Đề thi học sinh giỏi toán 9

Phòng giáo dục đề thi tuyển chọn học sinh giỏi
Vĩnh linh năm học 2007-2008
Môn: toán - lớp 9
Thơì gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1:
Tìm số tự nhiên có ba chử số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chử số
của nó với n. ( n

N*, n có thể gồm một hoặc nhiều chử số).
Bài 2:
a) Chứng minh rằng: 11
10
- 1 chia hết cho 600.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 2
n
+ 1 chia hết cho 3.
Bài 3:
Cho: A =
200
1
199
1
...
102
1
101
1
++++
. Chứng minh rằng:
8
5

< A <
4
3
Bài 4:
Cho hai số x và y thỏa mản điều kiện: x.y = 1 và x > y.
Chứng minh rằng:
22
22


+
yx
yx
Bài 5:
a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: (x + y)
2
= (x-1).(y+1).
b) Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh
rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên.
Bài 6:
Cho

ABC có

B > 90
0
, H là trực tâm của

ABC. Hai trung tuyến AM và
BK cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O.

Chứng minh rằng:
333
333
IHIBIA
IMIKIO
++
++
=
22
1

Bài 7:
Chứng minh rằng: x
2
- x
9
- x
1945
chia hết cho x
2
- x + 1

L u ý : - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng
H ớng dẩn chấm
Bài 1: (1,5đ).
Gọi số cần tìm là
abc
(

,91

a

9,0

cb
), ta có:

abc
+ 100.n + 10.n + n =
abc
.n
=>
abc
= (
abc
-111).n (1)
=>
abc

n
Đặt
abc
= n.k ( k

N ) Thay vào (1) ta đợc:
n.k + 111.n = n.k.n
n

0 => k + 111 = n.k
=> 111 = (n-1).k
=> n-1 và k ớc của 111, Ư(111) =
{
1; 3; 37; 111
}

Với k = 1 => n-1 =111 => n=112 do đó
abc
= 112
Với k = 3 => n-1 = 37 => n=38 do đó
abc
= 114
Với k =37 => n-1= 3 => n= 4 do đó
abc
= 148
Với k=111=> n-1=1 => n= 2 do đó
abc
= 222.
Bài 2: (1,5đ)
a) (1,0đ)
11
10
- 1 = (11-1).(11
9
+11
8
+11
7
+11

6
+11
5
+11
4
+11
3
+11
2
+11+1)
= 10.
[
(11
9
+11
8
) + (11
7
+11
6
) + (11
5
+11
4
) + (11
3
+11
2
) + (11+1)
]

= 10.(11
8
.12 + 11
6
.12 + 11
4
.12 + 11
2
.12 + 12)
= 10.12.( 11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+1)
= 120.( 11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+1)
11
8
có chử số tận cùng bằng 1

11
6
có chử số tận cùng bằng 1
11
4
có chử số tận cùng bằng 1
11
2
có chử số tận cùng bằng 1
=> 11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+1 có chử số tận cùng bằng 5
=> (11
8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+1)

5
=> 120.( 11

8
+ 11
6
+ 11
4
+ 11
2
+1)

600
Vậy: 11
10
- 1 chia hết cho 600.
b) (0,5đ)
Ta có: 2

-1(mod 3) => 2
n

(-1)
n
(mod 3)
=> 2
n
+1

(-1)
n
+ 1(mod 3)
Do đó: (2

n
+1)

3 (-1)
n
+ 1 chia hết cho 3
n là số lẻ.
Bài 3: (1,5đ)
A =
200
1
199
1
...
102
1
101
1
++++
=






+
200
1
101

1
+






+
199
1
102
1
+ ... +






+
151
1
150
1
=
200.101
301
+
199.102

301
+...+
151.150
301

= 301.






+++
151.150
1
...
199.102
1
200.101
1
Ta thấy: 101.200 < 102.199 < ... < 150.151
Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng
=>
200.101
1
lớn nhất,
151.150
1
nhỏ nhất.
Do đó: A < 301.

+++
200.101
1
...
200.101
1
200.101
1
= 301.
200.101
1
.50 =
404
301
<
404
303
=
4
3
Suy ra: A <
4
3
(1)

A > 301.






+++
151.150
1
...
151.150
1
151.150
1
= 301.
151.150
1
. 50 =
453
301
>
453
300
>
480
300
=
8
5

Suy ra: A >
8
5
(2)
Từ (1) và (2):
8
5
< A <
4
3
Bài 4: (1đ)
Ta có:
( )
yx
yx
yx
xy
yx
yx
xyyx
yx
yx

+=

+=


=

+
222
2
22
(vì x.y = 1)
Vì: x >y => x-y > 0 và
0
2
>

yx
. áp dụng BĐT Cauchy (Cô si) cho hai số không
âm x-y và
yx

2
, ta có: x-y +
yx

2

yx
yx



).(2
.2
= 2.
2

Suy ra:
22
22


+
yx
yx
Bài 5: (1,5đ)
a) (0,75đ) Ta có: (x + y)
2
= (x-1).(y+1)
x
2
+ 2xy + y
2
= xy + x - y - 1
x
2
+ xy + y
2
- x + y + 1 = 0
2.x
2
+ 2.xy + 2.y
2
- 2.x + 2.y + 2 =0
(x
2
+2xy+y

2
)+(x
2
-2x+1)+(y
2
+2y+1) = 0
(x+y)
2
+ (x-1)
2
+ (y+1)
2
= 0






=+
=
=+
01
01
0
y
x
yx

=
=
1
1
y
x
Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: x=1; y=-1.
b) (0,75)
Giả sử a là nghiệm nguyên của f(x). Với mọi x, ta có:
f(x) = (x-a).g(x) , trong đó g(x) là đa thức có hệ số nguyên.
Do đó: f(0) = -a.g(0) ; f(1) = (1-a).g(1).
Vì f(0) là số lẻ nên -a là số lẻ; f(1) là số lẻ nên 1-a là số lẻ. Vô lí vì -a và 1-a là
hai số nguyên liên tiếp.
Do đó: f(x) không có nghiệm nguyên.
Bài 6: (2,0đ)
Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng

O
I
K
M
H
A
B
C
Chứng minh:
Ta có:

=
=
KCKA
MCMB
=> KM // AB
=>
2
1
===
AB
KM
IA
IM
IB
IK
(1)
Ta có: +) H, I, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, tâm đờng đi qua ba đỉnh của tam
giác ABC nên H, I, O thẳng hàng. ( Đờng thẳng Ơ-Le)
+) KO // BH (

AC)
=>
IH
IO
IB
IK
=
(2)

Từ (1) và (2) =>
2
1
===
IA
IM
IB
IK
IH
IO
=>
8
1
333
333
3
3
3
3
3
3
=
++
++
===
IAIBIH
IMIKIO
IA
IM
IB

IK
IH
IO
=>
333
333
IAIBIH
IMIKIO
++
++
=
8
1
=
2.2
1
(đpcm)
Bài 7: (1đ) áp dụng tính chất: (x
n
+y
n
) chia hết cho (x+y), với n lẻ và x

-y
Ta có: x
2
- x
9
- x
1945

= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-(x
1945
-x)
= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-x.(x
1944
-1)
= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-x.(x
972
-1).(x
972
+1)
= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-x.(x
972
+1).(x

486
+1).(x
486
-1)
= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-x.(x
972
+1).(x
486
+1).(x
243
-1).(x
243
+1)
= (x
2
-x+1)-(x
9
+1)-x.(x
972
+1).(x
486
+1).(x
243
-1).
[
(x

3
)
81
+1
]
Vì: x
2
-x+1 chia hết cho x
2
-x+1
x
9
+1=(x
3
)
3
+1
3
chia hết cho x
3
+1 => x
9
+1 chia hết cho x
2
-x+1
(x
3
)
81
+1 chia hết cho x

3
+1 => (x
3
)
81
+1 chia hết cho x
2
-x+1
=> x
1945
-x chia hết cho x
2
-x+1
Do đó: x
2
- x
9
- x
1945
chia hết cho x
2
-x+1

TB: Có vấn đề gì cần liên hệ Nguyễn Đăng ánh- Trờng THCS Cửa Tùng
ĐT: 0983513063- 053 613063
Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng