Giáo án ôn tập cuối năm Giải tích 12 soạn theo phương pháp mới

Ngày soạn:
Ngày dạy: .
Tiết PPCT: 67 – 76.

BÀI: ÔN TẬP CUỐI NĂM
I. Mục tiêu: Thông qua nội dung bài học, giúp học sinh nắm được:
1. Kiến thức:
• Ơn lại tồn bộ lí thuyết của cả bốn chương
2. Kĩ năng:
• Làm thanh thạo các bài tập phần Ôn tập cuối năm trong SGK trang(145-148)
3. Thái độ: Rèn luyện tính tích cực trong học tập, tính tốn cẩn thận, chính xác.
II. Phương pháp dạy học: Gợi mở + Nêu và giải quyết vấn đề
III. Chuẩn bị:
1. GV: Giáo án, vẽ sẵn một số đồ thị mà bài tập yêu cầu.
2. HS: Sgk, chuẩn bị bài ở nhà, đồ dùng học tập.
IV. Tiến trình bài dạy:
A. KHỞI ĐỘNG
Câu hỏi 1:

Cho hàm số y = f ( x) xác định trên R có đồ thị như hình vẽ trên. Từ đây có thể tìm
được?
+ Tính đơn điệu của hàm số?
+ Cực trị của hàm số?
+ Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn K ?
+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành ?
Câu hỏi 2:
Nêu một số cách giải phương trình mũ – phương trình logarit, bất phương trình mũ –
bất phương trình logarit đơn giản.
Câu hỏi 3:
Nêu định nghĩa và các phương pháp tính ngun hàm, tích phân. Cơng thức tính diện
tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay đã học.

Câu hỏi 4:
Nhắc lại định nghĩa số phức, số phức liên hợp, mơ đun số phức. Biểu diễn hình học của
số phức

1


B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC + LUYỆN TẬP.
1. BÀI TẬP 1 TRANG 145.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT1: Cho hàm số

f ( x ) = ax 2 − 2 ( a + 1) x + a + 2; ( a ≠ 0 )
a)Chứng tỏ pt f ( x) = 0 ln có

nghiêm thực và tính các nghiệm đó
b) Tính tổng S và tích P của các
nghiệm . Khảo sát sự bt và vẽ đồ
thị S và P theo a

+ Nhận xét dạng của hàm
số đã cho. Dấu hiệu nào để
biết được dạng đó.
+ Phương trình bậc hai có
nghiệm thực khi nào?
+ Tính ∆ ' = ?

+ Cịn cách khác tìm
nghiệm hay khơng?

+ Là phương trình bậc hai
vì đã có điều kiện a khác
0
+ Phương trình bậc hai có
nghiệm thực khi ∆ ≥ 0.
+ ∆ ' = b 2 − ac = 1
+ Tổng hệ số a + b + c = 0
nên phương trình có hai
nghiệm x1 = 1; x2 =

+ Giáo viên treo bảng có vẽ + Quan sát đồ thị
sẵn đồ thị hàm số S và P

Giải
a) ∆ = 1 với mọi a nên pt
f ( x ) = 0 ln có hai nghiệm
thực phân biệt x1 = 1; x2 = 1 +
2
a

b) S = x1 + x2 = 2 + ; P = x1.x2 = 1 +

c
a

Đồ thị S

Đồ thị P

2. BÀI TẬP 2 TRANG 145.
2

2
a
2
a


HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT2: Cho hàm số

a) Khi a = 0 thì hàm số thành?
+ Học sinh thực hiện các bước a) Khi a=0
1
khảo sát.
f ( x ) = − x3 − x 2 + 3x − 4
3
+ Giáo viên giới thiệu đồ thị
hàm số (C) sau khi học sinh TXĐ : D=R
y ' = − x 2 − 2 x + 3;
khảo sát .
x = 1
y'= 0 ⇔ 

 x = −3

b) Xác định hình phẳng đã

cho trên đồ thị, nhìn vào đó,
cho biết trên đoạn đã cho, đồ
thị có cắt trục Ox hay khơng,
cắt tại điểm nào, qua đó
nhận xét xem khi đi qua
nghiệm đó, giá trị của hàm
số có đổi dấu không

1
y = − x 3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x − 4
3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số khi a=0
b) Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và các đường thẳng
y = 0, x = −1, x = 1 .
Giải
TREO ĐỒ THỊ

+ Bảng biến thiên

b) Nhận xét được rằng trên
đoạn đã cho, đồ thị không cắt
trục Ox tại những điểm khác
hai đầu mút, đồ thị luôn nằm

dưới trục hoành.

b)
1

S=

∫ f ( x ) dx

−1
1

 1

= ∫  − x 3 − x 2 + 3 x − 4 ÷dx
3

−1 
26
=
3

3. BÀI TẬP 3 TRANG 146.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT3: Cho hàm số
y = x 3 + ax 2 + bx + 1

a) Cách tìm hệ số a, b?

a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi
qua hai điểm A(1;2)và B(-2;-1)
b) Yêu cầu học sinh khảo sát. a)Thay tọa độ điểm A và B
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
Với a, b tìm được thì hàm số vào hàm số và giải hệ ta được hàm số ứng với các giá trị a và b
a=1,b=-1
trở thành?
tìm được
b) Với a, b tìm được thì:
c)Tính thể tích vật trịn xoay thu
y = x3 + x 2 − x + 1 ;
được khi quay hình phẳng giới
hạn bởi y=0,x=0,x=1 và đồ thị
(C) xung quanh trục hoành.
Giải
b) TREO ĐỒ THỊ
3


c) Lập cơng thức tính thể tích:

y ' = 3x 2 + 2 x − 1,
 x = −1
y'= 0
x = 1
3

+Bảng biến thiên:

c)
1

V = f 2 ( x ) dx
0

1

= π ∫ ( x 3 + x 2 − x + 1) dx =
0

134π
105

4. BÀI TẬP 4 TRANG 146.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

a) Lập công thức v(t ), a (t )

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT4: Xét chuyển động thẳng xác
định bởi phương trình:

a)
v ( t ) = S '(t ) = t 3 − 3t 2 + t − 3

;

1
t2
S ( t ) = t 4 − t 3 + − 3t
4
2

v ( t ) = t 3 − 3t 2 + t − 3 = 0 ⇔ t = 3

a) tính v(2), a(2) biết v(t ), a (t )
lần lượt là vận tốc, gia tốc của
chuyển động đã cho
b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận
tốc bằng 0

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU

b) v(t) = 0 ? ta cần giải phương a ( t ) = v '(t ) = 3t − 6t + 1
trình nào ?
Nên v(2)=-5 ; a(2)=1
b)
2

5. BÀI TẬP 5 TRANG 146.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

BT5: Cho hàm số

y = x 4 + ax 2 + b

a) Tìm a và b để hàm số có cực
4


trị bằng

3
khi x=1
2

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
1
2

hàm số khi a = − , b = 1

Một giá trị x0 là cực trị của
hàm số khi nào?

Khi x0 đó là nghiệm của
phương trình y’ = 0
Với y ' = 4 x 3 + 2ax
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
trùng phương đã cho.

c) Viết PTTT của (C) tại điểm có
tung độ bằng 1
Giải:

a) a và b phải thỏa mãn
 y '(1) = 0
a = −2



3 ⇔
5
 y(1) = 2
b = 2

b) Với giá trị của a và b như trên,
1
2

4
2
ta có hàm số y = x − x + 1

x = 0
+ y ' = 4 x − x, y ' = 0 ⇔ 
1
x=±

2
3

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Tiếp tuyến cần tìm là ∆ . Theo
giả thiết, đã biết được gì?

Biết y0 là tung độ của tiếp
điểm, từ đó, tính được x0
chính là hồnh độ của tiếp
điểm f (x0) = 1

x = 0
 0
1
1

⇔ x 04 − x 02 = 0 ⇔  x 0 = −
2
2

1

x0 = 2


Do đó có 3 tiếp điểm là (0;
1);
5

 x0 = 0

1

c) y0 = f ( x0 ) = 1 ⇔ 
 x0 = ± 2


Có ba tiếp tuyến thỏa mãn bài
toán:
y = 1; y = ±

x 1
+
2 2


 1   1 
;1÷;  −
;1÷

2 
 2  

6. BÀI TẬP 6 TRANG 146.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT6: Cho hàm số y =

x−2
x + m −1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của
hàm số khi m = 2
b) Viết PTTT d của đồ thị (C) tại
điểm M có hồnh độ a ≠ −1
Giải

Nêu các bước khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số nhất biến.

Khảo sát hàm số đã cho

a) m = 2 ⇒ y =
⇒ y' =

3

( x + 1)

2

x−2
x +1

> 0, ∀x ≠ −1

Bảng biến thiên

Đồ thị:

b)

Theo giả thiết, đã biết được
gì của tiếp tuyến?

Đã biết được tọa độ của x = a, y = a − 2 , f ' a = 3
( )
0
0
2
a +1
( a + 1)
tiếp điểm. Từ đó, viết được
3
a−2
phương trình của tiếp
x − a) +
PTTT : y =
2 (
a +1
( a + 1)
tuyến.

7. BÀI TẬP 7 TRANG 146.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU

BT7: Cho hàm số: y =

2
2− x

a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ
thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm giao điểm của đồ thị (C)
6


với đồ thị hàm số y = x 2 + 1 . Viết
PTTT của (C) tại mỗi giao điểm
c)Tính thể tích vật thể trịn xoay
thu được khi quay hình phẳng H
giới hạn bởi (C) và các đường
thẳng y=0,x=0 x=1 xung quanh
trục Ox.
Giải
a) Học sinh tự khảo sát.
Có đồ thị như sau:

b)

b) Viết phương trình hồnh

Giao điểm của hai đồ thị độ giao điểm của hai
được xác định như thế nào? đường:
x = 0
2

= x2 +1 ⇔ 
2−x
x = 1

Ta có hai tiếp điểm (0; 1)
và (1; 2)

b) Phương trình hồnh độ giao
x = 0
2
= x2 + 1 ⇔ 
điểm:
2− x
x = 1
2
và f ' ( x ) =
2
( 2 − x)
+ x = 0 ⇒ y = 1; f ' ( 0 ) =
⇒ PTTT : y =

c) Công thức tính?

2

1

c) V = π ∫ ( f ( x) ) dx
0

1
2

1
x +1
2

+ x = 1 ⇒ y = 2; f ' ( 1) = 2
⇒ PTTT : y = 2 x
2

1

 2 
c) V = π ∫ 
÷ dx = 2π
2− x
0

8. BÀI TẬP 8 TRANG 147.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

Phương pháp tính giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn:
-Tính đạo hàm cấp 1, tìm
nghiệm của đạo hàm cấp 1
trên đoạn đang xét.
- Tính giá trị của hàm số tại
các điểm đầu mút của đoạn

và tại các điểm là nghiệm
của y’.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT8: Tìm GTLN,GTNN của các
hàm số
3
2
a) f ( x ) = 2 x − 3x − 12 x + 1 trên


5

đoạn  −2; 
2


2
b) f ( x ) = x ln x trên đoạn [ 1;e]
Giải:

HỌC SINH LÀM BÀI TẬP

7

a)

 x = −1 ⇒ f ( −1) = 8
f '( x) = 0 ⇔ 
 x = 2 ⇒ f ( 2 ) = −19
 5  −33
f ( −2 ) = −3; f  ÷ =
2
2
GTLN:8 ; GTNN:-19
b)
f ' ( x ) 〉 0∀x ∈ [ 1; e]

-Tìm GTLN, GTNN trong
các số ở trên.
Tính GTLN, GTNN trên
khoảng, nửa khoảng:
-Tính y’, tìm nghiêm của y’
-Lập BBT
-Dựa vào BBT để kết luận.

⇒ GTNN : f ( 1) = 0;
GTLN : f ( e ) = e 2

9. BÀI TẬP 9 TRANG 147.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

+ Khi giải phương trình
logarit, phải đặt điều kiện
chi biểu thức dưới dấu loga
dương.
+ Khi giải phương trình mũ

bằng phương pháp đặt hàm
số mũ ẩn phụ, phải đặt điều
kiện cho ẩn phụ dương.
Phương pháp thường dùng:
- Đặt ẩn phụ
- Đưa về cùng cơ số.
-Logarit hóa (mũ hóa) hai
vế.

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT9: Giải các pt sau:
a) 132 x +1 − 13x − 12 = 0
x
x
x
x
x
b) ( 3 + 2 ) ( 3 + 3.2 ) = 8.6
c)

HỌC SINH LÀM BÀI TẬP

log

3

( x − 2 ) .log 5 x = 2.log3 ( x − 2 )

d) log 22 x − 5log 2 x + 6 = 0
Giải:
a)
13.132 x − 13x − 12 = 0 ⇔ 13x = 1 ⇔ x = 0
b) Chia cả hai vế với 4 x
  3 x 
2
PT ⇔ t − 4t + 3 = 0  t =  ÷ 〉 0 ÷
 2 ÷


x = 0
t = 1
⇔
⇔  x = log 3
3
t
=
3



2
c)
PT ⇔ log 3 ( x − 2 ) ( log 5 x − 1) = 0
log 3 ( x − 2 ) = 0
x = 3
⇔
⇔
x = 5

log 5 x = 1
 log 2 x = 2
x = 4
⇔
d) PT ⇔ 
x = 8
 log 2 x = 3

10.BÀI TẬP 10 TRANG 147.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ
8

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU


- Đặt điều kiện cho bất phương
trình có nghĩa.
- Đưa bất phương trình về
dạng chứa mũ / logarit có cùng
cơ số.
- Đưa về dạng có vế phải bằng
0.
- Xét dấu vế trái.

BT10: Giải các bpt sau:
a)

2x

≤2
3x − 2 x

(

)

log 2 x 2 −1

HỌC SINH LÀM BÀI TẬP

1
b)  ÷
〉1
2
c) log 2 x + 3log ≥ 4
1 − log 4 x 1
≤
d)
1 + log 2 x 4

Giải:
a)

2t − 3
≥0
t −1
0 < t < 1 
x
3 

⇔  3 ;t =  ÷ ÷
 2 ÷
t ≥


 2
nghiệm của bpt là: x<0 hoặc x ≥ 1
b)
bpt ⇔

 x 2 − 1〉 0
bpt ⇔ 
⇔ 1〈 x 2 〈 2
2
log
x
−
1
〈
0
)
 2 (
⇔ − 2 〈 x〈−1;1〈 x〈 2
c) ĐK:x>0 đặt t=logx
bpt ⇔ t 2 + 3t − 4 ≥ 0
0〈 x ≤ 10−4
t ≤ −4
⇔
⇔
t ≥ 1

 x ≥ 10
d) ĐKx>0 đặt t = log 2 x
1
1− t
2 −1 ≤0
bpt ⇔
1+ t 4
t ≤ −1
3t − 3
⇔
≤0⇔
4t + 4
t ≥ 1
1
0< x < ;x ≥ 2
2

11.BÀI TẬP 11 TRANG 147.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT11: Tính các tp sau bằng pptp
từng phần:

Dùng phương pháp tích phân
từng phần.
- Nếu dưới dấu tích phân
chứa hàm lnx thì đặt u bằng

hàm này, dv là phần cịn lại.
- Nếu dưới dấu tích phân

e4

a)

∫
1

9

π
2

x .ln xdx b) ∫
π
6

x
dx
sin 2 x


chứa hàm đa thức thì đặt u
bằng hàm này, dv là phần
cịn lại.
- Nếu dưới dấu tích phân
chứa hàm đa thức và hàm
lnx thì đặt u bằng hàm lnx,

dv là phần còn lại.

b

b

a

a

b
AD ∫ udv = u.v |a − ∫ vdu

π

c) ∫ ( π − x ) sin xdx
0

0

d)

∫ ( 2 x + 3) e

−x

dx

−1

Giải:
dx

du =

u
=
ln
x


x
⇒
;
a) 
 dv = xdx v = 2 x 3

3
4
6
KQ: ( 5e + 1)
9
1

dx
u = x
 dv =
⇒
sin 2 x
b) 

 du = dx v = − cot x


π 3
+ ln 2
6
u = π − x  dv = sin xdx
⇒
c) 
 du = − dx v = − cos x
KQ: π
−x
u = 2 x + 3 dv = e dx
⇒
d) 
−x
 du = 2dx
v = −e
KQ:

KQ: 3e-5

12.BÀI TẬP 12 TRANG 147.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

π

a)Đặt u = cos  − 4 x ÷ ⇒ du = ?

3


1
π

du = sin  − 4 x ÷dx
4 3


GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT12: Tính các tp sau bằng pp
đổi biến:
a)

π
24

π



∫ tan  3 − 4 x ÷dx
0

3
5

b) Đặt x = tan t ⇒ dx = ?
c) Đặt u = cos x ⇒ du = ?

d) Đặt u = 1 + tan x ⇒ du = ?

π

− 4x ÷)
3


3 1
dx = .
dt
5 cos 2 t

(đặt u = cos 

u = cos x ⇒ du = − sin xdx
u 2 = 1 + tan x ⇒ 2udu =

1
dx
cos 2 x

3
5

b)

c)

1

∫ 9 + 25 x
3
5
π
2

∫ sin

3

2

3
dx (đặt x = tan t )
5

x cos 4 xdx (đặt u=cosx)

0

π
4

d)

∫

−

10

π
4

1 + tan x
dx
cos 2 x


(đặt u = 1 + tan x )
Giải:
1
a) ⇔
4
π
4

b) ⇔ ∫
π
6

3
2

1

1

∫ u du = 8 ln 3

1
2

3
dt
5cos t ( 9 + 9 tan 2 t )
2

π

1 4
π
= ∫ dt =
15 π
180
6

c)
0

0

⇔ ∫ ( u − 1) u du ∫ ( u 6 − u 4 ) du =
2

4

1

1

2
d) u = 1 + tan x ⇒ 2udu =
2

⇔

∫ 2u du =
2

0

2
35

dx
cos 2 x

4 2
3

13.BÀI TẬP 13 TRANG 148.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY
Lập cơng thức tính:

HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ

2

a)S =

∫x

2

+ 1dx

−1
e

2

a) S = 6
1

a) S =

e

b)S = ∫ ln x dx = ∫ ln xdx + ∫ ln xdx
1
e

1
e

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT13: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
a) y = x 2 + 1 ,x=-1,x=2 và trục

hoành;
b) y=lnx, x=1/e,x=e và trục
hoành
Giải:

∫( x

−1

2

+ 1) dx = 6

b)

1

b) Dùng phương pháp tích
phân từng phần



1

S = 2 1 − ÷
e

1

e

 1
S = − ∫ ln xdx + ∫ ln xdx KQ : 2 1 − ÷
 e
1
1
e



14.BÀI TẬP 14 TRANG 148.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

+ Giao điểm của hai đồ thị là
(0; 0) và (2; 8)
11

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT14: Tìm thể tích vật thể trịn
xoay thu được khi quay hình


Với x ∈ [0; 2], ta có 2x2 ≥ x3
nên
2

2
V = π ∫ ( 2 x 2 ) − ( x 3 ) 2 dx



0

HỌC SINH LÊN BẢNG phẳng giới hạn bởi các đường
y = 2 x 2 ; y = x 3 xung quanh trục
LÀM BÀI TẬP
Ox
Giải:
Giao điểm của hai đồ thị
 x = 0; y = 0
2 x 2 = x3 ⇔ 
; x ∈ [ 0; 2] .
 x = 2; y = 8

Có thể làm cách khác, khơng
cần so sánh hàm số nào nằm
phía trên:
2

Ta có 2x 2 ≥ x3

V = π ∫ ( 2 x 2 ) − ( x 3 ) 2 dx
2

2

V = π ∫ (( 2 x 2 ) − ( x 3 ) )dx =

0

2

2

0

256π
35

15.BÀI TẬP 15 TRANG 148.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

+ Học sinh nêu cách làm câu a, + Rút z như sau:
(2 − 5i ) + (4 + 7i )
câu b tương tự.
z=
3 + 2i
+ Học sinh nêu cách làm câu d + Đặt t = z 2 ⇒ t 2 − t − 6 = 0

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT15: Giải các pt sau trên tập số
phức:
a) (3+2i)z-(4+7i)=2-5i
b) (7-3i)z-(2+3i)=(5-4i)z
c) z 2 − 2 z + 13 = 0
d) z 4 − z 2 − 6 = 0
Giải:

22 6
− i
13 13
7 4
b) ĐA: Z = − − i
5 5
c) ĐA: Z = 1 ± 2 3i
d) ĐA: Z1,2 = ± 3, Z 3,4 = ± 2i
a) ĐA: Z =

16.BÀI TẬP 16 TRANG 148.
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY

HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

+ Học sinh nhắc lại kiến thức
+ Học sinh lên bảng làm bài

GHI BẢNG – TRÌNH CHIẾU
BT16: Trên mặt phẳng tọa độ tìm
tập hợp điểm biểu diễn số phức z
thỏa mãn các bđt:
a) |z| < 2
b) | z − i |≤ 1
c) | z − 1 − i | < 1

Giải:
a)

12

|z| < 2 ⇔ x 2 + y 2 < 2
⇔ x2 + y2 < 4
vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
z có mơ đun nhỏ hơn 2 là hình trịn
có tâm tại gốc tọa độ bán kính bằng
2(khơng kể biên)
b)
| z − i |≤ 1 ⇔ x 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1
⇔ x 2 + ( y − 1) 2 ≤ 1
vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
z là hình trịn có tâm I(0;1)bán kính
bằng 1
c)
| z − 1 − i |< 1 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 < 1
⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 < 1
vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức
z là hình trịn có tâm I(1;1)bán kính
bằng 1(khơng kể biên)

D. VẬN DỤNG
BT:
Một cơng ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến điểm B trên một hòn
đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây dựng ống trên
bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển
sao cho BB’ vng góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt x = B ' C (km), x ∈ [ 0;9] . BC = x 2 + 36, AC = 9 − x

Chi phí xây dựng đường ống là: C ( x) = 130000 x 2 + 36 + 50000(9 − x)



− 5÷
2
 x + 36


Hàm C(x) xác định và liên tục trên đoạn [ 0;9] và C '( x) = 10000 

13 x

5
5
Phương trình C '( x) = 0 ⇔ x = ; C (0) = 1230000, C  ÷ = 1170000, C (9) ≈ 1406165
2
2
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km

E. MỞ RỘNG, TÌM TÒI, SÁNG TẠO
13


Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
vào một số bài toán thực tế
1. Bài toán thực tế
Một người thợ xây cần xây một bể chứa
nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là
hình vng và khơng có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao

nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch,
độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch
trên một đơn vị diện tích là bằng nhau.

2. Phân tích
Tốn học hóa
* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như
nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây
sẽ ít nhất khi và chỉ khi tổng diện tích bề mặt các thành và đáy của lịng bể là nhỏ nhất.
* Bài tốn giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng diện tích của mặt đáy và
4 mặt xung quanh là nhỏ nhất. Mà “cần tìm gì thì gọi đấy” [1] thôi

14


Cần tìm gì thì gọi đấy
Vì thế nếu gọi
lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể và là tổng
diện tích bề mặt của lịng bể thì ta có:
với
Vấn đề
* Tiếp theo chúng ta cần làm gì? Đó là tìm
để nhỏ nhất. Đây thật sự là một vấn đề [2], vì
sao? Vì từ trước tới giờ chúng ta chỉ có các quy tắc, phương pháp cho bài tốn tìm giá trị nhỏ
nhất của những biểu thức chứa 1 biến mà thôi [3], trong khi lại là biểu thức chứa 2 biến và
chúng ta chưa có sẵn công thức, định lý, quy tắc hay phương pháp nào cho bài tốn 2 biến như
thế cả. Vậy thì phải làm thế nào?
* Hãy bình tĩnh và cố gắng phát biểu vấn đề một cách rõ ràng, rồi nhớ lại xem trong những
tình huống tương tự như vậy thì chúng ta thường tư duy như thế nào?
Vấn đề: Đã biết cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 biến và cần tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 biến.
Điều này có nghĩa là gì? Chúng ta có một câu hỏi cũ, “tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức”,
nhưng cần trả lời trong 1 điều kiện mới là biểu thức đó chứa 2 biến. OK? Chính xác là như thế.
Trong những tình huống như vậy, lời khuyên mà các “sư phụ” của chúng ta thường đưa ra
là gì?
Phương pháp tư duy
* Lời khun đó là: Quy bài toán chưa biết giải về bài toán đã biết giải hay còn gọi là “quy lạ
về quen” Cụ thể ở đây, nếu ta có thể đưa biểu thức , từ biểu thức phụ thuộc 2 biến, trở thành
biểu thức phụ thuộc vào 1 biến thì bài tốn được quy về bài toán quen thuộc. Nhưng điều này
chỉ xảy ra khi hai biến và phải có một quan hệ nào đó. Vậy hai biến này có quan hệ gì
khơng?
* Hãy quay lại đề bài của bài tốn, có 1 giả thiết mà chúng ta chưa dùng tới. Thật vậy, theo giả
thiết thì thể tích của bể là
nên ta có phương trình
và đây chính là điều
chúng ta cần, một phương trình quan hệ giữa và .
* Từ (2) ta có thể rút được biến này theo biến kia và thế vào (1), khi đó chỉ phụ thuộc vào 1
biến, đó chính là mục tiêu của chúng ta. Nhưng chúng ta sẽ rút biến nào theo theo biến nào,
theo hay theo và tại sao?
Chắc bạn đang lẩm bẩm “Sao ơng này kì zậy, hiển nhiên là rút theo rồi, rõ như ban ngày vậy
cịn hỏi lí do làm chi? Phức tạp hóa vấn đề quá haizz.”

Ờ, đúng thế, quá hiển nhiên, nhưng

mà rõ như ban ngày thì mới khó giải thích chứ tối như ban đêm thì giải thích làm gììì.
Chém gió thế đủ rồi, tóm lại là “mình thích thì mình rút thơi”

.

Ta có

, thay vào (1) được
và bài tốn giờ chỉ cịn là tìm
đạt giá trị nhỏ nhất, một bài toán toán học quen thuộc.
15

để hàm số


3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tốn: Tìm để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất

với x > 0.

Việc giải bài toán này với các bạn học sinh lớp 12 thì dễ dàng thơi, cịn với các bạn chưa học
đạo hàm thì có thể vất vả hơn chút.
* Ta có

và

* Bảng biến thiên

* Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi

.

4. Đáp số
Với

suy ra

nên chiều dài, chiều rộng và chiều cao cần tìm là

.

5. Quy trình chung
Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết các bài tốn thực
tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:
Bước 1: Tốn học hóa bài tốn.
* Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài tốn.
* Từ điều kiện của bài toán thiết lập được 1 hàm số phụ thuộc vào 1 biến.
Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số trên, tùy theo u cầu của bài
tốn
Chúng ta thường dùng cơng cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng cơng cụ khác
nhưng có thể khó khăn hơn.
Bước 3: Kết luận bài tốn ban đầu
Trong thực tế có rất nhiều bài toán tương tự như bài toán trên, dưới đây là một vài ví dụ.
6. Bài tốn tương tự
Bài 1. Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích là
phải có kích thước thế nào để vật liệu làm là ít nhất.

. Hỏi mỗi thùng

Bài 2. Bạn muốn xây dựng một bể chứa nước hình trụ có thể tích
. Đáy bể làm bằng bêtơng giá 100 ngàn đồng trên
, thành làm bằng tôn giá 90 ngàn đồng trên
, nắp bằng
nhôm không gỉ giá 120 ngàn đồng trên
. Hỏi kích thước của bể phải như thế nào để chi phí
xây dựng là nhỏ nhất?

16


Bài 3. Cơng ty Vinamilk có hai dịng sản phẩm sữa tươi với bao bì là hộp giấy, loại
và
loại
. Để sản xuất bao bì hộp giấy cho hai loại đó, công ty Vinamilk đã đặt hàng hai công
ty khác, một là Combibloc ở Đức và một là Tetra Pak ở Thụy Điển. Hai công ty này đã thiết kế
các hộp có kiểu dáng và kích thước khác nhau như hình ảnh dưới đây.

17