Chương 2 - mũ logarit

8
6
4
2
-2
-10 -5 5 10
g x( ) = 2
x
f x( ) = 2
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG
GIẢI TÍCH 12
PHẦN 2:
Năm học: 2010 - 2011
THPT ĐÔNG DƯƠNG
1
LŨY THỪA
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số
a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈

naaaaa
n
(.......
==
α
thừa số )
0
=
α
0
≠
a
1
0
==
aa
α
)(
*
Nnn
∈−=
α
0
≠
a
n
n
a
aa
1

==
−
α
),(
*
NnZm
n
m
∈∈=
α
0
>
a
)( abbaaaa
n
n
n
m
n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0
>

a
n
r
aa lim
=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
a
.
a .a a ; a ; (a ) a ;
a
a a
(ab) a .b ;
b
b
α
β α+β α−β β αβ
α α
= = =
β
α
α
 
α α α
= =
 ÷
α
 
a > 1 :

βα
βα
>⇔>
aa
0 < a < 1 :
βα
βα
<⇔>
aa
Bài 1: Đơn giản biểu thức.
1)
( )
5
5
2
3
126
.. yxyx
−
2)
33
3
4
3
4
ba
abba
+
+
3)

1.
1
.
1
4
1
4
2
1
3
4
+
+
+
+
−
a
a
aa
aa
a
THPT ĐÔNG DƯƠNG
2
4)







+−








+
+
−
+
m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
22
4
2
1
3
2
Bài 2: Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

1)
7
35
.2
8
1
ax
2)
3
4
5
. aa
3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
Bài 3 : Tính .
1)
( )
3
3
3







2)
31321
16.4
+−
3)
23
2
3
27
4)
( )
5
5
4
8
2
Bài 4: Đơn giản các biểu thức.
1)
1
)(
232
3222
+
−
−

ba
ba
2)
334
3333232
))(1(
aa
aaaa
−
++−
3)
π
π
ππ








−+
abba .4)(
1
2
4)
4 1 2
3 3 3
1 3 1

4 4 4
a a a
A
a a a
−
−
 
+
 ÷
 
=
 
+
 ÷
 

5)
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
1
2 1
a a a
A
a
a a a
 
+ − +

 ÷
= −
 ÷
−
 ÷
+ +
 
6)
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
A
a a a a
−
−
− −
= −
− +

7)
1 1
1 1
2 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a b

A a b
a a b a b
 
 
− −
 
= − −
 ÷
 
 
+ +
 
 
THPT ĐÔNG DƯƠNG
3
8)
1 1 1 1
1
2 4 2 2
1 1 1
4 4 2
1 1 2
1 1
x x x x x
A
x x x
−
−
 
 

− + + +
 
 
= +
 
 
 
− +
 
 
 
Bài 5: Rút gọn:
a)
( )
−
−
−
 
 
 
 
−
 ÷
= −
 
 ÷
 
 
−
 

+
 ÷
 
 ÷
 
 
1
1
2
2 3 3
1 1
2 2
2 2
1 a b
A ab
a b
a b
b)
− −
−
− −
= − −
− +
2 2
1 1 3 1 1
2 2 2 2 2
a a 2 1 a
B
a a a a a
c)

2 2 1
1
2 1
a a a
C
a
a a a
  
+ − +
= −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
−
+ +
  
d)
( ) ( )
( )
1
2 3 4 3 3
1
2 3 3 3 3
1a a a
D
a a a
−
−
− −
=
+ +

e)
2 8 5 1
3 3 3 3
2 5 2 1
3 3 3 3
a a a a
E
a a a a
−
−
− −
= −
+ −
Luyện tập
1/. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :
a/.
5
3
2 2 2
b/.
11
6
:a a a a a
; a > 0.
c/.
2
4
3
x x
; (x > 0) d/.

5
3
a a
b b
; (ab > 0)
2/. Đơn giản các biểu thức sau :
a/.
4
( 5)a −
b/.
4 2
81 ; ( 0)a b b <
THPT ĐÔNG DƯƠNG
4
c/.
8 4
4
( 1) ; ( 1)x x x+ ≤ −
d/.
2 2
2
1 ( )
( ) 2
a
a
b
P
a b ab
−
 

−
 
 
=
− +
e/.
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3 3
;( 0; 1; )
2
2 3
a a a a
Q a a a
a a a a
− −
− −
 
− − +
 
= + > ≠ ≠
 
− −
 
g/.
h/.
3 5 13 48+ − +
3/. Đưa nhân tử ở ngoài vào dấu căn :

a/.
(4 ) ;( 4)
4
x
x x
x
− >
−
b/
2
1
(5 ) ; (0 5)
25
a a
a
− < <
−
4/. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau :
a/.
4
20
b/.
6 3
1
; 0; 0a b
a b
> >
c/.
1
3 2+

d/.
5
4 11+
e/.
3
3
1
5 2−
5/. Tính giá trị của biểu thức :
a/.
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
3 .5 :2 : 16:(5 .2 .3A
−
 
   
 
=
 
   
 
   
 
b/.
2
3 3

3
3
2 2
2
2
3
:
( )
a b a a b
A
a a b b
a ab
−
+ −
=
−
−
; với
6
5
a =
và
3
5
b =
c/.
3
2
3 1
2 1

3
2 2
( ) ( )A a b ab a
−
− −
− −
 
=
 
 
; với
2
2
a =
và
3
1
2
b =
THPT ĐÔNG DƯƠNG
5
6/. Chứng minh đẳng thức sau :
a/.
1
2 2
2
1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
1 2
0

a a a
a
a a a a a
− −
− −
− −
− + + =
− +
b/.
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + + = +
c/.
3 2 2 3 2 2 2+ − − =
d/.
3 3
5 2 7 5 2 7 2+ − − =
7/. Rút gọn biểu thức :
a/.
1
2 2 1
.( )
−
a
a
b/.
2
3
( 3 1)
:
−

−
b b
c/.
4
2 4
:x x x
π π
d/.
3
3
25 5
( )a
8/. So sánh
a/.
600
3
và
400
5
b/.
5
7
1
( )
2
−
và
3
14
2.2

c/.
3
3
và
2
HÀM SỐ LŨY THỪA
I.Khái niệm:
Hàm số
y x ;
α
= α∈ ¡
, đươc gọi là hàm lũy thừa
Chú ý:
tập xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào giá trị của
α
- Với
α
nguyên dương thì tập xác định là R
- Với
α
nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là
{ }
\ 0¡
- Với
α
không nguyên thì tập xác định là
( )
0;+∞
Làm bài 1/ 60
II. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

( ) ( )
1 1
x ' .x ; u ' .u
α α− α α−
= α = α
Làm bài 2/61
LOGARIT
I. Khái niệm logarit
THPT ĐÔNG DƯƠNG
6
1. Định nghĩa: Cho 2 số a, b dương với a khác 1. Số
α
thỏa mãn
đẳnng thức
a b
α
=
được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu
log
a
b
( )
1 log b a b
a
α
α= ⇔ =
Ví dụ 1: Tìm x
a)
log 4
2

x =
b)
2
log 3x = −
c)
81
1
log
4
x =
d)
log 25 2
x
=
b)
e)
log ( 1) 2
3
x + =
f)
( )
log 4
3
2 4x =−
g)
log ) 4(2
1
2
x = −
h)

log 1
3 4
1
5
2
x
= −
−
 
 ÷
 
k)
log 5) 0(4
2
x + =
l)
log 28
x
=
Chú ý: không có logarit của số 0 và số âm
2. Tính chất:
( )
( )
( )
( )
( )
2 log 1 0
a
3 log a 1
a

log b
a
4 a b
5 log a
a
=
=
=
α
= α
Ví dụ 2: Tính
a)
log 3
2
4
b)
4
3
3
log
c)
3
2
2
log
d)
2
log 4
e)
3

1
log
3
f)
2
1
log
16
g)
1
3
2
a
a
log
( )
với
0 1a< ≠
h)
3
5
7 49
49
+
log
log
i)
1 1
3 2
6 8

9 4+
log log
II. Quy tắc tính logarit :
1. Logarit của một tích : a > 0; b
1
> 0; b
2
> 0, a
1≠
THPT ĐÔNG DƯƠNG
7
( )
( )
6 log b .b log b log b
a a a
1 2 1 2
= +
Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Ví dụ 3: Tính:
a)
12 12
log 6 log 2+
b)
1 1 1
2 2 2
4
log 6 log 24 log
9
+ +
2. Logarit của một thương: a > 0; b

1
> 0; b
2
> 0, a
1≠
( )
2
b
1
7 log log b log b
a a a
1 2
b
 
= −
 ÷
 ÷
 
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit
( )
1
8 log log b
a a
b
 
=−
 ÷
 
Ví dụ 4: Tính
a)

100 4
25 25
−log log
.
b)
2 2 2
20 6 15log log log+ −
.
c)
2 2 2
5 10 25log log log+ −
.
d)
6 7 14
3 3 3
log log log+ −
e)
10 7 14
5 5 5
log log log+ −
.
3. Logarit của một lũy thừa : a > 0; b> 0, a
1≠
( )
( )
9 log b log b
a a
α
=α
Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số

( )
( )
n
1
10 log b log b
a a
n
=

Ví dụ 5: Cho
log 2;log 3b c
a a
= = −
. Hãy tính
log x
a
, biết
a)
2 3
4
a b
x
c
=
b)
2
3
a b
x
c

=
c)
2 2
3
x a bc=
III. Đổi cơ số : Cho a > 0; b > 0. c>0, a
1≠
, c
1≠
THPT ĐÔNG DƯƠNG
8
( )
log b
c
11 log b
a
log a
c
=
( )
1
12 log b
a
log a
b
=
b
1≠

( )

1
13 log b log b
a
a
=
α
α
;
0
α ≠
Ví dụ 6:
a) Cho
5 14
2 2
log ;loga b= =
. Tính
35
2
log
theo a và b
b) Cho
10 7
2 2
log ;loga b= =
. Tính
35
2
log
theo a và b
c) Cho

4 5
3 3
log ;loga b= =
. Tính
10
3
log
theo a và b
d) Cho
2 9
5 5
log ;loga b= =
. Tính
6
5
log
theo a và b
e) Cho
3 5 2
7
2 3
log ;log ;loga b c= = =
. Tính
50
63
log
IV. Logarit thập phân, logarit tư nhiên
1. Logarit thập phân: là logarit cơ số 10
log b
10

thường viết là logb hay lgb
2. Logarit tự nhiên: là logarit cơ số e
log b
e
thường viết là lnb
Chú ý:
log b
log b
a
loga
=

ln b
log b
a
ln a
=
Luyện tập:
Bài 1: Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
1) log
5
27 2) log
5
15
3) log
5

12 4) log
5
30
Bài 2: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng
hoặc hiệu các lôgarit.
1)
( )
3
2
5
3
ba
2)
2,0
6 5
10
−








b
a
3)
5
4

9 ba
4)
7
2
27a
b

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức.
THPT ĐÔNG DƯƠNG
9
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10
2)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−

3)
3log
2
1
2log
6
136
−
4)
)3log.4(loglog
23
4
1
Bài 4: Tính giá trị các biểu thức.
1)
1 1
log 4
log 8
log 2
9
125 7
4 2
81 25 .49
 
−
 ÷
+
 ÷
 
2)

1
log 3 3log 5
1 log 5
5
2
4 2
16 42
+
+
+
3)
1
log 4
log 9 log 6
7 7
5
2
72 49 5
−
−
+
 
 ÷
 ÷
 
Bài 5: Tìm x biết.
1) log
6
x = 3log
6

2 + 0,5 log
6
25 – 2 log
6
3.
2) log
4
x =
3log410log2216log
3
1
444
+−

Bài 6: Tính.
1)
2020
)32log()32log(
−++
2)
)725log()12log(3
−++
3)
e
e
1
lnln
+
4)
).ln(4ln

21
eee
+
−
Bài 7: Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x
3)
6)2.2(log
3
−=
x
Bài 8:
1) Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
2) Biết log
2
14 = a. Tính log

49
32 theo a
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. Hàm số mũ:
1. Định nghĩa:
Cho
a 0,a 1> ≠
Hàm số y = a
x
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
2. Đạo hàm của hàm số mũ:
THPT ĐÔNG DƯƠNG
10