PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA
CON LẮC LÒ XO VÀ CON LẮC ĐƠN KHI CÓ LỰC MA SÁT

Người viết: …………………………………...
Đối tượng: Học sinh lớp 12 ôn thi THPT quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Dự kiến thời gian giảng dạy: 4 tiết.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong các chương trình ôn thi THPT quốc gia thì chương dao động cơ là
chương có kiến thức và các dạng bài tập nhiều và khó. Đặc biệt trong chương này,
dao động tắt dần là phần khó hơn cả. Tuy nhiên, kiến thức về dao động tắt dần mà
sách giáo khoa cung cấp thì ít. Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình về
dạng bài tập này có một tiết lại càng làm cho học sinh khó hiểu và không vận dụng
để làm các bài tập được. Do đó, việc cung cấp thêm cho học sinh các công thức để
làm bài tập là rất cần thiết.
Thực trạng việc giải bài tập phần dao động tắt dần của học sinh: Sách giáo
khoa chỉ trình bày kiến thức về dao động tắt dần dạng lí thuyết không đưa ra công
thức làm bài tập. Nếu học sinh gặp phải các bài tập tự luận đòi hỏi phải tính toán,
phải sử dụng các công thức thì học sinh sẽ khó khăn áp dụng. Theo phân phối
chương trình số tiết dành cho việc luyện tập về dao động tắt dần được gộp chung
với dao động duy trì, dao động cưỡng bức, sự cộng hưởng và tổng hợp dao động
thành một tiết. Với thời lượng như vậy, giáo viên khó có thể cho học sinh luyện tập
được nhiều về dao động tắt dần. Đặc biệt, đây lại là phần kiến thức khó.
Trong quá trình dạy ôn thi THPT quốc gia, tôi nhận thấy dạng bài tập con lắc
dao động chịu thêm tác dụng lực ma sát làm cho biên độ thay đổi, cơ năng thay đổi.
Dao động là dạng bài tập thường gặp nhưng lại gây ra nhiều khó khăn, lúng túng
cho học sinh. Nhiều học sinh nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do
đó chỉ làm được các bài tập quen thuộc, do học sinh không hiểu kỹ lý thuyết vì vậy
không nhớ và vận dụng được công thức vào các bài toán. Các lực ma sát từ bên
ngoài làm thay đổi biên độ dao động của vật thường gặp là: vật dao động chịu thêm
lực ma sát, lực cản của môi trường, thì biên độ của vật giảm… Vì vậy, việc tìm ra
một hướng giải chung giúp học sinh định hướng cách giải cho từng bài cụ thể là rất

cần thiết.
Trong chuyên đề này tôi trình bày lý thuyết cơ bản về dao động tắt dần của
con lắc lò xo và con lắc đơn khi chịu tác dụng của lực mát, lực cản môi trường, từ
đó tôi đưa ra các dạng bài tập cơ bản và phương pháp tính nhanh khi làm bài tập
trắc nhiệm.
Trang - 1


PHẦN II: HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ.
A- LÝ THUYẾT.
1- Định nghĩa: Dao động tắt dần là dao động có
biên độ giảm dần theo thời gian.
2- Nguyên nhân: Lực cản của môi trường tác dụng lên
vật làm giảm cơ năng của vật. Cơ năng giảm thì thế
năng cực đại giảm, do đó biên độ A giảm dẫn tới dao
động tắt dần. Dao động tắt dần càng nhanh nếu môi
trường càng nhớt.

A0

B: BÀI TẬP DAO ĐỘNG TẮT DẦN CHẬM CỦA CON LẮC LÒ XO.
Thiết lập các công thức.
+ Để giải bài toán dao động tắt dần ta sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:
A (lực cản, lực ma sát) = ∆W = W2 - W1
+ Con lắc lò xo dao đông tắt dần chậm có biên độ giảm dần chậm theo thời gian,
coi chu kì dao động là không thay đổi, điểm có F ms =Fđh rất nhỏ x0 =

µ mg
≈ 0; x 0 << A
k

vật dao động quanh vị trí cân bằng O.
Bài toán: Con lắc lò xo có độ cứng k, vật khối lượng m chuyển động với hệ số ma
sát không đổi µ tại nơi có gia tốc trọng trường g. Thời điểm ban đầu vật ở vị trí biên
A.
a- Tính độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ?
b- Vật thực hiện được bao nhiêu dao động thì dừng lại?
c- Quãng đường đi được đến khi vật dừng lại?
d- Vị trí vật có vận tốc cực đại? Tính vận tốc cực đại đó?
phương pháp:
a-Lực ma sát trượt tác dụng lên vật: Fms= -µmg
1
2

1
2

Xét trong nửa chu kỳ : kA2 = kA'2 + µmg ( A + A' ) → k ( A2 − A'2 ) = 2µmg ( A + A' ) →
∆A'=

2 µmg
k

Vậy trong một chu kỳ độ giảm biên độ:

∆A = 2∆A' =

4 µmg
∈ const
k

A

kA

(1.1)

b- Số dao động thực hiện được đến khi dừng hẳn: N = ∆A = 4µmg (1.2)

Trang - 2


c- Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng: Khi dừng hẳn toàn bộ cơ năng của con
lắc chuyển hoá hoàn toàn thành công của lực ma sát:

1 2
kA = µmgS
2

→ S=

kA2
2µmg

(1.3)
d- Vật dao động với vận tốc cực đại trong nửa chu kỳ đầu tiên khi qua vị trí x0.
Mặt khác để đạt vận tốc lớn nhất khi hợp lực phục hồi và lực cản phải cân bằng
µmg
nhau: kx0 = µmg → x0 =
(1.4)
k

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng khi vật đạt vận tốc cực đại lần đầu tiên:
1 2 1 2 1
2
kA = kx0 + mv0 + µmg ( A − x0 ) → mv02 = k ( A2 − x02 ) − 2 µmg ( A − x0 )
2
2
2
2
→ mv = k ( A2 − x02 ) − 2kx0 ( A − x0 ) → v = ω( A − x0 ) (1.5)

Có thể chia bài tập loại này làm ba dạng cơ bản:
Dạng 1: Độ giảm biên độ: Áp dụng các công thức sau.
+ Tìm độ giảm biên độ sau một chu kỳ
+ Biên độ mất sau N chu kỳ áp dụng các công thức :
+ Tìm phần trăm biên độ bị giảm sau N chu kì:
+ Phần trăm biên độ còn lại sau N chu kì:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có k =60 (N/m) và quả cầu có khối lượng m = 60 (g),
dao động trong không khí với biên độ ban đầu A =12 (cm). Trong quá trình dao
động con lắc luôn chịu tác dụng của một lực cản có độ lớn không đổi F c. Biết
khoảng thời gian từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn là τ = 120 (s). Xác định độ
lớn của lực cản?
A. 0,03 (N)
B. 0,001 (N)
C. 0,002 (N)
D. 0,003 (N)
* Hướng dẫn:
m
0,06

= 2π
= 0,2 ( s )
k
60
4F
+ Độ giảm biên độ sau một chu kì: ∆A = C
k
A
kA
+ Số dao động thực hiện được: N = ∆A = 4 F
C

+ Chu kì dao động của con lắc: T = 2π

kAT

+ Thời gian kể từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn: τ = N .T = 4 F (coi chu kì dao
C
động là không đổi)→ FC =

kAT 60.0,12.0,2
=
= 0,003 ( N )
4τ
4.120

Dạng 2: Độ giảm cơ năng:
+ Do dao động tắt dần chậm nên tính gần đúng ta có: A1 + A 2 ≈ 2A1

Trang - 3

1 2 1 2
kA − kA
2
2
∆ W 2 1 2 2 A1 − A 2 (A 1 − A 2)(A 1 + A 2) ∆ A ∆A
=
=
=
≈2
; A là biên độ bị giảm trong 1 chu kì
1 2
W1
A1
A12
A12
0
kA1
2

+ Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau 1 chu kì:
+ Phần trăm cơ năng bị mất (chuyển thành nhiệt) sau N chu kì:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3%.
Phần năng lượng của con lắc bị mất đi trong một dao động toàn phần là
A. 5%
B. 0,6%
C. 6%
D. 6%

* Hướng dẫn:
Gọi A0 là biên độ dao động ban đầu của vật. Sau mỗi chu kỳ biên độ của nó giảm
3% nên biên độ còn lại là A = 0,97A0. Khi đó năng lượng của vật giảm một lượng là
1 2 1
kA0 − k (0,97 A0 ) 2
∆W
2
2
∆W =
= 0, 06 ⇒
= 6%
1 2
W
kA0
2

Dạng 3: Số dao động thực hiện được và thời gian trong dao động:
+ Số dao động vật thực hiện cho tới khi dừng lại:
+ Thời gian vật dao động đến lúc dừng lại:
Các bài toán vận dụng:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ
cứng 100N/m. Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6 cm rồi thả nhẹ
cho nó dao động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005. Lấy g = 10
m/s2 . Khi đó số dao động vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là
A. 50
B. 40
C. 60
D. 25
* Hướng dẫn giải:
4 µmg

k
A
kA
100.0,06
Số dao động thực hiện được N = ∆A = 4µmg = 4.0,005.0,6.10 = 50

Độ giảm biên độ sau một chu kỳ ∆A =

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo gồm vật dao động có khối lượng m = 1 kg, lò xo nhẹ có
độ cứng k = 100N/m. Hệ dao động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu vật
có biên độ 5,0 cm sau 4 chu kỳ dao động thì biên độ chỉ còn 4 cm. Coi chu kỳ dao
động của vật là không đổi và bằng chu kỳ dao động điều hòa và biên độ dao động
sau mỗi chu kỳ giảm theo cấp số nhân lùi vô hạn. Tính phần năng lượng cần bổ
sung cho hệ để dao động của hệ được duy trì với biên độ ban đầu?
A. 0,136(J)
B. 0,013(J)
C. 0,025(J)
D. 0,083(J)
* Hướng dẫn giải:
- Biên độ A0 = 5 cm và cơ năng dao động W0 =
Trang - 4

1 2
kA0 = 0,125 J
2


- Goi q là công bội của cấp số nhân. Vì biên độ giảm theo cấp số nhân nên ta có:
+ Sau chu kỳ thứ 1 biên độ còn lại là: A1 = q.A0
+ Sau chu kỳ thứ 2 biên độ còn lại là: A2 = q.A1 = q2A0

+ Sau chu kỳ thứ 3 biên độ còn lại là: A3 = q.A2 = q3A0
+ Sau chu kỳ thứ 4 biên độ còn lại là: A4 = q.A3 = q4A0
- Theo giả thiết ta có A4 = 4 cm nên ta suy đươc: q = 4
- Sau một chu kỳ biên độlà A1 = 5 4

A4 4 4
=
A0
5

1
4
cm và cơ năng dao động W1 = kA12 = 0,112 J
2
5

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là ∆W = W0 – W1 = 0,013 (J).

C: BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG CÓ LỰC MA SÁT LỚN:
Thiết lập các công thức.
Trong bài toán này ta xem hệ số ma sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt.
1-Tính chất của chuyển động:
Chọn gốc tọa độ O là vị trí của vật mà tại đó lò xo không bị biến dạng.
Ta xét giai đoạn vật đi từ vị trí biên dương sang vị trí biên âm
Theo định luật II Newton ta có:
-Fđh + Fms = ma ⇒ – kx + µmg = mx” ⇒ x” = –
Đặt : X = x –

k
µmg 

 x –
÷(*)
m
k 

µmg
= x − x0 ⇒ X" = x " (**)
k

Từ (*) và (**) ta có: X" = –

k
X phương trình có
m

O2
– x0

O

O1
x0

nghiệm X=A cos(ωt + ϕ ) .
Vậy trong giai đoạn này, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa với vị
µmg
trí cân bằng tạm O1 có tọa độ: x0 =
k
Tương tự trong giai đoạn vật đi từ vị trí biên âm đến vị trí biên dương, li độ của vật
cũng tuân theo quy luật biến thiên điều hòa; với vị trí cân bằng tạm O2 có tọa độ:

x 02 = – x 0 = –

µmg
k

Kết luận: Trong mỗi giai đoạn chuyển động từ biên này sang biên kia li độ của vật
biến thiên điều hòa với vị trí cân bằng tạm thời (xét theo chiều chuyển động) đứng
µmg
trước vị trí mà lò xo không biến dạng một đoạn: x 0 =
(2.1)
k
Lưu ý: Trong mỗi lần đổi chiều chuyển động, vị trí cân bằng tạm của vật thay đổi
từ vị trí O1 sang O2 hoặc ngược lại nên không thể kết luận chuyển động của vật là
dao động.
2-Vận tốc cực đại của vật khi đi từ biên này đến biên kia:
Khi vật qua O lần thứ n. Gọi An là độ lớn của biên độ thứ n (tính từ vị trí cân bằng
tạm).
Li độ của vật biến thiên điều hòa với biên độ A n nên đạt tốc độ cực đại khi qua vị
trí cân bằng tạm thời trong giai đoạn chuyển động đang xét.
Trang - 5


Tốc độ này được tính bởi: v max = A n ω = A n

k
(2.2)
m

3-Quy luật giảm về độ lớn cuả biên độ – Vị trí của vật khi dừng hẳn – Quãng
đường vật đã đi được:

a- Quy luật giảm của biên độ:
Xét trong trường hợp các vị trí biên nằm ngoài đoạn O1O2.
Gọi An; An + 1 lần lượt là biên độ khi vật qua O
X n+1
Xn
lần thứ n (giả sử theo chiều âm của trục) và
O
O
2
lần thứ n + 1.
1
A n+1
An
O
Do hai vị trí biên này đối xứng với nhau qua
An
O1 nên ta có: A n + 1 = A n − 2x 0
Vậy giá trị của biên độ sau mỗi lần qua O tạo
thành một cấp số cộng lùi với công sai: q = − 2x 0 = − 2

µ mg
k

Giả sử ban đầu vật có biên độ là A0 thì sau khi qua O lần thứ n, biên độ của vật:
A n = A 0 + nq = A 0 − 2nx 0 (2.3)
b-Vị trí dừng hẳn của vật:
Lúc vật dừng hẳn, tọa độ x của vật và cũng là độ biến dạng của lò xo.
Lúc này lực đàn hồi cân bằng với ma sát nghỉ: k | x |= Fmsn ≤ µmg
Khi vật dừng hẳn lò xo vẫn có thể bị biến dạng một đoạn x với: ⇒ | x | ≤

µmg
= x0
k

Vị trí dừng hẳn của vật phải có tọa độ từ – x 0 đến x0, trong mỗi giai đoạn chuyển
động từ biên này đến biên kia, li độ của vật tuân theo quy luật biến thiên điều hòa
nên vật chỉ có thể dừng tạm tại vị trí biên.
Vậy vị trí dừng hẳn của vật chính là vị trí biên của giai đoạn dao động cuối.
A0

Để tìm vị trí này ta xét tỉ số: 2x = n + p ; trong đó n là số tự nhiên và 0 ≤ p < 1
0
A
=
2nx
+
2px
⇒ 0
0
0
Biên độ của vật sau khi qua O lần thứ n: A n = A 0 − 2nx 0 = 2px 0
Do A n < 2x 0 nên nó chính là biên độ trong giai đoạn chuyển động cuối cùng.
Ta có hai trường hợp sau:
An
x
+ Nếu 0 ≤ p < 0,5 ⇒ A n = 2px 0 < x 0 .
Sau khi qua O lần thứ n vật đi qua vị trí cân bằng
O1
O2
O

tạm và dừng hẳn tại vị trí có tọa độ
An
x = x 0 ( 2p − 1) < 0 với chiều dương của trục là
chiều chuyển động của vật trước khi dừng hẳn.
+ Nếu 0,5 ≤ p < 1 ⇒ A n = 2px 0 ≥ x 0
An
x
Sau khi qua O lần thứ n, vật còn tới O thêm một lần
O1
O
O2
nữa và
dừng hẳn tại vị trí có tọa độ
A
n
x = x 0 ( 2p − 1) ≥ 0 với chiều dương của trục là chiều
chuyển động của vật trước khi dừng hẳn.
Có hai trường hợp đặc biệt về vị trí dừng của vật:
Khi p = 0 ⇒ A n = 0 . Sau khi qua O lần thứ n, vật dừng tại vị trí biên trong giai
đoạn này.
Trang - 6


Khi p = 0,5 ⇒ A n = x 0 . Sau khi tới O lần thứ n, vật quay về và dừng hẳn tại O
c- Quãng đường vật đã đi được:
Li độ lúc cuối của vật có độ lớn bằng độ biến dạng của lò xo lúc này nên ta có:
k ( A2 − x 2 )
1 2
1 2
A2 − x 2

kA − kx = µ mgS ⇒ S  =
=
2
2
2µ mg
2x 0

4-Thời gian chuyển động:
T
2

Khoảng thời gian để vật đi từ một vị trí biên nào đó tới vị trí biên kế tiếp là . Nếu
tạm gọi “chu kì” là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đạt tới vị trí biên ở
cùng một bên so với O thì “chu kì” lúc này cũng có giá trị đúng bằng chu kì dao
động riêng của con lắc lò xo.
Khoảng thời gian vật đi từ biên ban đầu cho đến lúc dừng hẳn:
Số lần vật chuyển động từ biên này đến biên kế tiếp là n (nếu p = 0) và n + 1 nếu q
≠ 0.
T
2

Vậy khoảng thời gian cần tìm: Khi p = 0: ∆t = n và khi p ≠ 0: ∆t = ( n + 1)

T
.
2

CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Dạng 1: Tính độ giãn hoặc độ nén của lò xo hoặc năng lượng con lắc lò xo:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ có khối lượng 1 kg, lò xo có độ

cứng 160 N/m. Hệ số ma sát giữ vật và mặt ngang là 0,32. Ban đầu giữ vật ở vị trí
lò xo nén 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s2. Quãng
đường vật đi được trong

1
s kể từ lúc bắt đầu dao động là
3

A. 22 cm.
B. 19 cm.
Hướng dẫn: Đáp án: D

C. 16 cm.

t
2 µmg
= 4cm ; =
Độ giảm biên độ trong nửa chu kì: ∆A =
T
k

D. 18 cm.
1
3
2π

m
k

≈

2
T T
→t = +
3
2 6

T
đầu tiên vật đi được quãng đưong: 20-4=16cm;
2
T
Trong tiếp theo có thể xem vật dao động điều hòa quanh vị trí lò xo giãn 2cm (
6
kx = µmg → x = 2cm .)
T
Vậy biên độ dao động lúc này là 6 -2=4cm; Trong vật đi được quãng đường
6
A
= 2cm Vậy tổng quãng đường là 18cm.
2

Trong

Trang - 7


Ví dụ 2: Một con lắc lò xo đặt theo phương ngang gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg
và lò xo có độ cứng 2 N/m. Hệ số ma sát giữa vật và giá đỡ vật là 0,1. Ban đầu giữ
cho vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động tắt dần. Lấy g = 10
m/s2. Trong quá trình dao động lò xo có độ dãn lớn nhất là

A. 7 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
Hướng dẫn:
A
O A
Ta có x 0 =

µmg
= 1 cm
k

0

0

O1

O2

Δl
Độ dãn cần tìm chính là độ lớn của tọa độ biên khi qua O lần đầu: X0
Δl = A – 2x0 = 8 cm
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo có độ cứng 100 N/m và khối lượng 200g dao động trên
mặt phẳng ngang với hệ số ma sát giữa vật và mặt này là µ. Kéo vật đến vị trí sao
cho lò xo dãn một đoạn 4 cm rồi thả nhẹ. Biết khi dừng hẳn tại vị trí lò xo không
biến dạng, vật đã thực hiện được 10 dao động toàn phần. Hệ số ma sát giữa vật và
mặt sàn có giá trị gần nhất với là
A. 0,05 B. 0,04

C. 0,03
D. 0,02.
Hướng dẫn:
Biên độ dao động lúc đầu: A 0 = X 0 − x 0
X

2

kx

0
0
Từ giả thiết: A 20 = A 0 − 2 ( 20 ) x 0 = x 0 ⇒ x 0 = 42 = 21 cm ⇒ µ = mg ≈ 0,05
Ví dụ 4: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 2N/m, vật có khối lượng m = 80g dao
động tắt dần trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát 0,1. Ban đầu kéo vật ra khỏi
VTCB một đoạn bằng 10cm rồi thả nhẹ. Lấy g = 10m/s 2. Thế năng đàn hồi của lò
xo khi vật có tốc độ lớn nhất là
A. 0,16 mJ
B. 1,6 mJ
C. 0,16 J
D. 1,6 J
Hướng dẫn:

Ta có x 0 =

µmg
= 4cm
k

Vật đạt tốc độ lớn nhất khi đi qua vị trí cân bằng tạm lần đầu. Lúc này lò xo biến

dang một đoạn x0. Thế năng đàn hồi khi vmax: E t =

kx 02
= 1 , 6mJ
2

Ví dụ 5: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200g, lò xo có độ
cứng 10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật
được giữ ở vị trí lò xo dãn 10cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g =
10m/s2. Trong khoảng thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu
giảm thì công của lực đàn hồi là
A. 48 mJ.
B. 20 mJ.
C. 50 mJ.
D. 42 mJ.
Hướng dẫn:
Ta có x 0 =

µmg
= 2 cm và X0 = 10 cm
k

k ( X 02 – x 0 2 )
kX 02
kx 02
Công của lực đàn hồi được tính bởi: W =
–
=
= 48 mJ
2

2
2

Ví dụ 6: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có
độ cứng 20 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật
được giữ ở vị trí lò xo dãn 10cm, sau đó thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g =
Trang - 8


10m/s2. Kể từ lúc thả, trong khoảng thời gian đầu tiên giữa hai lần lò xo dãn cực
đại, tỉ số tốc độ giữa hai thời điểm gia tốc của vật triệt tiêu là
A. 7/6
B. 9/8
C. 7/5
D. 9/7
Hướng dẫn:
Ta có

x0 =

µmg
= 1 cm
k

Xét trong mỗi giai đoạn chuyển động chưa đổi chiều thì thời điểm gia tốc của vật
triệt tiêu là thời điểm vật qua vị trí cân bằng tạm. Lúc này tốc độ của vật là lớn nhất
v

A

0
0
và được tính bởi: v0 = A0ω  ; v1 = A1ω   Tỉ số cân tìm chính là tỉ số: v = A
1
1
A
=
X
–
x
; 
A
=
A
–
2
x
=
X
–
3
x
Mặt khác ta có: 0
0
0  
1
0
0
0
0   

X 0  –  x 0
v1
9
 =
=
.
v2
X 0  –  3x 0
7

⇒

Trang - 9


Dạng 2: Tính vận tốc hoặc vận tốc trung bình của vật.
Ví dụ 1 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 0,02kg và lò
xo có độ cứng 1N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục
lò xo. Hệ số ma sát trượt của giá đỡ và vật nhỏ là 0,1. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo
bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10m/s 2. Tốc độ lớn
nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là
A. 40 3 cm/s
B. 20 6 cm/s
C. 10 30 cm/s
D. 40 2 cm/s
Hướng dẫn giải 1:
+ Vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị trí Fms = Fđh:
+ Tính từ lúc thả vật (cơ năng
tốc v (cơ năng

1 2
kA ) đến vị trí bất kỳ có li độ x ( 0 ≤ x ≤ A ) và có vận
2

1 2 1 2
mv + kx ) thì quãng đường đi được là (A - x).
2
2

+ Độ giảm cơ năng của con lắc bằng công của lực ma sát |Ams|:
1 2 1 2 1 2
kA − ( mv + kx ) = µmg ( A − x) ⇒ mv 2 = −kx 2 + 2 µmg.x + kA2 − 2 µmg . A (*)
2
2
2
+ Xét hàm số: y = mv2 = f(x) = − kx 2 + 2µmg.x + kA2 − 2µmg. A

Đồ thị hàm số y = f(x) có dạng là parabol, với (a = -k < 0), y = mv 2 có giá trị cực
đại tại vị trí x = −

b
µmg
=
= 0,02m thay x = 0,02 (m) vào (*) ⇒ vmax = 40 2 cm/s.
2a
k

* Hướng dẫn giải 2:
- Vị trí của vật có vận tốc cực đại: x0 =

µmg
k

= 0,02 (m)

- Vận tốc cực đại khi dao động đạt được tại vị trí x0: vmax = ω(A - x0) = 40 2 (cm/s).
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 10 N/m dao động trên mặt phẳng nằm
ngang với hệ số ma sát 0,2. Ban đầu vật ở vị trí cách vị trí lò xo bị nén một đoạn 10
cm rồi thả nhẹ cho chuyển động. Lấy g = 10 m/s 2. Tính công suất cung cấp năng
lượng cho hệ để duy tri cho hệ dao động với biên độ ban đầu?
A. 0,69 (W)
B. 0,91 (W)
C. 1,93 (W)
D. 9,12 (W)
Hướng dẫn:
1 2
kA0 .
2
4 µmg
- Sau chu kỳ dao động đồng tiên thì biên độ là A1 = A0 = 8cm
k
1
- Cơ năng dao động còn lại W1 = kA12 .
2

- Biên độ A0 = 10 cm và có cơ năng dao động W0 =

- Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là ∆W = W0 – W1 = 0,18 J
Nên công suất cung cấp đề duy trì dao động cho hệ: P =

∆W
= 0,91 (W)
T

Ví dụ 3: Một con lắc lò xo với khối lượng vật nặng m = 400 g, độ cứng lò xo k =
50 N/m, đặt trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt µ = 0,06 . Ban đầu kéo vật
để lò xo dãn 8cm rồi buông nhẹ. Lấy g = 10 m/s2. Tốc độ lớn nhất của vật sau khi lò
xo đã đạt độ nén cực đại có giá trị gần nhất với
A. 73 cm/s
B. 75 cm/s
C. 84 cm/s
D. 85 cm/s
Trang - 10


Hướng dẫn:
µmg
= 4,8 mm và ω =
k

k
= 5 5 rad/s
m
Biên độ dao động sau khi qua O lần thứ nhất: A1 = A 0 − 2x 0 = X 0 − 3x 0 = 6,56 cm
Tốc độ cực đại cần tìm: v = A1ω ≈ 73,34 cm/s

Ta có: x 0 =

Dạng 3: Tính thời gian vật chuyển động.

Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có độ cứng k =100N/m, khối lượng m = 400g, dao động
trên mặt phẳng ngang. Ban đầu người ta kéo vật để lò xo dãn 2 cm rồi thả nhẹ. Biết
hệ số ma sát trượt là µ = 0,1. Tính thời gian ngắn nhất kể từ lúc thả vật cho đến lúc
lò xo không biến dạng lần thứ hai. Lấy g = 10 m/s2
A. 1/5 s
B. 1/3 s
C. 1/2 s
D. 1/4 s
Hướng dẫn:
µmg
= 0,4 cm và X0 = 2 cm
k
Biên độ ban đầu: A 0 = X 0 − x 0 = 1,6 cm

Ta có x 0 =

Biên độ dao động sau khi qua O lần thứ nhất: A1 = A 0 − 2x 0 = 0,8 cm
Vậy sau khi thực hiện được nửa chu kì dao động đầu tiên, vật thực hiện tiếp 1/4 chu
kì kế tiếp rối đi từ vị trí cân bằng tạm O 2 đến vị trí lò xo không biến dạng lần thứ
hai.
Chu kì dao động tự do của con lắc: T = 2π
x0
1
T
=
⇒ ∆t =
A1
2
12
T

T
T
5T
1
∆t =
+
+
=
=
s
2
4
12
6
3

sinα =

⇒

m
= 0,4 s
k

khoảng

thời

gian

là

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo khối lượng vật nặng 100 g, độ cứng lò xo 10 N/m, đặt
trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát trượt 0,2. Kéo con lắc để lò xo dãn 22 cm rồi
thả nhẹ. Chọn gốc thời gian lúc thả vật. Tìm thời điểm lần thứ hai lò xo dãn 6 cm.
A. 13π/60 s
B. π/6 s
C. π/60 s
D. 15π/60 s
Hướng dẫn:
µmg
= 2 cm và X0 = 22 cm
k
Biên độ ban đầu: A 0 = X 0 − x 0
Biên độ khi qua O lần thứ nhất: A1 = A 0 − 2x 0 = X 0 − 3x 0 = 16 cm
Tọa độ của vị trí đang xét: x = x 0 + ∆l = 8 cm

Ta có x 0 =

Chu kì dao động tự do của con lắc: T = 2π
⇒ khoảng thời gian là ∆t =

T
T
+
+ ∆t 0
2
4

m

π
=
s
k
5
5T
π
=
=
( s)
6
6

Trang - 11


C- BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC ĐƠN.
Thiết lập các công thức.
Con ℓắc đơn có chiều dài ℓ dao động tắt dần với một ℓực cản đều ℓà F c, biên độ góc
ban đầu ℓà α01 = α0.
1. Xác định độ giảm biên độ trong một chu kỳ.
Năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓà: W1 = mgℓα
Khi về đến biên lần đầu, biên độ góc chỉ còn α02; Năng
ℓượng còn ℓại của con ℓắc khi ở biên WCL = mgℓα
Sau nữa chu kì năng ℓượng mất đi: ∆W = AC
⇔ W – WCL = FC.S
⇔ mgℓ(α - α) = Fc.(S01 + S02) = Fc.ℓ(α01 + α02)
⇒ mgℓ(α01 - α02)(α01 + α02) = Fc.ℓ(α01 + α02)
⇒ ∆α1 = α01 - α02 =

2Fc
2F
= C (3.1)
mg
P

Ta thấy rằng độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ không phụ
thuộc vào biên độ ban đầu và thời gian. Như vậy sau một chu
kì độ giảm biên độ: ∆α = α01 - α02 =

4Fc
4F
= C (3.2)
mg
P

2) Số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn. N =
(3.3)
3) Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T (3.4)

α 01
∆α

Giải quyết tương tự như con lắc lò xo, thay tương ứng A thành S 0; x thành s; với s
= αl, S0 = α0l
4) Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:
(3.5) với
CÁCH GIẢI CÁC BÀI TẬP:
Các bài tập về con lắc đơn:
I-

Bước 1: Tính độ giảm biên độ sau một chu kì: ∆α = α01 - α02 =

4Fc
4F
= C
mg
P

Bước 2: Tính số dao động con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn. N =
α 01
∆α

Thời gian con lắc đơn thực hiện kể từ ban đầu đến ℓúc tắt hẳn: t = N.T
Bước 3: Để duy trì dao động cần 1 động cơ có công suất tối thiểu là:

Trang - 12


II-CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
DẠNG 1- TÍNH ĐỘ GIẢM BIÊN ĐỘ HOẶC NĂNG LƯỢNG, ÁP DỤNG
CÁC CÔNG THỨC 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.
Ví dụ 1: Ban đầu con lắc đơn dao động với biên độ α0 = 50. Trong quá trình dao
động, vật luôn chịu lực cản có độ lớn bằng 1% trọng lực của vật. Biết biên độ giảm
dần trong từng chu kỳ. Sau khi vật qua vị trí cân bằng được 20 lần thì biên độ dao
động của vật bằng
A. 4,5o
B. 4,6o
C. 4,8o
D. 4,9o

Hướng dẫn:
Fcan .4
Độ giảm biên độ trong một T: ∆α 0 = α 01 − α 02 =
⇒ ∆α 0 = 0,040
mg
Vật qua VTCB 20 lần ứng với 10 chu kỳ, biên độ giảm 0,040.10 = 0,40
Biên độ còn lại 50 – 0,40 = 4,60 .
Ví dụ 2: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch
phương thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ. Biết lực căn của không khí tác
dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật. Coi biên độ
giảm đều trong từng chu kỳ. Số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là
A. 25
B. 50
C. 100
D. 200
Hướng dẫn:
Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB.
∆α = α01 - α02 =

2 Fc
α
0,1
2F
=
= 50 .
= C ⇒ Số lần vật qua VTCB: N =
∆α 0,002
mg
P

Ví dụ 3: Một con lắc đơn dai l = 1m khối lượng m= 900g dao động với biên độ góc
ban đầu là 50 tại nơi có g = 10m/s 2. Do có lực cản nên sau 10 dao động biên độ còn
40. Để duy trì dao động với biên độ góc ban đầu thì cần phải cung cấp cho con lắc
một công suất bao nhiêu?
A. 6,56.10-4 (W) B. 4,51.10-4 (W) C. 1,46.10-4 (W)
D. 8,59.10-4 (W)
Hướng dẫn:
1
2

Độ giảm năng lượng sau 10 dao động: ∆W = mgl (α 02 − α 2 )
Công suất củ bộ phẩn bổ sung năng lượng: Ρ =

∆W
= 6,56.10−4 (W)
10T

DẠNG 2- TÍNH THỜI GIAN DAO ĐỘNG HOẶC LỰC CẢN CỦA MÔI
TRƯỜNG: ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC: 3.2, 3.3, 3.4.
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,5 ( m ) , quả cầu nhỏ có khối lượng
m = 100 ( g ) . Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 ( m / s 2 ) với biên
độ góc α 0 = 0,14 ( rad ) . Trong quá trình dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của lực
ma sát nhỏ có độ lớn không đổi FC = 0,002 ( N ) thì nó sẽ dao động tắt dần. Tính
khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn?
A. 14,20 (s)
B. 20,28 (s)
C. 24,24 (s)
D. 29,2
(s)
Hướng dẫn:

Trang - 13


+ Chu kì dao động của con lắc đơn: T = 2π
+ Biên độ góc giảm trong một T ⇒ ∆α =
+ Số dao động thực hiện được: N =

l
0,5
= 2.3,1416.
≈ 1,42 ( s )
g
9,8

4 FC
mg

α0
∆α

+ Khoảng thời gian từ lúc bắt đầu dao động cho đến khi dừng hẳn:
τ = N .T =

α0
0,14
.T =
.1,42 ≈ 24,24 ( s ) .
∆α
0,0082

Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chiều dài l = 0,248 ( m ) , quả cầu nhỏ có khối lượng
m = 100 ( g ) . Cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 ( m / s 2 ) với biên
độ góc α 0 = 0,07 ( rad ) trong môi trường dưới tác dụng của lực cản (có độ lớn không
đổi). Biết con lắc đơn chỉ dao động được τ = 100 ( s ) thì ngừng hẳn. Xác định độ lớn
của lực cản?
A. 0,1715. 10-3 (N)
B. 0,157. 10-3 (N)
C. 0,275. 10-3 (N)
D. 0,3765. 10-3
(N)
Hướng dẫn:
l
0,248
= 2.3,1416.
≈ 1 ( s)
g
9,8
4F
+ Trong một chu kì biên độ góc giảm từ α0 đến α1 ⇒ ∆α = C ;
mg
α 0 α 0 mg
+ Số dao động thực hiện được: N = ∆α = 4 F .
C

+ Chu kì dao động của con lắc đơn: T = 2π

+ Số dao động thực hiện được từ lúc dao động cho đến khi dừng hẳn theo bài ra:
N=

τ 100 ( s )

=
= 100 .
T
1 ( s)

+ Độ lớn của lực cản: FC =

mg
0,1.9,8
α0 =
.0,07 = 0,1715.10 −3 ( N ) .
4N
4.100

DẠNG 3- TÍNH NĂNG LƯỢNG CUNG CẤP CHO CON LẮC ĐỂ DUY TRÌ
DAO ĐỘNG, ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC: 3.2, 3.3, 3.4, 3.5
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có dao động nhỏ tại nơi có gia tốc trọng trường
g = 9,8 ( m / s 2 ) với chu kì T = 2 ( s ) . Quả cầu nhỏ của con lắc có khối lượng m = 50 ( g ) .
Dao động với biên độ góc α 0 = 0,15 ( rad ) , trong môi trường có lực cản tác dụng thì
nó chỉ dao động được τ = 200 ( s ) thì ngừng hẳn. Người ta có thể duy trì dao động
bằng cách dùng một hệ thống lên giây cót đồng hồ sao cho nó chạy được trong một
tuần lễ với biên độ góc α 0 = 4 0 . Biết 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma
sát do hệ thống các bánh răng. Tính công cần thiết để lên giây cót để đồng hồ chạy
trong một tuần?
A. 63,12 (J)
B. 83,16 (J)
C. 60,17 (J)
D. 70,19
(J)
Hướng dẫn:

Trang - 14


τ 200
=
= 100
T
2
l
T 2g
2 2.9,8
⇒l =
=
≈ 0,993 ( m )
+ Chiều dài của con lắc đơn: T = 2π
g
4π 2 4.3,1416 2
1
1
+ Cơ năng ban đầu của con lắc đơn: E0 = mgα 02 = 0,05.9,8.0,993.0,15 2 ≈ 0,55.10 −2 ( J )
2
2

+ Số dao động thực hiện được: N =

.
E 0 0,55.10 −2
=
= 0,55.10 −4 ( J )
+ Độ hao hụt năng lượng sau mỗi chu kì dao động: ∆E =

N
100

.
+

Năng

e=

+

lượng

hao

hụt

cần

bổ

∆E 0,55.10 ( J )
=
= 0,275.10 −4 ( J / s ) .
T
2 ( s)

sau

một

đơn

vị

thời

gian:

−4

Năng

lượng

7.86400 ( s ).0,275.10

−4

( J / s ) = 16,632 ( J )

sung

trong

một

tuần

lễ:

A’=

+ Vì 80% năng lượng được dùng để thắng lực ma sát các bánh răng cưa nên chỉ có
20% năng lượng có ích, nên công toàn phần cần thiết để lên giây cót đồng hồ là: A=
16,832
= 83,16 ( J ) .
0,2

Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chu kì dao động là T = 2s, vật nặng có khối lượng
3kg. Kích thích cho con lắc dao động với biên độ góc 40. Lấy g = π 2 = 10m / s 2 . Do có
lực cản nên sau 16 phút 40 giây vật ngừng dao động. Để duy trì dao động dùng bộ
phận bổ sung năng lượng. Bộ phận hoạt động nhờ một pin có E = 3V, hiệu suất
25%. Pin trữ một năng lượng Q = 103 C . Tính thời gian hoạt động của đồng hồ sau
mỗi lần thay pin?
A. 98,9 ngày
B. 117,3 ngày
C. 101,5 ngày
D. 90,5
ngày
Hướng dẫn:
mgα 0T
1
; cơ năng ban đầu: W = mglα 02
4τ
2
4 Fc
α0 τ
=

Ta có ∆α ≈ mg và số dao động thực hiện được: N =
∆α T
WT
Độ biến thiên năng lượng sau mỗi chu kì ∆W ; 4Fclα 0 =
4τ
100
4WT
W=
Năng lượng cung cấp sau mỗi chu kì: W1 =
25
τ
W 4WT
Điện lượng mà pin giải phóng sau mỗi chu kì: q = 1 =
E
Eτ
Q
QEτ
Thời gian hoạt động của pin: t = q T = 4W = 117,3 (ngày)

Độ lớn của lực cản: Fc =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Các bài toán vận dụng thấp:

Trang - 15


Câu 1: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k = 100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao
động trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,01. Lấy g = 10m/s 2. Tìm độ giảm
biên độ sau mỗi lần vật đi qua vị trí cân bằng?

A. 0,2 (mm)
B. 0,1 (mm)
C. 0,3 (mm)
D. 0,4 (mm)
Câu 2: Một con lắc lò xo có lò xo nhẹ độ cứng k = 100N/m, vật nhỏ m = 100g, dao
động trên mặt phẳng ngang có hệ số ma sát là 0,2. Lấy g = 10m/s 2. Từ vị trí cân
bằng kéo vật ra một đoạn 10cm rồi thả nhẹ. Tìm biên độ của vật sau 4 chu kì dao
động?
A. 0,5 (cm)
B. 0,6 (cm)
C. 0,3 (cm)
D. 0,8 (cm)
Câu 3: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kì, biên độ bị giảm 5%.
Tìm phần trăm cơ năng bị mất sau mỗi chu kì?
A. 10%
B. 8%
C. 12%
D. 5%
Câu 4: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 100N/m bố trí cho dao động trên mặt
bàn nằm ngang không ma sát, hệ số ma sát 0,1. Số dao động vật thực hiện được đến
khi dừng hẳn là bao nhiêu?
A. 10
B. 15
C. 25
D. 30
Câu 5: Một con lắc lò xo có m = 200g, k = 10N/m bố trí cho dao động trên mặt bàn
nằm ngang không ma sát, hệ số ma sát 0,1. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 10cm rồi
buông nhẹ. Tìm thời gian vật dao động đến khi dừng lại?
A. 6,45s
B. 8,5s

C. 4,45s
D. 10, 5s
Câu 6: Một con lắc lò xo có m = 100g, k = 25N/m. Dao động tắt dần trên mặt
phẳng nằm ngang có hệ số ma sát là 0,5. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 9cm rồi thả
nhẹ để vật dao động tắt dần. Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại?
A. 20 cm
B. 40 cm
C. 25 cm
D. 35 cm
Câu 7. Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng 20 N/m.
Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma sát
trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01. Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho
vật vận tốc ban đầu 1 m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của
lò xo. Lấy g = 10 m/s2. Tính độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình
dao động.
A. 2,34N
B. 1,90N
C. 1,98N
C.2,08N
Câu 8: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 20N/m va vật nặng
m = 100g. Từ VTCB kéo vật ra 1 đoạn 6cm rồi truyền cho vật vận tốc 20 14 cm/s
hướng về VTCB. Biết rằng hề số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0.4, lấy g =
10m/s2. Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc bằng:
A. 20 cm/s
B. 80 cm/s
C. 20 cm/s
D. 40 cm/s
Câu 9: Một con lắc lò xo có k=100N/m, có m= 100g dao động với biên độ ban đầu
là A= 10cm. Trong quá trình dao động vật chịu một lực cản không đổi, sau 20s vật
dừng lại, (lấy π 2 =10 ). Lực cản có độ lớn là?

A. 0,025 (N)
B. 0,225 (N)
C. 0,255 (N)
D. 0,035 (N)
Các bài toán vận dụng cao:
Câu 10: Cho cơ hệ như hình bên. Biết M = 1,8kg, lò xo
nhẹ độ cứng k = 100N/m. Một vật khối lượng m = 200g
chuyển động với tốc độ v0 = 5m/s đến va vào M (ban đầu
đứng yên) theo trục của lò xo. Hệ số ma sát trượt giữa M
Trang - 16

M

m


và mặt phẳng ngang là μ = 0,2. Coi va chạm hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm. Tốc độ
cực đại của M sau khi lò xo bị nén cực đại là
A. 1 m/s
B. 0,8862 m/s
C. 0.4994 m/s
D. 0, 4212 m/s
Câu 11: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang, lò xo có độ cứng
10(N/m), vật nặng có khối lượng m = 100(g). Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt
phẳng ngang là μ= 0,2. Lấy g = 10(m/s2); Ban đầu vật nặng được thả nhẹ tại vị trí lò
xo dãn 6 (cm). Tốc độ trung bình của vật nặng trong thời gian kể từ thời điểm thả
đến thời điểm vật qua vị trí lò xo không bị biến dạng lần đầu tiên là
A. 22,93(cm/s)
B. 25,48(cm/s)
C. 38,22(cm/s)

D.
28,66(cm/s)
Câu 12: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m, 1
đầu cố định, 1 đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5kg. Ban đầu kéo vật theo
phương thẳng đứng khỏi VTCB 5cm rồi buông nhẹ cho dao động. Trong quá trình
dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng 1/100 trọng lực tác
dụng lên vật. Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g=10 m/s2. Số lần
vât qua VTCB kể từ khi thả vật đến khi nó dừng hẳn là
A. 25
B. 50
C. 75
D. 100
Câu 13: Một con ℓắc ℓò xo thực hiện dao động tắt dần với biên độ ban đầu ℓà 5 cm.
Sau 4 chu kỳ biên độ của dao động chỉ còn ℓại 4cm. Biết T = 0,1s, k = 100 N/m.
Hãy xác định công suất để duy trì dao động trên.
A. 0,25W
B. 0,125W
C. 0,01125W
D. 0,1125W
Câu 14: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 40N/m và quả
cầu nhỏ A có khối lượng 100g đang đứng yên, lò xo không biến dạng. Dùng quả
cầu B giống hệt quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lò xo với vận tốc có độ
lớn 1m/s; va chạm giữa hai quả cầu là đàn hồi xuyên tâm. Hệ số ma sát giữa A và
mặt phẳng đỡ là µ = 0,1; lấy g = 10m/s 2. Sau va chạm thì quả cầu A có biên độ lớn
nhất là
A. 5cm
B. 4,756cm.
C. 4,525 cm.
D. 3,759 cm
Câu 15: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật có khối lượng m=100(g)

gắn vào một lò xo có độ cứng k=10(N/m). Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1. Đưa
vật đến vị trí lò xo bị nén một đoạn rồi thả ra. Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất
tại O và vmax=60(cm/s). Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là
A.28,5 cm.
B. 24,5 cm.
C.21 cm.
D.28 cm.
Câu 16: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nhỏ khối lượng 200 gam, lò xo có
độ cứng 10 N/m, hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1. Ban đầu vật
được giữ ở vị trí lò xo giãn 10 cm, rồi thả nhẹ để con lắc dao động tắt dần, lấy g =
10m/s2. Trong khoảng thời gian kể từ lúc thả cho đến khi tốc độ của vật bắt đầu
giảm thì độ giảm thế năng của con lắc là
A. 2 mJ.
B. 20 mJ.
C. 50 mJ.
D. 48
mJ.
Câu 17: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng m = 100(g)
và lò xo nhẹ có độ cứng k = 100(N/m). Nâng vật nặng lên theo phương thẳng đứng
đến vị trí lò xo không bị biến dạng, rồi truyền cho nó vận tốc 10 30 (cm/s) thẳng
đứng hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật nặng. Chọn trục
tọa độ Ox thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ O ở vị trí cân bằng.
Lấy g = 10(m/s2); π 2 ≈ 10 .
Trang - 17


Nếu lực cản của môi trường tác dụng lên vật nặng có độ lớn không đổi và bằng
FC=0,1(N). Hãy tìm tốc độ lớn nhất của vật sau khi truyền vận tốc?
A. 0,586 (m/s).
B. 0, 842 (m/s). C. 0,762 (m/s).

D. 0,946 (m/s).
Câu 18: Hai vật nhỏ A và B có khối lượng lần lượt là
B
A C
m1 = 900g và m2 = 4kg đặt trên mặt phẳng nằm ngang,
được nối với nhau bằng lo xo nhẹ có độ cứng là k =
•
•
15N/m. Vật B dựa vào bức tường thẳng đứng. Hệ số ma
•
A
A1
O
sát giữa A, B và mặt phẳng ngang là 0,1. Coi hệ số ma
0
sát nghỉ cực đại bằng hệ số ma sát trượt. Ban đầu hai vật
nằm yên và lò xo không biến dạng. Một vật nhỏ C có khối lượng m = 100g từ phía
ngoài bay dọc theo trục của lò xo với vận tốc v đến va chạm mềm với vật A. Bỏ qua
thời gian va chạm. Lấy g = 10m/s 2. Giá trị nhỏ nhất của v để vật B có thể rời tường
và dịch chuyển là
A. 17,9 (m/s)
B. 17,9 (cm/s)
C. 1,79 (cm/s)
D. 1,79 (m/s)
Câu 19: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ khối lượng 100g và lò xo nhẹ có độ
cứng 0,01N/cm. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo dãn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao
động. Trong quá trình dao động lực cản tác dụng lên vật có độ lớn không đổi 10-3 N.
Lấy π2 = 10. Sau 21,4s dao động, tốc độ lớn nhất của vật chỉ có thể là
A. 58π (mm/s)
B. 57π (mm/s)

C. 56π (mm/s)
D. 54π (mm/s)
Câu 20: Một con lắc lò xo độ cứng k = 40N/m, vật nặng khối lượng m = 400g (vật
nặng treo phía dưới lò xo) đặt trên mặt phẳng nghiêng góc α = 300 so với phương
ngang, hệ số ma sát nghỉ bằng hệ số ma sát trượt và bằng 0,1. Đưa vật nặng đến vị
trí lò xo dãn 18cm rồi thả nhẹ, lấy g = 10m/s2. Tổng quãng đường vật nặng đi được
cho đến lúc dừng lại là
A. 162 cm
B. 97 cm
C. 187 cm
D.
80
cm
Câu 21: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,1 kg và lò xo có độ cứng 10
N/m. Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo. Hệ số ma
sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,15. Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 7 cm
rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần. Lấy g = 10 m/s 2. Khi vật dừng lại thì lò
xo
A. bị nén 1,5 cm.
B. bị dãn 1,5 cm.
C. bị nén 1 cm.
D. bị dãn 1 cm.
Câu 22: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào lò xo có độ cứng k = 80N/m.
Một đầu lò xo được giữ cố định. Kéo m khỏi VTCB một đoạn 10cm dọc theo trục
của lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt nằm ngang
là µ = 0,1. Lấy g = 10m/s2. Tìm thời gian dao động của vật đến khi vật dừng lại?
A. 31,4 (s)
B. 2,18 (s)
C. 3,14 (s)
D. 4,64 (s)

----------------------------------------HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Câu 1: Hướng dẫn Đáp án: A
Độ giảm biên độ sau mỗi lần vật đi qua vị trí cân bằng là sau mỗi nửa chu kì. Ta
1
2

có: ∆ A = 2x0 =

2µ mg 2.0,01.0,1.10
=
= 2.10−4 m = 0,2mm
k
100

Câu 2: Hướng dẫn: Đáp án: D
Trang - 18


4µmg 4.0,2.0,1.10
=
= 8.10−3 m = 0,8cm
k
100
Vậy biên độ sau 4 chu kì là: A 4 = A 0 − 4.∆A = 10 − 4.0,8 = 6,8cm

Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A = 4x0 =

Câu 3: Hướng dẫn: Đáp án: A
∆W

∆A

Phần trăm cơ năng bị mất sau mỗi chu kì là: W = 2 A = 2.5% = 10%
0
Câu 4: Hướng dẫn: Đáp án: C
4µmg 4.0,1.0,1.10
=
= 4.10−3 m = 0,4cm
k
100
A
10
= 25
Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng lại : N = 0 =
∆A 0,4

Độ giảm biên độ sau một chu kì : ∆A =

Câu 5: Hướng dẫn: Đáp án: C
m
0,2
= 2.3,14
= 0,89s
k
10
4µmg 4.0,1.0,2.10
=
= 0,02m = 2cm
Độ giảm biên độ sau một chu kì : ∆A =
k

40
A
10
Số dao động vật thực hiện được đến khi dừng lại : N = 0 = = 5
∆A 2

Chu kì dao động : T = 2π

thời gian vật thực hiện dao động: t = NT = 5.0,89 = 4,45s.
Câu 6: Hướng dẫn: Đáp án: A

µmg 0,5.0,1.10
=
= 0,02m = 2cm
k
25
Tọa độ dừng của vật là x = A 0 − n.2x 0 , điều kiện vật dừng lại là − x 0 ≤ x ≤ x 0 hay
− x 0 ≤ A 0 − n.2x 0 ≤ x 0 . Thay số ta có −2 ≤ 9 − n.2.2 ≤ 2 ⇒ 1, 75 ≤ n ≤ 2, 75 , lấy n = 2. Thay
vào biểu thức x = A 0 − n.2x 0 ta có tọa độ vật dừng x = 9 − 2.2.2 = 1cm .

Ta có vị trí mà Fđh = Fms là : x0 =

(

k A 20 − x2
1 2 1 2
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : kA 0 = kx + µmg.Smax ⇒ Smax =
2
2
2µmg

Thay số: Smax =

(

k A 20 − x2
2µmg

)

) = 25( 0,09 − 0,01 ) = 0,2m = 20cm
2

2

2.0,5.0,1.10

Câu 7. Hướng dẫn: Đáp án: C
Chọn trục tọa độ Ox trùng với trục của lò xo, gốc tọa độ O (cũng là gốc thế năng)
tại vị trí lò xo không biến dạng, chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của con
lắc. Độ lớn của lực đàn hồi của lò xo đạt giá trị cực đại trong

1
chu kì đầu tiên, khi
4

đó vật ở vị trí biên. Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:
Wđ0 = Wtmax + |Ams| hay

1

1
k 2
mv 02 = kA 2max + µmgAmax  Amax
+ 2µgAmax - v 02 = 0.
2
2
m

Thay số: 100A 2max + 0,2Amax – 1 = 0  Amax = 0,099 m  Fmax = kAmax = 1,98 N.
Câu 8: Hướng dẫn: Đáp án: A
r
r
r
Vật có tốc độ cực đại khi gia tốc bằng 0; tức là lúc Fhl = Fdh + Fms = 0 lần đầu tiên tại N
ON = x ⇒ kx = µmg ⇒ x = µmg/k = 0,02m = 2cm
Khi đó vật đã đi được quãng đường S = MN = 6 – 2 = 4cm = 0,04m
Trang - 19


Tại t = 0 x0 = 6cm = 0,06m, v0= 20 cm/s = 0,2m/s
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có:

mv 2max kx 2 mv02 kx 02
+
=
+μmgS−
2
2
2
2

(Công của Fms

mv 2max mv 02 kx 02 kx 2
=
+μmgS−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
⇒ 0,1v max = 0,1(0, 2 14) + 20.0, 06 − 20.0, 02 − 0, 4.0,1.10.0, 04 = 0,044
2
2
2
2
2
⇒ v max = 0,88 ⇒ vmax = 0,88 = 0,04 22 = 20 22 cm/s.

= µmgS):

Câu 9: Hướng dẫn: Đáp án: A
T = 2π

m
0.1

= 2π
= 0, 2 s
k
100

4µ mg 4 F
=
(1)
k
k
A
T . A.k 0, 2.0,1.100
=
= 0, 025 N
và t = TN = T
(2); Từ (1) và (2)⇒ F =
∆A
4t
4.20

Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ: ∆A = 2∆A ' =

Câu 10: Hướng dẫn giải: Đáp án: C
+ Chọn gốc tọa độ là vị trí lò xo bị nén cực đại, chiều
dương sang phải
r
r
r
+ ĐL bảo toàn động lượng: mv 0 = mv1 + Mv 2
⇒ mv0 = mv1 + Mv 2 (1)

2

+ Động năng bảo toàn:
+ Từ (1), (2) ⇒ v2 =

mv 0
2

2mv 0
m+M

2

=

mv1
2

M

m

2

+

Mv 2

(2)

2

= 1 m/s

Mv 2 k ( ∆l max )
+ ĐL bảo toàn năng lượng: 2 =
+ µMg∆l max ⇒ ∆l max = 0,103(m)
2
2
µMg
= 0,036(m)
+ Tốc độ của M đạt cực đại tại vị trí có: Fms = Fđh ⇒ µMg = kx ⇒ x =
k
2
2
k ( ∆l max )
Mv max
kx 2
+ ĐL bảo toàn năng lượng:
= µMg (∆l max − x ) +
+ 2 ⇒ v max ≈ 0,4994m / s
2
2
2
2

Câu 11: Hướng dẫn: Đáp án: D
Chọn Ox ≡ trục lò xo, O ≡ vị trí của vật khi lò xo không biến dạng, chiều dương là
chiều dãn của lò xo.
-Khi vật chuyển động theo chiều âm: − kx + µ mg = ma = mx"

µ mg 
µ mg 


−k  x −
÷= m  x −
÷" ;
k 
k 



µ mg
k
= 0,02 m = 2 cm; ω =
= 10 rad/s
k
m

x - 2 = acos(ωt + φ) ⇒ v = -asin(ωt + φ)
Lúc t0 = 0 → x0 = 6 cm ⇒ 4 = acos φ
v0 = 0
⇒ 0 = -10asin φ ⇒ φ = 0; a = 4 cm ⇒ x - 2 = 4cos10t
(cm)
Khi lò xo không biến dạng → x = 0 ⇒ cos10t = -1/2 = cos2π/3 ⇒ t = π/15 s
6

90

vtb = π / 15 = 3,14 ≈ 28,66 cm/s

Câu 12: Hướng dẫn: Đáp án: B
Trang - 20


Gọi ∆A là độ giảm biên độ mỗi lần vật qua VTCB:
⇒ ∆A = A – A’ =

2.0, 01mg 0, 02.0,5.10
=
= 10−3 m = 1mm
k
100

Vậy số lần vật qua O là N = A/∆A = 50.
Câu 13: Hướng dẫn: Đáp án: D
kA12
Ta có: Năng ℓượng ban đầu của con ℓắc ℓò xo ℓà: Wbd = 2 = = 0,125J
kA22
Năng ℓượng còn ℓại sau 4 chu kỳ ℓà: WcL = 2 = = 0,08J

Năng ℓượng đã mất đi sau 4 chu kỳ ℓà: ∆W = Wbd - WcL = 0,125 - 0,08 = 0,045J.
Năng ℓượng cần duy trì dao động sau mỗi chu kỳ ℓà: ∆W1 = = 0,01125 J
Công suất để duy trì dao động: P = ∆W1. = 0,1125 (W)
Câu 14: Hướng dẫn: Đáp án: B
Theo ĐL bảo toàn động lượng vận tốc của quả cầu A sau va chạm v = 1m/s.
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có:

kA 2
mv 2
kA2

mv 2
+ AFms =
⇒
+ µmgA =
2
2
2
2

⇒20A2 + 0,1A – 0,05 = 0 ⇒ 200A2 + A – 0,5 = 0
⇒A =

401 − 1
= 0,04756 m = 4,756 cm.
400

Câu 15: Hướng dẫn: Đáp án: B
•
•
• •
M
O
O’ N
Giả sử lò xo bị nén vật ở M
O’ là VTCB: A0 =O’M
Sau khi thả ra vật Vật đạt vận tốc cực đại lần thứ nhất tại O khi đó: F đh = Fms
⇒OO’ = x ⇒ kx = µmg ⇒ x = µmg /k = 0,01m = 1 cm
Xác định A0 = O’M:

kA02

mv 2
kx 2
= max +
+ µmg (A0 – x) ⇒A0 = 7 cm
2
2
2

Độ giảm biên độ sau mỗi lần qua VTCB:
k ( A02 − A' 2 )
= AFms = µmg (A0 + A’) => ∆A = A0 – A’ = 2 µmg /k = 2cm. Do đó vật
2

sẽ dừng lại ở điểm N sau 3 lần qua VTCB với ON = x = 1cm, tại N Fđh = Fms
Tổng quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại; s = 7 + 5x2 + 3x2 + 1 = 24 cm.
Câu 16: Hướng dẫn: Đáp án: D
Vật đạt vận tốc cực đại khi Fđh = Fms => kx = µmg => x = µmg /k = 2 (cm)
Do dó độ giảm thế năng là : ∆Wt =

k 2
( A − x 2 ) = 0,048 J = 48 mJ.
2

Câu 17: Hướng dẫn: Đáp án: A
Chọn mốc tính thế năng là VTCB: cơ năng ban đầu W0 =

mv02 kx02
+
= 0, 02( J )
2

2

+ Vật chuyển động chậm dần đến vị trí cao nhất cách VTCB A:
kA12
= W0 − Fc ( A1 − x0 ) ⇒ A1 = 0, 0195m
2

+ Sau đó vât đi xuống nhanh dần và đạt tốc độ cực đại tại vị trí:
⇒ x1 =

FC
= 0, 001(m)
K

+ Độ biến thiên cơ năng lúc đầu và vị trí tốc độ cực đại:
Trang - 21

F hp=Fc


W0 −

mv 2 kx12
−
= Fc ( A1 − x0 + A1 − x1 ) ⇒ v = 0,586(m / s )
2
2

Câu 18: Hướng dẫn: Đáp án: A
Điều kiện để vật B có thể rời tường và dịch chuyển là

kA1 ≥ µm2g --> A1 ≥

B

AC

4
µm2 g
=
(m)
15
k

•
A0

Độ giảm biên độ mỗi khi vật (A+C) qua VTCB:
∆A =

2
2 µ (m1 + m) g
=
(m).
15
k

Do đó biên độ A0 sau khi vật C va chạm với vật A: A0 = A1 + ∆A =

•
A1

•
O

6
(m).
15

Gọi v0 là tốc độ của vật (A+C) sau va chạm: (m1 + m)v0 = mv --> v = 10v0
48
kA02
(m + m)v02
+ µ(m1+m) g = 1
--> v02 =
(m2/s2) --> v0 = 1,79 m/s
15
2
2

Do đó giá trị nhỏ nhất của v để vật B có thể rời tường và dịch chuyển là v = 1,79
m/s.
Câu 19: Hướng dẫn: Đáp án: B
Chu kì dao động: T = 2π

m
0,1
= 2π
= 2 (s). k = 0,01N/cm = 1N/m
k
1

Độ giảm biên độ sau mỗi lần qua VTCB (sau mỗi nửa chu kì) ∆A = A0 – A’ được
tính theo công thức: ∆A = 2FC/k 2.10-3m = 2mm.
•
A

•
M

•

•

Sau 21s = 10,5T biên độ của vật còn
O
A0
A = A0 – 21.∆A = 5,8 cm.
Ở thời điểm t = 21,4 s vật ở M chưa qua VTCB (vì khoảng thời gian 0,4s = T/5 <
T/4).
Sau 21,4s dao động, tốc độ lớn nhất của vật chỉ có thể được tính theo công thức:
mv 2
kA 2
=
- FCA --> 0,05v2 = 0,5, 0,0582 - 0,058.10-3 = 16,24.10-4
2
2

v = 0,18022 m/s ≈ 57π mm/s
Câu 20: Hướng dẫn: Đáp án: B
BC = l0 là chiều dài tự nhiên của lò xo

O là VTCB; M là vị trí ban đầu của vật
CM = ∆l = 18 cm
Chọn mốc thế năng trọng trường tại vị trí
thấp nhất M
Cơ năng ban đầu của hệ con lắc: W0 =

k (∆l )
2

•

B
•

C
•

O
M

2

= 0,648J
Khi vật ở VTCB, vật chịu tác dụngcủa 4 lực: Fhl =
P + N + Fđh + Fmsn = 0
Chiếu lên phương của mặt phẳng nghiêng: Psin α =
Mg sin α = k∆l0 + µmgcosα
mg (sin α − µ cos α )
∆l0 = CO =
k

α

Fđh + Fmsn
Fđh

N

Fmsn
Trang - 22
P

•


∆l0 =

0,4.10.(0,5 −

0,1 3
)
= 0,04134 m = 4,1 cm
2

40

=> OM = ∆l - ∆l0 = 13,9cm
Vật dùng lại ở VTCB, khi đó năng lượng của hệ con lắc lò xo
W=

k (∆l 0 ) 2
+ mg(∆l - ∆l0 )sinα = 0,312J
2

Công của lực ma sát trong quá trình vật CĐ: Ams = W0 – W = 0,336J
0,336
Ams
Ams = Fms.S = S.µmgcosα --> S =
=
3 = 0,969 m = 97 cm.
µmg cos α 0,1.0,4.10.
2

Câu 21: Hướng dẫn giải: Đáp án D
- Gọi O là vị trí cân bằng lúc đầu của vật;
O1, O2 là các tâm dao động mới (khi có lực
ma sát tác dụng).
- Độ giảm biên độ trong một nữa chu kì dao động:

FC
µ mg
0 ,15.0 ,1.10
=2
=2
= 0, 03m = 3cm.
k
k
10
 A  7 
- Số lần vật qua vị trí cân bằng O: N = 

 =   = 2 ⇒ khi đó lò xo bị nén (vì lúc
 ∆A1/ 2   3 
∆A1/ 2 = O1O2 = 2 xI = 2

đầu đã bị nén).
- Do từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng lại vật qua vị trí cân bằng 2 lần và độ
giảm biên độ trong 1/4 chu kì là ∆A1/ 4 = OO1 = 1,5cm (hình vẽ) nên khi dừng lại vật
cách vị trí C cân bằng O một khoảng CO = 2,5 cm – 1,5 cm = 1 cm.
Câu 22. Hướng dẫn giải: Đáp án C
+ Cơ năng bị triệt tiêu bởi công của lực ma sát:
k . A2
80.0,12
1 2
s
=
=
= 2m
kA = Fms .s = µ.mg .s
2 µ.mg 2.0,1.0, 2.10
⇒
2
+ Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là: ∆A = 0, 01m = 1cm

Số chu kì thực hiện:

n=

A
= 10
∆A

chu kì. Vậy thời gian dao động là: t = n.T = 3,14 (s).

Trang - 23


PHẦN III: KẾT LUẬN
Bài tập về dao động trong đó có ma sát làm biên độ, cơ năng giảm dần đối
với học sinh là khó. Nếu học sinh nắm được kiến thức, phương pháp giải ở trên sẽ
có cách giải phù hợp cho từng dạng bài tập về dao động tắt dần. Phương pháp giải
các bài tập về dao động tắt dần của con lắc lò xo giống con lắc đơn, chỉ có sự khác
nhau giữa hai con lắc này.
Phương pháp giải bài tập trên đã được sử dụng dạy học sinh ôn thi đại học và
bồi dưỡng học sinh lớp 12 trường THPT Đội cấn trong nhiều năm. Kết quả đạt được
là phần đông học sinh được học đã làm tốt các bài tập dao động tắt dần, đã làm tốt
các bài tập cùng dạng, không bỡ ngỡ khi gặp bài tập lạ; biết cách phân loại, nhận
dạng bài tập nhanh hơn phù hợp với việc làm bài thi trắc nghiệm, góp phần nâng
cao kết quả thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi.
Do thời gian, trình độ của tác giả bài viết không tranh khỏi những hạn chế
thiếu sót, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo,
các em học sinh để bài viết được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
-----------------------------------------------------------

Trang - 24