chuyên đề:CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO ôn thi THPT QG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …………….
TRƯỜNG THPT …………………..

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI THPT QUỐC GIA

Tên chuyên đề:
CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO
Môn:

Toán

1


A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học
hàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao là
các chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số cơ bản khá điển hình.
Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi
nhiều năm tại trường, tôi nhận thấy học sinh trường tôi còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết
các bài toán về tiếp tuyến và tương giao. Học sinh chỉ giải quyết được các bài tập cơ bản. Các
bài tập ở mức độ vận dụng hoặc nâng cao đều không định hướng được phương pháp giải. Do
đó cần đưa ra cho học sinh phương pháp chung và các ví dụ cụ thể minh họa để học sinh có thể
vận dụng một cách linh hoạt và thông minh. Vì vậy, tôi viết chuyên đề: " Các bài toán về tiếp
tuyến và tương giao" để hệ thống cho các em các dạng toán cơ bản và phương pháp của các bài
toán này.
2. Mục đích của đề tài.
Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và
phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học

sinh giải các dạng toán này một cách tốt hơn.
Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng
cho đối tượng học sinh lớp 12.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu về các bài toán về tiếp tuyến và tương giao với các phương pháp giải bài tập
vận dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận
dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong
cuộc sống. Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 12a1 trường
THPT DTNT Vĩnh Phúc trong năm học 2015-2016.
4. Thời gian triển khai chuyên đề:
- Thực hiện dạy chuyên đề cho học sinh trong thời gian 10 tiết.

2


B. PHẦN NỘI DUNG
1. Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN
1.1. Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( x0 , y0 ) �(C ) : y  f ( x)
1.1.1. Cách giải: * Tính y '  f ' ( x) ; tính k  f ' ( x0 ) (hệ số góc của tiếp tuyến)
* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm M  x0 ; y0  có phương trình
y  y0  f ' ( x0 )  x  x0  với y0  f ( x0 )
1.1.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3x  5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):
a) Tại điểm A (-1; 7).
b) Tại điểm có hoành độ x = 2.
c) Tại điểm có tung độ y =5.
Giải:
a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) có dạng: y  y0  f '( x0 )( x  x0 )
2
Ta có y '  3 x  3 � y '(1)  0 .

Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y  7  0 hay y = 7.
b) Từ x  2 � y  7 .
y’(2) = 9. Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y  7  9( x  2) � y  7  9 x  18 � y  9 x  11
x0
�
�
3
3
x 3
c) Ta có: y  5 � x  3 x  5  5 � x  3 x  0 � �
�
x 3
�
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (0; 5).
Ta có y’(0) = -3.
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y  5  3( x  0) hay y = -3x +5.
+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5) .
y '( 3)  3(  3) 2  3  6
Do đó phương trình tiếp tuyến là: y  5  6( x  3) hay y  6 x  6 3  5 .
+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y  6 x  6 3  5 .
Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y  x3  2 x 2  2 x  4 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0.
Giải:
Ta có y '  3x 2  4 x  2 . Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình:
y  y0  y '( x0 )( x  x0 ) � y  y '( x0 )( x  x0 )  y0

(1)
3


a) Khi M  (C ) I Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:
x 3  2 x 2  2 x  4  0 � x  2 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình
tiếp tuyến: y  6( x  2)
b) Khi M  (C ) I Oy thì x0 = 0 � y0  y (0)  4 và y '( x0 )  y '(0)  2 , thay các giá trị
đã
biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y  2 x  4 .
c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4.
2
�2 � 88
�2 � 2
y” = 0 � 6 x  4  0 � x   x0 � y0  y � � 
; y '( x0 )  y ' � �
3
�3 � 27
�3 � 3
2
100
Thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y  x 
3
27
x2
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y 
tại các giao điểm của (C) với
x 1
đường thẳng (d): y  3 x  2 .
+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

x2
 3 x  2 � x  2  (3 x  2)( x  1) (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)
x 1
� 3x 2  6 x  0 � x  0 ( y  2) �x  2 ( y  4)
Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4)
3
+ Ta có: y ' 
.
( x  1) 2
+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  2
+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  10
Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x  2 và y  3x  10 .
* Nhận xét:
- Trong ví dụ 1: Phần a) là dạng toán cơ bản cho trước tiếp điểm, còn phần b) và c) cho
một trong các yếu tố của tiếp điểm (hoành độ hoặc tiếp điểm) và cần tìm thêm các yếu tố còn
lại.
- Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm được ẩn qua các giả thiết khác (giao điểm,
hay là nghiệm của PT) và chúng ta phải tìm các yếu tố của tiếp điểm.
Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 3  3x  1 (C ) và điểm A( x0 , y0 ) �(C), tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A. tìm hoành độ điểm B theo x0
Lời giải:
Vì điểm A( x0 , y0 ) �(C) � y0  x03  3 x0  1 , y '  3 x 2  3 � y ' ( x0 )  3 x02  3
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:
y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0 � y  (3 x02  3)( x  x0 )  x03  3 x0  1
� y  (3 x02  3)( x  x0 )  2 x03  1 (d )
4


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x 3  3x  1  (3x02  3)( x  x0 )  2 x03  1 � x3  3 x02 x  2 x03  0 � ( x  x0 ) 2 ( x  2 x0 )  0

�
( x  x0 ) 2  0
�۹�
x  2 x0  0
�

x  x0
�
( x0
�
x  2 x0
�

0)

Vậy điểm B có hoành độ xB  2 x0
1
Ví dụ 5: Cho hàm số y  x3  2 x 2  3x (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại
3
điểm có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 )  0 và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
nhỏ nhất.
Giải
Ta có y '  x 2  4 x  3 � y ''  2 x  4
2
y ''( x0 )  0 � 2 x0  4  0 � x0  2 � M (2; )
3
'
Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k0  y ( x0 )  y ' (2)  1
� 2�
2; �có phương trình y  y0  f ' ( x0 )  x  x0 

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M �
� 3�
2
8
suy ra y   1 x  2  hay y   x 
3
3
Tiếp tuyến d có hệ số góc k0  -1
Mặt khác tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm bấy kỳ trên (C) có hệ số góc
k  y ' ( x)  x 2  4 x  3   x  2   1 �1  k0
2

� 2�
2; �
Dấu “=” xảy ra � x  1 nên tọa độ tiếp điểm trùng với M �
� 3�
� 2�
2; �có hệ số góc nhỏ nhất.
Vậy tiếp tuyến d của (C) tại điểm M �
� 3�
Nhận xét: Trong ví dụ 4 và 5, các tiếp điểm đã được khái quát hơn qua hoành độ x0, cần
hướng dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt được mục đích của bài toán.
1
m
1
Ví dụ 6: Cho hàm số y  x3  x 2  (Cm). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ
3
2
3
bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại M song song với đường thẳng d: 5x-y=0

Giải
Ta có y '  x 2  mx
Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến tại M song song với đường
thẳng d trước hết ta cần có y ' (1)  5 � m  1  5 � m  4
1
1
Khi m  4 ta có hàm số y  x3  2 x 2  ta có x0  1 thì y0  2
3
3
'
Phương trình tiếp tuyến có dạng y  y ( x0 )( x  x0 )  y0 � y  5( x  1)  2 � y  5 x  3
5


Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d
Vậy m  4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 7: Cho hàm số y  x 3  3x 2  m (1).
Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại
các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3
.
2

Giải
Với x0  1 � y0  m  2 � M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d: y  (3 x02  6 x0 )( x  x0 )  m  2
� d: y = -3x + m + 2.
m2
�m  2 �

� A�
; 0�
3
�3
�
- d cắt trục Oy tại B: yB  m  2 � B(0 ; m  2)
- d cắt trục Ox tại A: 0  3 x A  m  2 � x A 

- SOAB 

3
1
3
m2
� | OA || OB | �| OA || OB | 3 �
m  2  3 � (m  2) 2  9
2
2
2
3
m23
m 1
�
�
��
��
m  2  3
m  5
�
�

Vậy m = 1 và m = - 5.
Nhận xét: Phan tích và hướng dẫn học sinh xác định rõ cách giải quyết bài toán: Phải tìm
được tọa độ các điểm A va B
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f ( x) (C) khi biết trước hệ số góc của nó
1.2.1. Cách giải:
+ Gọi M ( x0 , y0 ) là tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 )  k � x  x0 , y0  f ( x0 )
+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y  k ( x  x0 )  y0
Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:
*) Cho trực tiếp:
3
Ví dụ: k  5; k  �1; k  � 3; k  � ...
7
*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
1
*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b � ka  1 � k  .
a
� 0 0 0 2  �
15 ;30 ;45 ; ; ....�.
*) Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc  , với  ��
3 3
�
Khi đó hệ số góc k = tan  .
k a
 tan  .
*) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b một góc  . Khi đó,
1  ka
1.2.2. Các ví dụ:
6

Ví dụ 8: Cho hàm số y  x3  3 x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số
góc của tiếp tuyến k = -3.
Giải:
Ta có: y '  3 x 2  6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm � Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  3x02  6 x0
Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3 x02  6 x0  3 � x02  2 x0  1  0 � x0  1
Vì x0  1 � y0  2 � M (1; 2) .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  3( x  1)  2 � y  3 x  1
Ví dụ 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  1 (C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đường thẳng y = 9x + 6.
Giải:
Ta có: y '  3 x 2  6 x
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm � Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f ' ( x0 )  3x02  6 x0
Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6 � tiếp tuyến có hệ số
x0  1 � M (1; 3)
�
2
2
góc k = 9 � 3x0  6 x0  9 � x0  2 x0  3  0 � �
x0  3 � M (3;1)
�
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y  9( x  1)  3 � y  9 x  6 (loại)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y  9( x  3)  1 � y  9 x  26
Ví dụ 10: Cho hàm số y  x 3  3x  2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng y 

1
x.
9

Giải:
Ta có y '  3 x 2  3 . Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1
x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
9
Do đó y '  k � 3 x 2  3  9 � x 2  4 � x  �2.
+) Với x = 2 � y  4 . Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
y  9( x  2)  4 � y  9 x  14.
+) Với x  2 � y  0 . Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
y  9( x  2)  0 � y  9 x  18 .
y

Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y 

1
x là:
9

y =9x - 14 và y = 9x + 18.
Ví dụ 11: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 

1 4
x  2 x 2 , biết tiếp
4

tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  5 y  2010  0 .
7

Giải:
1
1
(d) có phương trình: y   x  402 nên (d) có hệ số góc là - .
5
5
1
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì  .k  1 � k  5 (do   (d )) .
5
3
Ta có: y '  x  4 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x 3  4 x  5
� x3  4 x  5  0 � ( x  1)( x 2  x  5)  0 � x  1  0 � x  1 � y 

9
4

�9�
1; �
Vậy tiếp điểm M có tọa độ là M �
� 4�
9
11
Tiếp tuyến có phương trình: y   5( x  1) � y  5 x 
4
4
11
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y  5 x  .
4
x2
Ví dụ 12: Cho hàm số y 

(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến
2x  3
tạo với trục hoành một góc bằng 450
Giải
1
'
Ta có: y 
(2 x  3)2
Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên hệ số góc là: k  �1
Khi đó gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 )  �1
�

x0  2
�
1
 �1 � �
2
x0  1
(2 x0  3)
�

Với x0  1 thì y0  1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x
Với x0  2 thì y0  4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y   x  2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y   x và y   x  2
2x 1
Ví dụ 13: Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x 1
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục O x, Oy lần lượt
tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.

Giải
Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) �(C ) cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho
OA  4OB .
OB 1
1
1
  Hệ số góc của d bằng hoặc  .
Do OAB vuông tại O nên tan A 
OA 4
4
4

8


3
�
x


1
(
y

)
0
0
�
1
1

1
2
( x0 )  
0�
  �
Hệ số góc của d là y �
( x0  1) 2
( x0  1)2
4
5
�
x0  3 ( y0  )
�
2
1
3
1
5
�
�
y


(
x

1)

y



x

�
4
2 ��
4
4
�
Khi đó có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là: �
.
1
5
1
13
�
�
y   ( x  3) 
y  x
�
�
4
2
4
4
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A( ;  ) .
1.3.1. Cách giải:
+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp

điểm).
+ Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*)
+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.
1.3.2. Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho đồ thị (C): y  x3  3x  1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến đi qua điểm A(-2; -1).
Giải:
Ta có: y '  3 x 2  3
3
Gọi M  x0 ; x0  3 x0  1 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 )  3 x02  3 .
3
2
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : y   x0  3x0  1  (3x0  3)( x  x0 )

3
2
 qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x0  3 x0  1  (3x0  3)(2  x0 ) � x03  3x02  4  0

x0  1 � y0  1
�
� ( x0  1)( x02  4 x0  4)  0 � �
x0  2 � y0  1
�
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1;  : y  9 x  17
1.4. Dạng 4. Các dạng bài tập khác về tiếp tuyến.
Ví dụ 15: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x 3  3x  2 sao cho tiếp
tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .
Giải:
Gọi A(a; a 3  3a  2) , B(b; b3  3b  2) , a �b là hai điểm phân biệt trên (C).
Ta có: y '  3x 2  3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

y '(a)  3a 2  3 và y '(b)  3b 2  3 .
Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi:
y '(a)  y '(b) � 3a 2  3  3b 2  3 � (a  b)(a  b)  0 � a  b (vì a �b � a  b �0)
9


2

AB  4 2 � AB 2  32 � (a  b) 2  �
( a3  3a  2)  (b3  3b  2) �
�
� 32
2

2

2
� ( a  b) 2  �
(a 3  b3 )  3( a  b) �
( a  b)(a 2  ab  b 2 )  3(a  b) �
�
� 32 � (a  b)  �
�
� 32
2

� (a  b) 2  ( a  b) 2 �
(a 2  ab  b 2 )  3�
�
�  32 , thay a = -b ta được:

4b 2  4b 2  b 2  3  32 � b 2  b 2  b 2  3  8  0 � b 6  6b 4  10b 2  8  0
2

2

b  2 � a  2
�
� (b 2  4)(b 4  2b 2  2)  0 � b 2  4  0 � �
b  2 � a  2
�
- Với a  2 và b  2 � A(2;0) , B(2;4)
Với a  2 và b  2 � A(2;4) , B( 2;0)

-

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) và (2; 4)
Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y 

2x 1
sao cho tiếp tuyến
x 1

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 .
Giải:
3
Hàm số được viết lại: y  2 
x 1
3 � �
3 �
�

a;2 
, B�
b;2 
Gọi A �
�
�là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a 1� �
b 1�
�
Với điều kiện: a �b, a �1, b �1 .
Ta có: y ' 
y '(a) 

3
nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là:
( x  1) 2

3
3
và y '(b) 
2
(a  1)
(b  1) 2

Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y '(a)  y '(b) �

3
3

2

(a  1)
(b  1)2

a 1  b 1
ab
�
�
��
��
� a  b  2 (1) (do a �b )
a

1


b

1
a


b

2
�
�
2

3 �
�3

AB  2 10 � AB  40 � (a  b)  �

� 40
�b  1 a  1 �
2

2

2

2

3 �
�3
�6 �
2
� (2b  2)  �

� 40 � 4(b  1)  � � 40 ( do thay a ở (1) )
�b  1 b  1 �
�b  1 �
2

�
(b  1) 2  1
b  1  1 �b  1  1
�
� (b  1)  10(b  1)  9  0 � �
��
2

b  1  3 �b  1  3
(b  1)  9
�
�
4

2

10


b  0 � a  2
�
�
b  2 � a  0
��
�
b  2 � a  4
�
b  4 � a  2
�
Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (2;5) và (0; 1) ; (2;1) và ( 4;3)
Ví dụ 17: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ (Cm); (m là tham số). Xác định m để (C m)
cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại D
và E vuông góc với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:
x0
�
x3 + 3x2 + mx + 1 = 1


x(x2 + 3x + m) = 0  �2
x  3x  m  0
(2)
�
* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:
 Phương trình (2) có 2 nghiệm xD, xE  0.
m �0
�
  9  4m  0
�
�
�� 4

�2
m
0

3
�
0

m
�
0
�
�
� 9
Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
kD = y’(xD) = 3xD2  6 xD  m  ( xD  2m);

kE = y’(xE) = 3xE2  6 xE  m  ( xE  2m).
Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: kDkE = –1.

(3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1

9m + 6m �(–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t).
1

4m2 – 9m + 1 = 0  m = 9 m 65
8
1
1
ĐS: m = 9  65 hay m  9 m 65
8
8
2x  2
Ví dụ 18: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y 
, biết rằng
x 1
khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải:
� 2a  2 �
a;
Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M �
�,  M �(C )  .
� a 1 �













Ta có: y ' 

4
4
� y '( a) 
,  a �1
2
( x  1)
(a  1) 2

Vậy  : y 

2a  2
4

( x  a ) � 4 x  (a  1) 2 y  2a 2  4a  2  0 (*)
2
a  1 (a  1)
11

d  I; 

4(1)  ( a  1) 2 .2  2a 2  4a  2
4  ( a  1) 4



8 a 1
4  (a  1) 4

.

2

2
4
2
(a  1) 2 �
Ta có: 4  (a  1)4  22  �
�
��2.2(a  1) � 4  ( a  1) � 2.2(a  1)  2 a  1

8 a 1
� d  I; �
 4 . Vậy d  I ;   lớn nhất khi d  I ;   = 4
2 a 1
a 1  2
a 1
�
�

� 22  ( a  1) 2 � �
��
. Cả hai giá trị đều thỏa mãn a �1
a  1  2
a  3
�
�
+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x  4 y  4  0 � x  y  1  0
+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x  4 y  28  0 � x  y  7  0
Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  1  0 ; x  y  7  0
x 1
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết
2x  1
tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB
vuông cân tại gốc tọa độ O.
Giải:
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các
Ví dụ 19: Cho (C) là đồ thị hàm số y 

đường thẳng y = x hoặc y = -x.
1
1
y '( x0 )  
0
Ta có: y '  
2 nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là:
(2 x0  1) 2
(2 x  1)
Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x
1

1
 1 � (2 x0  1) 2  1 ; ( x0   không là nghiệm phương trình)
Do đó, 
2
(2 x0  1)
2
2 x0  1  1
x0  0 � y0  1
�
�
��
��
. Vậy có hai tiếp điểm là: M 1 (0;1) , M 2 ( 1;0) .
2
x

1


1
x


1
�
y

0
0
�0

�0
+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d
+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y   x  1; y   x  1
x3
Ví dụ 20: Cho hàm số y 
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Cho điểm M o ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M 0 cắt các tiệm cận của
(C) tại các điểm A và B. Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Giải
a) Tự làm
4
b) M o ( xo ; yo )  (C)  y0  1 
.
x0  1
12


Phương trình tiếp tuyến (d) tại M0: y  y0  

4
( x  x0 )
( x0  1) 2

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A(2 x0  1;1), B (1;2 y0  1) .
x  xB
y  yB
 x0 ; A

 y0  M0 là trung điểm AB.
 A
2
2
x2
Ví dụ 21: Cho hàm số: y 
(C)
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi.
Giải
a) Tự làm
� a2�
a;
b) Giả sử M �
� (C).
� a 1 �
3
a 2  4a  2
a2
�
y

x

PTTT (d) của (C) tại M: y  y (a ).( x  a ) 

(a  1)2
(a  1) 2

a 1
� a5�
1;
Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A �
�, B(2a  1;1) .
� a 1 �
�
6
�
� 6 �
IA  �
0;
; IB  (2 a  2;0) � IB  2 a  1
�� IA 
a 1
� a 1 �
1
Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = 6 (đvdt) � ĐPCM.
2
2x  3
Ví dụ 22: Cho hàm số y 
.
x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn
ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải
1
� 2x  3 �

, x0 �2 , y '( x0 ) 
Giả sử M �x0 ; 0
2
�
 x0  2 
� x0  2 �

Phương trình tiếp tuyến () với (C) tại M: y =

- 1

(x

0

- 2)

2

(x - x0) +

2x0 - 3
x0 - 2

� 2 x0  2 �
2;
; B  2 x0  2;2 
Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: A �
�
� x0  2 �

y  yB 2 x0  3
x  xB 2  2 x0  2

 yM suy ra M là trung điểm của

 x0  xM , A
Ta thấy A
2
x0  2
2
2
AB.
13


Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
2
�
�2 x0  3
�� �
�
1
2
( x0  2)  �
 2 ��  �
( x0  2)2 
�2
S =  IM   �
�
2

x

2
(
x

2)
�
�
0
�0
�� �
�
�
x0  1
�
1
2
��
Dấu “=” xảy ra khi ( x0  2) 
2
x0  3
( x0  2)
�
Do đó điểm M cần tìm là M(1; 1) hoặc M(3; 3)
2

2x 1
. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới
x 1

tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Giải.
Ví dụ 23: Cho hàm số y 

�
3 �
�(C ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình
Nếu M �x0 ; 2 
�
x0  1 �
�
y2

3
3

( x  x0 ) hay
x0  1 ( x0  1) 2

3( x  x0 )  ( x0  1) 2 ( y  2)  3( x0  1)  0

Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến là
d

3(1  x0 )  3( x0  1)
9   x0  1

4

Theo bất đẳng thức Côsi

6 x0  1



9  ( x0  1)4



6
9
.
 ( x0  1) 2
2
( x0  1)

9
 ( x0  1) 2 �2 9  6 , vây d � 6 .
2
( x0  1)

Khoảng cách d lớn nhất bằng

6 khi

9
2
 ( x0  1) 2 �  x0  1  3 � x0  1 � 3 .
2
( x0  1)



Vậy có hai điểm M: M 1  3;2  3





hoặc M 1  3; 2  3



2x  1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp
x 1
tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2).
Ví dụ 24: Cho hàm số y 

Giải
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 �1 ).
1
2x  1
( x  x0 )  0
PTTT (d) là y 
 x  ( x0  1) 2 y  2 x02  2 x0  1  0
2
( x0  1)
x0  1
Ta có: d ( A, d )  d ( B, d )  2  4( x0  1) 2  2 x02  2 x0  1  4  2( x0  1) 2  2 x02  2 x0  1

 x0  1 �x0  0 �x0  2
14


1
5
x  ; y  x  1; y  x  5
4
4
Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng:
Tiếp tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB
2x
(C ) tìm điểm M �(C ) sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 25: Cho hàm số y 
x 1
Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y 

tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

1
4

Giải:
Gọi M ( x0 , y0 ) ή (C )

y0 

2 x0
,
x0  1

y' 

2
( x  1) 2

Tiếp tuyến tại M có dạng:
2
2 x0
2
2 x02
y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 � y 
( x  x0 ) 
�y
x
(d )
( x0  1) 2
x0  1
( x0  1) 2
( x0  1) 2
Gọi A  (d ) �ox � tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
�
2 x02
2
y

x

�
2

( x0  1) 2
� ( x0  1)
�y  0
�

�x   x02
��
� A( x02 ,0)
�y  0

Gọi B  (d ) �oy � tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
�
2 x02
2
x
�y 
2
( x0  1) 2
� ( x0  1)
�x  0
�

�x  0 2 x02
2 x02
��
�
B
(0,
)
2

( x0  1) 2
�y  ( x0  1)

2
2
Tam giác OAB vuông tại O ; OA =  x0  x0 ; OB =

Diện tích tam giác OAB:

2 x02
2 x02

( x0  1) 2 ( x0  1)2

1 2 x04
1
1

S = OA.OB = .
2
2 ( x0  1)
4
2

1
�
�
�
2 x02  x0  1
2 x02  x0  1  0

x


� y0  2
0
� 4 x  ( x0  1) � � 2
�� 2
��
2
�
2 x0   x0  1 �
2 x0  1x0  1 (vn)
�
x0  1 � y0  1
�
1
Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M 1 ( ; 2) ; M 2 (1,1)
2
 Bài tập tự luyện
4
0

2

Bài 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 x  5 (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành
độ x = 1

15

1
2
Bài 2. Cho hàm số y  x 3  x  , viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc
3
3
1
2
với đường thẳng y   x  (d )
3
3
Bài 3. Cho hàm số y  x3  3x 2  9 x  5

(C ) . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
4x  2
Bài 4. Cho hàm số: y 
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và
x 1
tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài 5. Cho hàm số y   x 4  x 2  6 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến đó vuông góc với đường thẳng d: y 

1
x 1
6

Bài 6. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y 

2x  1

. Biết tiếp tuyến đi
x 1

qua điểm A(-1; 3).
Bài 7. Cho hàm số: y =

x2
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
x2

A(-6,5)
Bài 8. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x 3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ
�23
�
điểm A � ; 2 �
�9
�
2x  3
có đồ thị (C).
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C)
tại A, B sao cho AB ngắn nhất
x 1
Bài 10. Cho hàm số: y 
. CMR:
x 1
a) Nếu tiếp tuyến của đồ thị cắt hai đường tiệm cận tại A và B thì tiếp điểm là trung
điểm của AB.
b) Mọi tiếp tuyến của đồ thị đều tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện

tích không đổi.
c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường
tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 11. Cho hàm số y  x3  1  m( x  1) (Cm ) .Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại giao điểm của
nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x 1
Bài 12. Cho hàm số: y 
2( x  1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Bài 9. Cho hàm số y 

16


b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.

2. Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO
2.1. Kiến thức cơ bản
2.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
nghiệm của phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1).
* Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
2.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x 0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có
Dạng: y – y0 = k(x – x0).

+ Khai thác tọa độ giao điểm ( M ( xM ; yM ) của (C) và d, ta cần chú ý: xM là nghiệm của
(1); M thuộc d nên yM  axM  b
+ Nếu (1) dẫn đến một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
* Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: f ( x )  an x n  an1x n1  ...  a1 x  a0  0 .
Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x 

p
và (p, q)=1 thì q \ an và p \ a0 .
q

* Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
2.2. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số y   x 3  3x 2  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3  3 x 2  m  0 .
Giải
a) Học sinh tự làm.

17


Đồ thị: CĐ(2; 3), CT(0; -1)

b) Phương trình x3 - 3x2 + m = 0 � - x3 + 3x2 - 1 = m - 1
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y   x 3  3x 2  1 với
đường thẳng y = m – 1.
Vậy: m  1  3 � m  4 : Phương trình có 1 nghiệm.

m  1  3 � m  4 : Phương trình có 2 nghiệm.
3  m  1  1 � 4  m  0 : Phương trình có 3 nghiệm.
m  1  1 � m  0 : Phương trình có 2 nghiệm.
m  1  1 � m  0 : Phương trình có 1 nghiệm.

Ví du 2: Cho hàm số y 

x 1
có đồ thị (C)
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x 1
 m.
 x 1

Giải
a) Học sinh tự làm:
Đồ thị:

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x 1
 m.
 x 1

 1
18

Lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y 

x 1
 x 1

 C ' .

x 1
và đường thẳng y = m.
 x 1
Suy ra đáp số: m  1; m  1: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
m  1: phương trình có 1 nghiệm.
1 �m  1: phương trình vô nghiệm.
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đthị y 

Ví dụ 3: Cho hàm số y   x 4  3x 2  1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4  3x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
a) Học sinh tự làm.
Đồ thị:

yCD 

13
; yCT  1
4

b) Phương trình x 4  3x 2  m  0 �  x 4  3 x 2  1  m  1
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
13
9
 Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt � 1  m  1  � 0  m 
4
4
2x 1
có đồ thị (C).
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt.
Giải

Ví dụ 4: Cho hàm số y 

19


a) HS tự trình bày.
b) Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2x 1
 x  m có hai nghiệm phân biệt.
x2
2x 1
 x  m ( x �2)
 Xét phương trình:
x2
� 2 x  1  ( x  m)( x  2)

� x 2  4 x  mx  1  2m  0
� x 2  (4  m) x  1  2m  0
Có   (4  m) 2  4(1  2m)
 m 2  8m  16  4  8m
 m 2  12  0 m
 Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
3
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  3x  4

 C  .Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(- 1; 0) với hệ

số góc là k ( k thuộc R). Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm
B, C (B, C khác A ) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Giải
Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:
y = k(x+1) hay y = kx+ k.
Nếu d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình: x3 – 3x2 + 4 = kx + k
� x3 – 3x2 – kx + 4 – k = 0 � (x + 1)( x2 – 4x + 4 – k ) = 0
x  1
�
có ba nghiệm phân biệt � g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 có hai
��
2
g ( x)  x  4 x  4  k  0
�
'  0
k0
�
�

��
� 0  k �9 (*)
nghiệm phân biệt khác - 1 � �
9  k �0
�g (1) �0
�
Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đó B,C có hoành
độ là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0.
Gọi B  x1; y1  ; C  x2 ; y2  với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  4 x  4  k  0 . Còn
y1  kx1  k ; y2  kx2  k .
uuur
Ta có: BC   x2  x1; k  x2  x1   � BC 
Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h 

 x2  x1 

2

 1 k   x
2

2

 x1

 1 k 
2

k
1 k2

Vậy theo giả thiết:
S

1
1 k
1
1
1
h.BC 
. 2 k 1 k2  2 k3 1 � k3  � k3  � k  3
2
2
2 1 k
2
4
4
20


Ví dụ 6: Cho hàm số y 

2x  1
 C  . Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị
x 1

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng

3.

Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2x  1
 2 x  m ( x �1) � g ( x)  2 x 2  (m  4) x  1  m  0 (1)
x 1
D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt � (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
�
�m 2  8  0
  (m  4) 2  8(1  m)  0
��
��
� m 2  8  0 � m �R .
�g (1) �0
�g (1)  1 �0
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
Gọi A  x1; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m  . Với: x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
uuu
r
2
2
Ta có AB  x2  x1 ;2 x1  x2 � AB   x2  x1   4  x2  x1   x2  x1 5 .







Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:
m

m
�h

5
22  1
1
1 x2  x1
1  1
5 .
 . m2  8  3
Theo giả thiết: S  AB.h 
2
2
2 2
4
5
m 2  8  42.3 � m2  8  42.3 � m2  40 � m  2 10

Vậy:

(*)

Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
2
Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  2mx   m  3 x  4 (1). Tìm m để đường thẳng d: y = x + 4 cắt

đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4.
(Điểm B, C có hoành độ khác không ; M(1;3) ).
Giải

Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình:
x0
�
2
�
� x3  2mx 2   m  3 x  4  x  4; � x �
x

2
mx

m

2

0
�
�
�
�
x 2  2mx  m  2  0
�
�  '  m2  m  2  0 � m  1 �m  2 (*)
Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4), còn hai điểm B,C có hoành độ là hai
nghiệm của phương trình:
�
 '  m2  m  2  0
� x  2mx  m  2  0 � �
� m  1 �m  2; m �2
m  2 �0

�
uuur
- Ta có B  x1; x1  4  ; C  x2 ; x2  4  � BC   x2  x1; x2  x1 
2

� BC 

 x2  x1 

2

  x2  x1   x2  x1
2

2

-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d. h là khoảng cách từ M đến d thì:
21


�h

1 3  4
2

 2 �S 

1
1
BC.h  x2  x1

2
2

2. 2  x2  x1

- Theo giả thiết: S = 4 � x2  x1  4; � 2  '  4; � m 2  m  2  4 � m 2  m  6  0
Kết luận: với m thỏa mãn: m  2 �m  3 � m  3 (chọn).
4
2
Ví dụ 8: Gọi  Cm  là đồ thị của hàm số y  x  2  m  1 x  2m  2 . Tìm m để đường thẳng

y  1 cắt  Cm  tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho OA  OB  OC  OD  4  2 2
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm
x  2  m  1 x 2  2m  2  1 � x 4  2  m  1 x 2  2m  1  0
4

2
2
Đặt t  x  t �0  , ta có phương trình t  2  m  1 t  2m  1  0,  *

Để có 4 giao điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt
2
�
�
0
�
 m  1   2m  1  0 �m �0
�
�

�
� �P  0 � �
2m  1  0
��
1
m
�S  0
� 2  m  1  0
�
�
2
�
�
Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm dương t1 , t2 . Theo Vi-et ta có,

t1  t2  2  m  1 ,

t1t2  2m  1

Từ t1  x 2 � x  � t1 ; t2  x 2 � x  � t2
Đặt x A  t1 , xB   t1 , xC  t2 , xD   t2
�A









t1 ;1 , B  t1 ;1 , C









t1 ;1 , D  t 2 ;1

� OA  OB  OC  OD  2 1  t1  2 1  t1
Theo đề � 2 1  t1  2 1  t2  4  2 2
� 1  t1  1  t2  2  2
�



1  t1  1  t2



2

64 2

� t1  t2  2 t1t2  t1  t2  1  4  4 2
� 2  m  1  2 2m  1  2  m  1  1  4  4 2

� 4m  4  1  2 2  m
� 1  2 2  m �0
�
m �1  2 2
�
�
��
� m 1
2 � � 2
m 2 3 2 2 m5 4 2  0
4m  4  1  2 2  m
�
�
�
�
Vậy điều kiện phải tìm là m  1 .









4
2
Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  2  m  1 x  2m  1 có đồ thị là  Cm  . Định m để đồ thị  Cm 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

22


Giải

4
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm: x  2  m  1 x  2m  1  0

(1)

2
Đặt t  x 2 , t �0 thì (1) trở thành: f (t )  t  2  m  1 t  2m  1  0 .

Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f (t )  0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt
�
 '  m2  0
1
�
m
�
�
� �S  2  m  1  0 � �
2 (*)
�P  2m  1  0
�
m �0
�
�
Với (*), gọi t1  t2 là 2 nghiệm của f (t )  0 , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần

lượt là: x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2
x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng � x2  x1  x3  x2  x4  x3 � t2  9t1
m4
�
5m  4m  4
�
� m  1  m  9  m  1  m  � 5 m  4  m  1 � �
��
4
�

5
m

4
m

4
m
�
9
�
� 4�
4;  �
Vậy m  �
� 9
Ví dụ 10: Tìm m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ
nhỏ hơn 2.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y  1 :

x  �1
�
x 4 – (3m  2) x 2  3m  1  x 4 – (3m  2) x 2  3m  1  0  �2
x  3m  1 (*)
�
Đường thẳng y  1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và nhỏ hơn 2
�1
0  3m  1  4
�
  m 1
�
�
�
 �3
3m  1 �1
�
�
m �0
�
 Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  3mx  2 và đường thẳng d : y  5 x  1. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ dương
b) có hoành độ lớn hơn 2
c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  21
Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3x  3m  2 và đường thẳng d : y  5 x  1. Tìm m để đường
thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt
a) có hoành độ lớn hơn –1
23

b) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  15
Bài 3. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  (m  1) x  m  1 và đường thẳng d : y  2 x  m  1. Tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  (m 2  1)
Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 5. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị là (C). Gọi (dk) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và
có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hoành độ dương.
Bài 6. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Cho d là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3). Tìm m để d cắt
(Cm) tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
Bài 7. Cho hàm số y  x 3  2mx 2  3(m  1) x  2 (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  0 .
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  2 tại 3 điểm phân biệt A(0;2) ;
B; C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với M (3;1).
Bài 8. Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x  3 có đồ thị là (C) và hai điểm A(1;3), B(1; 1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác ABM cân tại M
Bài 9. Cho hàm số: y  x3  3x  1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x A  2
và MN  2 2
Bài 10. Cho hàm số y  x 3  3 x  2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C). Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) sao cho
tam giác MAB cân tại M.

1
1
Bài 11. Cho hàm số: y  x3  2 x 2  3x 
3
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1
b) Tìm m để đường thẳng  : y  mx  cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A
3
cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB
Bài 12. Cho hàm số y  x 3  2mx 2  (m  3) x  4 có đồ thị là (Cm).Tìm m để đường thẳng (d):
y = x + 4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho S BCD  2 2 với D(1; 3).
24


3
2
Bài 13. Cho hàm số y  x  3x   m  1 x  1 1 có đồ thị  Cm  với m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m  1
b) Tìm m để đường thẳng  d  : y  x  1 cắt đồ thị  Cm  tại 3 điểm phân biệt
P  0,1 , M , N sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng 5 2 với O  0;0 
2
Bài 14. Cho hàm số: y  x 3  3mx 2  (3m  1) x  6m (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3
thỏa mãn điều kiện x12  x22  x32  x1 x2 x3  20
Bài 15. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); (m là tham số) Xác định m để (Cm)
cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D
và E vuông góc với nhau

Bài 16. Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m,
đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ
thuộc tham số m. Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.
4
2
Bài 17. Cho hàm số y  x  2  m  1 x  2m  1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3.
Bài 18. Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng
2x  3
Bài 19. Cho hàm số: y 
có đồ thị ( C ).
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ).
b) Xác định m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ).
2x 1
Bài 20. Cho hàm số: y =
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ).
b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB có diện tích bằng

3 (O là gốc tọa độ).

2x  4
 C .
1 x
a) Khảo sát hàm số

b) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại

Bài 21. Cho hàm số y 

hai điểm M, N và MN  3 10 .
2x 1
Bài 22. Cho hàm số y 
có đồ thị (C).
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
25