D04 góc giữa hai mặt phẳng muc do 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.97 MB, 53 trang )
Câu 39. [1H3-4.4-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017)
Cho hai tam giác
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
Tính giá trị của
A.
sao cho hai mặt phẳng
.
B.
và
và
,
.
vuông góc với nhau.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
,
lần lượt là trung điểm
,
.
Ta có:
nên
cân tại
cân tại . Suy ra
,
.
Góc giữa
và
là góc
.
Tính:
,
vuông cân tại
Góc giữa
và
có:
cân tại
,
.
là góc giữa
và
.
Khi đó
.
Xét
vuông cân tại
và
có
và
.
.
[1H3-4.4-3] (THPT Kinh Môn 2 - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp
vuông góc với đáy,
lần lượt là
.
có:
suy ra:
Câu 47.
A.
,
.
Xét
Từ
cân tại
và
và
. Hình chiếu vuông góc của
. Góc của hai mặt phẳng
B.
.
C.
Lời giải
Chọn D
và
.
lên các đoạn
bằng
D.
.
Kẻ đường kính
của đường tròn ngoại tiếp
Ta có
hay
nên
.
và
Chứng minh tương tự ta được
hay
. Suy ra
.
, mà
.
Ta có
.
Vậy
.
Câu 46:
[1H3-4.4-3] (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông có độ dài đường chéo bằng
và
vuông góc với mặt phẳng
và
A.
. Nếu
.
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
thì góc giữa hai mặt phẳng
B.
.
C.
.
và
D.
bằng
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
.
Hình vuông
cạnh bằng .
Ta có
có độ dài đường chéo bằng
suy ra hình vuông đó có
.
Ta có
.
Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ. Ta có
,
,
,
.
Khi đó
;
;
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
.
.
Suy ra
Câu 1.
.
[1H3-4.4-3] (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018 - BTN) Cho hình chóp
là hình chữ nhật, cạnh
. Gọi
A.
là trung điểm
.
vuông góc với mặt phẳng
B.
.
C.
Chọn B
kẻ
,
. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng
Lời giải
Trong
,
.
.
có đáy
và
D.
.
.
Ta có:
là hình chiếu của
Mặt khác:
lên
.
.
.
Xét
vuông tại
, ta có:
Ta lại có:
.
.
.
Xét
vuông tại
, ta có:
.
.
Vậy cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
là
.
Câu 35: [1H3-4.4-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho tứ diện
có
. Hai tam giác
và
có diện tích lần lượt là và . Biết thể tích
khối tứ diện
A.
bằng
.
. Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng
B.
.
C.
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
là hình chiếu của
xuống
Gọi
là hình chiếu của
xuống
Mặt khác
. Ta có
, dễ thấy
.
.
. Vậy
Do đó
.
Câu 21. [1H3-4.4-3](Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hình chóp
có đáy
A.
là hình thoi tâm
.
, đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
. Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng
và
B.
D.
.
C.
Lời giải
.
. Biết
.
.
Chọn A
Gọi
là trung điểm của
, do tam giác
cân tại
Theo giả thiết ta có
. Do đó
Từ và suy ra góc giữa hai mặt phẳng
và
nên ta có
.
suy ra
.
là góc giữa hai đường thẳng
và
.
Ta có
suy ra
Do đó
.
.
Mặt khác
. Do đó tam giác
, suy ra
[1H3-4.4-3]
có đáy là hình thoi cạnh
hai mặt phẳng
A.
.
và
là
.
(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho lăng trụ đứng
, góc
và
B.
,
.
. Khi đó
bằng
.
là trung điểm của
C.
Lời giải
Chọn D
hay góc
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
Câu 11.
vuông cân tại
.
. Gọi
D.
của góc giữa
.
Gọi
Vì
, khi đó
.
là hình thoi có
nên tam giác
là đường trung bình của tam giác
nên
. Do đó
. Suy ra
Theo định lý ba đường vuông góc ta có
là góc giữa
Xét tam giác
và
là
đều cạnh .
, suy ra
cân tại
hay
,
.
, do đó góc giữa mặt phẳng
và
.
vuông tại
,
.
Câu 31. [1H3-4.4-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các
cạnh đều bằng . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
+ Gọi
là tâm của hình chóp tứ giác đều
cạnh và các mặt bên là các tam giác đều cạnh
+ Gọi là trung điểm cạnh
.
. Ta có
.
, đáy
là hình vuông
Theo giả thiết ta có:
nên góc giữa mặt bên
góc
và mặt đáy
bằng góc giữa hai đường thẳng
. Khi đó:
và
.
Câu 31: [1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Cho hình lập phương
cạnh bằng
A.
. Số đo của góc giữa
.
B.
và
.
có
:
C.
Lời giải
.
D.
.
Chọn B
Ta có:
Kẻ
.
. Do
nên
Do đó:
Tam giác
.
.
có
,
.
.
Vậy
bằng
.
Câu 49: [1H3-4.4-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Cho hình lập phương
có cạnh bằng . Số đo góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
với
lần lượt là trung điểm của
Suy ra
Lại có:
là đường trung bình của
nên
Mặt khác:
Do đó
Suy ra
đều
Vậy
.
Câu 32:
[1H3-4.4-3]
(THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN)
Cho hình chóp
. Xác định
có đáy
là hình vuông cạnh
để hai mặt phẳng
và
và
tạo với nhau một góc
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn B
Ta có
, vẽ
tại
,
.
, vẽ
tại
.
.
Ta có
,
,
.
đều cho ta
.
Câu 25:
[1H3-4.4-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 BTN] Cho hình lập phương
cạnh . Gọi ,
lần lượt là trung
điểm của
và
. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
.
.
Kẻ
.
Lại có
Từ
.
,
suy ra
Xét tam giác
hay
vuông tại
:
.
và
.
Câu 39: [1H3-4.4-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho lăng trụ đứng
có
,
hai mặt phẳng
và
A.
. Gọi
là trung điểm của
. Tính
của góc tạo bởi
.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
Gọi
là trung điểm
, ta có:
.
Tam giác
vuông tại
Chọn hệ trục
.
(như hình vẽ). Ta có:
,
Mặt phẳng
có:
,
có một VTPT
.
.
,
.
Mặt phẳng
có một VTPT
.
.
Câu 40: [1H3-4.4-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
có thể tích
từ
. Gọi
đến mặt phẳng
là trung điểm cạnh
. Nếu
thì khoảng cách
bằng bao nhiêu?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Gọi
là tâm hình vuông
Đặt
.
;
Tam giác
.
.
vuông tại
nên
.
.
;
(Vì
).
.
Ta có:
Lại có:
.
.
Câu 33: [1H3-4.4-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Cho hình chóp
có
đáy
là hình thang vuông tại
cạnh
biết hai mặt phẳng
bằng
A.
.
và
,
,
,
là trung điểm
cùng vuông góc với đáy và thể tích khối chóp
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
B.
. Gọi
.
,
C.
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình thang
,
Độ dài đường cao
Vẽ
.
.
tại
.
Ta có
.
.
.
Câu 36:
[1H3-4.4-3]
(THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Cho
hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và , cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng đáy và
Tính góc giữa hai mặt phẳng
A.
B.
. Cho biết
và
.
C.
Lời giải
Chọn D
.
D.
Gọi
là trung điểm của
Ta có
và
là hình chiếu của
. Do đó
Ta có
lên
.
.
nên góc giữa hai mặt phẳng
và
là góc
.
Ta có
suy ra tam giác
Ta có
Mặt khác
Xét tam giác
nên
vuông tại
.
.
.
vuông tại
có
.
Câu 39:
[1H3-4.4-3] [Sở GD và ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN]
Cho hình chóp tứ giác đều
, có đáy
là hình vuông, cạnh bên
bằng cạnh đáy và bằng . Gọi
là trung điểm của
. Góc giữa hai mặt
phẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
là tâm hình vuông
, Ta có:
.
.
cân tại
;
.
.
Vậy
.
Câu 40: [1H3-4.4-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong mặt
phẳng
cho hình vuông
tại
A.
.
lấy điểm
cạnh
thỏa mãn
B.
. Trên đường thẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
.
C.
.
Lời giải
Chọn D
vuông góc với mặt phẳng
và
D.
là
.
Ta có
, vẽ
, vẽ
.
Ta có
Các
là đườngg trung bình của
,
vuông cân cho ta
.
đều nên
.
Câu 15.
[1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hình chóp
có
đáy
là tam giác vuông cân tại ,
, tam giác
và tam giác
lần lượt vuông tại ,
. Khoảng cách từ
đến mặt phẳng
bằng
. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
Ta có
,
,
,
,
,
Do
,
.
Ta có
,
,
.
.
.
có 1 vtpt
Câu 17.
,
, góc
,
. Số đo góc giữa mặt phẳng
A.
.
[1H3-4.4-3] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho hình lăng trụ đứng
có
và
có 1 vtpt
.
B.
. Gọi
và mặt phẳng
.
,
lần lượt là trung điểm của
bằng
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
là trung điểm
,
Chọn hệ trục tọa độ
,
.
,
,
,
. Gọi
,
,
là góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
.
có một vtpt
có một vtpt
Câu 26.
có
[1H3-4.4-3]
,
điểm của
A.
, từ đó
.
(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho hình chóp
, tam giác
,
.
vuông cân đỉnh
. Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
B.
.
. Gọi
và
C.
Lời giải
Chọn D
và
.
,
lần lượt là trung
bằng
D.
.
Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
là trung điểm của
.
và
.
Ta có
cân tại
cân tại
.
.
hoặc bù với góc
Do đó
vuông tại
có
vuông tại
có
là đường trung tuyến nên
.
là đường trung tuyến nên
.
Xét
có
.
Câu 45: [1H3-4.4-3]
(Sở
GD
Cần
,
đi qua
của
Thơ-Đề
,
323-2018)
hình
.
B.
.
chóp
là trọng tâm tam giác
, song song với các đường thẳng
và
. Gọi
,
,
và các đường thẳng
,
,
. Góc giữa hai mặt phẳng
A.
C.
Lời giải
Chọn D
Cho
.
,
có
là mặt phẳng
lần lượt là giao điểm
và
bằng
D.
.
Gọi
là trung điểm của
và
,
là hình chiếu của
là
Câu 39:
.
Mà
, ta có
.
Mặt khác, theo giả thiết ta có
điểm của
lên
nên
nên
đều và
là trung
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng
.
Ta có
. Vậy
.
[1H3-4.4-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Đáy của một lăng
trụ tam giác đều là tam giác
có cạnh bằng
lần lượt cách đáy một khoảng bằng
và
A.
,
,
.
B.
.
,
,
(tham khảo hình vẽ bên). Cosin góc giữa
bằng
C.
Lời giải
Chọn A
. Trên các cạnh bên lấy các điểm
.
D.
.
Gọi
là trung điểm
. Gọi
,
là hai điểm trên đoạn
Ta được:
sao cho
.
.
Suy ra :
;
;
.
Ta lại có
Câu 34:
.
[1H3-4.4-3]
chóp
có đáy
và
A.
(THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình
.
là tam giác vuông cân tại
. Góc giữa hai mặt phẳng
B.
.
C.
Lời giải
Chọn B
.
và
và
. Biết
bằng
D.
.
Kẻ
tại
.
Ta
có
.
Suy ra góc giữa
và
bằng góc
Ta có
.
.
Câu 38: [1H3-4.4-3](THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên
. Hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
trùng với trung điểm của đoạn
). Tính cosin của góc
giữa hai mặt phẳng
A.
B.
.
và
.
C.
(với
là trọng tâm tam giác
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
Qua
Vì
Vì
lần lượt là trung điểm của
kẻ đường thẳng song song với
nên
là trung điểm
. Gọi
cắt
là trung điểm của
.
tại
thì
(do
(2). Từ (1) và (2) suy ra
. Do đó
nên suy ra
Trong tam giác vuông
ta có
Trong tam giác vuông
ta có
Trong tam giác vuông
ta có
) (1).
.
.
.
.
.
Suy ra
. Từ đó ta có
Câu 41:
[1H3-4.4-3]
Cho hình chóp
. Chọn đáp án B.
(THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN)
có đáy
là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính
,
và vuông góc với mặt phẳng
. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng
A.
.
B.
.
và
C.
bằng:
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
.
ta có:
.
Kẻ
, ta có:
.
Ta có:
.
Mà
.
Câu 44:
[1H3-4.4-3](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho hình chóp
có
đáy
là hình vuông cạnh , cạnh bên
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi
là trung điểm cạnh
. Tang của góc tạo bởi hai mặt
phẳng
và
bằng
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
Chọn C
.
D.
.
Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho
sao cho
,
,
,
Ta có
là trung điểm
,
có một vtpt
,
có một vtpt
là góc giữa hai mặt phẳng
Do
.
,
,
Gọi
,
nên
và
thì
.
Câu 47:
[1H3-4.4-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho
hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm
đến
đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
Chọn B
.
D.
.
- Dựng
tại
- Dựng
tại
.
- Dựng
tại
, theo giả thiết suy ra
.
là góc giữa hai mặt phẳng
là khoảng cách từ
đến
- Ta có:
và
.
.
.
Vậy
.
Câu 14. [1H3-4.4-3] Cho hình lập phương
vuông
có cạnh bằng a. Gọi
và α là góc giữa hai mặt phẳng
và
là tâm của hình
. Góc α thỏa mãn hệ
thức nào sau đây?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB
Vì
Vì
.
Xét
vuông tại I, ta có:
.
.
Chọn đáp án B.
Câu 15. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và
SA vuông góc với đáy,
A. 30°
. Góc α giữa hai mặt phẳng
B. 45°
C. 60°
và
bằng
D. 75°
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC
.
Vì
là
hình
chiếu
của
lên
+ Ta có:
+ Vì
vuông tại B.
Khi đó:
Vậy
.
Chọn đáp ánC.
Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến
nhưng lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều thời gian
tính toán…, không phù hợp với yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm. Đồng thời nhận
thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên
và tính diện tích hai tam giác
là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình bày
ở trên để giải quyết nhanh bài toán.
Câu 32. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, tam giác
SBC là tam giác đều có cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc
giữa hai mặt phẳng
và
A.
.
B.
C.
D.
Lời giải: Chọn đáp án B
Gọi M là trung điểm của
Ta có
Gọi N là trung điểm của
Ta có
Ta có
Câu 37. [1H3-4.4-3] Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính tan của góc giữa
hai mặt phẳng
và
A.
Lời giải: Chọn đáp án D
B.
.
C.
D.
