Bài tập Cấp số nhân và Giới hạn dãy số (có lời giải) - Đề cương Toán 11 HK2 THPT Trần Văn Giàu

GIẢI ĐỀ CƯƠNG TOÁN
Lớp 11 - Học kỳ II - Năm học 2018 - 2019
Trường THPT Trần Văn Giàu (TPHCM)
WiKi Way
Ngày 20 tháng 1 năm 2019

CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở
đi, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un ) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi
un+1 = un .q, ∀n ∈ N∗ .
2. Số hạng tổng quát của một CSN: un = u1 .q n−1 , ∀n ≥ 2.
3. Tính chất các số hạng của CSN: u2k = uk−1 .uk+1 , ∀k ≥ 2.
4. Tổng n số hạng đầu của một CSN:
Sn = u1 + u2 + . . . + un . Khi đó: Sn =

u1 (1 − q n )
, q = 1.
1−q

B. BÀI TẬP
Bài 1. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau
a)

u4 + u2 = 60
u5 + u3 = 180

b)

u7 − u1 = 728
u1 + u3 + u5 = 91

c)

u7 + u1 = 1460
u1 + u3 = 20

d)

u7 + u1 = 325
u1 − u3 + u5 = 65

Lời giải: Thay các uk bởi uk = u1 .q k−1 , ∀k ≥ 2 ta được hệ hai phương trình hai ẩn
u1 , q. Giải hệ này ta tìm được u1 , q.
1


Giải đề cương

a)

Toán 11 học kỳ 2
u4 + u2 = 60
u5 + u3 = 180

Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 3 u1 + qu1 = 60
⇔

q 4 u1 + q 2 u1 = 180

(q 2 + 1)qu1 = 60 (1)
(q 2 + 1)q 2 u1 = 180 (2)

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được
q=3
Thay q = 3 vào (1) ta được
(32 + 1).3u1 = 60 ⇔ u1 = 2
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.
b)

u7 − u1 = 728
u1 + u3 + u5 = 91
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 6 u1 − u1 = 728
⇔
u1 + q 2 u1 + q 4 u1 = 91

(q 6 − 1)u1 = 728 (1)
(1 + q 2 + q 4 )u1 = 91 (2)

Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được
(q 2 − 1)(q 4 + q 2 + 1)
= 8 ⇔ q 2 − 1 = 8 ⇔ q = ±3
2
4
1+q +q
Thay q = ±3 vào (1) ta được
(36 − 1).u1 = 728 ⇔ u1 = 1

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = ±3.
c)

u7 + u1 = 1460
u1 + u3 = 20
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 6 u1 + u1 = 1460
⇔
u1 + q 2 u1 = 20

(q 6 + 1)u1 = 1460 (1)
(1 + q 2 )u1 = 20 (2)

Lấy (1) chia cho (2) vế theo vế ta được
(q 2 + 1)(q 4 − q 2 + 1)
= 73 ⇔ q 4 − q 2 + 1 = 73
2
1+q
⇔ q 2 = 9 hay q 2 = −8 (loại) ⇔ q = ±3
Thay q = ±3 vào (1) ta được
(36 + 1).u1 = 1460 ⇔ u1 = 2
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = ±3.
WiKi Way

2


Giải đề cương

d)

Toán 11 học kỳ 2
u7 + u1 = 325
u1 − u3 + u5 = 65

Tương tự câu b), ta được q = ±2, u1 = 5.
Bài 2. Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau
a)

u5 = 96
u9 = 192

b)

u3 + u5 = 90
u2 − u6 = 240

c)

u20 = 8u17
u3 + u5 = 272

d)

6u2 + u5 = 1
3u3 + 2u4 = −1

Lời giải
a)

u5 = 96
u9 = 192
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 4 u1 = 96 (1)
q 8 u1 = 192 (2)
Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được
√
4
q4 = 2 ⇔ q = ± 2
√
4
Thay q = ± 2 vào (1) ta được
2u1 = 96 ⇔ u1 = 48
√
4
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 48 và công bội q = ± 2.

b)

u3 + u5 = 90
u2 − u6 = 240
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 2 u1 + q 4 u1 = 90 (1)
⇔
qu1 − q 5 u1 = 240 (2)

(1 + q 2 )q 2 u1 = 90 (1)
(1 − q 4 )qu1 = 240 (2)

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được

(1 + q 2 )(1 − q 2 )
8
1
= ⇔ 3(1 − q 2 ) = 8q ⇔ 3q 2 + 8q − 3 = 0 ⇔ q = hay q = −3
2
(1 + q )q
3
3
Thay q =

1
vào (1) ta được
3
1+

WiKi Way

1
9

1
. .u1 = 90 ⇔ u1 = 729
9
3


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

Thay q = −3 vào (1) ta được
(1 + 9) .9.u1 = 90 ⇔ u1 = 1
1
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 729 và công bội q = ; hoặc cấp số nhân có
3
số hạng đầu u1 = 1 và công bội q = −3.
c)

u20 = 8u17
u3 + u5 = 272
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
q 19 u1 − 8q 16 u1 = 0 (1)
⇔
q 2 u1 + q 4 u1 = 272 (2)

(q 3 − 8)q 16 u1 = 0 (1)
(1 + q 2 )q 2 u1 = 272 (2)

Do q = 0, u1 = 0 nên
(1) ⇔ q 3 − 8 = 0 ⇔ q = 2
Thay q = 2 vào (2) ta được
(1 + 22 ).22 .u1 = 272 ⇔ u1 =
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u1 =
d)

68
5

68
và công bội q = 2.

5

6u2 + u5 = 1
3u3 + 2u4 = −1
Gọi công bội là q. Theo đề bài ta có
6qu1 + q 4 u1 = 1
⇔
3q 2 u1 + 2q 3 u1 = −1

(6 + q 3 )qu1 = 1 (1)
(3 + 2q)q 2 u1 = −1 (2)

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được
(3 + 2q)q
= −1 ⇔ 6 + q 3 = −2q 2 − 3q ⇔ q 3 + 2q 2 + 3q + 6 = 0 ⇔ q = −2
6 + q3
Thay q = −2 vào (1) ta được
(6 − 8).(−2).u1 = 1 ⇔ u1 =

1
4

1
và công bội q = −2.
4
1
Bài 3. Tìm 5 số lập thành một cấp số nhân. Biết công bội bằng số hạng đầu tiên và tổng 2
4
số hạng đầu bằng 24.
Lời giải

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu

Gọi 5 số cần tìm là u1 , u2 , . . . , u5 và công bội của cấp số nhân là q. Ta có




1
1

 q = 1 u1

q = u1
q = u1
4
⇔
⇔
4
4
1
 u1 + u2 = 24

 u1 = 8 hay u1 = −12
 u1 + u1 .u1 = 24
4
WiKi Way

4

Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

⇔

⇒

q=2
u1 = 8

hay

q = −3
u1 = −12

u1 = 8, u2 = 16, u3 = 32, u4 = 64, u5 = 128
u1 = −12, u2 = 36, u3 = −108, u4 = 324, u5 = −972

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2. Tìm 4 góc
ấy.
Lời giải
Không mất tính tổng quát ta giả sử A = u1 , B = u2 , C = u3 , D = u4 , với (un ) là cấp
số nhân có công bội bằng 2. Khi đó
B = u2 = 2u1 = 2A,
C = u3 = 22 u1 = 4A,
D = u4 = 23 u1 = 8A.
Do ABCD là tứ giác nên

A + B + C + D = 360 (độ) ⇔ A + 2A + 4A + 8A = 360 ⇔ 15A = 360 ⇔ A = 24 (độ)

Suy ra B = 48o , C = 96o , D = 192o . Vậy 4 góc cần tìm lần lượt là 24o , 48o , 96o , 192o .
Bài 5. Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9, số hạng cuối là 2187, công bội q = 3. Hỏi cấp số
nhân ấy có mấy số hạng?
Lời giải
Giả sử cấp số nhân có n số hạng u1 , u2 , . . . , un . Theo giả thiết ta có u1 = 9, un = 2187.
Hơn nữa
un = q n−1 u1 ⇔ 2187 = 3n−1 .9 ⇔ 3n−1 = 243 = 35 ⇔ n − 1 = 5 ⇔ n = 6.
Vậy cấp số nhân có 6 số hạng.
Bài 6. Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là
728.
Lời giải
Do tổng các số hạng của cấp số nhân là 728 nên cấp số nhân có hữu hạn số hạng. Ta
giả sử cấp số nhân có n số hạng là u1 , u2 , . . . , un . Ta có

 3n−1 u1 = 486
un = 486
3n u1 = 486.3 = 1458
n
⇔
⇔
u (1 − 3 )
Sn = 728
u1 − 3n u1 = −1456
 1
= 728
1−3
⇔

3n u1 = 1458
⇔

u1 − 1458 = −1456

3n .2 = 1458
⇔
u1 = 2

n=6
u1 = 2

Vậy cấp số nhân cần tìm là u1 = 2, u2 = 6, u3 = 18, u4 = 54, u5 = 162, u6 = 486.
WiKi Way

5


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

Bài 7. Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của
5 số hạng sau bằng 62.
Lời giải
Giả sử cấp số nhân cần tìm gồm 6 số hạng u1 , u2 , . . . , u6 và có công bội là q. Theo giả
thiết,
u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31
⇔
u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62

u1 + qu1 + q 2 u1 + q 3 u1 + q 4 u1 = 31
qu1 + q 2 u1 + q 3 u1 + q 4 u1 + q 5 u1 = 62

(1 + q + q 2 + q 3 + q 4 )u1 = 31 (1)
(1 + q + q 2 + q 3 + q 4 )qu1 = 62 (2)

⇔

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được q = 2. Thay q = 2 vào (1) ta được
(1 + 2 + 22 + 23 + 24 ).u1 = 31 ⇔ u1 = 1.
Vậy cấp nhân cần tìm là u1 = 1, u2 = 2, u3 = 4, u4 = 8, u5 = 16, u6 = 32.
Bài 8. Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng
27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72.
Lời giải
Giả sử cấp số nhân cần tìm gồm 4 số hạng u1 , u2 , u3 , u4 và có công bội là q. Theo giả
thiết,
u1 + u4 = 27
⇔
u2 u3 = 72
⇔

q 3 u1 = 27 − u1
⇔
q 3 u21 = 72

q 3 u1 = 27 − u1
⇔
(27 − u1 )u1 = 72

q 3 u1 = 27 − u1
u21 − 27u1 + 72 = 0



1
q u1 = 27 − u1
u1 = 24, q =

⇔
2
u1 = 24 hay u1 = 3
u1 = 3, q = 2
3

⇔

u1 + q 3 u1 = 27
qu1 .q 2 u1 = 72

Vậy cấp nhân cần tìm là 24, 12, 6, 3 hoặc 3, 6, 12, 24.
Bài 9. Cho 3 số x, y, z theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân, đồng thời chúng là số hạng đầu,
số hạng thứ 3 và thứ 9 của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số đó, biết tổng của chúng bằng 13.
Lời giải
Giả sử cấp số nhân x, y, z có công bội là q và cấp số cộng đã cho có công sai là d. Khi
đó
y = qx, z = q 2 x;
y = x + (3 − 1)d = x + 2d, z = x + (9 − 1)d = x + 8d.
Suy ra
qx = x + 2d
⇔
q 2 x = x + 8d
WiKi Way

(q − 1)x = 2d (1)
(q 2 − 1)x = 8d (2)
6


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được
q2 − 1
= 4 ⇔ q + 1 = 4 ⇔ q = 3.
q−1
Lại có
x + y + z = 13 ⇔ x + qx + q 2 x = 13 ⇔ 13x = 13 ⇔ x = 1
⇒ y = 3, z = 9
Vậy 3 số cần tìm là 1, 3, 9.
Bài 10. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ 2 bằng
3 và số hạng thứ 4 bằng 6. Hãy tìm các số hạng còn lại của cấp số nhân đó.
Lời giải
Giả sử cấp số nhân có 5 số hạng là u1 , u2 , u3 , u4 , u5 và công bội q > 0. Ta có
u2 = 3
⇔
u4 = 6

qu1 = 3 (1)
q 3 u1 = 6 (2)

√

√
Lấy (2) chia cho (1) vế theo vế ta được q 2 = 2, do đó q = 2 (vì q > 0). Với q = 2,
√
√
3
thay vào (1) ta suy ra u1 = √ . Khi đó u3 = qu2 = 3 2, u5 = qu4 = 6 2.
2

GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Các giới hạn đặc biệt
1
1
• lim = 0; lim k = 0(k ∈ N∗ )
n
n
• lim nk = +∞, k ∈ N
• lim q n = 0(|q| < 1), lim q n = +∞(q > 1)
• Nếu un = c thì lim un = lim c = c.
2. Tính chất
• Nếu lim un = u; lim vn = v với u, v hữu hạn, thì
+ lim(un ± vn ) = u ± v
+ lim(un vn ) = uv
un
u
+ lim
= ,v = 0
vn
v
√

√
+ Nếu un ≥ 0∀n ∈ N thì u ≥ 0 và lim un = u
• Giới hạn vô hạn
un
+ Nếu lim un = a; lim vn = ±∞ thì lim
=0
vn

un
= +∞
vn
+ Nếu lim un = +∞; lim vn = a > 0 thì lim un vn = +∞
+ Nếu lim un = a > 0; lim vn = 0; vn > 0∀n thì lim

WiKi Way

7


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

∞
: Chia tử và mẫu cho số hạng chứa mũ cao nhất của tử và mẫu, sử dụng công
∞
1
thức lim k = 0, với k ∈ N∗
n
4. Dạng ∞ − ∞

∞
• Biến đổi về dạng
∞
• Nếu hàm số chứa căn thì nhân với biểu thức liên hợp. Lưu ý một số công thức
3. Dạng

A±B =

A2 − B 2
;
A∓B

A±B =

A3 ± B 3
A2 ∓ AB + B 2

B. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)

lim(n2 − n + 1)
lim(−n2 + n + 1)
√
lim 2n2 − 3n − 8
√
3
lim 1 + 2n − n3
lim(2n + cos n)
1 2
n − 3 sin 2n + 5
lim
2
lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6)
√
lim 3n4 + 5n3 − 6n + 1
√
lim 3.4n − 2n + 1
√
3
lim n3 + n2 + n + 1

Lời giải: Đặt nhân tử chung là số mũ cao nhất, sau đó áp dụng các tính chất trong
phần A.2 và cách tính các giới hạn đặc biệt trong phần A.1.
1
1
1
1
a) lim(n2 − n + 1) = lim n2 1 − + 2 = lim n2 . lim 1 − lim + lim 2 = +∞
n n
n

n
1
1
(vì lim n2 = +∞; lim 1 = 1; lim = lim 2 = 0)
n
n
1
1
b) lim(−n2 + n + 1) = lim n2 −1 + + 2 = −∞ (vì lim n2 = +∞ và
n n
1
1
lim −1 + + 2 = −1)
n n
√
c) lim 2n2 − 3n − 8 = lim

n2 2 −

3
8
− 2
n n

√
= lim n2 . lim

2−

3

8
− 2
n n

3
8
− 2 = +∞ (ta có |n| = n vì n là số tự nhiên dương,
n n
√
3
8
lim n = +∞, lim 2 − − 2 = 2)
n n
√
√
1
2
1
2
3
3
3
d) lim 1 + 2n − n3 = lim 3 n3
+ − 1 = lim n3 .
+ −1
3
3
n
n
n

n
√
1
2
1
2
3
3
3
= lim n. lim
+
−
1
=
−∞
(vì
lim
n
=
+∞,
lim
+
−
1
=
−1 =
n3 n
n3 n
−1)
= lim |n|. lim

WiKi Way

2−

8


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

cosn
= 0 vì tử số có giá
n
cos n
trị trong khoảng [−1, +1] và mẫu số tiến đến vô cực, do đó lim 2 +
= 2,
n
lim n = +∞)
1 2
1 3 sin 2n
sin 2n
5
lim
n − 3 sin 2n + 5 = lim n2
−
+ 2 = +∞ (lim
= 0
2

2
2
n
n
n2
vì tử số có giá trị trong khoảng [−1, +1] và mẫu số tiến đến vô cực, do đó
1
5
1 3 sin 2n
−
+ 2 = , lim n2 = +∞)
lim
2
2
n
n
2
4
5
6
lim(−3n3 + 4n2 − 5n + 6) = lim n3 −3 + − 2 + 3 = −∞ (vì lim n3 =
n n
n
5
4
6
+∞, lim = lim 2 = lim 3 = 0)
n
n
n

√
5
6
1
lim 3n4 + 5n3 − 6n + 1 = lim n4 3 + − 3 + 4
n n
n
√
6
6
5
1
5
1
= lim n4 . 3 + − 3 + 4 = lim n2 . lim 3 + − 3 + 4 = +∞
n n
n
n n
n
6
1
5
2
(vì lim n = +∞, lim = lim 3 = lim 4 = 0)
n
n
n
√
2n
1

2n
1
lim 3.4n − 2n + 1 = lim 4n . 3 − n + n = lim (2n )2 . lim 3 − n + n
4
4
4
4

e) lim(2n + cos n) = lim n 2 +

f)

g)

h)

i)

= lim 2n . lim 3 − lim

cos n
n

= +∞ (ta thấy lim

2n
1
+ lim n .
n
4

4

Ta có
• lim 2n = +∞
• lim 3 = 3
n
n
2n
2n
1
= 0. Áp dụng định lý kẹp ta
• Vì 0 ≤ n ≤ n , và lim 0 = 0, lim n = lim
4
4
4
2
n
suy ra lim n = 0
4
1
• lim n = 0 do tử số tiến đến 1, mẫu số tiến đến vô cực.
4
Do đó
√
2n
1
lim 3.4n − 2n + 1 = lim 2n . lim 3 − lim n + lim n = +∞.
4
4
j) lim

√
3

n3 + n2 + n + 1 = lim
√
3

3

n3 1 +

1
1
1
+ 2+ 3
n n
n

1
1
1
1
1
1
3
+ 2 + 3 = lim n. lim 1 + + 2 + 3 = +∞
n n
n
n n

n
1
1
1
(vì lim n = +∞, lim = lim 2 = lim 3 = 0)
n
n
n
Bài 2. Tìm các giới hạn sau:
= lim

n3 .

3

1+

n3 + n + 1
a) lim
n2 + 2
3
n + 2n + 4
b) lim
n7 + 2
WiKi Way

9


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

4n2 − n + 1
6n2 − 5
2n3 + n + 2
d) lim
n2 + 4
2n + 1
e) lim 3
n + 4n2 + 3
n2 + 1
f) lim 4
2n + n + 1
2n2 − n + 3
g) lim 2
3n + 2n + 1
3n3 + 2n2 + n
h) lim
n3 + 4
∞
, áp dụng phần A.3.
Lời giải: Dạng
∞
1
1
1
1
n3 . 1 + 2 + 3
1+ 2 + 3

3
n +n+1
n
n
n
n = +∞ (vì lim 1
a) lim
=
lim
=
lim
1
2
1
2
n2 + 2
n
+ 3
n3 .
+ 3
n n
n n
1
1
2
lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)
n
n
n
1

2
4
1
2
4
+
+
n7 .
+
+
3
4
6
7
4
6
n + 2n + 4
n
n
n
n
n
n7 = 0 (vì lim 1
b) lim
=
lim
=
lim
2
2

n7 + 2
n4
1+ 7
n7 . 1 + 7
n
n
2
4
2
lim 6 = lim 7 = lim 7 = 0)
n
n
n
1
1
1
1
n2 . 4 − + 2
4
−
+
2
4n − n + 1
n n
n n2 = 4 = 2 (vì lim 1
= lim
c) lim
= lim
2
5

5
6n − 5
6
3
n
6− 2
n2 . 6 − 2
n
n
1
lim 2 = 0)
n
1
2
1
2
n3 . 2 + 2 + 3
2+ 2 + 3
3
2n + n + 2
n
n
n
n = +∞ (vì lim 1
d) lim
= lim
= lim
2
1
4

1
4
n +4
n
+ 3
n3 .
+ 3
n n
n n
1
4
2
lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)
n
n
n
2
1
2
1
n3 .
+ 3
+ 3
2
2
2n + 1
4
n
n
n

= lim n
e) lim 3
= lim
= 0 (vì lim
2
4
3
4
3
n + 4n + 3
n
1+ + 3
n3 . 1 + + 3
n n
n n
2
1
3
lim 2 = lim 3 = lim 3 = 0)
n
n
n
1
1
1
1
n4 .
+ 4
+ 4
2

2
2
n +1
1
n
n
n
f) lim 4
= lim
= lim n
= 0 (vì lim 2
1
1
1
1
2n + n + 1
n
2+ 3 + 4
n4 . 2 + 3 + 4
n
n
n
n
1
1
lim 3 = lim 4 = 0)
n
n
c) lim

WiKi Way

=

=

=

=

=

=

10


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

1
3
+ 2
2n − n + 3
n n
= lim
g) lim 2
1
2

3n + 2n + 1
n2 . 3 + + 2
n n
2
1
3
lim = lim 2 = lim 2 = 0)
n
n
n
2
1
n3 . 3 + + 2
3
2
3n + 2n + n
n n
h) lim
=
lim
1
n3 + 4
n3 . 1 + 3
n
1
1
lim 2 = lim 3 = 0)
n
n
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:

3n3 (2n + 1)6
a) lim
(2n − 1)2 (n + 1)7
(3n + 1)(n − 1)2
b) lim
n3 + 3n − 1
n3 + n − 1
c) lim
(4n + 7)(n + 2)2
n4
d) lim
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)
∞
Lời giải: (Dạng
)
∞
3n3 (2n + 1)6
= lim
a) lim
(2n − 1)2 (n + 1)7

3n3 n6 2 +
= lim
n2

b) lim

1
2−
n

1
n 3+
n
n3

c) lim

WiKi Way

2

n7

1
n

3n

3

1
n 2−
n

2−

= lim

6

1
n 2+
n
2

7

1
1+
n

1
n 3+
n

n3 + n − 1
= lim
(4n + 7)(n + 2)2

1
2−
n

2

1
n 1−
n

1
n

6

1
1+
n

7

=

3.26
= 48
22 .17

2

3
1
− 3
2
n
n
1
1
3+
1−
n

n
= lim
3
1
1+ 2 − 3
n
n
1
1
n3 1 + − 3
n n

n3 1 +

1
n 1−
n
3
1
1+ 2 − 3
n
n
2

7

1
n 1+
n
3 2+

= lim

1
2
+ 2
n n = 3 (vì lim 2 =
1
n
1+ 3
n

3+

6

(3n + 1)(n − 1)2
= lim
n3 + 3n − 1

= lim

1
3
+ 2
n n = 2 (vì lim 1 =
= lim
1
2
3

n
3+ + 2
n n

n2 . 2 −

2

2

7
n 4+
n

2
n 1+
n

2

=3

2

11


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

n3 1 +
= lim

1
1
− 3
n n

1+
2

= lim

2
7
n2 1 +
n
n
4
n
= lim
d) lim
(n + 1)(2 + n)(n2 + 1)

4+

n 4+

= lim

2
+1
n

7
n

1+

2
n

2

=

1
4

n4
n 1+

1
1
1+
n

1
1

− 3
n n

1
1+ 2
n

1
n

n

2
1
+ 1 n2 1 + 2
n
n

=1

Bài 4. Tính các giới hạn sau
√
n2 + 2n + n − 2
√
a) lim
n2 + 2
n
√
b) lim √
2

n + 2n + n2 + 1
√
3 + 3 n3 + 1
c) lim
5(3n + 1)
√
√
n2 + 2n − 2n + 2
d) lim
3n + 1
√
3
n3 − 5n + 9
e) lim
√ 3n − 2
9n2 + 1 − 2n
f) lim
6n + 2
∞
Lời giải: (Dạng
)
∞
√
a) lim

n2 + 2n + n − 2
√
= lim
n2 + 2
√

n2 1 +

2
n

+n 1−

n2 1 +

2
n

2
n2

2
2
2
2
+n 1−
n 1+ +n 1−
n
n
n
n
= lim
= lim
√
2

2
n2 1 + 2
n 1+ 2
n
n
2
2
2
2
n
1+ +1−
√
1+ +1−
n
n
1+1
n
n
= lim
= lim
= √
=2
1
2
2
n. 1 + 2
1+ 2
n
n
n

n
√
b) lim √
= lim
2
2
n + 2n + n + 1
2
1
n2 1 +
+ n2 1 +
n
n
n
n
= lim
= lim
√
√
2
1
2
1
n2 1 + + n2 1 +
n 1+ +n 1+
n
n
n
n

WiKi Way

n2

1+

12


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2
n

= lim
n

2
+
n

1+

√
3

1

= lim
1

n

1+

3

3+

n3

1+

n3 1 +

3+
+1
c) lim
= lim
5(3n + 1)

1
1
√ =
=√
2
1+ 1
1
1+
n

2
+
n

1
n3

√
3
n3

3+

3

1+

1
n3

= lim
1
1
5n 3 +
5n 3 +
n
n
3
1
3

1
1
3
n
+ 3 1+ 3
+ 3 1+ 3
n. + n 3 1 + 3
n
n
1
n
n
n
n
= lim
= lim
=
= lim
1
1
1
15
5n 3 +
5n 3 +
5 3+
n
n
n
√

d) lim

√

n2 + 2n − 2n + 2
= lim
3n + 1
√

n2

= lim

n

2 √ 2
− n
n
1
n 3+
n
2
2
+
1+ −
n
n
1+

= lim

n 3+
√
3

2
2
+ 2
n n

n2

−

1
n
2
n 1+ −n
n

= lim

n 3+
2
n2

1+
= lim

2
−

n
3+

3

− 5n + 9
= lim
3n − 2

2
n

n 3+

2
2
+ 2
n n

1
n

n3

n2 1 +

n3 1 −

√

1
n

5
9
+ 3
2
n
n

f) lim

9n2

+ 1 − 2n
= lim
6n + 2

1
n2

√
3

9+

= lim

1
−2

n2

2
n 6+
n

√
=

1
1
=
3
3

5
9
+ 3
2
n
n
2
n 3−
n
3

n3

√

− 2n

2
n 6+
n

1
n
− 2n
n2
= lim
2
n 6+
n

n 9+
= lim

n2 9 +

1
n

2
2
+ 2
n n

= lim
2

n 3−
n
5
9
5
9
3
n3 1− 2 + 3
1− 2 + 3
1
n
n
n
n
= lim
= lim
=
2
2
3
3−
n 3−
n
n

e) lim

2
2
+ 2

n n

1−

1
− 2n
n2
2
n 6+
n

n2

9+

1
−2
1
n2
=
2
6
6+
n

9+
= lim

Bài 5. Tính các giới hạn sau:
√

n + 4 − n2 − 1
a) lim √
4n2 + 5 − 2n + 1
WiKi Way

13


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

√
√
n2 + 1 + n
b) lim √
√
n2 + n − n
1
√
c) lim √
n2 + 2 − n2 + 4
√
4n2 + 1 − 2n − 1
d) lim √
n2 + 4n + 1 − n
0
∞
Lời giải: Dạng , ta thực hiện nhân với lượng liên hợp để đưa bài toán về dạng
,

0
∞
sau đó áp dụng phần A.3.
√
n + 4 − n2 − 1
a) lim √
4n2 + 5 − 2n
√
√
√+1
(n + 4 − n2 − 1)(n + 4 + n2 − 1)( 4n2 + 5 + 2n − 1)
√
√
= lim √
( 4n2 + 5 − 2n + 1)(n
+ 4 + n2 − 1)( 4n2 + 5 + 2n − 1)
√
[(n + 4)2 − (n2 − 1)]( 4n2 + 5 + 2n − 1)
√
= lim
[4n2 + 5 −√(2n − 1)2 ](n + 4 + n2 − 1)
(8n + 17)( 4n2 + 5 + 2n − 1)
√
= lim
(4n + 4)(n + 4 + n2 − 1)
5
1
17
4+ 2 +2−
8+

√
n
n
n
8.( 4 + 2)
√ =4
=
= lim
4.(1 + 1)
1
4
4
4+
1+ + 1− 2
n
n
n
√
√
√
√ √
√
n2 + 1 + n
( n2 + 1 + n)( n2 + 1 − n)
b) lim √
√ = lim √ 2
√ √
√
n2√+ n − n
( n + n − n)( n2 + 1 − n)

√
( n2 + 1)2 − ( n)2
n2 − n + 1
= lim √
= lim
√
2
( n2 + n − n)2
1
1
n 1+ −n
n
n
1
1
n2 1 − + 2
n n
= lim
2 = 1
1
1
n2
1+ −
n
n
√
√
1
n2 + 2 + n2 + 4
√

√
√
√
c) lim √
= lim √
n2 + 2 − n2 + 4
( n2 + 2 − n2 + 4)( n2 + 2 + n2 + 4)
2
4
2
4
1+ 2 + 1+ 2
n
n 1+ 2 +n 1+ 2
n
n
n
n
√
= lim √
= lim
= +∞
−2
( n2 + 2)2 − ( n2 + 4)2
√
4n2 + 1 − 2n − 1
d) lim √
2 + 4n + 1 − n
n√
√

√
( 4n2 + 1 − 2n − 1)( 4n2 + 1 + 2n + 1)( n2 + 4n + 1 + n)
√
√
= lim √
( n2 + 4n + 1 − n)( √
4n2 + 1 + 2n + 1)( n2 + 4n + 1 + n)
4n2 + 1 − (2n + 1)2 ( n2 + 4n + 1 + n)
√
= lim
2 )( 4n2 + 1 + 2n + 1)
(n2 + 4n
+
1
−
n
√
−4n( n2 + 4n + 1 + n)
√
= lim
(4n + 1)( 4n2 + 1 + 2n + 1)
WiKi Way

14


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

−4

1+

4
1
+ 2 +1
n n

= lim

=
4+

1
n

4+

1
1
+2+
2
n
n

−1
−4.2
=
4.4

2

Bài 6. Tính các giới hạn sau:
√
n2 + 2n − 3 − n
a) lim
√
√
b) lim
n+1− n
√
√
c) lim
n2 + 1 − n2 − 2
√
n2 + 2013 − n + 5
d) lim
√
e) lim
n2 + 2n − n − 1
√
f) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1
√
g) lim
4n2 + n + 1 − 2n + 1
√
h) lim n + 1 − n2 + 3n + 1
√
i) lim
n2 − 2n + 3 − n + 2

Lời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4.
√
√
n2 + 2n − 3 − n
n2 + 2n − 3 + n
√
2
√
a) lim
n + 2n − 3 − n = lim
n2 + 2n − 3 + n
3
n 2−
2
2
n + 2n − 3 − n
2
n
= lim
= lim
=
=1
1+1
3
2
2
3
n 1+ − 2 +n
n
1+ − 2 +1

n n
n n
√
√
√
√
n+1− n
n+1+ n
√
√
√
b) lim
n + 1 − n = lim
√
n+1+ n
2
√
√ 2
n+1 −
n
1
√
= lim
= lim √
√
√ =0
n+1+ n
n+1+ n
√
√

√
√
n2 + 1 − n2 − 2
n2 + 1 + n2 − 2
√
√
√
√
c) lim
n2 + 1 − n2 − 2 = lim
n2 + 1 + n2 − 2
2
2
√
√
n2 + 1 −
n2 − 2
3
= lim
= lim
=0
1
2
1
2
n 1+ 2 +n 1− 2
n
1+ 2 + 1− 2
n
n

n
n
√
√
n2 + 2013 − n + 5
n2 + 2013 + n − 5
√
2
√
d) lim
n + 2013 − n + 5 = lim
n2 + 2013 + n − 5
2
√
n2 + 2013 − (n − 5)2
n2 + 2013 − n2 − 10n + 25
= lim
= lim
2013
2013
n 1+ 2 +n−5
n 1+ 2 +n−5
n
n
WiKi Way

15


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

n
= lim
n

2013
25
+ 10 −
n
n
1+

=

2013
5
+1−
2
n
n

√
e) lim
n2 + 2n − n − 1 = lim
√
n2 + 2n

2

10
=5
2

√
√
n2 + 2n − n − 1
n2 + 2n + n + 1
√
n2 + 2n + n + 1

− (n + 1)2

= lim

−1

= lim

1
1
1
1
n 1 + + n + n.
n
1+ +1+
n
n
n

n
√
f) lim 1 + n2 − n4 + 3n + 1
√
√
1 + n2 − n4 + 3n + 1 1 + n2 + n4 + 3n + 1
√
= lim
1 + n2 + n4 + 3n + 1
(1 + n2 )2 − (n4 + 3n + 1)
√
= lim
= lim
1 + n2 + n4 + 3n + 1
n2 2 −
= lim
n2

1
+1+
n2

3
n

1+

2n2 − n2 .
n2 .

=
3
1
+
n3 n4

1
+ n2 + n2
n2

=0

3
n

1+

1
3
+
n3 n4

2
√ =1
1+ 1

√
4n2 + n + 1 − 2n + 1
√
√

4n2 + n + 1 − 2n + 1
4n2 + n + 1 + 2n − 1
√
= lim
4n2 + n + 1 + 2n − 1
2
(4n + n + 1) − (2n − 1)2
5n
= lim
= lim
1
1
1
1
1
1
n 4 + + 2 + 2n − n.
n
4+ + 2 +2−
n n
n
n n
n
5
5
=√
=
4
4+2
√

h) lim n + 1 − n2 + 3n + 1
√
√
n + 1 − n2 + 3n + 1 n + 1 + n2 + 3n + 1
√
= lim
n + 1 + n2 + 3n + 1
−n
(n + 1)2 − (n2 + 3n + 1)
= lim
= lim
1
3
1
1
3
1
n + n. + n 1 + + 2
n 1+ + 1+ + 2
n
n n
n
n n
−1
−1
√ =
=
2
1+ 1
√

i) lim
n2 − 2n + 3 − n + 2
√
√
n2 − 2n + 3 − n + 2
n2 − 2n + 3 + n − 2
√
= lim
n2 − 2n + 3 + n − 2
g) lim

WiKi Way

16


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

2

n 2−

2

(n − 2n + 3) − (n − 2)
= lim
3
2

2
n 1 − + 2 + n − n.
n
n n
n
2
= lim √
=1
1+1
= lim

1−

1
n

2
3
2
+ 2 +1−
n n
n

Bài 7. Tính các giới hạn sau:
√
3
a) lim
2n − n3 + n − 1
√
3

b) lim
n3 − 2n2 − n
√
3
n3 + n2 − n

c) lim n
d) lim

√
3

n+2−

√
3

n

√
3

n3 + n2 − n
√
3
f) lim n + 2 − n3 + 2n + 6
√
3
g) lim 2n + 1 − 8n3
√

3
h) lim
n3 + 8n + 1 − n
e) lim

Lời giải: Dạng ∞ − ∞, áp dụng phần A.4.
a) lim

√
3

2n − n3 + n − 1 = lim √
3
2n − n3

2n − n3 + (n − 1)3
2
√
− 3 2n − n3 .(n − 1) + (n − 1)2

2n − 3n2 + 3n − 1

= lim
n2 .

3

= lim
3

2

2
−1
n2

1
2
− n.
− 1 .n. 1 −
2
n
n
1
5
−3 + − 2
n n
3

2

2
−1
n2

3

−

2

1
−
1
.
1
−
n2
n

−3
= −1
1+1+1
√
3
b) lim
n3 − 2n2 − n = lim √
3

+ 1−

+

1
n

n2 .

1
1−
n

2

2

=

−2n2

= lim
3

n2

2
1−
n

3

WiKi Way

2

+ n2 .

3

1−

2
n

−2

= lim

c) lim n

n3 − 2n2 − n3
2
√
n3 − 2n2 + 3 n3 − 2n2 .n + n2

1−

2
n

=

2

+

√
3
n3 + n2 − n

+ n2

3

1−

2
n

−2
3

+1

= lim n. √
3

n3 + n2 − n3
2
√
n3 + n2 + 3 n3 + n2 .n + n2
17


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2
n2

= lim n.
3

n2 .

1
1+
n
n

2
3

+ n2

1
n

1+

+ n2

= +∞
2
1
1
3
1+
+ 3 1+ +1
n
n
√

√
n+2−n
d) lim 3 n + 2 − 3 n = lim √
2
√
√
2
2 √
3
n+2
+ 3n+2 .3n+ 3n
2
=0
= lim √
2
√
√
2 √
2
3
3
3
3
n+2 + n+2 . n+
n
= lim

e) lim

√

3

n3 + n2 − n = lim √
3

n3 + n2 − n3
2
√
n3 + n2 + 3 n3 + n2 .n + n2

n2

= lim
n2 .

3

2

1
1+
n

+ n.

3

1+

1

= lim

1
n
=

2

1
1
+ 3 1+ +1
n
n
√
3
f) lim n + 2 − n3 + 2n + 6 = lim
3

.n + n2
1
3

1+

(n + 2)3 − (n3 + 2n + 6)
√
√
(n + 2)2 + (n + 2). 3 n3 + 2n + 6 + 3 n3 + 2n + 6
6n2 + 10n + 2

= lim
2
n2 . 1 +
n
= lim

2

2

2
+n 1+
n

6
2
.n. 1 + 2 + 3 + n2 .
n
n
10
2
6+
+ 2
n
n
3

3

6
2
1+ 2 + 3
n
n

2

2 = 2
2
2
2
2
6
2
6
1+
+ 1+
.3 1+ 2 + 3 + 3 1+ 2 + 3
n
n
n
n
n
n
√
8n3 + (1 − 8n3 )
3
g) lim 2n + 1 − 8n3 = lim
2

√
√
4n2 − 2n 3 1 − 8n3 + 3 1 − 8n3
1
= lim
2 = 0
1
1
4n2 − 2n2 3 3 − 8 + n2 3 3 − 8
n
n
√
n3 + 8n + 1 − n3
3
h) lim
n3 + 8n + 1 − n = lim √
2
√
3
n3 + 8n + 1 + 3 n3 + 8n + 1.n + n2
8n + 1
= lim
2
8
1
8
1
3
n2
1+ 2 + 3

+ n2 3 1 + 2 + 3 + n2
n
n
n
n

WiKi Way

18

2


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2
1
8
+ 2
n n

= lim
3

8
1
1+ 2 + 3
n
n

2

+

3

=0
8
1
1+ 2 + 3 +1
n
n

Bài 8. Tính các giới hạn sau:
√
√
3
a) lim
n3 + 1 − n2 + 1
√
√
3
4n2 + 1. n3 + 2 − 2n2
b) lim
Lời giải: Ta thêm bớt một lượng trung gian như sau:
√
√
√
√
3

3
a) A = lim
n3 + 1 − n2 + 1 = lim
n3 + 1 − n + n − n2 + 1
√
3
A1 = lim
n3 + 1 − n = 0
√
A2 = lim n − n2 + 1 = 0
Vậy A = A1 + A2 = 0
√
√
3
4n2 + 1. n3 + 2 − 2n2
b) B = lim
√
√
√
√
3
= lim
4n2 + 1. n3 + 2 − 4n2 + 1.n + 4n2 + 1.n − 2n2
√
√
√
√
√
3
3

4n2 + 1. n3 + 2 − 4n2 + 1.n = lim 4n2 + 1
n3 + 2 − n
B1 = lim
√
2
= lim 4n2 + 1. √
2
√
3
n3 + 2 + 3 n3 + 2.n + n2
2.

1
4
+ 4
2
n
n

=0
2
2
2
3
+ 3 1+ 3 +1
1+ 3
n
n
√
√

1
B2 = lim
4n2 + 1.n − 2n2 = lim n
4n2 + 1 − 2n = lim n. √
4n2 + 1 + 2n
1
1
= lim
=
4
1
4+ 2 +2
n
1
Vậy B = B1 + B2 =
4
Bài 9. Tính các giới hạn sau:
2n + 3n
a) lim n
2 + 5.3n
2n .3n+1 − 2
b) lim n
6 + 5.3n
2n+1 + 4n
c) lim n
2 + 2.4n
2n + 3n
d) lim n−1
3
+ 4n+1

Lời giải:
= lim

2n + 3n
a) lim n
= lim
2 + 5.3n

WiKi Way

3n
3n

2n
+1
3n
2n
+5
3n

2
3
= lim
2
3

n

+1
=

n

+5

1
5

19


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

2
2
3− n
2 .3
−2
6n
6
= lim
b) lim n
= lim
n
3
6 + 5.3n
1
6n 1 + 5. n

1 + 5.
6
2
n
n
2
1
+1
4n 2. n + 1
2.
n+1
n
2
+4
4
2
c) lim n
= lim
= lim
n
2n
2 + 2.4n
1
n
4
+
2
+2
4n
2

2n
n
3
+1
n
3
2n + 3n
3n
=
lim
.
d) lim n−1
=
lim
3n
1
3
+ 4n+1
4
1
n
4
+
.
n
3.4
4
3
n

n+1

6n 3 −

n

=3

=
2
3
3
4

1
2
n

+1
n

+

1
4

= 0.

1
=0

1
4

Bài 10. Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn
1 1
1
a) S = 2 + + +
+ ...
3 6 12
1
1
(−1)n
− 2 + . . . + n−1 + . . .
b) S = 1 +
10 10
10
1 + 2 + 22 + . . . + 2n
c) lim
1 + 3 + 32 + . . . + 3n
1
1 1 1
d) S = 3 + + + + . . . + n + . . .
2 4 8
2
e) S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... với |x| ≤ 1
1 + a + a2 + . . . an
f) L = lim
với |a|, |b| ≤ 1
n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn
Lời giải:

1 1
1
a) S = 2 + + +
+ ...
3 6 12 n
1
1−
1
1 1
8
2
= 2 + lim .
=2+ . =
1
3
3 1
3
1−
2
2
1
1
(−1)n
b) S = 1 +
−
+ . . . + n−1 + . . .
10 102
10
n
−1

1−
1 1
12
1
10
= 1 + lim .
=1+ .
=
11
−1
10
10
11
1−
10
10
1 + 2 + 22 + . . . + 2n
c) lim
1 + 3 + 32 + . . . + 3n
1
2n 2 − n
n+1
(2
− 1)(3 − 1)
2
= lim
=0
= lim 2.
n+1
1

(2 − 1)(3
− 1)
3n 3 − n
3
1 1 1
1
d) S = 3 + + + + . . . + n + . . .
2 4 8
2
1
1
1− n
2
2
= 3 + lim
=3+1=4
1
1−
2
WiKi Way

20


Giải đề cương

Toán 11 học kỳ 2

e) S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ... với |x| < 1
1

S1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . =
1−x
1
2
3
4
S2 = x + x + x + x + . . . = x.
1−x
1
2
3
4
2
S3 = x + x + x + . . . = x .
1−x
...
1
1
1
S = S1 + S2 + S3 + . . . =
1 + x + x2 + . . . =
.
1−x
1−x 1−x
1
=
(1 − x)2
1 + a + a2 + . . . an
f) L = lim
n→∞ 1 + b + b2 + . . . + bn

1−b
1
=
=
1
1−a
(1 − a)
1−b
Bài 11. Tính các giới hạn sau:(Áp dụng định lý kẹp)
(−1)n
n2 + 1
cos 4n
b) lim
−6
5n
(−1)n sin n2 + cos n
√
c) lim
23n+1
(−1)n
1
d) lim
− n+1
n+1
2
3
nπ
n + cos
√5
e) lim √

n n+ n
2n. sin n
f) lim 2
n +1
Lời giải:
a) lim 9 +

(−1)n
n2 + 1
−1
(−1)n
1
≤ 2
≤ 2
Ta có 2
n +1
n +1
n +1
−1
lim 2
=0
n +1
1
lim 2
=0
n +1
(−1)n
=0
Theo định lý kẹp ta có lim 2
n +1

Vậy A = 9 + 0 = 9
cos 4n
b) B = lim
−6
5n
−1
cos 4n
1
Ta có
≤
≤
5n
5n
5n
−1
lim
=0
5n
1
lim
=0
5n
a) A = lim 9 +

WiKi Way

21


Giải đề cương

Theo định lý kẹp ta có lim

c)

d)

e)

f)

WiKi Way

Toán 11 học kỳ 2
cos 4n
=0
5n

Vậy B = 0 − 6 = −6
(−1)n sin n2 + cos n
√
C = lim
23n+1
−2
(−1)n sin n2 + cos n
2
√
Ta có √
≤
≤ √

3
3
3
2 n+1
2 n+1
2 n+1
−2
lim √
=0
23n+1
2
lim √
=0
3
2 n+1
Theo định lí kẹp ta có C = 0
1
(−1)n
− n+1
D = lim
n+1
2
3
n
−1
(−1)
1
Ta có n+1 ≤ n+1 ≤ n+1
2
2

2
−1
lim n+1 = 0
2
1
lim n+1 = 0
2
(−1)n
Theo định lí kẹp ta có lim n+1 = 0
2
Vậy D = 0 − 0 = 0
nπ
cos
nπ
5
n + cos
1+
n
√5 = lim
E = lim √
√
1
n n+ n
n 1+
n
nπ
cos
−1
5 ≤ 1
Ta có

≤
n
n
n
−1
lim
=0
n
1
lim = 0
n
nπ
cos
5 =0
Theo định lý kẹp ta có lim
n
Vậy E=0
sin n
2
2n. sin n
n
F = lim 2
= lim
1
n +1
1+ 2
n
−1
sin n
1

Ta có
≤
≤
n
n
n
−1
lim
=0
n
1
lim = 0
n
sin n
Theo định lý kẹp ta có lim
=0
n
0
Vậy F = = 0
1

22