MỘT SỐ PT VÀ BPT QUY VỀ BẬC 2

Câu 1: [0D4-8-4] Định m để 4 x  2m 

1
1
  x 2  2 x   m với mọi x :
2
2

1
1
m 3 .
4
4
D. 2  m  3 .

1
1
hoặc m   3  .
4
4
C. m  3 hoặc m  2 .

B.  3 

A. m  3 

Lời giải
Chọn A

1
1


4 x  2m    x 2  2 x   m

1
1
2
2
Ta có: 4 x  2m    x 2  2 x   m  
2
2
 4 x  2m  1  x 2  2 x  1  m

2
2
m  x2  2 x  1
 x2  2 x  m  1  0
 2

m   1 x2  2 x
 x  6 x  3m  0

3
m  x2  2 x  1
Ta cần tìm giá trị của m sao cho 
với mọi x .
m   1 x2  2 x

3
1
Vẽ đồ thị các hàm số y  x 2  2 x  1 và y   x 2  2 x .

3

Dựa vào đồ thị ta có m  3 

1
1
hoặc m   3  thỏa yêu cầu bài toán.
4
4

Câu 2: [0D4-8-4] Cho bất phương trình x 2  x  a  x 2  x  a  2 x ( 1).Khi đó:


A. (1) có nghiệm khi a 

1
.
4

B. Mọi nghiệm của ( 1) đều không

âm.
C. (1) có nghiệm lớn hơn 1 khi a  0 .
Lời giải

D. Tất cả A, B, C đều đúng.

Chọn D
* Vì vế trái của bất phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 0

nên

x  x  a  x  x  a  2 x có nghiệm thì nghiệm phải không âm  B đúng.
2

2

+ Nếu a 

1
 1  4a  0 thì x 2  x  a  0, x 2  x  a  0, x 
4

.

Nên x 2  x  a  x 2  x  a  2 x  2 x 2  2a  2 x
 2 x 2  2 x  2a  0  x 2  x  a  0 ( vô lí)

Do đó nếu a 
+ Nếu a 

1
thì bpt vô nghiệm.
4

1
1
1
, bpt  2 x 2  2 x   0  x 
4

2
2

 2 x 2  2 x  2a  0

1
2 x 2  2 x  2a  0
+ Nếu a  . bpt  
luôn có nghiệm.
2 x  2 x
4

 2 x  2 x
Vậy bất phương trình có nghiệm khi a 

1
 A đúng.
4

Khi a  0
+Phương

x

trình

x2  x  a  0

có

2

nghiệm

trái

dấu

là

1  1  4a
1  1  4a
;x 
2
2

+Phương trình x 2  x  a  0 có 2 nghiệm trái dấu là x 
Vì pt chỉ có nghiệm khi x  0 nên ta có bảng xét dấu.

1  1  4a
1  1  4a
;x 
2
2


Ta nhận thấy khi a  0 thì

1  1  4a
 1 và trên

2

 1  1  4a 1  1  4a 
;

 thì
2
2



bpt  2 x  2 x luôn đúng. Vậy với a  0 thì x 2  x  a  x 2  x  a  2 x có nghiệm
lớn hơn 1.
 C đúng.
2
2
Câu 3: [0D4-8-4] Cho bất phương trình: x  2 x  m  m  3m  1  0 . Để bất phương trình

có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

1
A. 1  m   .
2
1
  m 1.
2

B. 1  m 

1

.
2

C.

1
 m 1 .
2

D.

Lời giải
Chọn C
 Xét x  m .
2
2
Ta có: x  2 x  m  m  3m  1  0  x 2  2 x  m 2  m  1  0 .
2
2
Đặt f  x   x  2 x  m  m  1

   m 2  m

Bất phương trình có nghiệm khi phương trình f  x   0 có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa :
+TH1 : x1  m  x2

0  m  1
m2  m  0
  0
1



 2
 1
  m 1 .
2
 f  m   0 2m  3m  1  0
 2  m  1



 2
0  m  1
   0
m  m  0


 2
1

+TH2 : m  x1  x2   f  m   0  2m  3m  1  0  m   m  1
2

 2
x  x
m  1
  m
 1 2  m
2
 2

 m  .

 Xét x   m .
2
2
Ta có: x  2 x  m  m  3m  1  0  x 2  2 x  m 2  5m  1  0 .

2
2
Đặt g  x   x  2 x  m  5m  1

    m 2  5m

Bất phương trình có nghiệm khi phương trình g  x   0 có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa :
+TH1 : x1  m  x2

0  m  5
m2  5m  0
  0
1


 2
 1
  m 1 .
 g  m   0 2m  3m  1  0
 2  m  1 2

0  m  5
m 2  5m  0

   0

 2

1

+TH2 : x1  x2  m   g  m   0  2m  3m  1  0  m   m  1
2
1  m

x  x
1
2

m  1

 m
 2
 m 

Vậy

1
 m  1 thỏa ycbt.
2

Câu 4: [0D4-8-4] Định a để bất phương trình: x2  4 x  a  x  2  1 có nghiệm:
A. a 

.

B. Không có a
Lời giải

Chọn C
Đặt t  x  2 , điều kiện: t  0
Ta có pt theo t :
t 2  4  at  a  t 2  at  4  a  0 (1)

Đặt f  t   t 2  at  4  a .

C. a  4 .

D. a  4 .


Ta thấy:   a 2  4a  16  0, a
Để bất phương trình x2  4 x  a  x  2  1 có nghiệm thì bất phương trình (1) phải
có ít nhất một nghiệm t  0 .
+TH1: Phương trình f  t   0 có 1 nghiệm t  0  4  a  0  a  4
+TH2 : Phương trình f  t   0 có 2 nghiệm trái dấu  4  a  0  a  4 .

S  0
a  0

+TH3 : Phương trình f  t   0 có 2 nghiệm dương  
 P  0 4  a  0
a  0

 a  .

a  4
Kết hợp các trường hợp ta có a  4 thỏa ycbt.
Câu 5: [0D4-8-4] Định m để mọi x  –2 là nghiệm của bất phương trình:
x2  2mx  1  x 2   2m  1 x  1 .

1
A. m   .
4
.

B. Không có m .

C. m  

1
.
4

D. m  

5
4

Lời giải
Chọn D
Ta có: x2  2mx  1  x 2   2m  1 x  1  x2  2mx  1   x 2  2mx  1   x  2
Xét f  x   x 2  2mx  1
TH1: Nếu   0  4m2  4  0  m   1;1 thì x 2  2mx  1  0, x 
Khi đó  x2  2mx  1   x 2  2mx  1   x  2  x  2  0  x  2 .
Vậy m  1;1 thỏa ycbt.

TH2: Nếu

0

 4m2  4  0  m   ; 1  1;   thì phương trình

f ( x )  0 luôn có 2 nghiệm x1 , x2 , ta có bảng xét dấu:

Khi đó ta có :


 x  2, khi x  x1
1

0  x  1  4m, khi x  x  x ; m   1  2 
1
2

4
2
2
x  2mx  1   x  2mx  1   x  2  
1
1  4m  x  0, khi x1  x  x2 ; m    3
4

 x  2, khi x  x
 4
2


Ta thấy ở (2), (3), (4) phương trình không thể có nghiệm là x  –2 .

Với (1) ta có bpt có nghiệm là x  –2 khi 2  x1  x2

  0

  f  2   0
 S  4


 4m 2  4  0

  4m  5  0
m  2


 m  1  m  1

5

 5

 m 
 m   ; 1  1;  
4
 4


m  2
Vậy m  

5
thỏa yêu cầu bài toán.
4

Câu 6: [0D4-8-4] Để bất phương trình: ( x  5)(3  x)  x  2 x  a nghiệm đúng với mọi x
2

thuộc tập xác định thì giá trị của tham số a phải thỏa điều kiện:
A. a  3 .

B. a  4 .

C. a  5 .

D. a  6 .

Lời giải.
Chọn C.

Điều kiện:  x  5 3  x   0  x   5;3 .

( x  5)(3  x)  x2  2 x  a (1)
  x 2  2 x  15  x 2  2 x  a
Đặt t   x 2  2 x  15    x  1  16  0  t  4
2

Ta có t 2   x2  2 x  15   x2  2 x  t 2  15
Ta có bất phương trình theo t : t  15  t 2  a  t 2  t  15  a (2)

Để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   5;3 thì bất pt (2) nghiệm
đúng với mọi t   0; 4  a  max f  t  với f  t   t 2  t  15 .
0;4


Bảng biến thiên :

Vậy a  max f  t   5 thỏa yêu cầu bài toán.
0;4

Câu 7: [0D4-8-4] Để phương trình: x  3 ( x  2)  m  1  0 có đúng một nghiệm, các giá trị
của tham số m là:
A. m1 hoặc m 

29
.
4

C. m –1 hoặc m 

B. m  

21
.
4

21
29
hoặc m  .
4

4

D. m  

29
hoăc m  1 .
4

Lời giải
Chọn A

 x  3 x  2   m  1  0

 x  3 2  x   m  1  0

x  3 ( x  2)  m  1  0
 x2  x  m  7  0
 2
 x  x  m  5  0

 x  3
 x  3

1
 2

PT có đúng một nghiệm khi và chỉ khi 1 có đúng một nghiệm và  2  vô nghiệm
hoặc ngược lại.
TH1: 1 có đúng 1 nghiệm và  2  vô nghiệm

 2  vô nghiệm
1

m

21
4

có đúng 1 nghiệm thỏa mãn x  3 trong các khả năng sau
Khả năng 1: 1 có nghiệm x  3  m  1 khi đó phương trình đã cho

có hai nghiệm nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài (Loại)
Khả năng 2: 1 có nghiệm x1  3  x2  af  3  0  m  1 (thỏa
mãn)
Khả năng 3: 1 có nghiệm kép x1  x2  3 giải thấy không có m thỏa
mãn.


Vậy TH1 thỏa mãn khi và chỉ khi m  1 .
Giải tương tự với TH 2 ta có m 

29
.
4

Cách 2: Dùng pp biến đổi đồ thị: x  3 ( x  2)  1  m .
Câu 8: [0D4-8-4] Phương trình x  2 ( x  1)  m  0 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích
hợp của tham số m là
9
A. 0  m  .

4

9
C.   m  0.
4

B. 1  m  2.

D.

2  m  1.
Lời giải
Chọn C

x  2 ( x  1)  m  0  x  2 ( x  1)  m
2

x  x  2 , x  2
Xét hàm số y  x  2  x  1   2

 x  x  2 , x  2

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x   x  2  x  1 như sau:
x

∞

1
2

 x2  x  2
9
4

f(x)

+∞

2

x x2
2



0


Yêu cầu bài toán 0   m 

9
9
   m  0.
4
4

Câu 9: [0D4-8-4] Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt 10 x  2 x 2  8  x 2  5x  a ,
giá trị của tham số a là
A. a  1.

B. a  1;10  .

 43 
a   4;  .
 4
Lời giải
Chọn D

 45 
C. a   4;  .
 4

D.


2

5  25
25

Đặt t  x 2  5 x   x   
  , phương trình trở thành:
2
4
4


 2t  8  t  a , t  4
2t  8  t  a  2t  8  t  a  
 2t  8  t  a ,  25  t  4


4
t  a  8 , t  4

t   a  8 ,  25  t  4
3
4


a  8  4
a  4


43
a 8

 25
Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì   
 4  4  a 
4
3

 4
a

4
a 8


a  8   3

43
4a
.
4

Câu 10: [0D4-8-4] Định m để bất phương trình ( x  1)2 ( x  3)2  8( x  1)2  m thỏa x  0
A. m  17 .
có m

B. m  17 .

C. m  16 .
Lời giải

Chọn D
Đặt x  1  a .
BPt đã cho có dạng  a  2   a  2   8a2  m  a4  16  m
2

2

Vậy m  16 thì bất phương trình nghiệm đúng x  0 .

D. Không