45 bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số mức độ 1+2 nhận biết + thông hiểu (có lời giải chi tiết) image marked image marked

45 BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1 + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
x3
 3 x 2  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có
Câu 1: Cho hàm số y 
3
hệ số góc k = -9.

A. y  16  9  x  3 .

B. y  16  9  x  3 .

C. y  9  x  3 .

D. y  16  9  x  3 .

Câu 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  x  2 tại điểm có hoành độ x  1 là
A. 2 x  y  0.

B. 2 x  y  4  0.

C. x  y  1  0.

D. x  y  3  0.

Câu 3: Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  4 x 3  6 x 2  1, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9).
A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 4: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  5 x  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số
góc nhỏ nhất.
A. y  2 x  2.

B. y  2 x  1.

C. y  2 x.

D. y  2 x  1

x3
 2 x 2  x  2 song song với đường thẳng y  2 x  5 có
Câu 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
3
phương trình là:

A. 2 x  y 

10
 0 và 2 x  y  2  0.
3

B. 2 x  y 

C. 2 x  y  4  0 và 2 x  y  1  0.

D. y  2 x  y  3  0 và 2 x  y  1  0.

Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. 0.
Câu 7: Cho hàm số f  x  

B. 2.
1
x 2

x4 x2

 1 tại điểm có hoành độ x  1 là:
4
2

C. -2.
và g  x  

4
 0 và 2 x  y  2  0.
3

x2
2

D. 3.

. Gọi d1, d2 lần lượt là tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số

f  x  , g  x  đã cho tại giao điểm của chúng. Hỏi góc giữa hai tiếp tuyến trên bằng bao nhiêu?
A. 900.

B. 600.

C. 450.

D. 300.

1
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  y  x 3  x 2  2 tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
3
trình y ''  0.
1


A. y  3 x 

7
3

B. y   x 

1
3

C. y   x 

7
3

D. y   x 

11
3

2x 1
 C  . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó cắt trục
x 1
Ox,Oy lần lượt tại các điểm A,B thỏa mãn OA = 4OB là:

Câu 9: Cho hàm số y 

1
A.  .
4

B.

1
4

C. 

1
1
và
4
4

D. 1.

Câu 10: Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x 4  2 x 2 đi qua gốc tọa độ O?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 11: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x 4  6 x 2  5 tại điểm cực tiểu của nó
A. y  5

B. y  5

C. y  0

D. y  x  5

1
Câu 12: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  x  1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến với đồ thị (C), hãy tìm
3
phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

A. y  8 x  19

B. y  x  19

C. y  8 x  10

Câu 13: Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị  C  : y 
A. 0.

B. 1.

D. y   x  19

3  4x
đi qua điểm M(0;1)?
2x 1

C. 2.

D. 3.

Câu 14: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x 3  3 x 2 tại điểm M(-1;2)
A. y  2.

B. y  3 x  1

C. y  3 x  5

D. y  3 x  1

2x  3
có đồ thị (C). Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông
x 1
góc với đường thẳng y  4 x  7.

Câu 15: Cho hàm số y 

 7
 9
A. M  2;  hoặc M  3;  .
 3
 4

3

 7
B. M  3;  hoặc M  2;  .
2

 3

3
 5

C. M  1;  hoặc M  3;  .
2
 2


 5
 9
D. M  1;  hoặc M  3;  .
 2
 4

Câu 16: Cho hàm số y 

5 3
x  x 2  4 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0  3 có hệ
3

số góc là:
A. 3.

B. 40.

C. 39.

D. 51.

Câu 17: Cho hàm số y   x 3  3 x 2  2 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) mà hệ số góc lớn nhất
là:
2


A. y  3 x  1
Câu 18: Cho hàm số y 

B. y  3 x  1

C. y  3 x  1

D. y  3 x  1

x 1

 C  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại gaio điểm của (C) với trục
x2

Ox là:
1
1
A. y  x 
3
3

B. y  3 x  3

C. y  3 x

Câu 19: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. y   x  3.

B. y   x  3.

Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị y 
A. y  3 x  9

B. y   x  5

D. y  x  3

4
tại điểm có hoành độ x  1.
x 1

C. y  x  1.

D. y   x  1

2x 1
tại điểm A(2;3) là:
x 1

C. y  3 x  3

D. y  x  1

Câu 21: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương
trình là
A. y  3 x  9

B. y  3 x  3

C. y  3 x  12

D. y  3 x  6

Câu 22: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2. hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành
độ x  2 là:
A. 6.

B. 0.

C. -6.

Câu 23: Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số y 

D. -2.

2x 1
thỏa mãn tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó có hệ
x 1

số góc bằng 2018?
A. 1.
Câu 24: Cho hàm số y 

B. 0.

C. Vô số.

D. 2.

x2
có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại gaio điểm của
x 1

(C) với trục tung là:
A. y   x  2.

B. y   x  1

C. y  x  2

D. y   x  2

x 3
có đồ thị (C) và điểm A  a;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a
x 1
để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:

Câu 25: Cho hàm số y 

A.

4
3

B. 2

C.

7
2

D. -5

Câu 26: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  1 tại điểm có tung độ bằng 5 là
A. y  20 x  35; y  20 x  35.

B. y  20 x  35.

C. y  20 x  35.

D. y  20 x  35; y  20 x  35.

3


Câu 27: Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2  2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d song song với đường thẳng y = 3.

B. d song song với đường thẳng x  3.

C. d có hệ số góc âm.

D. d có hệ số góc dương.

Câu 28: Cho hàm số y  x 4  2 x 2  3 x  1 có đò thị (C). Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song
song với đường thẳng y  3 x  2018?
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 4.

Câu 29: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 x. Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0)?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

1
sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cùng với
x 1
các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó

Câu 30: Gọi M  a; b  là điểm trên đồ thị (C) của hàm số y 
A. ab  3.

B. ab  -1.

Câu 31: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
A. 0.

C. ab  4.

D. ab  2.

3x  1
song song với đường thẳng y  2 x  1 là
x 3

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 32: Biết đường thẳng y  x là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  bx  c tại điểm M(1;1). Tìm các số
thực b, c.

A. b = 1, c = 1.

B. b = 1, c = -1.

C. b = -1, c = -1.

D. b = -1, c = 1.

Câu 33: Cho hàm số y  x 3  x 2  5 x  1. Viwwts phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm
có hoành độ x = 2.
A. y  11x  19

B. y  10 x  8

C. y  11x  10

D. y  10 x  9

Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  x 2  1 tại điểm có hoành độ x  0 là:
A. y  x  1.

B. y  x  2.

C. y  x  1.



D. y  x  2.



Câu 35: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  ln x 2  x  1 tại điểm có hoành độ x  1
A. y  x  1

B. y  x  1

C. y  x  1  ln 3

D. y  x  1  ln 3

Câu 36: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x. ln x tại điểm có hoành độ bằng e là:
A. y  2 x  3e

B. y  x  e

C. y  ex  2e

D. y  2 x  e

1
1
Câu 37: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f  x   x 3  x 2  4 x  6 tại điểm có hoành độ là nghiệm của
3
2

phương trình f ''  x   0 có hệ số góc bằng
4


A. -4.

B.

Câu 38: Cho hàm số y 

47
.
12

C. 

13
.
4

D. 

17
.
4

x2  2x
 1 
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A  1;  .
x 1
 2 

A. y 

1

1
 x  1 
2
2

B. y 

1
1
 x  1 
4
2

C. y 

1
1
 x  1 
4
2

D. y 

1
1
 x  1 
2
2

Câu 39: Cho hàm số y   x 3  3 x  2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại gaio điểm của

(C) với trục tung.
A. y  3 x  2

B. y  3 x  2

C. y  2 x  1

D. y  2 x  1

Câu 40: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  3 song song với trục hoành là:
A. một.

B. ba.

C. hai.

D. không.

Câu 41: Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  5 có phương trình là
A. y  9 x  7

B. y  2 x  4

C. y  6 x  4

D. y  2 x

Câu 42: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  3mx  1  m. Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị hàm số tiếp xúc
với trục Ox.
A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Câu 43: Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C) có hệ số góc đạt giá trị
bé nhất khi nào?
A. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng

b
.
3a

C. a > 0 và hoành độ tiếp điểm bằng 

B. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng 

b
.
3a

b
b
. D. a < 0 và hoành độ tiếp điểm bằng
.
3a
3a

Câu 44: Cho hàm số y  x 3  3 x  2 có đồ thị (C). Có bao nhiêu đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị (C)
song song với đường thẳng d : y  6 x  4
A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 45: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị (C): y  x 3  3 x 2  1 tại điểm A(1;5) và B là giao điểm thứ hai của
tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Khi đó diện tích tam giác OAB bằng
A. S = 15

B. S = 12

C. S = 24

D. S = 6

5


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-D

2-D

3-B

4-B

5-A

6-C

7-A

8-C

9-A

10-D

11-B

12-C

13-C

14-B

15-C

16-C

17-C

18-A

19-A

20-B

21-D

22-B

23-B

24-A

25-B

26-D

27-A

28-B

29-C

30-A

31-D

32-D

33-A

34-A

35-A

36-D

37-D

38-C

39-B

40-C

41-C

42-B

43-C

44-D

45-B

Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f  x0  tại điểm  x0 ; f  x0   là y  f  x0   f '  x0  x  x0 1 .
Hệ số góc là k  f '  x0  , sử dụng điều này để tìm điểm x0 sau đó thay vào (1) để tìm phương trình tiếp
tuyến.
Cách giải:

Ta có y '  x 2  6 x. Do tiếp tuyến có hệ số góc là k = -9 nên x02  6 x0  9  x0  3.
Khi đó phương trình tiếp tuyến là y  y  x0   k  x  x0   y  16  9  x  3 .
Câu 2: Chọn D.
Phương pháp:
+ Tính y '
+ Tìm điểm M(1;b) thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x = 1
+ Tìm hệ số góc k  y ' 1 của tiếp tuyến tại M
+ Viết phương tình tiếp tuyến: y  k  x  1  b
Cách giải:
Có y '  2 x  1
M(1;-2) thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ x  1
Tiếp tuyến với đồ thị hàm số có hệ số góc k  y ' 1  1 và có phương trình là y  1.  x  1  2  y  x  3
Câu 3: Chọn B.
Phương pháp:
Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A  x0 ; y0 
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng y  y '  x0  x  x0   y0
Bước 3: Do tiếp tuyến đi qua điểm M như đề bài nên ta thay tọa độ M vào phương trình tiếp tuyến ta tìm
được x0  ?  y0  ?
6


Bước 4. Viết phương trình tiếp tuyến tại A
Cách giải:

y  4 x 3  6 x 2  1  y '  12 x 2  12 x
Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A  x0 ; y0 
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng y  y '  x0  x  x0   y0
Có y0  4 x03  6 x02  1; y '  x0   12 x02  12 x0



Khi đó ta có phương trình tiếp tuyến tại A là: y  12 x02  12 x0

  x  x0   4 x03  6 x02  1

Mà tiếp tuyến đi qua điểm M(- 1; - 9) nên ta có:



9  12 x02  12 x0

  x  x0   4 x03  6 x02  1

 9  12 x02  12 x03  12 x0  12 x02  4 x03  6 x02  1
 8 x03  6 x02  12 x0  10  0
 4 x03  3 x02  6 x0  5  0





  x0  1 4 x02  x0  5  0

 x0  1

.
 x0  5

4
Phương trình có 2 nghiệm thực nên có 2 tiếp tuyến đi qua M.

Câu 4: Chọn B.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến là giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm nên để có hệ số góc nhỏ nhất thì ta cần tìm
GTNN của đạo hàm.
Cách giải:
Xét hàm số: y  x 3  3 x 2  5 x  2 trên R
2

Có y '  3 x 2  6 x  5  3  x  1  2  2.
Dấu “=” xảy ra x  1. Với x  1  y  1.
Vậy đường thẳng cần tìm là: y  1  2  x  1  y  2 x  1.
Câu 5: Chọn A.
Phương pháp:
7


Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  2 x  5 thì có hệ số góc bằng với hệ số góc của đường thẳng
nên y '  2.
Giải phương trình y '  2 tìm các nghiệm rồi suy ra tọa độ tiếp điểm, từ đó viết được phương trình tiếp
tuyến.
Đường thẳng d đi qua A  x0 ; y0  và có hệ số góc k có phương trình y  k  x  x0   y0 .
Cách giải:
Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y  2 x  5 nên có hệ số góc.

4

x  1, y 

Suy ra y '  2 hay x  4 x  1  2   x  1 x  3  0 
3


 x  3, y  4
2

Với x  1; y 

4
4
10
thì d1 : y  2  x  1  hay d1 : y  2 x 
3
3
3

Với x  3; y  4 thì d2 : y  2( x  3)  4 hay d2 : y  2 x  2
Câu 6: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm x  x 0 là k  f '  x0  .
Cách giải:
Ta có y '  x 3  x  hệ số góc tại x  1 là k  y '  1  2
Câu 7: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm.
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là f '  x0  , nhận xét về hệ
số góc của 2 tiếp tuyến.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
1

f x 

g x 
Vì 

x 2

x2

1
2

2

 f ' x  

1
x2 2

1
x 2



x2
2

 f ' 1  

 x 1
1

2

 g '  x   2 x  g ' 1  2

. 2  1 nên d1  d2 .
8


Câu 8: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y ''  0 ta được nghiệm x  x0 . Khi đó ta tìm được y  x  x0   y0  M  x0 ; y0  .
+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y '  x 2  2 x  y ''  2 x  2  y ''  0  2 x  2  0  x  1.
4
4

Với x  1 ta có: y  1    M  1;   .
3
3


Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: y  y '  1 x  1 

4
4
7
   x  1    x  .
3
3

3

Câu 9: Chọn A.
Cách giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm A  Ox; B  Oy sao cho OA  4OB  d có hệ số góc k  
Ta có: y '  

1

 x  12

OB
1

OA
4

 0, x  D nên hệ số góc của tiếp tuyến d của (C) phải âm.

1
Do đó k   .
4

Câu 10: Chọn D.
Phương pháp:
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M bất kỳ thuộc (C): Phương trình tiếp tuyến với
đồ thị hàm số  C  : y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0    C  là: y  f '  x0  x  x0   y0
- Tiếp tuyến đi qua điểm O nếu tọa độ của O thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.
- Số nghiệm x0 của phương trình chính là số điểm M cần tìm.
Cách giải:

Giả sử  x0 ; y0  là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O
Ta có: y '  4 x 3  4 x
Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm  x0 ; y0 



  x  x0   y0
 y   4 x03  4 x0   x  x0   x04  2 x02
y  4 x03  4 x0

9


Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:





0  4 x03  4 x0  0  x0   x04  2 x02



 x0  0



 3 x04  2 x02  0  x02 3 x02  2  0  

2

x 
 0
3

Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
Câu 11: Chọn B.
Phương pháp:
- Khảo sát hàm số y   x 4  6 x 2  5 tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Ta có: y '  4 x 3  12 x  y '  0  x  0 hoặc x  3 hoặc x   3
Ta có bảng biến thiên:

x

 3



y'

-

y

0

0
+

+

3

0

-

4

0

+

4

-5
Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y = -5.
Câu 12: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là y '  x0  và có phương
trình y  f '  x0  x  x0   y0
Cách giải:
2

Ta có y '  x 2  6 x  1  y '  x0   x02  6 x0  1   x0  3  8  8 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại điểm có hoành độ x0, khi đó hệ số góc nhỏ nhất bằng -8 khi và chỉ khi x0  3.
Tại x0  3 ta có y0  14.
Vậy phương tình tiếp tuyến cần tìm là y  8  x  3  14  8 x  10
Câu 13: Chọn C.
Phương pháp:

10


Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm là  x0 ; y0 
Bước 2: Xác định công thức tiếp tuyến đồ thị hàm số
Cách giải:
1 
TXĐ: D  R \  
2 

Ta có: y 

3  4x
2
 y' 
2x 1
 2 x  12

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là: y 

2

 2 x0  1

2

 x  x0  

3  4 x0
2 x0  1

Tiếp tuyến đi qua M(0;1)



2

 2 x0  12



3  4 x0
2
 1  2 x0   3  4 x0  2 x0  1   2 x0  1
2 x0  1

 x0  1
1
x 
 0 3

 2 x0  8 x02  10 x0  3  4 x02  4 x0  1  12 x02  16 x0  4  0  


Nhận thấy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.
Câu 14: Chọn B.
Phương pháp:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 là y  y '  x0  x  x0  y0 
Cách giải:
Nhận thấy điểm M thuộc đồ thị hàm số đã cho

Ta có: y  x 3  3 x 2  y '  3 x 2  6 x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  y ' 1 x  1  y 1  3  x  1  2  1  3 x
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
- Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là tích các hệ số góc bằng -1.
- Giải phương trình y '  k tìm được ở trên để tìm hoành đồ của M  M.
Cách giải:
1
Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với d : y  4 x  7  k.4  1  k   .
4

11


  5
5

x

1

y

 M  1; 2 

x 1  2
1
1



2
Ta có: k  y ' 
 


2

4
3

 x  1  2
 x  3  y  3
 x  1
M  3; 


2
2
 
Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y  f  x  tại điểm x0 bằng f '  x0  .
Cách giải:
y

5 3
x  x 2  4  y '  5x 2  2 x
3

y '  3  5.32  2.3  39

Câu 17: Chọn A.
Phương pháp:
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  x0 ; y0  thuộc đồ thị (C) có hệ số góc là k  y '  x0 
+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là: y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Gọi M  x0 ; y0  là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Khi đó hệ số góc của (C) tại M là: k  y '  x0 
Để k lớn nhất thì y '  x0  lớn nhất.





2

Ta có: y '  3 x 2  6 x  3 x 2  2 x  1  3  3  x  1  3  3

 Maxy '  3  x  1  0  x  1  M 1;4  .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y  3  x  1  4  3 x  1.
Câu 18: Chọn A.
Phương pháp:
+ Tìm y’.
+ Tìm tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  .
+ Viết phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  có dạng y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có y ' 

3

 x  2 2

,  x  2  .

12


Hoành độ tiếp điểm M là nghiệm của phương trình

x 1
 0  x  1  M 1;0  .
x2

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng y  y ' 1 x  1  0  y 

1
1
1
 x  1  x  x 
3
3
3

Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên khoảng K và có đồ thị là được cong (C), phương trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm M  a; f  a   ,  a  K  là: y  f '  x  x  a   f  a  .
Cách giải:
y

4

4
 y'  
x 1
 x  12

y 1 

4
4
 2; y '  1  
 1
2
1  1
 1  1

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  y '  1 x  1  y 1  y  1.  x  1  2  y   x  3
Câu 20: Chọn B.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là y  f '  x0  x  x0   y0
Cách giải:
y' 

1
2

 y '2 

1

 x  1

 2  1
y    x  2  3  x  5 .

2

 1  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x 1
tại A(2;3) là:
x 1

Câu 21: Chọn D.
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  có hệ số góc là: k  f '  x0  .
Cách giải:

y  x 3  3 x 2  5(C)  y'  3x 2  6 x  6
Lấy M  x0 ; y0    C  . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  6 x  5 tại điểm M có hệ số góc
2

k  3 x02  6 x0  6  3  x0  1  3  3  kmin  3  x0  1  0  x0  1
x0  1  y0  12  3.12  6.1  5  9

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y  y ' 1 .  x  1  y 1  y  3.  x  1  9  y  3 x  6
13


Câu 22: Chọn B.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là k  f '  x0  .

Cách giải:
Ta có y '  3 x 2  6 x  y '  2   3.22  6.2  0 nên hệ số góc cần tìm là k = 0.
Câu 23: Chọn B.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 là k  f '  x0  .
Cách giải:
Đk: x  1.
y' 

1

 x  1

.

2

Hoành độ của các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bằng 2018 là nghiệm của
phương trình

1

 x  12

 2018 (vô nghiệm) nên không có điểm nào thỏa mãn.

Câu 24: Chọn A.
Phương pháp:
+) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là M  0; y0  .
+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  0; y0  : y  f '  0  x  0   y0 .

Cách giải:
x2
giao với trục tung tại M  0;2  .
x 1

Ta có đồ thị hàm số y 

Phương trình tiếp tuyến tại M(0;2) là y  y '  0  x  0   2  y   x  2
Câu 25: Chọn B.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số là:

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y ' 

1  1.3

1  x 

2



2

 x  12

.

14



x 3 
Gọi M  x0 ; y0  là điểm thuộc đồ thị (C)  M  x0 ; 0
.
 x0  1 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:
x0  3
2 x0  x02  4 x0  3
2
d:y

x
 x  x0  
x0  1
 x0  12
 x0  12
 x0  12
2



x 2  6 x0  3
x 0
.
2
2

 x0  1
 x0  1
2

Đường thẳng d đi qua A  a;1  1  

x 2  6 x0  3
a 0
 x0  12
 x0  12
2

 x02  2 x0  1  2 a  x02  6 x0  3
 2 x02  8 x0  2 a  4  0 (*)

Để có đúng 1 tiếp tuyến của đồ thị đi qua A thì phương trình (*) có nghiệm suy nhất

  '  0  16  2  2 a  4   0
 8  2a  4  0
 a  2.

 S  2 .
Câu 26: Chọn D.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
Cách giải:
Gọi M  m;5   C  suy ra m 4  3m 2  1  5  m 2  4  m  2.

 y '  2   20
Ta có y '  4 x 3  6 x  

suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là
 y '  2   20

 y  20 x  35
 y  20 x  35 .


Câu 27: Chọn A.
Phương pháp:
Dựa vào bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc.
Cách giải:
Ta có tiếp tuyến tại điểm cực đại có PT là y = 2.
Câu 28: Chọn B.
Phương pháp:
15


+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm  x0 ; y0  là: y  f '  x0  x  x0   y0 .

 f '  x0   a
+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  song song với đường thẳng y  ax  b  
.
 y0  f '  x0  x0  b
Cách giải:
Ta có: y '  4 x 3  4 x  3.
Gọi M  x0 ; y0    C  . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y  y '  x0  x  x0   y0



 y   4 x03  4 x0  3 x  4 x04  4 x02  3 x0  x04  2 x02  3

 y   4 x03  4 x0  3 x  3 x04  2 x02  3 x0  3
 y  4 x03  4 x0  3  x  x0   x04  2 x02  3

Tiếp tuyến của đồ thì (C) song song với đường thẳng y  3 x  2018
  x0  1

 x0  1
4 x 3  4 x  3  3
  x0  0

0
0

 
  x0  0
x

1
4
2
3 x0  2 x0  3 x0  3  2018   0
 x0  1
3 x 4  2 x 2  3 x  3  2018

0
0
0

Vậy có tất cả 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 29: Chọn C.

Phương pháp:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị hàm số. Cho điểm thuộc tiếp tuyến để xác
định giá trị của tham số m
Cách giải:
Gọi M  m; y  m   thuộc  C   y '  m   3m 2  6 m  2 và y  m   m3  3m 2  2 m.



Vì tiếp tuyến d đi qua A(-1;0) suy ra m3  3m 2  2 m   3m 2  6 m  2  1  m   m3  3m  1  0.
Suy ra phương trình tiếp tuyến của  C  tại M là y  m3  3m 2  2 m  3m 2  6 m  2  x  m  .

Giải phương trình, tìm được 3 nghiệm m 
 Có tất cả 3 tiếp tuyến cần tìm.
Câu 30: Chọn A.
Phương pháp:
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị, tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến
và hai trục tọa độ, từ đó suy ra diện tích cần tìm.
16


Cách giải:
1 

Gọi M  a;
 là điểm thuộc đồ thị hàm số (C).
 a 1 

Ta có y '  

1

 x  1

2

 y 'a  

1

 a  1

2

và y  a  

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y 

1
.
a 1

1
1
x
2a  1


.
 x  a  y  
2

2
a 1
 a  1
 a  1  a  12

d cắt trục Ox tại điểm A  2 a  1;0   OA  2 a  1 .

 2a  1 
2a  1
  OB 
d cắt trục Oy tại điểm B  0;
.
2
  a  12 
a

1




 2a  1
 a 1  2
1
1  2a  1 
3
2
a .
Diện tích tam giác OAB là SOAB  .OA.OB  . 


2
2  a 1 
4
 2 a  1  2
 a  1
2

Suy ra b 

1
1
3

 4. Vậy tích ab  .  4   3.
3
a 1
4
1
4

Câu 31: Chọn D.
Phương pháp:
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sử dụng điều kiện để hai đường thẳng song song để xác
định số tiếp tuyến cần tìm.
Cách giải:
Gọi M  a; y  a     C  , có y '  a   
y  y  a   y '  a  x  a   y  

8

 a  3 2

8

 a  3

2

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

 x  a 

3a  1
(d).
a3

Vì (d) song song với đường thẳng y  2 x  1 nên suy ra 

a  5
2
 2   a  3  4  
.
2
a

1

 a  3
8

 y  2  x  5  7
 y  2 x  17
Khi đó, phương trình 

.
y


2
x

1(ktm)
y


2
x

1

1




Câu 32: Chọn D.
17


Phương pháp:

Dựa vào điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số: Hai hàm số f, g tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ
phương trình f = g và f’ = g’ có nghiệm
Cách giải:
Điểm M 1;1   P  : y  x 2  bx  c 
 y 1  1  b  c  0

 Loại A, C.



 x  1  1  b  2  1  b  1.

Đường thẳng y  x tiếp xúc với (P) suy ra x 2  bx  c '
Câu 33: Chọn A.
Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  x0 có phương trình

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  2 x  5  y '  2   11; y  2   3  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm
có hoành độ x = 2 là: y  11  x  2   3  11x  19.
Câu 34: Chọn A.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  x0 có phương trình

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
TXĐ: D = R.
Ta có y '  1 

x
2

x 1

 y '  0   1; y  0   1  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

độ x  0 là: y  y '  0  x  0   y  0   1  x  0   1  x  1
Câu 35: Chọn A.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y  f x

tại điểm có hoành độ

x0

là:

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
Ta có: y ' 

2x 1
x2  x  1

 y ' 1  1
18

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  1 là: y  1  x  1  ln1  x  1
Câu 36: Chọn D.
Phương pháp:
Cho hàm số y  f  x  C  , tiếp tuyến của (C) tại M  x0 ; y0  có phương trình: y  f '  x0  x  x0   y0
Cách giải:
Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm.
Theo đề bài, ta có: x0  e  y0  e. ln e  e
y '  1. lnx  x.

1
 ln x  1  y '  e   lne 1  2
x

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x. ln x tại M(e;e):

y  y '  e  x  e   e  y  2  x  e   e  y  2 x  e
Câu 37: Chọn D.
Phương pháp:
Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số
Cách giải:
1
Ta có f '  x   x 2  x  4  f '  x   2 x  1  0  x  .
2
17
1
Suy ra hệ số góc cần tìm là k  f '     .
4
2

Câu 38: Chọn C.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0  là y  f  x0   f '  x0  x  x0 
Cách giải:
TXĐ:  \ 1 .
Ta có y ' 

x2  2x  2

 x  12

1
 1 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A  1;  là: y  y ' 1 x  1 
2
 2 

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d  : y 

1
1
 x  1  .
4
2

Câu 39: Chọn B.
Phương pháp:
19

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y  f x

x0

tại điểm có hoành độ

là:

y  f '  x0  x  x0   f  x0  .
Cách giải:

x  0  y  2  A  0; 2 
y '  3 x 2  3  y '  0   3

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y  3  x  0   2  3 x  2
Câu 40: Chọn C.
Phương pháp:
Tìm số nghiệm của phương trình y '  0.
Cách giải:
Phương trình trục hoành: y = 0.
Ta có y '  4 x 3  4 x  Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  x0 là y '  x0   4 x03  4 x0 .

x  0
Tiếp tuyến // Ox  y '  x0   0  4 x03  4 x0  0   0
.
 x0  1
Khi x  1 ta tìm được hai tiếp tuyến trùng nhau là y = -3

Vậy có hai tiếp tuyến song song với trục hoành.
Câu 41: Chọn C.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ

x  x0 là

y  f '  x0  x  x0   y0 .
Cách giải:
TXĐ: D = R.





2

Ta có y '  3 x 2  6 x  9  y '  x0   3 x02  6 x0  9  3 x02  2 x0  1  6  3  x0  1  6  6

 y '  x0 min  6  x0  1  y0  2
Do đó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là y  6  x  1  2  6 x  4.
Câu 42: Chọn B.
Phương pháp:
Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị và yCD . yCT  0.
Cách giải:
20


Ta có y '  3 x 2  x  3m
Để hàm số có 2 cực trị    0  m  1.

x  x  2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  1 2
 x1 x2  m
1
1
Ta có y  y '  x    2 x  m  1  1.
3
3
yCD . yCT  0  2  m  1 x1  1 2  m  1 x2  1  0
2

 4  m  1 x1 x2  2  m  1 x1  x2   1  0
2

 4 m  m  1  4  m  1  1  0

 4 m3  8m 2  8m  3  0
Phương trình này có 1 nghiệm duy nhất. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 43: Chọn C.
Phương pháp:
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) là y '  3ax 2  2 bx  c .
Cách giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) là y '  3ax 2  2 bx  c 1 parabol đạt GTNN khi a > 0 tại x  

2b
b

.
2.3a 3a

Câu 44: Chọn D.
Phương pháp:
Cho hàm số  C  : y  f  x 
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  x0 ; y0    C  là: y  f '  x0  x  x0   y0

 f '  x0   6
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  6 x  4  
 f '  x0  .   x0   y0  4
Cách giải:
Ta có: y '  3 x 2  3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M  x0 ; y0    C  là:





y  3 x02  3  x  x0   y0

21


 
 y   3 x02  3 x  2 x03  2.

 y  3 x02  3 x  3 x03  3 x0  x03  3 x0  2

3 x 2  3  6
0
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  6 x  4  

2 x03  2  4
 x 1
 x 2  1   0
0

   x0  1  x0  1.
3
 x0  1 
 x0  1

Câu 45: Chọn B.
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm x  a là: y  f '  a  .  x  a   f  a 
Cách giải:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(1;5) là: y  9 x  4
Giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số B(-5;-49)
Có:

AB  62  542  6 82
d O;d  

4
92  1



4
82

1

4
 SOAB  .6 82.
 12
2
82

22