các bài TOÁN về đồ THỊ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.1 MB, 22 trang )
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ
Nhím Còi
Trước khi chúng ta đi vào các bài toán của tài liệu này mình xin giới thiệu tới các bạn một
bài viết rất thú vị về nhà bác học nổi tiếng Archimedes.
Archimedes của Syracuse là một nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát minh, và một nhà thiên
văn học người Hy Lạp. Dù ít chi tiết về cuộc đời ông được biết, ông được coi là một trong những
nhà khoa học hàng đầu của thời kỳ cổ đại.
Tiểu sử
Acsimet (284 - 212 trước Công nguyên) là nhà giáo, nhà bác học vĩ đại của Hy
Lạp cổ đại, ông sinh tại thành phố
Syracuse, một thành bang của Hy Lạp cổ
đại. Cha của Acsimet là một nhà thiên
văn và toán học nổi tiếng Phidias, đã
đích thân giáo dục và hướng dẫn ông đi
sâu vào hai bộ môn này. Năm 7 tuổi ông
học khoa học tự nhiên, triết học, văn
học. Mười một tuổi ông đi du học Ai
Cập, là học sinh của nhà toán học nổi
tiếng Ơclit; rồi Tây Ban Nha và định cư
vĩnh viễn tại thành phố Cyracuse, xứ
Sicile. Ðược hoàng gia tài trợ về tài
chính, ông cống hiến hoàn toàn cho
nghiên cứu khoa học.
ACSIMET
Acsimet có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực Vật lý, Toán học và Thiên văn học.
Về Vật lý, ông là người đã sáng chế ra chiếc máy bơm dùng để tưới tiêu nước cho
đồng ruộng Ai Cập, là người đầu tiên sử dụng hệ thống các đòn bẩy và ròng rọc để
nâng các vật lên cao, là người đã tìm ra định luật về sức đẩy của nước.
Về Toán học, Acsimet đã giải bài toán về tính độ dài của đường cong, đường xoắn
ốc, đặc biệt ông đã tính ra số Pi bằng cách đo hình có nhiều góc nội tiếp và ngoại
tiếp.
Về Thiên văn học, ông đã nghiên cứu sự chuyển động của Mặt Trăng và các vì sao.
Acsimet suốt cuộc đời say sưa học tập, nghiên cứu. Tương truyền rằng ông đã tìm ra định
luật về sức đẩy của nước khi đang tắm. Ông đã sung sướng nhảy ra khỏi bồn tắm, chạy
thẳng về phòng làm việc mà quên cả mặc quần áo, miệng kêu lớn: "Ơrêca! Ơrêca (Tìm
thấy rồi! Tìm thấy rồi!). Trong cuộc chiến tranh của Hy Lạp chống quân xâm lược Rôma,
Acsimet đã sáng chế ra nhiều loại vũ khí mới như máy bắn đá, những cái móc thuyền, đặc
biệt trong đó có một thứ vũ khí quang học để đốt thuyền giặc. Thành Xicacudo đã được
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
1
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
bảo vệ đến 3 năm mới bị thất thủ. Khi bọn xâm lược hạ được thành, chúng thấy ông vẫn
đang say sưa ngồi nghiên cứu những hình vẽ trên đất. Ông đã thét lên: "Không được xóa
các hình vẽ của ta", trước khi bị ngọn giáo của kẻ thù đâm vào ngực. Acsimet đã anh dũng
hi sinh như một chiến sĩ kiên cường.
Acsimet là người yêu nước thiết tha. Trong giai đoạn cuối đời mình, ông đã tham gia bảo
vệ quê hương chống lại bọn xâm lược La Mã .Ông đã lãnh đạo việc xây dựng các công
trình có kỹ thuật phức tạp và chế tạo vũ khí kháng chiến. Hơn hai nghìn năm đã trôi qua
từ khi Acsimet bị quân La Mã giết hại, song người đời vẫn mãi ghi nhớ hình ảnh một nhà
bác học thiết tha yêu nước, đầy sáng kiến phát minh về lý thuyết cũng như về thực hành,
hình ảnh một con người đã hiến dâng cả đời mình cho khoa học, cho tổ quốc đến tận giờ
phút cuối cùng.
Những công trình ông tìm ra
Công thức tính diện tích và thể tích
hình lăng trụ và hình cầu.
Số thập phân của số Pi. Năm -250,
ông chứng minh rằng số Pi nằm giữa
223/7 và 22/7
Phương pháp tính gần đúng chu vi
vòng tròn từ những hình lục giác đều
nội tiếp trong vòng tròn.
Những tính chất của tiêu cự của
Parabole
Phát minh đòn bẩy, đinh vis Acsimet
(có thể do Archytas de Tarente),
bánh xe răng cưa.
Chế ra máy chiến tranh khi Cyracuse
bị quân La Mã vây.
Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng của Acsimet (có thể do Conon de Samos)
Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận
Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm Barycentre
Những khối Acsimet (Solides Acsimet)
Những dạng đầu tiên của tích phân.
Nhiều công trình của ông đã không được biết đến cho đến thế kỷ XVIIe, thế kỷ XIXe,
Pascal , Monge và Carnot đã làm công trình của họ dựa trên công trình của Acsimet.
Tác phẩm ông đã viết về
Sự cân bằng các vật nổi
Sự cân bằng của các mặt phẳng trên ký thuyết cơ học
Phép cầu phương của hình Parabole
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
2
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Hình cầu và khối cầu cho Toán. Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu theo bán
kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó.
Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)
Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng quanh một
trục (surface de révolution), những parabole quay quanh đường thẳng hay
hyperbole
Tính chu vi đường tròn (Ông đã cho cách tính gần đúng của con số Pi mà Euclide
đã khám phá ra.
Sách chuyên luận về phương pháp để khám phá Toán học. Sách này chỉ mới được
khám phá ra vào năm 1889 tại Jérusalem.
Về trọng tâm và những mặt phẳng: đó là sách đầu tiên viết về trọng tâm barycentre
(ý nghĩa văn chương là "tâm nặng")
Acsimet - Tôi đã phát hiện ra rồi
Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm một chiếc vương miện mới và thật đẹp.
Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho anh ta một thỏi vàng óng ánh yêu cầu anh ta
phải làm nhanh cho vua chiếc vương miện. Không lâu sau vương miện đã được làm xong,
nó được làm rất tinh vi và đẹp, Quốc vương rất hài lòng và đội lên đi đi lại lại trước mặt
các đại thần. Lúc đó có tiếng thì thầm: "Vương miện của bệ hạ đẹp quá nhưng không biết có
đúng đều là vàng thật không?" Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới,
hỏi: "Chiếc vương miện ngươi làm cho ta có đúng là toàn bằng vàng không?" Người thợ kim
hoàn bỗng đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: "Thưa bệ hạ tôn kính, số vàng Người đưa con
đã dùng hết, vừa đủ không thừa cũng không thiếu, nếu không tin bệ hạ cho cân lại thử xem có
đúng nặng bằng thỏi vàng Người đưa cho con không ạ." Các đại thần đem vương miện ra cân
thử, quả là không thiếu, vua đành phải thả người thợ kim hoàn về. Nhưng vua biết rằng
lời nói của người thợ kim hoàn ấy khó có thể tin được vì rằng anh ta có thể dùng bạc để
thay vàng với trọng lượng tương đương mà nhìn bề ngoài không thể phát hiện ra được.
Quốc vương buồn phiền chuyện này nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc vương: "Đây
quả là bài toán khó, con xin giúp người làm rõ chuyện này."
Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện cùng thỏi vàng, đúng là trọng lượng bằng nhau.
Ông đặt chiếc vương miện lên bàn ngắm nghía và suy nghĩ đến mức người phục vụ gọi ăn
cơm mà vẫn không biết.
Ông nghĩ: "Vương miện nặng đúng bằng thỏi vàng, nhưng bạc lại nhẹ hơn vàng, nếu như trong
vương miện có trộn lượng bạc nặng đúng bằng lượng vàng lấy ra, như vậy chiếc vương miện này
phải lớn hơn chiếc vương miện làm hoàn toàn bằng vàng. Làm thế nào để biết được thể tích của
chiếc vương miện này và thể tích của chiếc vương miện làm toàn bằng vàng cái nào lớn, cái nào
nhỏ? Chẳng lẽ phải làm một chiếc nữa, như vậy thì thật tốn công tốn sức." Acsimet lại nghĩ:
"Đương nhiên có thể nấu lại chiếc mũ này và đúc thành vàng thỏi để xem nó còn to bằng thỏi vàng
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
3
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
cũ không, nhưng như vậy chắc chắn nhà vua không đồng ý, tốt nhất là phải nghĩ ra cách gì khác để
so sánh thể tích của chúng. Nhưng cách gì đây?"
Acsimet thông minh bỗng trở lên trầm lặng, ông vắt óc suy nghĩ mãi mà vẫn chưa tìm ra
cách. Ông thường lặng lẽ ngồi cả buổi, mọi người nói ông "đang bí".
Một hôm Acsimet đi tắm, vì mải suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, sắp tràn cả ra ngoài.
Ông bước vào bồn tắm, nước tràn ra ngoài, ông càng chìm người vào bể nhiều thì nước
càng tràn ra ngoài nhiều. Acsimet như bừng tỉnh, mắt bỗng sáng lên, ông nhìn nước tràn
ra ngoài bể và nghĩ rằng: Số nước tràn ra có thể bằng với thể tích phần cơ thể của ông
chiếm trong bể nước không? Ông rất vui, lập tức cho đầy nước vào bồn tắm và lại bước
vào bồn, sau đó lại làm lại một lần nữa. Đột nhiên, ông bỗng chạy ra ngoài vỗ tay reo
lên: "Tôi đã phát hiện ra rồi, phát hiện ra rồi!"mà quên cả mặc quần áo.
Ngày thứ hai, Acsimet đã làm thực nghiệm trước mặt Quốc vương và các đại thần và có cả
người thợ kim hoàn để mọi người cùng xem. Ông thả vương miện và thỏi vàng cùng
trọng lượng vào hai dụng cụ đựng nước có thể tích bằng nhau được chứa đầy nước, sau
đó thu nước tràn ra vào hai bình đựng. Kết quả cho thấy nước ở bên vương miện tràn ra
nhiều hơn bên thả thỏi vàng rất nhiều.
Acsimet nói: "Mọi người đều đã nhìn thấy. Rõ ràng là vương miện chiếm chỗ ở trong nước nhiều
hơn so với thỏi vàng, nếu như vương miện đều là vàng thì lượng nước tràn ra ở hai bên sẽ bằng
nhau, cũng tức là thể tích của chúng bằng nhau".
Người thợ kim hoàn không còn gì để thanh minh được nữa, Quốc vương bực tức trừng
phạt anh ta. Nhưng cũng rất rui vì Acsimet đã giúp vua giải được bài toán khó này.
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
4
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Sau đây là các bài toán mà trong chuyên đề này tôi muốn giới thiệu cho các bạn. Trong tài
liệu này có một số bài do tôi sáng tác, sưu tầm từ các đề thi thử, các diễn đàn, bên cạnh đó
cảm ơn bạn Nguyễn Kim Anh đã đóng góp một số bài toán rất hay để chuyên đề này thêm
hoàn thiện.
y
Câu 1. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
đồng thời f x 1 f x 2 x 2 x 1 x 1 * Biết
rằng hàm số f x ax 4 bx 2 c ; g x mx 2 nx p
11
và f x g x 2 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
số g x
5
4
C. 2
A.
1
4
D. 4
x
O
B.
1
2
Lời giải
Từ * ta thay x 0 f 1 f 0
a b 0
Ta có x 0 y 1 c 1, f 0 f 1 a b c 1
c 1
và x 2, y 11 f x x 4 x 2 1
Mặt khác x 4 x 2 1 g x 2 1 m x 2 1 n x 2 1 p mx 4 2mx 2 m nx 2 n p
2
m 1
m 1
1
2 n 1
n 1 g x x 2 x 1; g ' x 2 x 1; g ' x 0 x
2
1 n p m p 1
5
Vậy giá trị nhỏ nhất g x . Chọn ý A.
4
Câu 2. Cho hàm số f x mx 4 nx 3 px 2 qx r r 1, 25 . Hàm số y f ' x có đồ thị
như hình vẽ dưới. Tổng số phần tử của S là tập các số nghiệm có thể có của phương trình
f x r 2 là?
y
1
O
5
4
3
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
x
5
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
A. 0
HỌC VIỆN LIVE
B. 2
Ta có g x f x r 2 g ' x f ' x 2r
C. 3
Lời giải
D. 5
5
13
1
15
Từ đồ thị ta có thể đặt f ' x x 1 x x 3 x 3 x 2 x
4
4
2
4
13 193
x
13
1
12
Lại có f '' x 3x 2 x . Mà f '' x 0
2
2
13 193
x
12
13 193
12
Vì r 1, 25 nên tịnh tiến đồ thị f ' x xuống 2,5 đơn vị thì thấy đồ thị g ' x cắt trục
Nên cực đại của hàm số f ' x 1, 08 khi x
hoành tại 1 điểm duy nhất nên đồ thị g x có 1 điểm cực trị! Nên f x r 2 có thể có 1, 2
hoặc 0 có nghiệm nào
Chọn ý C.
Câu 3. Cho hàm số bậc 2
x
2
f x có cực trị tại x 0 và thỏa mãn điều kiện
x . f x 1 f 2 x x 3 1 . Cho hàm số g x 2 x 2 2 . So sánh f ' 6 g ' 4 và
g '6 f ' 4
Lời giải
Đạo hàm 2 vế 2 x 1 . f x 1 f ' x 1 x 2 x f ' x .2 f x 3x 2
Thay x 0 f 1 0 vì f ' 0 0
Hàm số có dạng y a.x 2 bx c với x 0 là cực trị nên 2 a.x b 0 b 0 và
f 1 0 a c 0 . Thay x 1 thì f 0 1 ( do hàm số có dạng ax 2 c nên f 1 f 1 )
f ' 6 g ' 4 2. 6 4.4 4
Ta có
f ' 6 g ' 4 f ' 4 g ' 6
f
'
4
g
'
6
2.4
4.
6
16
Câu 4. Cho đồ thị hàm số f x như hình vẽ.
y
2
2
O
2
6
x
15
4
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
6
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
x 2 8x n m
Để hàm số h x
có số tiệm cận đứng là lớn nhất là n ( với m,n nguyên
f f x m
dương).Tính giá trị nhỏ nhất của S = m 2 n 2
A. 14
B. 74
D. 3
C. 50
Lời giải
f x m 2 f x 2 m
Để g x có số tiệm cận đứng thì f f x m 0 f x m 2 f x 2 m
f x m 6
f x 6 m
6 m 2
m5
2 m 15
4
Để hàm số có số TCĐ là lớn nhất thì hoặc là
15
2 m
4 m1
2 m 2
Có g ' x 2 x 8 đồng biến trên 4, nên khi m 5 và đường thẳng y 7 giáp với
f x
tại điểm có hoành độ lớn hơn 4
nên g x 0 với x thuộc
4;
nên
x 2 8x n m 0 . Nên S 74 hoặc 50 Smin 50
Chọn ý C.
Câu 5. Cho f x , f '' x và d là tiếp tuyến của f x dưới hình vẽ. Hàm số f x có
dạng mx 3 nx 2 p . Tính 43n 45 p
y
d
26
5
O
1
6
5
f x
x
f '' x
A.
285
3
B. 450
Phương trình f '' x là y '' 6mx 2 n
C. 201
D. 182
Lời giải
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 1 là y 3m 2n x 1 m n p
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
7
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
1
26
5 3m 2n 5 m n p
Ta có
26 36 m 2n
5
5
18m 13
86m 39
Tìm được n
;p
5
25
Chọn ý D.
Câu 6. Cho đồ thị hàm số f ' x như hình
vẽ.
Tổng
các
giá
trị
nguyên
x 1
y
của
m 3; 20 để hàm số g x f x m có 4
cực trị. Biết tử số của f x có hệ số tự do
dương.
A. 64
B. 58
C. 75
D. 88
x
O
y 2
13
Lời giải
Đặt h x f x mx h ' x f ' x m . Vì hệ số tự do của tử số của f x dương Và mẫu
có x 1 . Tức là f 0 0 . Ta thấy đường nét đứt giao với trục Oy và tại y 0 thì điểm
cực trị đó là cực đại x M và f x M f 0 0 Đường đỏ tạo ra 3 điểm cực trị cho g x
nếu cắt trục Ox
Trường hợp 1 : Cả 2 đường đỏ và vàng đều nằm trên Ox thì g x có 2 điểm cực trị.
Trường hợp 2 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm khác cực trị của f ' x (hoặc 3
điểm) có ít nhất 3 điểm cực trị và đường đỏ có 3 điểm cực trị (loại).
Trường hợp 3 : Đường màu vàng cắt Ox tại 4 điểm (loại) .
Trường hợp 4 : Đường màu vàng cắt Ox tại 2 điểm là cực trị của f ' x ( hoặc
không cắt điểm
nào) và để có 4 cực trị thì ta tịnh tiến đồ thị f ' x sao cho 13 m 2 . Khi đó tổng
giá trị m là 75
Chọn ý C.
Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên 1; 4 thỏa mãn và có đồ thị
5
như hình vẽ dưới đây. Tính giá trị của tích phân I f '' x x 1 x 5 dx ?
1
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
8
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
y
2
1
O
3
1
4
5
2
x
1
A. 4
B. 5
D. 7
C. 6
Lời giải
u x 1 x 5 du 2 x 6 dx
Sử dụng tính chất nguyên hàm từng phần ta đặt
v f ' x
v f '' x dx
u 2 x 6
5
du 2 dx
I 2 x 6 f ' x dx . Đến đây đặt tiếp
1
v f ' x dx v f x
5
I 2 x 6 f x 1 2 f x dx
5
1
Đến đây ta sẽ tính
5
f x dx .
1
Đặt A 1; 1 , B 2; 2 , C 3; 1 , D 4; 1 , E 5; 1 đồng thời
M 1;0 , N 2;0 , P 3;0 , Q 4;0 , S 5;0 .
Phương trình đường thẳng BC là y 3x 8 suy ra giao điểm của BC với trục
8
hoành là điểm I ; 0 .
3
4
Tọa độ giao điểm của DE với trục hoành là H ; 0
5
5
3
Ta có f x dx SMABN SBNI SICDH SHSE . Vậy I 5
1
2
Câu 8. Cho đồ thị hàm g x hàm bậc 4 như hình vẽ, biết g x f x f 1 x và
f 0 g 0 . Tính tích phân
2
x
xf ' 2 dx ?
0
y
O
A.
1
20
B.
1
10
x
1
C.
1
30
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
D.
1
40
9
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra g x x 1 x x 1 x f x f 1 x
3
3
Từ * tích phân hai vế ta được
1
1
f x dx 40
. Thay x 0 vào * ta được f 1 0
0
2
2
x
x
Tích phân từng phần được xf ' dx 2 x. f
2
20 0
0
2
x 1
f dx =
.
2 10
Chọn ý B.
y
Câu 9. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ
bên. Số tiệm cận đứng ít nhất có thể của đồ thị hàm
4
x2 1 1
số y 2
có thể bằng bao nhiêu?
x 1 f x 1
A. 1
C. 3
B. 2
D. 4
1
O
6
x
Lời giải
Hàm số có dạng
f x 1 k.x 2 p . x x1
y
2 q 1
; x1 6; p 1; q 1
x2 1 1
x2
1
2
q
1
2 q 1
f x 1
k.x 2 p . x x1
. x 2 1 1 k.x 2 p 2 . x x1 . x 2 1 1
Trường hợp ít TCĐ nhất là 2 p 2 0 p 1. khi đó:
y
x2 1 1
x2
1
2 q 1
2
q
1
2
p
2
f x 1
k.x . x x1
. x 2 1 1 k x x1
. x2 1 1
Suy ra có TCĐ duy nhất x x1
Câu 10. Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4 : y f x
y
được cho như hình vẽ bên. Tìm số giao điểm của
đồ thị hàm số y g x f x f x . f x và
2
trục Ox .
A. 4
C. 6
B. 2
D. 4
O
x
Lời giải
Số giao điểm của đồ thị hàm số y g x f x f x . f x và trục Ox bằng số
2
nghiệm của phương trình: f x f x . f x 0 f x f x . f x .
2
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
2
10
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Giả sử đồ thị hàm số y f x ax 4 bx 3 cx 2 dx e , a , b , c , d , e ; a 0, b 0 cắt trục
hoành Ox tại 4 điểm phân biệt x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
Đặt A x x1 , B x x2 , C x x3 , D x x 4 ta có:
f x a x x1 x x2 x x3 x x 4 a.ABCD .
TH1: Nếu x xi với i 1, 2, 3, 4 thì g xi f xi 0 .
2
Do đó x xi , i 1, 2, 3, 4 không phải nghiệm của phương trình g x 0 .
TH2: Nếu x xi với i 1, 2, 3, 4 thì ta viết lại
1 1 1 1
f x a BCD ACD ABD ABC f x .
A B C D
1
1
1
1 1 1 1
1
f x f x f x 2 2 2 2
D
A B C D
A B C
2
1
1
1
1 1 1 1
1
f x . f x . 2 2 2 2
D
A B C D
A B C
2
1
1
1
1 1 1 1
1
Suy ra, f x . f x f 2 x . f 2 x . 2 2 2 2 .
D
A B C D
A B C
2
1
1
1
1
Khi đó g x f x f x . f x f 2 x . 2 2 2 2 0 x xi i 1, 2, 3, 4 .
D
A B C
Từ đó suy ra phương trình g x 0 vô nghiệm.
Vậy đồ thị hàm số y g x không cắt trục hoành.
y
Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số
y f x
như
hình
vẽ
bên.
Xét
hàm
f ' x
số
g x 2 f x 2 x 3 4x 3m 6 5 với m là số thực.
Để g x 0 x 5 ; 5 thì điều kiện của m là
2
2
A. m f 5
B. m f 5
3
3
2
2
C. m f 0 2 5 D. m f 5 4 5
3
3
2
5
B
O
13
5
x
A
Lời giải
Ta có g x 0 g x 2 f x 2 x 3 4x 3m 6 5 0 3m 2 f x 2 x 3 4x 6 5 .
Đặt h x 2 f x 2 x 3 4 x 6 5 . Ta có h x 2 f x 6x 2 4 .
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
11
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
h 5 2 f 5 6.5 4 0
h 5 2 f 5 6.5 4 0
Suy ra h 0 2 f 0 0 4 0
h 1 2 f 1 6.1 4 0
h 1 2 f 1 6.1 4 0
Từ đó ta có bảng biến thiên
x
h
5
5
0
h 5
0
h 0
h
h
Từ bảng biến thiên ta có 3m h
5
m
Câu 12. Cho hàm số f x liên tục và xác
định trên
2
f
3
5
5.
y
và có đồ thị f ' x như hình vẽ.
Tìm số điểm
y f x2 x ?
cực
trị
của
hàm
số
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
O
x
1
4
Lời giải
1
Ta có y ' 2 x 1 f ' x 2 x , x 2 x m có nghiệm khi và chỉ khi m . Dựa vào đồ thị ta
4
thấy đồ thị hàm f ' x cắt trục hoành tại 5 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ nhỏ hơn
1
1
và có một tiệm cận. Khi đó ứng với mỗi giao điểm có hoành độ lớn hơn và 1 điểm
4
4
2
không xác định thì y ' 0 có 2 nghiệm Từ đây dễ dàng suy ra hàm y f x x có 11 cực
trị!
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
12
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
y
Câu 13. Cho hình vẽ của đồ thị các hàm số
xc
y x a ; y x b ; y x c có đồ thị như hình bên.
Khi đó hãy tìm tổng của giá trị nhỏ nhất và
2m
xb
giá trị lớn nhất của biểu thức
T
3a2 2b a c
A. 31
C. 33
m
0, 5
2
a2 5c 2 4 ac
B. 32
D. 34
O
xa
x
Hướng dẫn
Nhận thấy ngay khi x , ta có
c 2 b c log 2 1 b log 2 c b log 2 1
a 0.5 a log 2 1
ac b
Đến đây thay vào biểu thức ta được một hàm thuần nhất 2 biến rồi đặt 1 ẩn đưa về khảo
sát hàm 1 biến!
y
Câu 14. Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm
y log a x
số y log a x và y f x . Đồ thị của chúng đối
xứng
với
nhau
qua
thẳng y x 1 .Tính f log a 2018
đường
a
2018
1
B. f log a 2018 1
2018a
a
C. f log a 2018 1
2018
1
D. f log a 2018 1
2018a
O
x
1
A. f log a 2018 1
y f x
y x 1
Lời giải
Gọi b ; c C 1 : y log a x ; e ; f C 2 : y f x .
Ta có hệ điều kiện
c f b e 2
b c f e 2 b f 1
b c e f
c e 1
1 b e 1 c f 0
e 1 log a f 1 f 1 a e 1 f 1 a e 1 f x 1 a e 1 .
Vậy f log a 2018 1 a log a 2018 1 1
1
2018a
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
13
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
Câu
15.
Cho
hàm
số
bậc
g x f mx 2 nx p m , n , p
HỌC VIỆN LIVE
ba
f x
y
và
g x
có đồ thị như
2
hình dưới, trong đó đường nét liền là đồ thị hàm
f x , đồ thị hàm nét đứt là đồ thị hàm g x ,
1
là trục đối xứng hàm g x . Giá trị
2
của biểu thức P n m m p p 2n bằng bao
f x
đường x
nhiêu?
A. 6
C. 12
O
2
B. 24
D. 16
1
x
2
1
2
Lời giải
Ta có f x ax bx cx d f ' x 3ax 2 2bx c . Hàm số đạt cực trị tại x 0; x 2 và
3
2
đồ thị đi qua điểm 1; 0 , 0; 2 nên ta có
f ' 0 0 a 1
f ' 2 0 b 3
f x x 3 3x 2 2
c
0
f
1
0
f 0 2
d 2
Ta có g x mx 2 nx p 3 mx 2 nx p 2 . Hệ số tự do bằng p 3 3 p 2 2 . Đồ thị
3
2
hàm số g x đi qua điểm 0; 0 nên p 3 3 p 2 2 0 p 1 . Đồ thị hàm số
g x f mx 2 nx p có trục đối xứng x
1
nên đồ thị hàm số y mx 2 nx p cũng có
2
1
n
1
m n.
2
2m
2
Đồ thị hàm số g x đi qua điểm 2; 2 nên
trục đối xứng x
m n 1
g 2 0 g x 2 m 1 3 2 m 1 2 2
m n 1
2
Do đồ thị có hướng quay lên trên nên ta suy ra m 0 m n p 1
3
2
Câu 16. Cho 0 a 1 b 1 a và hàm số y g x
0; . Biết đồ thị hàm số
f x
f
x 1
2
có đạo hàm trên
y f x như hình vẽ dưới. Khẳng định nào sau đây đúng với
mọi x a 1; b 1
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
14
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
y
y f x
n
m
a
O
A. g x
f
b 1
m
B. g x
f
a 1
n
x
b
C. g x
f
b 1
m
D. 10 g x 0
Lời giải
2
Ta có x a 1; b 1 x 1 a ; b , dựa vào đồ thị ta có
1
1
1
2
m f x 1 n
2
n f x 1
m
Mặt khác 0 a 1 b 1 a dựa vào đồ thị ta thấy f x đồng biến trên a 1; b 1
nên ta có f
a 1 f x f
b 1 g x
f
Câu 17. Cho hàm số f x có đạo hàm trên
\b và hàm số g x có đạo hàm trên
b 1
m
y
. Biết
y f x
đồ thị của hai hàm số y f ' x , y g ' x như
hình vẽ dưới. Đặt h x f x g x và
S h x 2 b h b x 2 1 2 h c h c
2
2
với a,b,c là các số thực đã biết. Khẳng định đúng
với mọi x 0 là?
y g x
O
a
b
c
x
A. S h c ; h a c B. S h c
C. S h c ; h a b D. S h a ; h c
Lời giải
x a
Từ đồ thị đã cho ta suy ra h ' x f ' x g ' x ; h ' x 0 f ' x g ' x
x c
Lập bảng biến thiên ta có
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
15
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
x
h ' x
HỌC VIỆN LIVE
a
0
b
+
+
c
0
h c
h x
h a
Lại có S h b x 2 h c h b x 2 h x 2 b h c
2
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình
vẽ dưới. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m 20; 20 để hàm số
y f x m có 5 điểm cực trị?
x 2
y
3
3
O
1
x
2
A. 210
B. 212
C. 211
D. 209
Lời giải
Chúng ta có thể tính nhanh theo công thức là hàm số y f x m có 5 điểm cực trị khi
và chỉ khi hàm số y f x m có 2 điểm cực trị dương và hàm số phải liên tục tại x0 0 .
Dựa vào đồ thị của hàm số ta suy ra
1 m 0
m 1
m 20, 19, 18,..., 3, 1, 0
2 m 0
m 2
Câu 19. Cho 3 hàm số y f x , y g x , y h x . Đồ thị của 3 hàm số
y f x , y g x , y h x có đồ thị như hình vẽ dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ
3
thị của hàm số y f x . Hàm số k x f x 7 g 5x 1 h 4x đồng biến trên
2
khoảng nào dưới đây ?
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
16
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
y g ' x
y
10
y f ' x
5
O
34
x
8
y h ' x
15
A. ; 0 .
4
1
B. ; .
4
3
3
C. ; 1 .
D. ; .
8
8
Lời giải
15
3
Ta cần giải bất phương trình k ' x f ' x 7 2 g ' 2 x 4h ' 4x 0
2
2
Không thể giải trực tiếp bất phương trình này. Quan sát các đồ thị của các hàm số
y f ' x , y g ' x , y h ' x ta nhận thấy
f ' x 10, x 3; 8 ; g ' x 5, x , h ' x 5, x 3; 8
Do đó f ' a 2 g ' b 4h ' c 10 2.5 4.5 0, a , c 3; 8 , b
3 x 7 8
3
x 1 . Đối chiếu với đáp án ta chọn ý C.
Vì vậy ta chỉ cần chọn
3
8
3 4 x 2 8
Câu 20. Cho 2 hàm số f x , g x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng x 1, x 6
đều là các điểm cực trị của 2 hàm số f x , g x đồng thời f 1 g 6 , 2 f 6 g 1 3 và
2 f 5x 16 3 g 5x 9 1 * .Gọi M,m lần lượt là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S f x f x 2 g x 1 g 2 x g x . Tính tổng P M m ?
y
g x
f x
O
A.
27
4
B.
23
4
x
6
1
C.
9
2
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
D.
11
2
17
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Lần lượt thay x 2, x 3 vào * đồng thời kết hợp điều kiện ban đầu ta có hệ phương
2 f
2 f
trình
2 f
2 f
1 3 g 6 1
6 3 g 1 1 f 1 g 6 1
6 4 g 1 4 f 6 5 , g 1 2
2
1 4 g 6 4
Từ giả thiết kết hợp đồ thị ta nhận thấy rằng g x nghịch biến trên 1; 6 và f x đồng biến
5
trên 1; 6 g x 1; 2 , f x 1; . để đơn giản ta đặt u f x , y g x
2
Ta có S u2 2uy y 2 u y f u ; y . Coi đây là 1 hàm số theo ẩn u ta có
2y 1
2
35
5
Ta có f 1; y 1 2 y y 2 y 1 y 2 y 2; f ; y y 2 4 y
4
2
f u ' u ; y 2u 2 y 1 0 u
5
f ; y f 1; y 0, y 1; 2
2
2y 1 5
2y 1 5
3
3
Xét y 1; u
1; và y ; 2 u
1;
2
2
2
2
2
2
3
5
Với y 1; 1 khảo sát hàm số f u ; y theo biến u 1;
2
2
35 23
5
f u u ; y f 1; y y 2 y 2 1 ,và f u u; y f ; y y 2 4 y
4
4
2
3
5
Với y ; 2 2 . Lập bảng biến thiên cho hàm số f u ; y theo biến u 1; ta có
2
2
2
2y 1
8y 1 7
2y 1 2y 1
f u u; y f
;y
y 2 y 1 y 2
y
2
2
4
2
2
35 23
5
Và f u u; y f ; y y 2 4 y
4
4
2
23
23
27
Từ 1 và 2 max S M
, min S m 1 P M m
1
4
4
4
y
Câu 21. Cho hàm số y f x liên tục trên
y f x
đoạn 2; 2 và có đồ thị trên đoạn 2; 2
1
như hình vẽ dưới. Hỏi phương trình
3
f 2 x 2 f x 9
f x 2 3 có bao
nhiêu nghiệm thực trên đoạn 2; 3 ?
A. 1
C. 3
1
2
B. 2
D. 4
O
1
2
x
1
Lời giải
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
18
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Ta có đồ thị hàm y f x 2 như hình vẽ dưới ( phần trên trục Ox)
y
1
O
Xét hàm số y
1
3
2
4
f x 2 3 trên đoạn 0; 4 ta có y
Xét hàm số y f x trên đoạn 2; 2 ta có
3
x
f x 2 3 2 ,
f 2 x 2 f x 9
3
f x 1
2
8 2
x 0
f x 2 1
Suy ra VT VP dấu “=” xảy ra khi
x 2
f x 1
Câu 22. Cho đồ thị hàm số f x và f ' x như hình vẽ. Diện tích tạo bởi f ' x và f x
gần nhất ?
y
2
3
O
x
5
A. 23.
B. 65.
C. 50.
D. 43.
Lời giải
Đặt f x ax bx cx d f x 3ax 2bx c .
3
2
2
f x f ' x ax 3 b 3a x 2 c 2b x d c .
x 2 12 a 4b c 0
Nhìn vào đồ thị ta có
(1)
x
3
27
a
6
b
c
0
f ' x có cực trị là -4 , gọi x 0 là hoành độ của điểm cực trị thì
f '' x0 0 6 ax0 2b 0 x0
b
và 3a.x0 2 2 bx0 c 5
3a
2
2
b
b
b
3a. 2 2b c 4
c 5 (2)
9a
3a
3a
Từ (1) a
2
b và c 4b 12 a , thay vào (2) ta được
3
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
19
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
2
b
b 2
2
4
24
.
4b 12 a 5
4b 8b 5 b
a
c
3a
2b
5
15
5
4
6 2
24
f x f ' x x3
x 4x
0 có nghiệm là x1 , x2
15
5
5
x2
Vậy diện tích cần tìm là
4
15 x
3
x1
6 2
24
x 4x
65, 4
5
5
Chọn ý B.
Câu 23. Cho đồ thị hàm số là nguyên hàm của f x có dạng F x ax 3 bx 2 5x d . Tính
diện tích tạo bởi f x và trục hoành?
y
4
4
A.
80
.
3
B.
20
.
3
x
O
C.
50
.
3
D.
70
.
3
Lời giải
Ta có F x ' 3ax 2bx 5 nên F ' 0 5 f 0 5
2
Từ 2 điểm cực trị có hoành độ là -4 và 4 ta có thể vẽ đại khái đồ thị của f x như sau
f x mx 2 nx 5
x 4 16m 4n 5 0
5
5 2
Có
m
f x
x 5 .
16
16
x 4 16m 4n 5 0
4
4
5
80
.
5
3
4
4
80
Vậy diện tích cần tìm là
.
3
Chọn ý A.
Suy ra
f x 16 x
2
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
20
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
Câu
24.
Cho
hai
đồ
thị
4
2
C1 : y f x x ax b và đồ thị hàm số
C 2 : y g x x
3
mx nx p như
2
y
A
hình
vẽ. Gọi B, D là hai điểm cực trị của C 1 , A
và C lần lượt là hai điểm cực đại và cực tiểu
của C 2 , (A và C đối xứng nhau qua điểm
I
U Oy . Biết hoành độ A và B bằng nhau,
hoành độ của C và D bằng nhau. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của a để AB 3 ?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
x1
x2
O
B
D
x
C
Lời giải
x 0
a
x1 , vói a 0, 1 ,
Ta có f ' x 4x 2 ax ; f ' x 0 2
a
x
2
2
g ' x 3x 2 2mx n
3
Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình g ' x 0
Vì điểm U 0; b là trung điểm của AC nên x1 x2 0 m 0
n
n 3x12 , 2 ,
3
n
a
3a
Từ 1 , 2 ta suy ra n
3
2
2
Ngoài U 0; b C 2 nên suy ra b p
Mặt khác x1 x2 x12 x1 x2
a
3
3
y A x1 nx1 p 2 x1 p a p
2
Ta có được
2
y x 4 ax 2 b a b
1
1
B
4
Do đó AB 3 y B y A 3 a
Đặt t
a a2
3, *
2 4
a
a 2t 2 t 0
2
Từ * t 4 2t 3 3 t 4 2t 3 3 0 t 0
t 1 t 3 3t 2 3t 3 0 0 t 1 2t 2 2 2 a 0
Câu 25. Cho hàm số f x xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m để phương trình 2 f 3 4 6 x 9 x 2 m 3 có nghiệm.
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
21
Một số bài toán tổng hợp về đồ thị
HỌC VIỆN LIVE
y
3
1
O1
4 3 2
3
4
1
5
x
1
5
B. 14
A. 13
C. 15
D. 16
Lời giải
Điều kiện 6x 9x 2 0 0 x
2
3
2
1
2
Với x 0; ta có 0 6x 9x 2 9 x 1 1
3
3
0 4 6x 9x 2 4 3 3 4 6 x 9 x 2 1
Dựa vào đồ thị ta suy ra 5 f 3 4 6x 9x 2 1
Khi đó phương trình 2. f 3 4 6x 9x 2 m 3 có nghiệm 5
Vì m
nên m 7; 6; 5; 4; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5
m3
1 7 m 5
2
Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn.
Truy cập
1. Fanpage />2. Group />
Để nhận thêm nhiều tài liệu bổ ích cả 3 môn toán lý hóa nhé
Trên đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
22
