De thi HSG toan 8 moi nhat 2018

Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x2 + a

chia hết cho 3x + 2

b) 3x2 + ax + 27

chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2

Cõu2: Cho 3 số a, b, c thỏa món abc = 1999
Rỳt gọn biểu thức:
1999a
b
c
+
+
ab + 1999a + 1999 bc + b + 1999 ac + c + 1
Cõu 3: Cho abc ≠ 0 và a + b+ c ≠ 0 giải phương trỡnh:
a+ b− x a+ c − x b + c − x
4x
+

+
+
=1
c
b
a
a+ b+ c
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng
có bờ là AB cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF.
a. Chứng minh AE vuụng gúc với BC.
b. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng
hàng.
c. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
d. Tỡm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hỡnh vuụng
khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.

1


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Cõu 1: Tỡm số tự nhiờn n để:
a) Số A = n4 + 4 là số nguyờn tố.
n7 + n2 + 1
b) Phõn số 8
tối giản.
n + n+ 1
Cõu 2. Cho biểu thức:
 1
  4a + 2b 2 
a2 − 1
A =
− 3
:
− ÷
2 ÷  3
2a
+
b
a
2a
−
b
+
2a
−
a
b
a
b
+

ab



a. Rỳt gọn A
b. Tớnh giỏ trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phương trỡnh:
a,

x-101 x-103 x-105
+
+
=3
86
84
82

(

)

2

b, x2 − 9 = 12x + 1
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD.
Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD
thỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành.
Cõu 5. Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hỡnh chữ nhật
ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh:

1
MO = IC
2
b. Tính số đo góc BMK?

2


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

c. Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hóy xỏc định
vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ cú giỏ trị nhỏ nhất?
phũng GD- đt
huyện trực ninh
đề chớnh thức

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Mụn Toỏn lớp 8
Thời gian làm bài 120 phỳt

Cõu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
a2
b2
a2 + b2
P=
+
−
ab

ab + b2 ab − a2
a. Rỳt gọn P.
b. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c. Tớnh giỏ trị của P biết a, b thỏa món điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Cõu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a.
(n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyờn n.
b.
Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thỡ chia hết cho 9.
Cõu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trỡnh: x4 + x2 + 6x – 8 = 0
Cõu 4: ( 3 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Cõu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác,
H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,
AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
a. Xác định dạng của tứ giỏc OPQR? Tam giỏc ABC phải thỏa món điều
kiện gỡ để OPQR là hỡnh thoi?
b. Chứng minh AQ = OM.
c. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.
d. Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFL. Gọi I là trung
điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thỡ I di
chuyển trờn đường nào?

3

Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

phũng GD- đt
huyện trực ninh
đề chớnh thức

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 2001- 2002
Mụn Toỏn lớp 8
Thời gian làm bài 120 phỳt

Cõu 1: Cho a + b = 1. Tớnh giỏ trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Cõu 2: Chứng minh rằng:
a
b
c
1,
+
+
= 1 biết abc = 1.
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1
n2 + n + 1
2, 4
(n∈ N* ) khụng là phõn số tối giản.
2
n + n +1
Cõu 3: Cho biểu thức:
1

1
1
1
1
P= 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
a − a a − 3a + 2 a − 5a + 6 a − 7a + 12 a − 9a + 20
a. Tỡm điều kiện để P xác định.
b. Rỳt gọn P.
c. Tớnh giỏ trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Cõu 4*: Tỡm số tự nhiờn n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và
vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
a. Chứng minh: tam giỏc EMC cõn.
b. Chứng minh: Gúc BAD = 2 gúc AEM.
c. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách
từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.

4


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: Tỡm số tự nhiờn n biết:
a. A = n3 − n2 + n − 1 là một số nguyờn tố.
n4 − 16
b. C = 4
cú giỏ trị là một số nguyờn.
n − 4n3 + 8n2 + 16
c. D = n4 + 4n là một số nguyờn tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc ≠ 0.
a. Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
b. Tớnh giỏ trị của biểu thức:
c2
a2
b2
P= 2 2 2 + 2 2 2 2 2 2
a +b −c b +c −a c +a −b
Bài 3:
a. Giải phương trỡnh:
( x − a) ( x − c) + ( x − b) ( x − c) = 1
( b − a) ( b − c) ( a − b) ( a − c)
b. Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh:
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo.
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
a. Chứng minh : S∆AOD = S∆BOC
b. Chứng minh: OE = OF.

1
1
2
+
=
c. Chứng minh:
AB CD EF
d. Gọi K là điểm bất kỡ thuộc OE. Nờu cỏch dựng đường thẳng đi qua
K và chia đôi diện tích tam giác DEF.

5


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

a2 + 4a + 4
Cõu 1: Cho biểu thức: A = 3
a + 2a2 − 4a − 8
a. Rỳt gọn A.
b. Tỡm cỏc số nguyờn a để A có giá trị là một số nguyên.
Cõu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
x2 − yz y2 − xz z2 − xy

thỡ ta cú:
=
=
a
b
c
a2 − bc b2 − ca c2 − ab
=
=
x
y
z
Cõu 3. Giải phương trỡnh:
1
1
1
+ 2
+ 2
= 18
a, 2
x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42
b, x2 + 3y = 3026 với x, y ∈ N
Cõu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ.
Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Cõu 5. Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh
AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng
minh rằng:
1 2
a. BD.CE = BC
4

b. DM là phõn giỏc của gúc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và
AC.

6


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Cõu 1. Cho biểu thức A
Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x2 + a

chia hết cho 3x + 2

b) 3x2 + ax + 27

chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2

Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a

b
c
+
+
ab + 1999a + 1999 bc + b + 1999 ac + c + 1
Câu 3: Cho abc ≠ 0 và a + b+ c ≠ 0 giải phương trình:
a+ b− x a+ c − x b + c − x
4x
+
+
+
=1
c
b
a
a+ b+ c
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một nửa mặt phẳng
có bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.
e. Chứng minh AE vuông góc với BC.
f. Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng
hàng.
g. Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.
h. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi
điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.

7


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
c) Số A = n4 + 4 là số nguyên tố.
n7 + n2 + 1
d) Phân số 8
tối giản.
n + n+ 1
Câu 2. Cho biểu thức:
 1
  4a + 2b 2 
a2 − 1
A =
− 3
:
− ÷
2 ÷  3
2a
+
b
a
2a
−

b
+
2a
−
a
b
a
b
+
ab



c. Rút gọn A
d. Tính giá trị của A biết 4a2 + b2 = 5ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phương trình:
a,

x-101 x-103 x-105
+
+
=3
86
84
82

(

)

2

b, x2 − 9 = 12x + 1
Câu 4. Cho tứ giác ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD.
Gọi E và F là giao của BD với AM và AN. Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD
thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
Câu 5. Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật
ABCD; M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.

8


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

d. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh:
1
MO = IC
2
e. Tính số đo góc BMK?
f. Gọi P và Q lần lượt là 2 điểm thuộc đoạn BM và BC. Hãy xác định
vị trí của P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất?
Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: ( 4 điểm)

Cho biểu thức:
a2
b2
a2 + b2
P=
+
−
ab
ab + b2 ab − a2
d. Rút gọn P.
e. Có giá trị nào của a, b để P = 0?
f. Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
c.
(n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n.
d.
Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác,
H là trực tâm của tam giác. Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,
AC, BC. Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH.
e. Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện
gì để OPQR là hình thoi?

f. Chứng minh AQ = OM.
g. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

9


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

h. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL. Gọi I là trung
điểm của EL. Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di
chuyển trên đường nào?

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Câu 2: Chứng minh rằng:
a
b
c
1,
+
+
= 1 biết abc = 1.

ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1
n2 + n + 1
2, 4
(n∈ N* ) không là phân số tối giản.
2
n + n +1
Câu 3: Cho biểu thức:
1
1
1
1
1
P= 2
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
a − a a − 3a + 2 a − 5a + 6 a − 7a + 12 a − 9a + 20
d. Tìm điều kiện để P xác định.
e. Rút gọn P.
f. Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Kẻ đường thẳng qua C và
vuông góc với AB tại E. Gọi M là trung điểm của AD.
d. Chứng minh: tam giác EMC cân.
e. Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM.
f. Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC. Chứng minh tổng khoảng cách
từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC.
Phòng Giáo Dục và Đào Tạo

Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

10


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a. A = n3 − n2 + n − 1 là một số nguyên tố.
n4 − 16
b. C = 4
có giá trị là một số nguyên.
n − 4n3 + 8n2 + 16
c. D = n4 + 4n là một số nguyên tố.
Bài 2. Cho a + b +c = 0; abc ≠ 0.
c. Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
d. Tính giá trị của biểu thức:
c2
a2
b2
P= 2 2 2 + 2 2 2 2 2 2
a +b −c b +c −a c +a −b
Bài 3:
b. Giải phương trình:
( x − a) ( x − c) + ( x − b) ( x − c) = 1

( b − a) ( b − c) ( a − b) ( a − c)
b. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo.
Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.
e. Chứng minh : S∆AOD = S∆BOC
f. Chứng minh: OE = OF.
1
1
2
+
=
g. Chứng minh:
AB CD EF
h. Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua
K và chia đôi diện tích tam giác DEF.

Phòng Giáo Dục và Đào Tạo
Yên Định

đề thi chọn học sinh giỏi
năm học 1998 -1999
Môn Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút

11


Tam Ảo Thần Nguyễn Việt Toàn

a2 + 4a + 4
Câu 1: Cho biểu thức: A = 3
a + 2a2 − 4a − 8
c. Rút gọn A.
d. Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 2. Cho x, y, z đôi một kh`ác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
x2 − yz y2 − xz z2 − xy
thì ta có:
=
=
a
b
c
a2 − bc b2 − ca c2 − ab
=
=
x
y
z
Câu 3. Giải phương trình:
1
1
1
+ 2
+ 2
= 18
a, 2
x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42
b, x2 + 3y = 3026 với x, y ∈ N
Câu 4. Cho f(x) là một đa thức với hệ số dương. Biết f(0); f(x) là các số lẻ.

Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh
AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng
minh rằng:
1 2
a. BD.CE = BC
4
b. DM là phân giác của góc BDE.
c. Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnhAB và
AC.

12