + . . . − 2xpy0 − 2xp2 y1 − 2xp3 y2 − . . . = 0
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
p1 : y1 = 2xy0 , y1 (0) = 0

(2.9)

p2 : y2 = 2xy1 , y2 (0) = 0
..
.

(2.10)

Với y0 = 1
Giải phương trình (2.9) ta được
y1 (x) = x2

(2.11)

Thay (2.11) vào (2.10) ta nhận được:
y2 (x) = 2x3

(2.12)

Giải (2.12) ta thu được

x4
y2 (x) =
2
Do đó

x4
y(x) = 1 + x +
+ ... =
2!

∞

2

Vậy nghiệm chính xác của phương trình là
2

y(x) = ex .
Footer Page 20 of 128.

n=0

x2n
n!


Header Page 21 of 128.
15

Ví dụ 2.2.2. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán

Cauchy sau
y = 1 + y 2 , y(0) = 0
Giải.
Chọn
L(y) = y ,

N (y) = −1 − y 2

và y0 = 0.
Xây dựng phương trình đồng luân sau
H(y, p) = (1 − p)(y − 0) + p(y − y 2 − 1) = 0

(2.13)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + . . .

(2.14)

Thay (2.14) vào (2.13) ta được
(1 − p)(y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .) + p y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .
− (y0 + y1 p + y2 p2 + . . .)2 − 1] = 0
⇔ y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + . . . − p − py 2 0 − 2p2 y0 y1 − p3 y 2 1
− 2p3 y0 y2 − . . . = 0
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
p1 : y1 = 1 + y02 , y1 (0) = 0
p2 : y2 = 2y0 y1 , y2 (0) = 0
p3 : y3 = y12 + 2y0 y2 , y3 (0) = 0

..
.
Footer Page 21 of 128.


Header Page 22 of 128.
16

Với y0 = 1
Giải các bài toán Cauchy trên, ta thu được:
x3
y1 (x) = x y2 (x) = 0 y3 (x) = , . . .
3
Do đó

x3
+ ...
y(x) = x +
3
Vậy nghiệm chính xác của phương trình là
y(x) = tan(x).
Ví dụ 2.2.3. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán
Cauchy sau
2
u + u + u = x5 + 30x3 ,
x

u(0) = 0; u (0) = 0

(2.15)

Giải.
Chọn
2
L(u) = u + u
x

N (u) = u g(x) = x5 + 30x3

và u0 = 0.
Xây dựng phương trình đồng luân sau
(1 − p) (L(u) − L(u0 )) + p (L(u) + N (u) − g(x)) = 0
ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Suy ra
2
2
(1 − p)(u + u ) + p(u + u + u − x5 − 30x3 ) = 0
x
x
2
⇔ u + u + pu − (x5 + 30x3 )p = 0
(2.16)
x
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .
Footer Page 22 of 128.

(2.17)

Header Page 23 of 128.
17

Thay (2.17) vào (2.16) ta được
2
+ u 1 p + u 2 p2 + u 3 p3 + . . . + (u 0 + u 1 p + u 2 p2 + u 3 p + . . .)
x
2
3
+ p(u0 + u1 p + u2 p + u3 p + ...) − (x5 + 30x3 )p = 0

u

0

Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
2
p1 : u1 + u1 = x5 + 30x3 , u1 (0) = 0; u1 (0) = 0
x
2
p2 : u2 + u2 + u1 = 0, u2 (0) = 0; u2 (0) = 0
x
2
p3 : u3 + u3 + u2 = 0, u3 (0) = 0; u3 (0) = 0
x
..
.
Với u0 = 1
Giải các bài toán Cauchy trên, ta thu được:

1 7
x + x5
56
1 9
1
u2 (x) = −
x − x7
5040
56
1
1 9
x11 +
x.
u3 (x) =
665280
5040
..
.
u1 (x) =

Do đó
u(x) =

1 7
1 9
1
1
1 9
x + x5 −
x − x7 +

x11 +
x − ...
56
5040
56
665280
5040

Vậy nghiệm chính xác của phương trình là
u(x) = x5 .

Footer Page 23 of 128.


Header Page 24 of 128.
18

2.3

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
tích phân

Ví dụ 2.3.1. Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra
x

(x − t)u(t)dt,

u(x) = x + λ

(2.18)

0

Giải.
Xét phương trình đồng luân
x

(x − t) u(t)dt,

u(x) = x + pλ

(2.19)

0

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Với p = 0 ta có nghiệm u0 (x) = x
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .

(2.20)

Thay nghiệm đó vào phương trình (2.19) rồi cân bằng các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc ta có kết quả
p0 : u0 (x) = x,
x

x3
p : u1 (x) = λ
(x − t)tdt = λ,

3!
0
x
3
x5 2
t
2
p : u2 (x) = λ
(x − t) λdt = λ ,
3!
5!
0
x
5
t 2
x7 3
3
p : u3 (x) = λ
(x − t) λ dt = λ
5!
7!
0
..
.
1

Tiếp tục, ta có
n

sn (x) =

n

ui (x) =
i=0

x2i−1
λ
(2i − 1)!
i

i=0

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi λ.

x2i−1
Nghiệm xấp xỉ của phương trình là vn (x) =
ui (x) = λ
(2i − 1)!
i=0
i=0
n

Footer Page 24 of 128.

n

i

Header Page 25 of 128.
19

Ví dụ 2.3.2. Giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm
u(x) =

√

1

x+λ

xtu(t)dt,

(2.21)

0

Giải.
Xét phương trình đồng luân
u(x) =

√

1

x + pλ

xtu(t)dt

(2.22)

0

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
√
Với p = 0 ta có nghiệm u0 (x) = x,
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .

(2.23)

Thay nghiệm đó vào phương trình (2.22) rồi cân bằng các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc ta có kết quả
p0 : u0 (x) =

√

x,

√
2λx
xt tdt =
,
5
0
1
2λt
2λ2
2

p : u2 (x) = λ
xt
dt =
x,
5
15
0
1
2λ2
2λ3
p3 : u3 (x) = λ
xt
tdt =
x,
15
45
0
1

p1 : u1 (x) = λ

..
.
Tiếp tục, ta có
sn (x) =

√

√
2

2 2
2 3
6
x+
x+
0λ +
1λ +
2λ + . . . =
5
5.3
5.3
5.3

n

i=1

λ
3

i

x

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi |λ| < 3.
Nghiệm xấp xỉ của phương trình là u (x) ≈ sn (x) =

Footer Page 25 of 128.

√

6 n λ
x+
5 i=1 3

i

x