DS12 CHUONG 2 LOGARIT

Câu 1: [2D2-3-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b  0 ,

a  1 , b  1, n  * . Một học sinh đã tính giá trị của biểu thức
1
1
1
1
như sau:
P


 ... 
log a b log a2 b log a3 b
log an b
Bước 1: P  logb a  logb a2  logb a3  ...  logb a n .
Bước 2: P  logb  a. a 2 . a3 ... a n  .
Bước 3: P  logb a123...n .
Bước 4: P  n  n  1 log b a .
Hỏi bạn học sinh đó đã giải sai từ bước nào ?
A. Bước 1.

B. Bước 2.

C. Bước 3.

D. Bước 4.

Lời giải
Chọn D
Ta có: 1  2  3  ...  n 

n  n  1
.
2

1 23... n

Do đó: P  logb a

 logb a

n n 1
2

 n  n  1 logb a .

Vậy bạn học sinh đó đã giải sai từ bước 4.
Câu 2: [2D2-3-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho các số thực x  0 ,
y  0 thỏa mãn 2 x  3 y . Mệnh đề nào sau đây sai?
A.

1

x
 log 2 3 .
y

C. 4 x  6 y .

B. xy  0 .

1

D. 2 y  3 x

.
Lời giải
Chọn C
Với các số thực x  0 , y  0 thỏa mãn 2 x  3 y , ta có
y

x
 xy 
x
x
y
 log 2 3  2  3   2   3 y  2 x  3 y , nên mệnh đề: “  log 2 3 ” đúng.
 
y
y
 

Từ 2 x  3 y   2x   3y  1, y  0  2 xy  1  xy  0 , nên mệnh đề: “ xy  0 ”
y

đúng.

2


xy

1
1
 1y 
 1x 
x
y
2  3   2    3   2  3 , nên mệnh đề: “ 2 y  3 x ” đúng/
 
 
 

1
y

1
x

xy

y

2
3
Từ 2 x  3 y , ta có 4 x  6 y   3y   3y.2 y  3 y  2 y     1  y  0 , trái
2
x
y
giả thiết, nên mệnh đề “ 4  6 ” sai.

Câu 3: [2D2-3-3] (THPT Kim Liên - HN - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm số nguyên
dương n thỏa mãn
1
1
1
1
log a 2017  4 log 4 a 2017  6 log 8 a 2017...  2 n log 2 n a 2017
2
2
2
2
2
log a 2017
 log a 2017 2 
, với 0  a  1 .
22018
A. n  2016 .
B. n  2018 .
C. n  2017 .
D.
n  2019 .
log a 2017 

Lời giải
Chọn D
Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B .
1
1
2n
Ta có 2 n log 2 n a 2017  2 n log a 2017 2 n  2 n .log a 2017 .

2
2
2
2
4
8
2n
Do đó A  log a 2017  2 log a 2017  4 log a 2017  6 log a 2017  2 n .log a 2017
2
2
2
2
2 4 8
2n 

 1  2  4  6  ...  2 n  log a 2017 .
2 
 2 2 2
2 4 8
2 1
2n
Dãy số 1  2  4  6  ...  2 n lập thành một cấp số nhân với công bội q  2 
2 2 2
2
2
2
n
1
1  
n

2 4 8
2n
1 q
2
2
 1  2  4  6  ...  2 n  u1.
 1.    2  n .
1
2 2 2
2
1 q
2
1
2
Như
vậy
log a 2017
2
1

A   2  n  log a 2017  B  log a 20172 
 2log a 2017  2018 log a 2017
2018
2 
2
2

2
1
 2  n  2  2018  n  2019 .

2
2
Câu 4: [2D2-3-3] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Với a , b thỏa mãn để hàm
 x2
; khi x  1
số f  x   
có đạo hàm tại x0  1 . Khi đó giá trị của biểu thức
ax  b ; khi x  1

S  log 2  3a  2b  bằng?

A. S  1

B. S  2

C. S  3
Lời giải

D. S  4


Chọn B
Hàm số có đạo hàm tại x0  1  hàm số liên tục tại x0  1 .
 lim f  x   lim f  x   f 1  1  a  b  b  1  a .
x 1

x 1

 x2
; khi x  1

Khi b  1  a ta có: f  x   
.
ax  1  a ; khi x  1
Hàm số có đạo hàm tại x0  1  lim
x 1

 lim
x 1

f  x   f 1
f  x   f 1
 lim
x 1
x 1
x 1

x2 1
ax  1  a  1
 lim
 2  a  b  1 .
x  1 x 1
x 1

Vậy S  log 2  3a  2b   log 2  3.2  2.  1   2 .
Câu 5:

[2D2-3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Đặt
a  log 2 3, b  log 2 5, c  log 2 7 . Biểu thức biểu diễn log 60 1050 theo a, b, c là.
1  a  2b  c
.

2ab
1  2a  b  c
D. log 60 1050 
.
2ab

1  a  b  2c
.
1  2a  b
1  a  2b  c
C. log 60 1050 
.
1  2a  b

B. log 60 1050 

A. log 60 1050 

Lời giải
Chọn B

2
log 2 1050 log 2  2.3.5 .7 

Có: log 60 1050 
log 2 60
log 2  22.3.5

log 2 2  log 2 3  log 2 52  log 2 7 1  a  2b  c


log 2 22  log 2 3  log 2 5
2ab
Vậy chon đáp án:B.


Câu 6: [2D2-3-3] (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 - BTN) Cho x  2018! .
1
1
1
1
Tính A 
.

 ... 

log 22018 x log32018 x
log 20172018 x log 20182018 x
1
.
2017
A  2017 .

A. A 

B. A  2018 .

Lời giải
Chọn B

C. A 

1
.
2018

D.


A

1
log 22018 x



1
log32018 x

 ... 

1
log 20172018 x



1
log 20182018 x

 log x 22018  log x 32018  ...  log x 20172018  log x 20182018
 2018.log x 2  2018.log x 3  ...  2018.log x 2017  2018.log x 2018

 2018. log x 2  log x 3  ...  log x 2017  log x 2018   2018.log x  2.3.....2017.2018
 2018.log 2018! 2018!  2018 .

Câu 7: [2D2-3-3] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x 2  6 y 2  xy . Tính
1  log12 x  log12 y
M
.
2 log12  x  3 y 
A. M 

1
.
4

C. M 

B. M  1 .

1
.
2

1
D. M  .
3

Lời giải
Chọn B

 x  3y
Ta có x 2  6 y 2  xy x 2  xy  6 y 2  0  
.
 x  2 y
Do x , y là các số thực dương lớn hơn 1 nên x  3 y (1).
1  log12 x  log12 y
log12 12 xy
Mặt khác M 
(2).

2
2 log12  x  3 y 
log12  x  3 y 

log12 36 y 2
Thay (1) vào (2) ta có M 
 1.
log12 36 y 2
Câu 8: [2D2-3-3] (THPT Yên Định - Thanh Hóa - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a, b  0
, nếu log8 a  log4 b2  5 và log4 a2  log8 b  7 thì giá trị của ab bằng
A. 29 .

C. 218 .

B. 8 .

D. 2 .

Lời giải

Chọn A

1
6
 3 log 2 a  log 2 b  5
log8 a  log 4 b  5
log 2 a  6 a  2

Ta có: 
.






2
3
1
log
b

3
log
a

log
b

7

b

2



2


8
 4
log 2 a  log 2 b  7

3

2

Vậy ab  29 .
Câu 9: [2D2-3-3] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Cho a và
b là các số nguyên dương khác 1 . Gọi P là tích các nghiệm của phương trình
8  log a x  logb x   7 log a x  6logb x  2018  0 . Khi P là một số nguyên, tìm tổng

a  b để P nhận giá trị nhỏ nhất?


A. a  b  48 .
a  b  20 .

C. a  b  24 .

B. a  b  12 .

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có 8  log a x  logb x   7 log a x  6logb x  2018  0

 8logb a.  log a x   log a x.  7  6logb a   2018  0 . Điều kiện x  0 , suy ra
2

P

*

.

Từ giả thiết a và b là các số nguyên dương khác 1 , suy ra a, b  1  logb a  0 .
Ta suy ra

a
2018

 0 . Nên phương trình trên sẽ có hai nghiệm phân biệt
c
8logb a

t1  loga x1
7  6 logb a
. Suy ra tổng hai nghiệm là t1  t2 

 loga  P  .

8logb a
t2  loga x2

Suy ra 7  6 logb a  8logb P  P8  b7 .a6 , (1).
8

 ab 
Tiếp tục ta được ba    , do giả thiết a, b, P 
P
2

c

*

*

 ab P  ab  c.P với

,c  1.

Thay vào ta được a2 b  c8 , (2).
Để P nhận giá trị nhỏ nhất, theo (1) ta phải có a và b nhỏ nhất. Từ (2), suy ra c
nhỏ nhất, mà c  1 chọn c  2  a2 b  28  22.64  42.16  82.4 .





Suy ra  a, b    2,64  ;  4,16  ; 8,4   P 64;32;16 .
Vậy Pmin  16 khi a  8 , b  4 .
BẢNG ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

B

A C D D A A

B

A C C C C C B

D D C B

B

D B

C C C

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A D D A D C B

D A B

A D D

B

D D B

C C A A A

B

A B


Câu 10: [2D2-3-3] (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a , b
a
4b  a
là các số dương thỏa mãn log 4 a  log 25 b  log

. Tính giá trị ?
b
2
A.

a
 62 5 .
b

B.

a 3 5
.

b
8

C.

a
 62 5 .
b

D.

a 3 5
.

b
8

Lời giải
Chọn A
Đặt log 4 a  log 25 b  log

4b  a
 t , ta có:
2


 a  4t
t
t

 4 
 10 
t
t
t
t
 4.25  4  2.10  4     2.  
b  25
 25 
 25 
 4b  a
t

 10
 2
2t

t

2
2
    2.    4  0
5
5
t
 y  1  5
2
Đặt    y  0 , ta có y 2  2 y  4  0  
 y  1  5 .
5
 y  1  5
t

4t
2
Từ đó    1  5  t 
25
5
Câu 11: [2D2-3-3]

A





2

5 1 

a
 62 5 .
b

(Sở Ninh Bình - Lần 1 - 2018 - BTN)

log 2017

log 2016

log 2015

log ... log 3 log 2 ...

Cho biểu thức
. Biểu thức A

có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. log 2017; log 2018

B. log 2019; log 2020

C. log 2018; log 2019

D. log 2020; log 2021
Lời giải

Chọn D
Ta

có

2017

log 2016

log 2015

log ... log 3 log 2 ...

 2017  3  2020 .
A

log 2020 .

2017

log 2016


Câu 12: [2D2-3-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tổng
S  1  22 log 2 2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2 dưới đây.
A. 10082.20182 .

B. 10092.20192 .
Lời giải

Chọn B
Ta có 1  2  3  ...  n
3

3

Mặt khác
S  1  22 log

3

2

3

 n  n  1 


D. 2019 2 .

C. 10092.20182 .

2

4

.

2  32 log 3 2 2  ....  20182 log 2018 2 2

 1  22 log 1 2  32 log 1 2  ....  20182 log
22

23

2

1

2 2018

 1  23 log2 2  33 log 2 2  ....  20183 log 2 2  1  23  33  ...  20183

 2018  2018  1 
2
2

  1009 .2019 .
2


2

Câu 13: [2D2-3-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho a
, b , c  1 . Biết rằng biểu thức P  log a  bc   logb  ac   4logc  ab  đạt giá trị nhất

m khi logb c  n . Tính giá trị m  n .
A. m  n  12 .

B. m  n 

25
.
2

C. m  n  14 .

D.

m  n  10 .
Lời giải
Chọn A
Ta có P  log ab  log a c  logb a  logb c  4log c a  4log cb 


1  
4  
4 
P   log a b 
   log a c 
   logb c 
  2  4  4  10 
log a b  
log a c  
logb c 

m  10 .
Dấu đẳng xảy ra khi log a b  1 , log a c  2 , logb c  2  n  2 .
Vậy m  n  12 .
Câu

14:

[2D2-3-3]



[Đề



thi

thử-Liên

trường

f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6 với a , b

Nghệ

An-L2]

. Biết f  log  log e    2 . Tính

f  log  ln10   .
A. 4 .

B. 10 .

C. 8 .
Hướng dẫn giải

Chọn B

Cho

D. 2 .


Đặt x0  log  log e 





Có: f  x0   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  2

 1 
Ta có f  log  ln10    f  log 
   f   log  log e    f   x0 
 log e  

f   x0   a ln











x02  1  x0  b sin   x0   6  a ln x0  x02  1  b sin x0  6



   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10 .


Câu 15: [2D2-3-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)
1
1
Cho số thực a , b thỏa mãn a  b  1 và

 2018 . Giá trị biểu thức
logb a log a b
1
1
bằng:
P

log ab b log ab a
A. P  2020
P  2014

B. P  2018

C. P  2016

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có

P
.

1
1

 2018  log a b  logb a  2018
logb a log a b

1

1
1

 logb  ab   log a  ab    logb a  1   log a b  1  logb a  log a b
log ab b log ab a

 2

Từ 1 suy ra log2a b  logb2 a  2loga b.logb a  2018  loga2 b  logb2 a  2016 .
Từ  2  suy ra P2  loga2 b  logb2 a  2loga b.logb a  2016  2  2014 .
Do a  b  1 nên log a b  1 và logb a  1 nên P  0 .

Vậy P  2014 .
Câu 16: [2D2-3-3] [Cụm 1 HCM] Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1 và abc  1 . Biết
2
1
log a 3  2 , logb 3  và log abc 3  . Khi đó, giá trị của log c 3 bằng bao nhiêu?
15
4


A. log c 3 
log c 3 

1
.
2

B. log c 3  2 .

C. log c 3  3 .

D.

1
.
3

Lời giải
Chọn D
Ta có log a 3  2  log 3 a 
Khi đó ta có log abc 3 



1
1
, log b 3   log 3 b  4 .
2
4

2
1
2

 .
15
log3 a  log3 b  log3 c 15

2
2
 4 log 3 c  18  30 .

9  2log3 c 15

1
log 3 c  3  log c 3  .
3

Vậy log c 3 

1

.
3

Câu 17: [2D2-3-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Đặt a

log 5 4. Hãy biểu diễn

log 3 4, b

log12 80 theo a và b. .

A. log12 80

a 2ab
.
ab b

B. log12 80

C. log12 80

2a 2 2ab
.
ab b

D. log12 80

2a 2

a

2ab
.
ab

2ab
.
ab

Lời giải
Chọn A
Ta có log12 80  log12  42.5  log12 42  log12 5  2log12 4 



1
.
log5 12

2
1
2
1



..
log 4 12 log5 4  log5 3 log 4 4  log 4 3 b  log5 3

Từ a  log 3 4  log 4 3 

 log12 80 

2
1

1
a



1
1 b
 log 5 3  log 5 4.log 4 3  b.  .
a
a a

1
b

b
a



2a
a
a  2ab



..
a  1 b  a  1 ab  b


log 3 7
 27 , b log7 11  49
Câu 18: [2D2-3-3] [BTN 163] Cho a , b , c là các số thực dương thỏa a
2

2

log11 25
 11 . Tính giá trị biểu thức T  a log3 7  blog7 11  c log11 25 .
,c

A. T  31141 .
T  469 .

2

C. T  2017 .

B. T  76  11 .

D.

Lời giải
Chọn D
2

2



T  a log3 7  blog7 11  c log11 25  a log3 7

Câu

  27 

19:

log3 7

2

  49 

log7 11



 11



log3 7

log11 25



 blog7 11



log7 11

  c log11 25 

log11 25

.

 73  112  25  469 . [2D2-3-3] [THPT

p , q là các số dương sao cho
p
log16 p  log 20 q  log 25  p  q  . Tìm giá trị của .
q

Chuyên NBK(QN) - 2017] Giả sử

A.

4
5

B.



1
1 5
2

8
5

C.



1
1  5
2



D.


Lời giải

Chọn C

 p  16 x

Đặt log16 p  log 20 q  log 25  p  q   x  q  20 x
.

 p  q  25x

5
5
 5  1 5
.
 16  20  25        1  0    
2
4
4
4
2x

x

x

x

x

x

1

x
p 16 x  4   1  5 
1
Khi đó:  x     
  1  5 .

q 20  5   2 
2





Câu 20: [2D2-3-3] [THPT Thuận Thành 3- 2017] Cho a  0, b  0 thỏa mãn a 2  b 2  7 ab
. Chọn mệnh đề đúng.trong các mệnh đề.
A. lg  a  b  
C. lg

3
 lg a  lg b  .
2

B. 3lg  a  b  

ab 1
  lg a  lg b  .
3
2

D. 2  lg a  lg b   lg  7ab  .
Lời giải

Chọn C

1
 lg a  lg b  .

2


a 2  b 2  7ab  (a  b) 2  9ab  a  b  3 ab 
 lg

ab
 ab .
3

ab
1
 lg ab  (lg a  lg b) .
3
2

Câu 21: [2D2-3-3] [THPT Quế Vân 2-2017] Giả sử ta có hệ thức a 2  b 2  7 ab ( a, b  0 ).
Hệ thức nào sau đây là đúng?
ab
 log 2 a  log 2 b .
6
ab
 log 2 a  log 2 b .
D. 2 log 2
3

A. 2 log 2 (a  b)  log 2 a  log 2 b .
C. log 2

B. 4 log 2

ab
 2(log 2 a  log 2 b) .
3

Lời giải
Chọn D
Với ( a, b  0 ) ta có:
ab
 ab
 ab
 log 2 a  log 2 b  log 2 
  log 2 ab  
  ab .
3
 3 
 3 
2

2log 2

2

  a  b   9ab  a 2  b2  7ab .
2

Câu 22: [2D2-3-3] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa- 2017] Xét a và b là hai số
thực thỏa mãn a  b  1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
1
a

a
log a b1000  .
A. 0  log a1000 b1000  .
B. 1 
1000
b
b
b
b
C. 1  1000.log b1000 a  .
D. 0  log b1000 a1000  .
a
a
Lời giải
Chọn A
Nhận xét: a  b  1 

b
a
 1 ,  1 , log a b  1 , logb a  1 , log a b  0 , logb a  0 .
a
b

Ta có.
1
log a b1000  log a b  1 .
1000
1000.log b1000 a  log b a  1 .

log a1000 b1000  log a b  1 

a
a
, log a b  0 nên 0  log a1000 b1000  .
b
b

log b1000 a1000  log b a  1 

b
.
a


Câu 23:

[2D2-3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05-2017] Cho a, b  0 thỏa mãn

a 2  b 2  7ab . Hệ thức nào sau đây đúng.
A. 2log 2017  a  b   log 2017 a  log 2017 b .

ab
 2  log 2017 a  log 2017 b  .
3
ab 1
C. log 2017
  log 2017 a  log 2017 b  .
3
2
ab

D. 4log 2017
 log 2017 a  log 2017 b .
6
B. log 2017

Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết a  b  7ab   a  b 
2

Suy ra log 2017

2

2

2

 ab
 9ab  
  ab .
 3 

ab 1
  log 2017 a  log 2017 b  .
3
2

Câu 24: [2D2-3-3] Cho x, y, z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1 . Đặt

a  log x y, b  log z y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. log xyz  y 3 z 2  

3ab  2b
.
ab  a  b

B. log xyz  y 3 z 2  

3ab  2a
.
a  b 1

C. log xyz  y 3 z 2  

3ab  2a
.
ab  a  b

D. log xyz  y 3 z 2  

3ab  2b
.
a  b 1

Lời giải
Chọn C
Ta có: log xyz  y3 z 2   3log xyz y  2log xyz z .



3

log y  xyz 



2

log z  xyz 



3
2

log y x  log y z  1 log z x  log z y  1



3
2

log y x  log y z  1 log z y.log y x  log z y  1



3
2
3ab

2a
3ab  2a




1 1
b
 1
 b  1 ab  a  b ab  a  b ab  a  b
a b
a

.


Câu 25: [2D2-3-3] [THPT Thanh Thủy- 2017] Cho các số a, b  0 thỏa mãn

a 2  b 2  14ab . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. log

2

 a  b   4  log 2 a  log 2 b .

B.

log 2  a  b   4  log 2 a  log 2 b  .
2

 ab
C. log 2 
  2  log 2 a  log 2 b  .
 4 
 ab  1
log 2 
   log 2 a  log 2 b  .
 16  2

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có a  b  14ab  a  b  2ab  16ab   a  b 
2

2

2

2

2

2

 ab
 16ab  
  ab .
 4 

2

 ab
 log 2 
  log 2 ab  2 log 2  a  b   2 log 2 4  log 2 a  log 2 b .
 4 
 log

2

 a  b   4  log 2 a  log 2 b .

Câu 26: [2D2-3-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên- 2017] Cho ba số a, b, c dương và khác 1
thỏa mãn logb c  x 2  1 và loga2 b3  log 3 c a  x . Cho biểu thức

Q  24 x 2  2 x  1997 . Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau?
A. Q  1979 hoặc Q  1982 .

B. Q  1999 hoặc Q  1985 .

C. Q  1999 hoặc Q  2012 .

D. Q  1985 hoặc Q  1971 .
Lời giải

Chọn A
Ta có log b c  2  x 2  1 , log a 2 b3  x  log a b 
2  x 2  1 

9
x
4 x2

4x
x
9
, log c a   log b c  2 .
3
3
4x

22  2
. Khi đó thay vào biểu thức ta có:
4

Q  1979 hoặc Q  1982 .

Câu 27: [2D2-3-3] [BTN 168- 2017] Đặt log8 49  a, log5 64  b . Hãy biểu diễn log 70 4
theo a và b


A. log 70 4 

4b
.
2b  3ab  12

B. log 70 4 

4b
.
2b  3ab  12

C. log 70 4 

b
.
2b  3ab  12

D. log 70 4 

4b
.
2b  6ab  12

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Ta có log8 49  a  log 2 7 
Vậy log 70 4 

3a
6
, log 5 64  b  log 2 5  .
2
b

2
4b
.


1  log 2 7  log 2 5 2b  3ab  12

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay (ở đây Thầy hướng dẫn các bạn trên máy tính
VINACAL 570 ES PLUS II. Trên máy tính CASIO tương tự).
Bước 1: Gán log 8 49 vào biến A (trên máy tính). Ta thực hiện các bước bấm như
sau:

.
Trên màn hình hiển thị như hình bên.
Bước 2: Gán log 5 64  b vào biến B, giống với việc gán biến A chỉ thay phím cuối
cùng thành phím

.

Trên màn hình hiển thị như hình bên.

.
Bước 3: Thử kết quả. (Chỉ thử đáp án A).


.
Nhập vào máy tính như hình bên. Muốn nhấn được chữ cái trên máy tính ta bấm tổ

hợp phím

.

Và bấm phím “ =” ta được như hình bên. Nếu kết quả khác 0 thì đáp án đó sai và
ngược lại. Như vậy ở đây đáp án A sai. Tương tự ta thực hiện với các đáp án khác.

Câu

28:

[2D2-3-3] [TTGDTX

Cam Ranh - Khánh Hòa
log 27 5  a; log8 7  b; log 2 3  c . Giá trị của log12 35 bằng

3b  2ac
.
c3
3b  3ac
.
c2

A.

B.

3b  2ac
.
c2

C.

–

2017] Cho

3b  3ac
.
c 1

D.

Lời giải
Chọn D
Ta có: log 27 5  a  log 3 5  3a,log8 7  b  log 2 7  3b ,.

log 2 5  log 2 3.log 3 5  3ac , log3 7 
log12 35  log12 7  log12 5 

1


2.

1
1

log 2 7 log 3 7

log 2 7 3b
.

log 2 3 c

1
1

1
1



log 7 12 log5 12 2log 7 2  log 7 3 2log 5 2  log5 3

1


2

1
1

log 2 5 log 3 5

1


2.

1
c

3b 3b

1



2.

1
1

3ac 3a



3b  3ac
.
c2

Câu 29: [2D2-3-3] [TT Hiếu Học Minh Châu - 2017] Cho hai số thực a , b thỏa mãn
2
36
1  a  b  0 . Tính giá trị nhỏ nhất Tmin của biểu thức sau T  loga b  loga.b a .

A. Tmin không tồn tại.

Tmin  16

B. Tmin  13 .

C. Tmin  19 .

.
Lời giải

Chọn D

D.


T  log2a b  loga.b a36  log 2a b 

36
36
 log 2a b 
.
1  log a b
1  log a b

Đặt t  log a b , vì 1  a  b  0  log a b  log b b  t  1 .
Xét f  t   t 2 

36
36
 f (t )  2t 
. Cho f (t )  0  t  2 .
1 t
(1  t ) 2

 f (1)  19

Hàm số f  t  liên tục trên 1;  có  f (2)  16
 lim f (t )  
t 
 Min f (t )  16  MinT  16 .
[1; )

[1; )

Câu 30: [2D2-3-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)
Cho log 2 5  a ; log5 3  b . Tính log 24 15 theo a và b .
A.

a 1  b 
.
ab  3

B.

a 1  2b 
.
ab  1
Lời giải

C.

b 1  2a 
.
ab  3

D.

a
.
ab  1

Chọn A
1
.
a
log5  3.5

Ta có log 2 5  a  log 5 2 
log 24 15 

a  b  1
log53  1
log 5 15
b 1



.

3
3  ab
log 5 24 log5  2 .3 3log5 2  log5 3 3  1  b
a

Câu 31: [2D2-3-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Năm 1992, người
ta đã biết số p  2756839  1 là một số nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho
đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân.
A. 227830 chữ số.
chữ số.

B. 227834 chữ số.

C. 227832 chữ số.

D. 227831

Lời giải
Chọn C
+) 2756839 có chữ số tận cùng khác 0 nên 2756839 và p  2756839  1 có số các chữ số
bằng nhau.
+) Số các chữ số của p khi viết trong hệ thập phân của p  2756839  1 là:
log 2756839   1  756839log 2  1  227831, 2409  1  227832

Suy ra p  2756839  1 khi viết trong hệ thập phân là số có 227832 chữ số.


Câu 32: [2D2-3-3] (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hai số
a
a  4b
thực a , b thỏa mãn log100 a  log 40 b  log16
. Giá trị
bằng
b
12
A. 4 .

B. 12 .

C. 6 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C
Đặt log100 a  log 40 b  log16

a  4b
a  4b
 16t .
 t . Ta có a  100t , b  40t ,
12
12

 2 t 1
  
t
t
5 6
 4 
2
t
t
t
Suy ra 100  4.40  12.16  12.    4.    1  0  
 2 t
 25 
5
    1
2
 5 
t

t

t

a  100   5 
2 1
Do đó      
   6.
b  40   2 
5 6
Câu 33: [2D2-3-3] [THPT Chuyên Phan Bội Châu] Cho các số thực x , y , z thỏa mãn
1

1

y  101log x , z  101log y . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1

A. x  101ln z .
x  10

1
1 log z

B.

x  10

1

1 log z

.

1

C. x  101ln z .

D.

.
Lời giải

Chọn D
1
1log x

y  10

 log y 

1

z  101log y  log z 

 x  10

1
1  log x .

1
1
1

 1
1
1  log y 1 
log x
.
1  log x

1
1 log z

Câu 34: [2D2-3-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh - 2017] Xét a và b là hai số thực dương
1000
1
tùy ý. Đặt x  ln  a 2  ab  b 2  , y  1000 ln a  ln 1000 . .
b
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. x  y .
B. x  y .
C. x  y .
D.
x y.


Lời giải
Chọn D

Với a, b  0, ta có x  ln  a 2  ab  b2 

1000

y  1000 ln a  ln

1
1000

b





 1000ln a 2  ab  b2 .

 1000 ln a  1000 ln b  1000 ln  ab  .

Xét hiệu x  y  1000 ln  a2  ab  b2   ln  ab  (1).







Lại có a 2  ab  b 2  ab   a  b   0  a 2  ab  b 2  ab  0 .
2

Khi đó từ (1)  x  y  0  x  y, dấu "  " xảy ra  a  b  0 .
Câu 35:

[2D2-3-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07 - 2017] Giả sử ta có hệ thức
a  b2  7ab  a, b  0  . Hệ thức nào sau đây là đúng?
2

A. 4 log 2

ab
 2  log 2 a  log 2 b  .
3
ab
 log 2 a  log 2 b .
D. 2 log 2
3

ab
 log 2 a  log 2 b .
6

B. log 2

C. 2log 2  a  b   log 2 a  log 2 b .
Lời giải
Chọn D
Ta có: a 2  b 2  7 ab .

  a  b   9ab  log 2  a  b   log 2 (9ab)
2

2

.
 ab
 ab 
 log 2 

log
(
ab
)

2
log

log
a

log
b
2
2
2
2


 3 
 3 
2

Câu 36: [2D2-3-3] [BTN 174 - 2017] Cho các số thực dương a , b , c cùng khác 1 . Xét các
khẳng định sau:

Câu 37:
Câu 38:

log 2a

b
c
 log 2a
c
b.

log abc  log a b.logb c.logc a   0

Câu 39: Nếu a 2  b 2  7ab thì log 7
Các khẳng định đúng là:
A. (1), (2) .

.

ab 1
  log 7 a  log 7 b  .
3
2

C. 1 ,  2  ,  3 .

B. (1), (3) .

D.

(2), (3) .
Lời giải
Chọn B
2

b 
c
c
(1) : VT  log    log a   log a2  VP  1 đúng.
c 
b
b
1
(2) :
a  2; b  3; c   abc  1
Giả
sử
suy
6
log abc  log a b.logb c.logc a   0 .
2
a

ra

không

có

nghĩa


Suy ra (2) sai.
(3) :

Ta

có

ab 1
2
 ab 
a 2  b2  7ab   a  b   9ab  
  log 7 a  log 7 b  .
  ab  log 7
3
2
 3 
Suy ra (3) đúng.
2





Câu 40: [2D2-3-3] [THPT Chuyên Lào Cai] Cho f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6 với

. Biết rằng f  log  log e    2 . Tính giá trị của f  log  ln10  

a, b 

A. 10 .

B. 2 .

D. 8 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn A

 1 
Đặt t  log  log  e    log 
   log  ln10   log  ln 10    t
 ln10 
Theo giả thiết ta có:









f  t   a ln t  t 2  1  b sin t  6  2  a ln t  t 2  1  b sin t  4





Khi đó f  log  ln10    f  t   a ln t  t 2  1  b sin  t   6

 a ln

1
t 1  t
2

 b sin t  6



1
   a ln
 b sin t   6  10 .
t2 1  t


Câu 41: [2D2-3-3] [THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU] Tính giá trị của biểu thức

 a 
2
P  log a2  a10b2   log a 
  log 3 b b ( với 0  a  1; 0  b  1 ).
 b

A. P  2 .
.

C. P  3 .

B. P  1 .
Lời giải

Chọn B
Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit

D. P  2


 a 
2
P  log a2  a10b 2   log a 
  log 3 b b
 b
1
.  log a a10  log a b 2   2 log a a  log a b   3.  2  log b b .


2
1
 1

 10  2 log a b  2 1  log a b   6  1.
2
 2


Câu 42: [2D2-3-3] [THPT Chuyên Lào Cai] Cho các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn

log a  bc   2, logb  ca   4 . Tính giá trị của biểu thức log c  ab  .
A.

6
.
5

B.

8
.
7

C.

10
.
9

D.

7
.
6

Lời giải
Chọn B

loga (bc)  2  bc  a 2
logb (ca)  4  ac  b4
3

 bc a 2
3
5
5
a  b
 

b  a
( do a, b, c  0 )
  ac b4
 2

3
7

c  ab
abc 2  a 2b 4
c  a 5



 53 
 85  8
log
ab


log
a
.
a

log
Khi đó: c  
.
7 
7 a  

5
a5 
a

  7
Câu 43: [2D2-3-3] [THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN] Cho n  1 là một số
1
1
1
nguyên dương. Giá trị của
bằng

 ... 
log 2 n! log3 n!
log n n!
A. 0 .

C. n ! .

B. n .

D. 1.

Lời giải
Chọn D
1
1
1

 ... 
 log n! 2  log n! 3  ...  log n! n  log n! n!  1 .
log 2 n! log3 n!
log n n!
Câu 44: [2D2-3-3] [THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN] Nếu

log 2  log8 x   log8  log 2 x  thì  log 2 x  bằng
2

A. 3 .

B. 3 3 .

C. 27 .
Lời giải

Chọn C

D. 31 .

log8 x  0
 x 1
Điều kiện: 
log 2 x  0
1
log 2  log8 x   log8  log 2 x   log 2  log 2 x   log 2
3

1
2
 log 2 x  3 log 2 x   log 2 x   27 (vì x  1 ).
3



3

log 2 x



Câu 45: [2D2-3-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Cho a là số thực dương và a  1 .
14log

Tính giá trị của biểu thức a

a2

5

.

B. 514 .

A. 125 5 .

C. 7 5 .

D. 57 .

Lời giải
Chọn A
14log

Cách 1: a

a2

5

 a 7loga

log a

 5

7

5

a

5

ấn CALC máy hỏi A ? chọn A  2 .

 125 5 .

Cách 2: Bấm máy
14log

Nhập biểu thức: A

A2

Câu 46: [2D2-3-3] [THI THỬ CỤM 6 TP. HỒ CHÍ MINH] Cho log ab a  4 . Tính
3

log ab
A.

a
.
b

17
.
6

B.

8
.
3

C.

15
.
2

D.

13
.
3

Lời giải
Chọn A
3

Ta có: log ab

5
3
5
1 17
a
a. a

 log ab
 log ab a 6  log ab ab  log ab a   .
6
2 6
b
ab

Câu 47: [2D2-3-3] [TRƯỜNG PTDTNT THCS&THPT AN LÃO] Giả sử ta có hệ thức
a 2  b 2  7 ab

 a, b  0  . Hệ thức nào sau đây là đúng?
ab
 log 2 a  log 2 b.
3
ab
 log 2 a  log 2 b.
D. 4 log 2
6

A. 2log 2  a  b   log 2 a  log 2 b.
C. log 2

B. 2 log 2

ab
 2  log 2 a  log 2 b  .
3

Lời giải
Chọn B

+)

2log 2  a  b   log 2 a  log 2 b  log 2  a  b   log 2 ab   a  b   ab  a 2  b 2  ab
2

2

.
ab
2
 a b 
2
2
 log 2 a  log 2 b  
  ab   a  b   9ab  a  b  7ab .
3
 3 
2

+) 2log 2

Câu 48: [2D2-3-3] [THPT CHUYÊN KHTN] Cho n
1
1
1
của
bằng
...

log 2 n! log3 n!
log n n!
A. 0 .

1 là một số nguyên dương. Giá trị

C. n! .

B. n .

D. 1 .

Lời giải
Chọn D
1
1
1

 ... 
 log n! 2  log n! 3  ...  log n! n  log n! n!  1 .
log 2 n! log3 n!
log n n!

Câu 49: [2D2-3-3] [THPT TIÊN LÃNG] Cho a , b là các số thực dương thoả mãn
a 2  b 2  14ab . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ln

a  b ln a  ln b


.
4
2

B.

2log 2  a  b   4  log 2 a  log 2 b .
C. 2log 4  a  b   4  log 2 a  log 2 b .

D. 2 log

ab
 log a  log b .
4

Lời giải
Chọn C
ab
2
Ta có a 2  b2  14ab   a  b   16ab  
 ab
 4 
ab
ln a  ln b
 ln ab 
Nên ta có ln
vậy A đúng
4
2

2log 2  a  b   log 2  a  b   log 2 16ab   4  log 2 a  log 2 b vậy B đúng
2

2log 4  a  b   log 4  a  b   log 4 16ab   2  log 4 a  log 4 b vậy C sai
2

ab
 log 2 a  log 2 b vậy D đúng
4
Cách 2:.
2 log

Câu này ý C sai vì

2log 4  a  b   4  log 4 a  log 4 b  log 4  a  b   4log 4 4  log 4 ab
2

 log 4  a  b   log 4 44  log 4 ab  log 4 64ab   a  b   64ab .
2

2


Câu 50: [2D2-3-3] [THPT HAI BÀ TRƯNG] Khẳng định nào sau đây là luôn luôn đúng
với mọi a , b dương phân biệt khác 1 ?
B. a 2log b

A. a log b b ln a .
log a b log10 b.

b 2log a .

C. a

ln a a .

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có a

2log b

2.

a

log a b
log a 10

a

2
l og a b log 10
a

b

2

log a 10

b 2log a .

Câu 51: [2D2-3-3] [THPT SỐ 1 AN NHƠN] Đặt a  log 2 3, b  log 2 5 . Hãy biểu diễn

log 6 30 theo a, b ?
1  2a  b
.
1 a
1 a  b
D. log 6 30 
.
1  2a

1 a  b
.
1 a
2ab
C. log 6 30 
.
1 a

B. log 6 30 

A. log 6 30 

Lời giải
Chọn A
Cách 1: Sử dụng MTBT

Cách 2:
log 6 30  log 6 6  log6 5  1 

log 2 5
log 2 5
b
1 a  b
.
 1
 1

log 2 6
log 2 3  1
a 1
a 1

Câu 52: [2D2-3-3] [THPT SỐ 1 AN NHƠN] Cho a, b  0, a  1, ab  1 . Khẳng định nào
sau đây là khẳng định sai.
A. logab a 
C. loga 2

1
.
1  loga b

B. log a ab 

a 1
 1  loga b  .
b 4

D. log a (ab 2 )  4(1  log a b) .
Lời giải

Chọn C
log ab a 

1
1
1
.


log a ab log a a  log a b 1  log a b

log a ab  log a  ab 

1 1
 (1  log a b) .
2 2
1

log a 2

1
(1  log a b) .
2

a 1
1

 a 2 1
 log a     log a a  log a b   1  log a b 
b 2
4
4
b


Câu 53: [2D2-3-3] [THPT Lạc Hồng-Tp HCM] Cho a  log 2 3 và b  log 2 5 . Tính

log 2 6 360 theo a và b .
1 1
1
A. log 2 6 360   a  b .
3 4
6
1 1
1
C. log 2 6 360   a  b .
2 3
6

1 1
1
 a b.
2 6
3
1 1
1
D. log 2 6 360   a  b .

6 2
3
B. log 2 6 360 

Lời giải
Chọn C
1
1
log 2 6 360  log 2 360   log 2 23  log 2 5  log 2 32 
6
6
1
1
1 1
1
  3  log 2 5  2 log 2 3   3  b  2a    a  b .
6
6
2 3
6

Câu 54: [2D2-3-3] [THPT NGÔ GIA TỰ] Cho log 2 14  a . Tính log 49 32 theo a :
A.

5
.
2a  1

B.

5
.
2a  2

C.

10
.
a 1

D.

2
.
5(a  1)
Lời giải
Chọn B

log14 2  a 

1
1
1

  log 2 7  a  1 .
log 2 14 1  log 2 7 a

log 49 32  log 72 25 

5

5 1
5
.
log 7 2  .

2
2 a  1 2a  2

Câu 55: [2D2-3-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC] Nếu a  log 2 3 và b  log 2 5 thì:

1 1
1
 a  b.
3 4
6
1 1
1
C. log 2 6 360   a  b .
2 6
3

1 1
1
 a  b.
2 3
6
1 1
1
D. log 2 6 360   a  b .
6 2

3
B. log 2 6 360 

A. log 2 6 360 

Lời giải
Chọn B
1
1
log 2 6 360  log 2 360   log 2 23  log 2 5  log 2 32 
6
6
1
1
1 1
1
  3  log 2 5  2 log 2 3   3  b  2a    a  b .
6
6
2 3
6


Câu 56: [2D2-3-3] [THPT QUẢNG XƯƠNG I] Với hai số thực dương a , b tùy ý và
log 3 5.log 5 a
 log 6 b  2. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
1  log 3 2

A. a  b log 6 2.

B. a  b log 6 3.

C. a  36b.

D.

2a  3b  0.

Lời giải
Chọn C
Ta có
log 3 5.log 5 a
log 3 a
a
 log 6 b  2. 
 log 6 b  2  log 6 a  log 6 b  2  log 6  2  a  36b
1  log 3 2
log 3 6
b

.
Câu 57: [2D2-3-3] [CHUYÊN VĨNH PHÚC]Cho log 2 5  m ; log 3 5  n . Khi đó log 6 5
tính theo m và n là:
A. m 2  n 2 .

B.

1
.
mn

C. m  n .

D.

mn
.
mn

Lời giải
Chọn D
Câu 58: log 6 5 

1
1
1
m.n



. [2D2-3-3] [THPT Số 3 An Nhơn]
log5 6 log5 2  log5 3 1  1 m  n
m n

Giả sử ta có hệ thức a 2  b2  7ab  a, b  0  . Hệ thức nào sau đây là đúng?

ab
 log 2 a  log 2 b.
3
ab

D. 4log 2
 log 2 a  log 2 b.
6

A. 2log 2  a  b   log 2 a  log 2 b.
C. log 2

B. 2log 2

ab
 2  log 2 a  log 2 b  .
3
Lời giải

Chọn B
Câu 59: [2D2-3-3] [SGD-BÌNH PHƯỚC] Cho 0  a  1, 0  b  1, 0  x  1 và các đẳng
thức sau:
[I): log ab xb  log a x.
[II): log a

ab logb a  1  logb x

.
x
logb a

[III): log a b.logb x.log x a  1.