30 bài toán hàm số và đồ thị hàm lũy thừa, mũ, logarit mức độ 1 nhận biết đề số 1 (có lời giải chi tiết) image marked image marked

30 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
– CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ 1
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
1 1
a3  a2






 .
Câu 1: Cho số thực a > 0 và a  1. Hãy rút gọn biểu thức P 
1 7
19 
a 4  a12  a12 





A. P  1  a.

B. P  1.

5
 a2

D. P  1  a.

C. P  a.

Câu 2: Cho các số thực dương a, b với a  1 và log a b  0 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

0  a, b  1
A. 
.
0  a  1  b

0  a, b  1
B. 
.
1  a, b

0  b  1  a
C. 
.
1  a, b

0  b, a  1
D. 
.
0  b  1  a

Câu 3: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực  ?
x


A. y    .
3

B. y  log 1 x.



2





C. y  log  2 x1  1 .
4



Câu 4: Cho hàm số y  ln e x  m 2 . Với giá trị nào của m thì y ' 1 
A. m  e.

B. m  e.

1
C. m  .
e

x

2
D. y    .
e

1
2

D. m   e .

Câu 5: Cho a, b, c là các số thực khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các
hàm số y  a x , y  b x , y  c x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a  b  c.

B. c  b  a.

C. a  c  b.

D. c  a  b.

Câu 6: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. log x  1  0  x  10

B. log 1 x  log 1 y  x  y  0


D. log 4 x 2  log2 y  x  y  0

C. ln x  0  x  1
Câu 7: Rút gọn biểu thức:



1

P  x 6 .3 x

với x  0.
1


A.

1
P  x8

Câu 8: Rút gọn biểu thức:
2
A. P  x 9 .

B.

2
P  x9

1
6
P  x .6 x

B.

C. P  x

D. P  x 2

C. P  x

D. P  x 2

, x  0.

1
P  x8.

Câu 9: Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y.
A. log a

x
 log a x  log a y
y

B. log a

x
 log a ( x  y)
y

C. log a

x
 log a x  log a y
y

D. log a

x log a x

y log a y

Câu 10: Cho các số thực dương a. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. log2
C. log2

23 a

1
1
 1  log2 a  log2 b
3
3
b2

23 a

1
1
 1  log2 a  log2 b
2
3
3
b

Câu 11: Rút gọn biểu thức
A.

1
P  a2

3
2
Pa 3a

B.

B. log2
D. log2

23 a
b

2

23 a

1
 1  log2 a  3log2 b
3
b2

1
 1  log2 a  3log2 b
3

với a  0

9
P  a2

C.

11
Pa6

D. P  a3

Câu 12: Cho a là số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây đúng
1
3
A. log2 a3  3log2 a B. log2 a3  log2 a C. log2 a3  log a D. log2 a3  3log a
3
2

Câu 13: Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức A  a2 . a .3 a dưới dạng lũy thừa với số
mũ hữu tỉ?
A.

5
A  a3

B.

4
A  a3

C.

5
A  a 36

D.

17
Aa6

4

 4 a3 b 2 


 được kết quả là:
Câu 14: Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức P  
3
a12 b6

A. ab2 .

B. a2 b.

C. a2 b2 .

D. ab.

Câu 15: Biểu thức T  5 a 3 a với a  0. Viết biểu thức T dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
là:
2

A.

1
a3

B.

3
a5

C.

4
a15

D.

2
a15

Câu 16: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. y  a x với 0  a  1 là hàm số đồng biến trên  ;   .
B. Đồ thị hàm số y  a x với 0  a  1 luôn đồng biến trên điểm  a;1 .
C. y  a x với a  1 là hàm số nghịch biến trên  ;   .
x

1
D. Đồ thị các hàm số y  a và y    (với 0  a  1) đối xứng với nhau qua trục Oy.

a
x

Câu 17: Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữa tỷ của biểu thức 3 a5 4 a với a  0.
7
A. a 4

B.

1
a4

C.

4
a7

D.

1
a7

Câu 18: Cho a, b, c là các số dương và a, b khác 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. log a c  log a b. log b c

B. log a c 

1
logc a

C. log a b. log b a  1

D. log a c 

log b c
log b a

Câu 19: Cho 2 số dương a,b thỏa mãn:

a  b; a  1 và log a b  2. Tính T  log a 3 ab .
b

2
A. T   .
5

2
B. T  .
5

2
C. T  .
3

2
D. T   .
3

Câu 20: Cho đồ thị  C  : y  3x. Tìm kết luận sai:
A. Đồ thị (C) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

B. Đồ thị (C) nằm về phía trên trục hoành.
C. Đồ thị (C) đi qua điểm (0;1)
D. Đồ thị (C) nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Câu 21: Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log  3a   3log a

1
B. log a3  log a
3

Câu 22: Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó
8
A. a 3

B. 6 a

C. log a3  3log a
4

2
a3

1
D. log  3a   log a
3

bằng:

C.

3 2

a

D.

3
a8

3


Câu 23: Trong các hình sau, hình nào là dạng của đồ thị hàm số y  a x ,0  a  1?

A. (I).

B. (IV).

C. (III).

D. (II).

Câu 24: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
x

e
A. y    .
2
Câu 25: Rút gọn biểu thức
A. P  x .

x

x

1


 4 
B. y  
 . C. y  
 .
 6 5
 32
1
P  x3 6 x

B.

x

 3
D. y  
 .
 2 

với x  0.

1
P  x8.

C.

2
P  x9.

D. P  x 2 .

Câu 26: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?

4
A.  
 5

x

 2e 
B.  
 7 

x

D. y  lnx

C. log 1 x
3

 a3 
Câu 27: Cho a là số thực dương khác 4. Tính I  log a   .
 64 


4

1
B. I  .
3

A. I  3.

Câu 28: Rút gọn biểu thức A 

3 7

a

1
C. I   .
3

11
.a 3

D. I  3.

với a  0, ta được kết quả

a. a 5
phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. m 2  n2  312.

3

B. m 2  n2  312.

m
Aan,

C. m 2  n2  543.

trong đó m, n  * và

m
là
n

D. m 2  n2  409.

Câu 29: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó ?
x


A. y    .
3

x


B. y    .
4

x

e
C. y    .


x

e
D. y    .
3
4


Câu 30: Hàm số nào sau đây được gọi là hàm số lũy thừa ?
A. y  ln x.

B. y  3 x.

C. y  e x .

D. x 3.

5


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-A
2-B

11-C
12-A
21-C
22-B
Câu 1: Chọn A.

3-D
13-D
23-D

4-D
14-D
24-D

5-B
15-C
25-A

6-D
16-D
26-D

7-C
17-A
27-A

8-C
18-B
28-A

9-C
19-D
29-A

10-D
20-D
30-D

Phương pháp:
Sử dụng công thức a .a  a , pt : x 2  y2   x  y  x  y  .
Cách giải:
Ta có
1 1
a3  a2






 
P
1 7
19 
a 4  a12  a12 




5

 a2

5 1


1 1
1  a 2 2 
5



a 3 2 1  a2
a 6 1  a 1  a 

 

 1  a  a  0, a  1 .
1 7
10
1 7 
19 7 


a12 1  a 
a 4 .a12  1  a12 12  a 4 12 1  a 




1 1

a 3 .a 2





Câu 2: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và tính chất của hàm logarit để giải.
Cách giải:

 0  a  1

0  b  1 0  a, b  1
Ta có: log a b  0  

 a  1
1  a, b

 b  1
Câu 3: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của hàm y  a x , y  log a x khi a  1, a  1.
Cách giải:
Ta có hàm số y  a x ,0  a  1 là hàm nghịch biến trên . Hàm số y  a x , a  1 là hàm đồng biến trên .
x

x



2

2
 1 thì hàm số y    đồng biến trên . Với 0  a   1 hàm y    nghịch biến
3
e
3
e

Áp dụng với
trên .

Hàm y  log 1 x chỉ xác định trên     x   : x  0 nên không thể nghịch biến trên  .
2

6






Hàm số y  log  2 x 2  1 có y  1  y 1  log   3 nên không thể nghịch biến trên  .
4

4

Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và của hàm y  ln x để tính đạo hàm y ' giải hệ y 1 

1
để tìm
2

giá trị của m.
Cách giải:

e x  m2  '

Ta có y ' 

e x  m2

ex
e x  m2

. Khi đó y ' 1 

1
e1
1

  2e  e  m 2  m 2  e  m   e .
2
e1  m 2 2

Câu 5: Chọn B.
Phương pháp:
Dùng tính đồng biết nghịch biến của hàm y  d x và tính chất của hàm y  log a x kết hợp với phương pháp

loại trừ để tìm đáp án.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y  a x , y  b x tại điểm x  1 thì đồ thị hàm số y  a x nằm trên đồ thị hàm số y  b x do đó

a  a1  b1  b. Vậy ta có a  b.
Quan sát đồ thị hàm số y  logc x ta thấy

lim y  x   0 do đó trong trường hợp này c < 1. Từ đó

x 

c  1  b  a.
Vậy đáp án B đúng.
Một cách khác: chú ý các đáp án A,C,D ta đều có a < b nên các đáp án này sai.
Câu 6: Chọn D.
Phương pháp:

 a  1

x  y
So sánh các logarit: log a x  log a y  
. Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại.
 0  a  1

  x  y
Cách giải:

10  1
log x  1  log10  
 0  x  10, mệnh đề A đúng.

 x  10

7


1
 1
log 1 x  log 1 y   
, mệnh đề B đúng.



x  y  0
e  1
ln x  0  ln1  
, mệnh đề C đúng.
x  1
log 4 x 2  log

2  1
x 2  log2 x  log2 y  
, mệnh đề D sai.
2
 x  y  0
2

Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
m

n

Sử dụng các công thức sau để rút gọn: x . x  x

mn

m

n

;x : x 

m
xn.

Cách giải:
Ta có:

1
1 1
1 1
1

3
P  x 6 . x  x 6 .x 3  x 6 3  x 2 

x.

Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:

m

n

Sử dụng các công thức lũy thừa sau: a .a  a

mn n m

; a

m
an.

Cách giải:
1
1 1
1 1

6
P  x 3 . x  x 3 .x 6  x 3 6 

x (với x > 0).

Câu 9: Chọn C.
Phương pháp:
Công thức logarit của một thương: log a

x
 log a x  log b y
y

Cách giải:
Câu 10: Chọn D.
Phương pháp:
Áp dụng các công thức:
log a

x
 log a x  log a y
y

log a  xy   log a x  log a y
log a x b  b log a x
8


Cách giải:

log2

23 a
b

3

 

1
 log2 2 3 a  log2 b3  log2 2  log2 3 a  3log2 b  1  log2 a  3log2 b
3

Câu 11: Chọn C.
Phương pháp:
m

n

Áp dụng các công thức lũy thừa sau: a .a  a

mn n m

; a

m
an.

Cách giải:
Ta có:

3
3 1
3 1
11

3
2
2
3
2
3

P  a . a  a .a  a
a6.

Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Áp dụng công thức logarit: log a b n  n log a b  b  0 
Cách giải:
Ta có: log2 a3  3log2
Câu 13: Chọn D.
Phương pháp:
m

n

Sử dụng các công thức sau để rút gọn: x . x  x

mn n m

; x



m
xn.

Cách giải:
Ta có:

1 1
17

2 2 3
3
A  a . a . a  a .a .a  a 6 .
2

Câu 14: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức

m

x

1
xm
xm,
n

x

 x mn

Cách giải:
4

 4 a3 b 2 


3 2
a3 b 2

  a b
P

 ab.
1
2
3
12 6
a
b
a b
a12 b6 6





Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
9


m

n

Sử dụng công thức lũy thừa sau: a .a  a

mn n m

; a

m
an.

Cách giải:
Ta có:

T  5 a3 a 

5

1
4
4
4
5
:5
a.a 3  a 3  a 3  a15 .

Câu 16: Chọn D.
Phương pháp:
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lũy thừa và dạng đồ thị
hàm số lũy thừa.
Cách giải:
- Hàm số y  a x nghịch biến nếu 0 - Đồ thị hàm số y  a x với 0  a  1 luôn đi qua điểm (1;a), không đi qua điểm (a;1) nên B sai.
- Hàm số y  a x đồng biến nếu a > 1 nên C sai.
x

1
- Đồ thị các hàm số y  a và y    (với 0  a  1) đối xứng với nhau qua trục Oy.
a
x

Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức

n m

a

m
an



1
m n
a

 

, a m .a n  a

mn

 a  0.

Cách giải:
Ta có:

3 54

a

a

3

1
1
21
21
7
3 5
3
a .a 4  a 4  a 4  a12  a 4 .
5

Câu 18: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức đổi cơ số log a b 

logc b
1
, đặc biệt log a b 
log b a
logc a

Cách giải:
Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B sai vì ĐK: c  1.
Câu 19: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và công thức biến đổi loga: log a b  c  b  ac , log a b n  a log a b, log m b 
a

1
log a b.
m

Cách giải:
10


Ta có
3
log a b  2  b  a2  T  log a 3 ab  log a a.a2  log
a2

b

3
a2

a

1
2


3
3
2

Câu 20: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y  a x  a  0; a  1 có đồ thị đi qua điểm (0;1) nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm
tiệm cận ngang.
Cách giải:

3x   0  A đúng.

x 

Đáp án A: lim

Đáp án B: 3x  0x  R  B đúng.
Đáp án C hiển nhiên đúng.
Đáp án D sai vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;1).
Câu 21: Chọn C.
Phương pháp:
Sử dụng công thức log a n  a log a  a  0  ;log  ab   log a  log b  a, b  0 
Cách giải:
Ta có: log a3  3log a.
Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
Sử dụng công thức

n m

a

m
an,

 am 

n

 a m.n ;0  a  1.

Cách giải:

Ta có

1
2  2 4
2 1
1
4
.
a 3   a 3   a 3 4  a6  6 a







Câu 23: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y  a x với 0 < a < 1 nghịch biến trên tập xác định
Cách giải:
+) Đồ thị hàm số y  a x đi qua điểm  0;1  loại hình (III) và (IV).
11


+) Với 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến  loại hình (I).
Câu 24: Chọn D.
Phương pháp:
Dựa vào tính chất của hàm số mũ : Hàm số y  a x nghịch biến  0  a  1.
Cách giải:
x

3
3,14  3
 3

 1  Hàm số y  
Ta có 0 
 nghịch biến trên tập xác định.
2
3,14  3,14
 2 

Câu 25: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng các công thức mũ cơ bản
Cách giải:

Ta có

1
1 1
1 1
1

6
P  x 3 x  x 3 .x 6  x 3 6  x 2 

x.

Câu 26: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số y  a x và y  log a x  x  0  đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
Cách giải:
Ta có: e  1  ln x  loge x là hàm số đồng biến trên  0;   .
Câu 27: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức lôgarit cơ bản.
Cách giải:
3
 a3 
a
a
Ta có I  log a    log a    3log a  3.
 64 
4
4


4
4
4

Câu 28: Chọn A.
Phương pháp:
Sử dụng công thức liên quan đến biểu thức mũ
Cách giải:
Ta có A 

3 7

a

11
.a 3

a. a 5
3



7 11
a 3 .a 3
4

a .a



5
7



a6
23
a7

19
a7



am

m  19

an
n  7

Vậy m 2  n 2  312.
12


Câu 29: Chọn A.
Phương pháp:
Hàm số y  a x đồng biến trên TXĐ của nó  a  1
Cách giải:
x



Dễ thấy, ở đáp án A có hệ số a   1  hàm số y    đồng biến trên tập xác định.
3
3

Câu 30: Chọn D.
Phương pháp:
Dựa vào định nghĩa của hàm số lũy thừa : Hàm số y  x     R  được gọi là hàm số lũy thừa.
Cách giải:
Hàm số lũy thừa là hàm số có số mũ là số thực.

13