50 bài tập trắc nghiệm GTLN, GTNN của hàm số mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao (có lời giải chi tiết) image marked image marked

50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được
khối hộp chữ nhật không nắp. Tìm x sao cho thể tích khối hộp lớn nhất?

A. x  2
B. x  6
C. x  4
D. x  3
Câu 2. Xét các tam giác ABC cân tại A, ngoại tiếp đường tròn có bán kính r = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Smin
của diện tích tam giác ABC?

A. S min  2

B. S min  3 3

C. S min  3 2

D. S min  4

Câu 3. Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn log 32 a  log 32 b  log 32 x  1. Khi biểu thức
P  a 3  b3  c3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c  đạt giá trị lớn nhất thì tổng a  b  c là

A. 3

1
3

3

B. 3.2
C. 4
D. 6
xm
16
Câu 4. Cho hàm số y 
(m là tham số thực) thỏa mãn min y  max y  . Mệnh đề nào dưới đây
1;2
1;2
x 1
3
là đúng?
A. 2  m  4
B. 0  m  2
C. m  0
D. m  4
Câu 5. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y  x  4  x 2  m là 3 2. Giá trị của m là
A. m  2

B. m  2 2

C. m 

2
2

D. m   2

1

Câu

6.

Cho

hàm

y  f  x

số

có

đồ

y  f  x

thị

như

hình

vẽ.

Xét

hàm

số

1
3
g  x   f  x   x3  x 2  2018, mệnh đề nào dưới đây là đúng?
3
4

A. min g  x   g  3

B. min g  x   g  1

C. min g  x   g 1

D. min g  x  

 3;1

 3;1

 3;1

 3;1

g  3  g 1
2

Câu 7. Hàm số y   x  m    x  n   x3 (tham số m; n ) đồng biến trên khoảng  ;   . Giá trị nhỏ
3

3

nhất của biểu thức P  4  m 2  n 2   m  n bằng
A. 

1
16

B. – 16

C. 4

D.

1
4

Câu 8. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ. Biết rằng

f  0   f  3  f  2   f  5  . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f  x  trên đoạn [0;5] lần lượt là

A. f  2  ; f  0 

B. f  0  ; f  5 

C. f  2  ; f  5 

D. f 1 ; f  3

 1 2x 
Câu 9. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn ln 
  3 x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của
 x y 
1
1
P 
x
xy
A. 8

B. 16

C. 4

D. 2
2


Câu 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F 

a 4 b4  a 2 b2  a b
       với a, b  0
b4 a 4  b2 a 2  b a

A. 10
B. 2
C. – 2
D. Không có GTNN
Câu 11. Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn

tháp hình tứ giác đều S.ABCD cạnh bên SA = 600 mét, 
ASB  150. Do sự cố đường dây điện tại điểm Q
(là trung điểm của SA) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A đến Q gồm bốn đoạn thẳng: AM,
MN, NP, PQ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và nó được chiều dài con đường từ A
AM  MN
đến Q ngắn nhất. Tính tỷ số k 
NP  PQ

A. k  2

B. k 

4
3

C. k 

3
2

D. k 

5
3

Câu 12. Cho các số thực x,y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32. Gía trị nhỏ nhất m của biểu thức
2

2

A  x3  y 3  3  xy  1 x  y  2  là
A. m  16

C. m 

B. m  0

Câu 13. Giá trị lớn nhất của hàm số y 

17  5 5
4

D. m  398

x
trên khoảng  ;   là
4  x2

1
C. 
D. 2
4
2mx  1
1
Câu 14. Cho hàm số y 
(m là tham số) thỏa mãn max y   . Khi đó mệnh đề nào sau đây
 2;3
mx
3
đúng?

A. 3

B.

A. m   0;1

B. m  1; 2

Câu 15. Cho 0  x; y  1 thỏa mãn 20171 x  y 

C. m   0;6 

D. m   3; 2 

x 2  2018
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
y 2  2 y  2019

trị nhỏ nhất của biểu thức S   4 x 2  3 y  4 y 2  3 x   25 xy. Khi đó M + m bằng

3


A.

136
3

B.

391
16

C.

383
16

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 
bằng

D.

25
2

mx  1
có giá trị lớn nhất trên đoạn (2;3)
x  m2

5
6

m  3
A. 
m  2
5


m  2
B. 
m  2
5


m  3
C. 
m  3
5


D. m  3

Câu 17. Cho hàm só f  x  có đạo hàm f   x  . Đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ. Biết rằng

f  0   f  3  f  2   f  5  . Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f  x  trên đoạn [0;5] lần lượt là

A. f 1 ; f  5 

B. f  2  ; f  0 

C. f  2  ; f  5 

D. f  0  ; f  5 

Câu 18. Cho hàm số f  x   x3  3 x 2  m. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m  m  10  để với mọi bộ
ba số phân biệt a, b, c  1;3 thì f  a  ; f  b  ; f  c  là ba cạnh của một tam giác
A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Câu 19. Cho x; y là hai số thực thoả mãn điều kiện x 2  y 2  xy  4  4 y  3 x. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P  3  x3  y 3   20 x 2  2 xy  5 y 2  39 x

A. 100
B. 66
C. 110
D. 90
Câu 20. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y  x3  3 x  m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là
A. 1

B. 2

C. 0

D. 6

Câu 21. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   sin 2016 x  cos 2016 x trên
R. Khi đó
A. M  1; m 
C. M  2; m 

1
2

2018

1
1007

2

B. M  1; m 

1
2

2017

D. M  1; m  0

4


Câu 22. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
y  x3  3 x  m  3 trên đoạn [0;2] bằng 5. Số phần tử của S là
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Câu 23. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích
lớn nhất Smax của hình thang.
3 3
4

cos x  2sin x  3
. Khi đó
Câu 24. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
2 cos x  sin x  4
1
A. M  2; m 
B. M  1; m  1
2
2
C. M  2; m 
D. M  1; m  7
11
Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho GTNN của hàm số
y  sin 4 x  cos 2 x  m bằng 2. Số phần tử của S là

A. S max 

8 2
9

B. S max 

A. 2

B. 1

4 2
9

C. S max 

3 3
9

D. S max 

C. 3

D. 4

1

Câu 26. Cho  P  y  x 2 và A  2;  . Gọi M là điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là
2

2
5
2 3
5
B.
C.
D.
2
2
3
4
Câu 27. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm

A.

số y 

1 4 19 2
x  x  30 x  m  20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20. Tổng các phần tử của S bằng
4
2

A. 105

B. 210

C. – 195

D. 300

Câu 28. Cho hai số thực x, y  0 thay đổi và thỏa mãn  x  y  xy  x  y  xy. Giá trị lớn nhất của biểu
2

thức M 

2

1 1

là
x3 y 3

A. 18

B. 1

C. 9

D. 16

Câu 29. Xét phương trình ax  x  bx  1  0 với a, b là các số thực a  0; a  b sao cho các nghiệm đều
3

2

5a 2  3ab  2
là số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
a2 b  a 
B. 8 2

A. 15 3

C. 11 6

D. 12 3

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y  f   x  như hình bên. Đặt
g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2

5


A. min g  x   g 1

B. max g  x   g 1

C. min g  x   g  3

D. Không tồn tại GTNN g  x  trên  3;3

 3;3

 3;3

 3;3

Câu 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x  tan x  cot x 

1
1

sin x cos x

A. 2 2  1

B. 2  1
C. 2 2  1
D. 2  1
xm
2
Câu 32. Cho hàm số y 
(m là tham số thực) thỏa mãn max y  . Mệnh đề nào dưới đay đúng?
 2;4
x 1

3
A. 1  m  3
B. 3  m  4
C. m  2
D. m  4

 x 2  xy  3  0
Câu 33. Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 
. Tính tổng giá trị lớn nhất
2
x

3
y

14

0

2
2
3
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3 x y  xy  2 x  2 x
A. 12

B. 8

C. 0

D. 4

Câu 34. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   e 2 x  4e x  m trên đoạn

0;ln 4

bằng 6

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của m  0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x3  3 x  1 trên đoạn

 m  1; m  2 luôn bé hơn 3.
A. m   0; 2 

B. m   0;1

C. m  1;  

D. m   0;  

Câu 36. Tập hợp nào sau đây chứa tất cả các giá trị của tham số m sao cho GTLN của hàm số
y  x 2  2 x  m trên đoạn [1;2] bằng 5
A.  5; 2    0;3

B.  0;  

C.  6; 3   0; 2 

D.  4;3

Câu 37. Cho hàm số y  ax3  cx  d , a  0 có min f  x   f  2  . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x 
  ;0 

trên đoạn [1;3] bằng
A. 8a  d

B. d  16a

C. d  11a

D. 2a  d
6


Câu 38. Cho hàm số f  x   x 4  4 x3  4 x 2  a . 4 4 .Gọi M, m lần lượt là các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của hàm số đã cho trên đoạn [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn  3;3 sao cho M  2m ?
A. 3

B. 7

C. 6

D. 5

Câu 39. Biết hàm số y   x  m  x  n  x  p  không có cực trị. Giá trị nhỏ nhất của F  m 2  2n  6 p
là
A. – 4

B. – 6

C. 2

D. – 2

Câu 40. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để GTLN của hàm số y  x 2  2 x  m  4 trên đoạn

 2;1 bằng 4?
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4
m sin x  1
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để GTLN của hàm số y 
nhỏ hơn 2
cos x  2
A. 5
B. 3
C. 4
D. 6
Câu 42. Biết hàm số y  f  x  liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn
[0;2]. Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có GTLN và GTNN tương ứng là M và m ?

 4x 
A. y  f  2 
 x 1 

C. y  f



B. y  f

2  sin 3 x  cos3 x 





2  sin x  cos x 



D. y  f x  2  x 2

Câu 43. Gọi M, m tương ứng là GTLN và GTNN của hàm số y 





2 cos x  1
. Khẳng định nào sau đây là

cos x  2

đúng
A. M  9m  0

B. 9 M  m  0

C. 9 M  m  0

D. M  m  0

 x 2  5 x  4  0
Câu 44. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ  2
có nghiệm là
3 x  mx x  16  0
A. m  8;16

B. m   0;19

C. m   0;1

D. m  8;19

Câu 45. Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện log x  y  x 2  y 2   1. Giá trị lớn nhất của biểu
thức A  48  x  y   156  x  y   133  x  y   4 là
3

2

A. 29

B.

1369
36

C. 30

D.

505
36

Câu 46. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trên R. Biết f   0   3; f   2   2018 và bảng xét dấu
của như sau:
x

f  x



0
+

0



2



0

+

Hàm số y  f  x  2017   2018 x đạt GTNN tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây?
7


A.  2017;  

B.  ; 2017 

C.  0; 2 

D.  2017;0 

Câu 47. Cho ba số x, y, z thỏa mãn 4 x 2  y 2  9 z 2  4 x  12 z  11. Tìm GTLN của biểu thức
P  4 x  2 y  3z
A. 6  2 15

B. 20

C. 8  4 3

Câu 48. Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y 
biến trên mỗi khoảng xác định của nó là:
A. 2018
B. 0

D. 16
x 2019
1

 mx  2018 luôn đồng
2019 2017 x 2017

C. 2

D. 1

Câu 49. Có bao nhiêu giá trị của m để GTLN của hàm số y   x  8 x  m trên đoạn  1;3 bằng 2018
4

2

A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 50. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

y

x 2  mx  2m
trên  1;1 bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử trong tập S
x2
A. 5

B. 

8
3

C. – 1

D.

5
3

8


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1-A

2-B

3-C

4-D

5-A

6-B

7-A

8-C

9-A

10 - C

11 - A

12 - C

13 - B

14 - A

15 - B

16 - A

17 - C

18 - C

19 - A

20 - B

21 - B

22 - C

23 - D

24 - C

25 - A

26 - C

27 - A

28 - D

29 - D

30 - B

31 - A

32 - C

33 - C

34 - D

35 - B

36 - A

37 - B

38 - D

39 - A

40 - B

41 - A

42 - A

43 - C

44 - D

45 - C

46 - B

47 - D

48 - C

49 - B

50 - C

Câu 1. Chọn A
Phương pháp:
Xác định các kích thước của hình hộp có thể được tạo thành.
Lập hàm V(x) là thể tích của khối hộp.

Xác định x để V(x) lớn nhất.
Cách giải: Sau khi cắt 4 cạnh của hình vuông và gập lại ta được hình hộp có các kích thước là:
12  2 x;12  2 x; x với 0  x  6
Thể tích của hình hộp được tạo thành là: V  x   x 12  2 x 

2

Ta cần tìm x để hàm số V(x) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: V   x   12  2 x   4 x 12  2 x 
2

x  6
2
V   x   0  12  2 x   4 x 12  2 x   0  12  2 x 12  2 x  4 x   0  
x  2
Ta tính giá trị của V(x) tại các giá trị x  0; x  2; x  6 ta được V  0   0;V  2   128;V  6   0
Vậy V(x) lớn nhất khi x  2
Câu 2. Chọn B
Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích tam giác S  pr trong đó p là nửa chu vi và r là bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Cách giải:

Đặt AB  AC  a; BC  b  a, b  0 
Ta có: S ABC  p.r  p.1  p 

aab
b
a
2
2

9


Kẻ đường cao AH ta có:
Ta lại có: S ABC 

b
A
A
 a sin  S ABC  a  a sin
2
2
2

1 2
A
A

a sin A  a  a sin  a 1  sin 
2
2
2


A

2 1  sin 
1
A
2

 a sin A  1  sin  a  
2
2
sin A
2

A

2 1  sin 
2
 S ABC  
0  A   
sin A
Dùng [MODE] [7] tìm GTNN của hàm số trên ta nhận được:

Xấp xỉ
Câu 3. Chọn C.
Phương pháp: Ta sử dụng Bổ đề: Cho a  b  c là các số thực không âm và P  a; b; c  là hàm đối xứng
theo các biến a, b, c. Giả sử f  x  là hàm sao cho f   x  là một hàm lồi ( tức là f   x   0 thì hàm số

P  a; b; c   f  a   f  b   f  c  đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại a  b  c
Cách giải:
Áp dụng vào bài toán của chúng ta. Đặt f  x   x3  3 x log 2 x, x  1; 2
Khi đó ta có: h  x   f   x   3 x 2  3log 2 x 
Ta tính được h  x   6 x 

3
x  ln 2 

2

3
ln 2

; h  x   6 x 

3
x  ln 2 
2

2

 0x  1; 2

Do đó hàm h  x   f   x  là hàm lồi. Ta lại có:
P  a; b; c   a 3  b3  c3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c 

 a 3  b3  c3  3  a log 2 a  b log 2 b  c log 2 c   f  a   f  b   f  c 
Áp dụng bổ đề trên ta suy ra P  a; b; c  đạt GTLN tại a  b  c
Khi đó P  a; b; b   a 3  2b3  3  a log 2 a  2b log 2 b 1
Giả sử a  2b   ;3    6
10


Khi đó a    2b thay vào biểu thức (1) ta được:
P  a; b; b     2b   2b3  3    2b  log 2 a   2b   b log 2 b 
3

Xét hàm số g  x     2 x   2 x3  3    2 x  log 2   2 x   b log 2 x  , x  1; 2
3

Ta có: g   x   6  3 x 2  4a   2   6 log 2
g   x   0  3 x 2  4 x   2  log 2

  2x
x

  2x
x



 log 2   2   2 
x


Do   3, x  1; 2 nên hàm số ở vế trái và vế phải của (2) đều là các hàm số nghịch biến.
Mặt khác ta lại có x   là một nghiệm của (2) do đó (2) có nghiệm duy nhất x   trên R.
Do x  1; 2 ,   3 nên (2) vô nghiệm
Lại có: g  1  6  3  4   2   6 log 2   2 
Đặt p  x    x 2  4 x  3  log 2  x  2  ;3  x  6

 2  x  2 2 ln 2  1 
1
Khi đó p  x   2 x  4 
 
  0,3  x  6
 x  2  ln 2   x  2  ln 2 
Do đó p  x  là hàm nghịch biến trên [3;6]
Từ đó p  6   p  x   p  3  p  x   0  g  1  0

Điều này kéo theo g  x  nghịch biến trên [1;2] do đó g  2   g  x   g 1
Vì vậy g  x  đạt GTLN tại x  1
Khi đó b  c  1. Thay vào P  a; b; b  ta có: P  a;1;1  a 3  2  3a log 2 a, a  1; 2
Ta có: P  a;1;1  f  a   2

Theo tính toán ở trên ta có f   x   6 x 

3
x  ln 2 

2



1
6  x2 
2
2  ln 2  


 0x  1; 2
x

Vậy f’ là hàm đồng biến  f  1  f   x   f   2   0  3 

3
 f  x
ln 2

Do đó f  x  là hàm đồng biến trên [1;2]

Vậy f  x   f  2 
Kéo theo f  a  đạt GTLN tại a  2. Hay P  a;1;1 đạt GTLN tại a  2.
Khi đó a  b  c  4
Kiểm tra lại với a  2, b  c  1 thỏa mãn điều kiện log 32 a  log 32 b  log 32 c  1
Câu 4. Chọn D.
Phương pháp:
11


Xét các trường hợp m  1; m  1; m  1
Với mỗi trường hợp ta tính trực tiếp min y; max y
1;2

1;2

Sử dụng kết quả này để tìm giá trị m.
Cách giải: Với m = 1 thì y = 1 do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
xm
m 1
 1
Với m > 1 khi đó y 
x 1
x 1
1
1
1
m 1 m 1 m 1






Do x  1; 2  1  x  2 
1 2 x 1 11
3
x 1
2
m 1
m 1
; min y  1 
Vì vậy max y  1 
1;2
1;2
2
3
5  m  1 16
 m  1   m  1  16
 1 
 
 2 m 5 4
Kéo theo max y  min y  1 


1;2
1;2
3  
2  3
6
3


m 1
m 1
; min y  1 
Nếu m < 1 lý luận tương tự ta cũng có max y  1 
1;2
1;2
3
2
Trong trường hợp này không tồn tại giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Chọn A.
Phương pháp: Dùng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải: Điều kiện x  2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho  x 2 ; 4  x 2  ta nhận được



x  4  x2



2

 x2  4  x2  2x 4  x2  4  2x 4  x2  4  2

x2  4  x2
8
2

Do đó x  4  x 2  2 2

x  0
Kéo theo y  2 2  m. GTLN của y là 2 2  m đạt được   2
x 2
2
x  4  x
Theo giả thiết ta suy ra 2 2  m  3 3  m  2
Câu 6. Chọn B.
Phương pháp: Lập bảng biến thiên của g  x  dựa vào bảng xét dấu g   x 
Cách giải:
3
3
3
3

Ta có g   x   f   x   x 2  x   f   x    x 2  x  
2
2
2
2


Đồ thị hàm số y  h  x   x 2 

3
3
x  như hình sau
2
2

12


Trong đoạn  3;1 ta có: g   x   0  f   x   h  x   x 2 

 x  3
3
3
x  
2
2
 x  1

g   x   0  f   x   h  x   1  x  1
g   x   0  f   x   h  x   3  x  1
Ta có BBT:

1

3

x

g x



0

g  x

1

0

+

g  3

0

g 1
g  1

Từ BBT ta có min g  x   g  1
 3;1

Câu 7. Chọn A.
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên R  y  0x   
+ Dựa vào điều kiện đó để tìm GTNN của P
Cách giải: có y  3  x  m   3  x  n   3 x 2  3  x 2  2  m  n  x  m 2  n 2 
2

2

Hàm số đã cho đồng biến trên R.  x 2  2  m  n  x  m 2  n 2  0x  
    m  n    m 2  n 2   0  m 2  n 2   m  n 
2

2

2

1
1
1

Khi đó P  4  m  n    m  n    2m  2n     
4  16
16

2

m 2  n 2   m  n 2
1


m  n 
Kiểm tra thấy dấu “=” xảy ra  

8 (tồn tại m, n thỏa mãn)
1
m  n 
mn  0
8

Câu 8. Chọn C.
Phương pháp: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số, vẽ bảng biến thiên để xác định Min, Max của hàm số
f  x

13


Cách giải: Từ đồ thị y  f   x  trên đoạn [0;5] có f   0   0; f   2   0
Ta có BBT của hàm số y  f  x 
x

y

y



0
+

0

2



0



5
+

+

f  0
f  5
f  2

 min f  x   f  2 
0;5

Từ giả thiết: f  0   f  3  f  2   f  5   f  5   f  3  f  0   f  2 
Hàm số y  f  x  đồng biến trên [2;5]; 3   2;5  f  3  f  2 

 f  5   f  2   f  5   f  3  f  0   f  2   f  5   f  0 
 max f  x    f  0  ; f  5   f  5 
0;5

Câu 9. Chọn A.
Phương pháp: Đưa phương trình về dạng ln 1  2 x   1  2 x  ln  x  y   x  y, sau đó xét hàm đặc
trưng f  t   ln t  t và chứng minh hàm số y  f  t  đơn điệu, suy ra mối quan hệ giữa x và y.
Đưa biểu thức P về một biến x hoặc y, sau đó dùng MTCT để tìm GTNN của P.
1 2x
1
 0 do x, y  0  x  y  0  1  2 x  0  0  x  , y  0
Cách giải: ĐK:
x y
2

 1 2x 
Khi đó: ln 
  3 x  y  1  ln 1  2 x   ln  x  y   2 x  x  y  1
 x y 

 ln 1  2 x   1  2 x  ln  x  y   x  y 1
1
Xét hàm số đặc trưng f  t   ln t  t với t  0  f   t    1  0
t

 Hàm số y  f  t  đồng biến trên  0;  
Mà từ (1) ta có: f 1  2 x   f  x  y   1  2 x  x  y  y  1  3 x
Khi đó P 

1
1
1
1
1

 
,0  x 
x
2
xy x
x 1  3 x 

Sử dụng máy tính cầm tay, chức năng [MODE] [7] , ta tìm được Pmin  8 khi x 

1
4

14

Câu 10. Chọn C.
Phương pháp: Thêm bớt hạng tử để được các hằng đẳng thức.
Sử dụng kết quả A2  B 2  C  C để tìm minF và chú ý tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra.
Cách giải:
2

2

2

a 4 b4  a 2 b2  a b  a 2   b2   a b  a b
a 2  b2
F  4  4   2  2      2  1   2  1        4 
 4  2  4  2
b a b a  b a b
ab
 a
 b a b a

Dấu “=” xảy ra   a; b    1;1 hoặc  a; b   1; 1
Vậy Miny = 2 tại  a; b    1;1 hoặc  a; b   1; 1
Câu 11. Chọn A.
Phương pháp:
Trải 4 mặt của hình chóp ra mặt phẳng và tìm điều kiện để AM+MN+NP+PQ là nhỏ nhất.
Cách giải: Ta “xếp” 4 mặt của hình chóp lên một mặt phẳng, được như hình bên: Như hình vẽ ta thấy, để
tiết kiệm dây nhất thì các đoạn AM, MN, NP, PQ phải tạo thành một đoạn thẳng AQ.

  NSP
  PSQ
  150

Lúc này, xét SAQ có 
ASM  MSN
SA  600m, SQ  300m  k 

(Vì

AM  MN AN SA


2
NP  PQ
NQ SQ

AN SA

do tính chất của đường phân giác SN)
NQ SQ

Câu 12. Chọn C.
Phương pháp: Giải BPT  x  4    y  4   2 xy  32 với ẩn x  y để tìm điều kiện x  y
2

2

Biến đổi biểu thức A thành đa thức bậc ba ẩn x  y đặt ẩn phụ t = x  y rồi xét hàm số, chú ý điều kiện
x  y tìm được ở trên.
Cách giải:  x  4    y  4   2 xy  32   x  y   8  x  y   0  0  x  y  8
2

2

2

A   x  y   3  x  y   6 xy  6   x  y  
3

3

3
2
 x  y   3 x  y   6
2
15


(do  x  y 

2

 x  y
 4 xy  xy 
4

2

 6 xy  

3
2
 x  y )

2

3
Xét hàm số f  t   t 3  t 2  3t  6 trên đoạn [0;8] ta có:
2
f   t   3t 2  3t  33, f   t   0  t 

1 5
1 5
  0;8 nên loại)
(giá trị
2
2

Thực hiện tính toán:

 1  5  17  5 5
17  5 5
17  5 5
f  0   6; f 
, f  8   398  A  f  t  
 A
 
4
4
4
 2 

1 5
17  5 5

1 5
x  y 
Vậy GTNN của A là
xảy ra khi 
2 x y
4
4
x  y

Câu 13. Chọn B.

Phương pháp: Đánh giá hàm số y bằng cách sử dụng bất đằng thức a 2  b 2  2ab
x
1
1
2
  y .
Cách giải: Ta có:  x  2   0  x 2  4  4 x  2
x 4 4
4
Dấu “=” xảy ra khi x  2
Câu 14. Chọn A.
Phương pháp:
+ Tính y

m   a; b 
+ Nếu y  0x  D : max y  M  
 a ;b 
 y  b   M
m   a; b 

+ Nếu y  0x  D : max y  M  
 a ;b 
 y  a   M
Cách giải: y 

2m 2  1

m  x

2

 0x  m

m   2;3
1

Do đó max y    
6m  1
1m0
 2;3
3

 y  3 
m3
3


Câu 15. Chọn B.
Phương pháp:
+ Rút gọn điều kiện của bài toán bằng phương pháp hàm đặc trưng

+ Đặt ẩn phụ u = xy và khảo sát hàm số
Cách giải:
20171 x  y 

x 2  2018
 1  x  y  log 2017  x 2  2018   log 2017  y 2  2 y  2019 
y 2  2 y  2019
16


 1  y  log 2017 1  y   2018  x  log 2017  x 2  2018  *


2

Xét f  t   t  log 2017  t 2  2018   f   t   1 

2t
 0t   0;1
 t  2018 ln 2017
2

*  f 1  y   f  x   x  y  1
3
S  16 x 2 y 2  12  x3  y 3   34 xy  16 x 2 y 2  12  x  y   3xy  x  y    34 xy  16 x 2 y 2  2 xy  12



 x  y
Đặt u  xy, ta có 0  u  xy 

2

4



1
4

1
 1
Xét g  u   16u 2  2u  12 trên 0;  . Ta có: g   u   32u  2  0  u 
16
 4
25
191
391
 1  191  1  25
g  0   12; g   
;g  
 max S  , minS 
 M m
2
16
16
 16  16  4  2
Câu 16. Chọn A.
Phương pháp: Xét các trường hợp của tham số, lập bảng biến thiên để tìm max – min trên đoạn

Cách giải: Xét hàm số y 

mx  1
m3  1

y

x   2;3
trên
đoạn
(2;3),
x  m2
 x  m2 

TH1: Với m3  1  0  m  1 khi đó y  0; x   2;3
 max y  y  3 
 2;3

3m  1 5
 m3
3  m2 6

TH2: Với m3  1  0  m  1 khi đó
2m  1 5
2
 m
2
 2;3
2m
6

5
2
Vậy có hai giá trị cần tìm là m1  3; m2 
5
Câu 17. Chọn C.
y  0; x   2;3  max y  y  2  

Phương pháp: Sử dụng đồ thị của hàm số y  f   x  ta tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và
điểm gián đoạn của y  f   x  trên đoạn [0;5].
Vẽ BBT của y  f  x  và kết luận.
Cách giải:
Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có f   x   0 trên khoảng (0;2), f   x   0 trên khoảng (2;3); (3;5) và

f   x  gián đoạn tại x  3
Ta có BBT của hàm y  f  x  như sau

17


x

0

y

0

y

f  0

2



3

0

+

5
+

f  5
f  3
f  2

Từ BBT ta thấy giá trị nhỏ nhất của y  f  x  trên đoạn [0;5] là f  2 
Theo giả thiết f  0   f  3  f  2   f  5  mà f  2   f  3  f  0   f  5 
Vậy GTLN của y  f  x  trên đoạn [0;5] là f  5 
Câu 18. Chọn C.
Phương pháp: Sử dụng bất đẳng thức tam giác, do vai trò của a, b, c như nhau nên ta chỉ xét BPT :
f  a   f b  f c 
Đưa về dạng m  f  a, b, c  a, b, c  1;3  m  max f  a, b, c 
a ,b,c1;3

Cách giải:
 f  a   f b  f c 


f  a  , f  b  , f  c  là ba cạnh của một tam giác nên hệ phương trình  f  b   f  c   f  a  thỏa mãn với

 f  a   f c   f b
mọi a, b, c  1;3

Vì vai trò của a, b, c là như nhau nên ta xét bất phương trình f  a   f  b   f  c 

a 3  3a 2  m  b3  3b 2  m  c3  3c 2  m, a, b, c  1;3
 m   c3  3c 2    a 3  3a 2    b3  3b 2  , a, b, c  1;3

 m  max  c3  3c 2    a 3  3a 2    b3  3b 2  
a ,b , c1;3

t  0  1;3
Xét hàm số f  t   t 3  3t 2 trên [1;3] ta có: f   t   3t 2  6t  0  
t  2  1;3
f  2   4; f 1  2; f  3  0  max f  t   0; min f  t   4
1;3

1;3

Do đó m  0  4  4  8
Kết hợp điều kiện m nguyên và m < 10 ta có m = 9
Câu 19. Chọn A.
Phương pháp:
+) Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được điều kiện của x (coi nó là một phương tình bậc hai ẩn y )
+) Biến đổi để sử dụng phương pháp hàm số
Cách giải: Theo giả thiết x 2  y 2  xy  4  4 y  3 x  y 2   x  4  y  x 2  3 x  4  0
Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn y và khi đó điều kiện có nghiệm là :
18

   x  4   4  x 2  3 x  4   3 x 2  4  0  0  x 
2

4
3

Từ giả thiết suy ra x 2  y 2  xy  3 x  4 y  4. Khi đó
P  3  x  y   x 2  xy  y 2   20 x 2  2 xy  5 y 2  39 x  2 12 x 2  6 y 2  16 y  21x   20

Đặt g  y   6 y 2  16 y  21x  12 x 2 (ta xem x là tham số)
32
4
Khi đó g  y   g    12 x 2  21x 
3
3
32
4
 4
 60  g  y   60 . Vậy GTLN của P là 100 khi x  y 
Do x  0;   12 x 2  21x 
3
3
 3
Câu 20. Chọn B.
Phương pháp:

+) Lập BBT của đồ thị hàm số f  x   x3  3 x  m trên [0;2]
+) Xét các trường hợp dấu của các điểm cực trị.

Cách giải: Xét hàm số f  x   x3  3 x  m trên [0;2] , f   x   3 x 2  3  0  x  1
BBT
x

y

1


+

0

1



0

0



2
+

y
2m

m

2  m

TH1: 2  m  0  m  2  max y    2  m   2  m  2  m  3  m  1 ktm 
0;2

m  2  0
TH2: 
 2  m  0  max y  2  m  3  m  1 tm 
0;2
m  0
2  m  0
TH3: 
 0  m  2  max y  2  m  3  m  1 tm 
0;2
m  0
TH4: 2  m  0  m  2  max y  2  m  3  m  1 ktm 
0;2

Câu 21. Chọn B.
Phương pháp: f  x   sin 2016 x  cos 2016 x   sin 2 x 

1008

 1  sin 2 x 

1008

Đặt t  sin 2 x  0  t  1 , đưa về bài toán tìm GTNN và GTLN của hàm số f  t  trên [0;1]
Cách giải: f  x   sin 2016 x  cos 2016 x   sin 2 x 

1008

 1  sin 2 x 

1008

Đặt t  sin 2 x  0  t  1 , ta có: f  t   t1008  1  t 

1008

Có f   t   1008t1007  1008 1  t 

1007

 0  t1007  1  t 

1007

1
 t  1  t  t    0;1
2
19


1008

1
1
f  0   1; f 1  1; f    2.  
2

2
Câu 22. Chọn C.
Phương pháp:



1
1007

2

 M  1; m 

1
1007

2

+) Phác thảo đồ thị hàm số f  x   x3  3 x  m  3
+) Chia các trường hợp của m và tìm GTLN của hàm số y  x3  3 x  m  3 trên đoạn [0;2]

x  1 y  m  5
Cách giải: Xét hàm số f  x   x3  3 x  m  3 có f   x   3 x 2  3  0  
 x  1  y  m  1
Đồ thị hàm số f  x  có dạng như hình vẽ

TH1: m  5  0  m  5  max y  m  1  5  m  6
0;2

TH2: m  5  0  m  3  3  m  5 ta có:

y  0   m  3; y 1  m  5; y  2   m  1  y  0   y 1

 m  1   m  5  2m  6  0m  3;5  y  2   y 1
 max y  y  2   m  1  5  m  6
0;2
TH3: m  3  0  m  1  1  m  3 ta có y  0   m  3; y 1  m  5; y  2   m  1

 y 1  y  0 

 m  1   m  5  2m  6  0m  3;5  y  2   y 1
 max y  y 1  m  5  5  m  0
0;2
TH4: m  1  0  m  1 ta có y  0   m  3; y 1  m  5; y  2   m  1

 max y  m  5  5  m  0
0;2

Vậy S  0;6  có 2 phần tử
Câu 23. Chọn D.
Phương pháp: Dựng hình và tính diện tích hình thang cân đưa về khảo sát hàm số tìm max – min
Cách giải:
20


Đặt DH  x . Ta có: DC  2 x  1  AH  1  x 2
S ABCD 

1 2x 1
1  x 2  1  x  1  x 2 

2

1  x 1  x 1  x  3  3x 
3

4

3 3
1
1  1  x  1  x  1  x  3  3x 
3 3
 S max 
 1  x  3  3x  x 


 
4
2
4
4
3 


Câu 24. Chọn C.
Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng a.sinx + b.cosx = c và sử dụng điều kiện có
nghiệm của phương trình a 2  b 2  c 2
Cách giải:
cos x  2sin x  3
 cos x  2sin x  3  y  2 cos x  sin x  4 
Ta có y 

2 cos x  sin x  4

 cos x  2sin x  3  2 y cos x  y sin x  4 y   y  2  sin x  1  2 y  cos x  4 y  3 *
Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi  y  2   1  2 y    4 y  3
2

2

2

2
 y2
11
2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là M = 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là m 
11
Câu 25. Chọn A.
Cách giải:

 y 2  4 y  4  4 y 2  4 y  1  16 y 2  24 y  9  11 y 2  24 y  4  0 

y  sin 4 x  cos 2 x  m  sin 4 x  1  2sin 2  mx   sin 2 x  1  m  cos 4 x  m
2

+ Nếu m  0  cos 4 x  m  0x  y  cos 4 x  m  cos 4 x  m  mx

Miny  2  m  2
+ Nếu m  0  cos 4 x  m  0  cos 4 x  m có nghiệm
 y  cos 4 x  m  0x, Miny  0  2  Không có giá trị nào của m để hàm số có GTNN bằng 2.

Câu 26. Chọn C.

Phương pháp: Gọi M  a; a 2    P  , tính MA2 theo a và tìm GTNN của MA2
2

1
2

Cách giải: Gọi M  a; a 2    P   MA2   a  2    a 2    f  a 
2

21


1

Khi đó f   a   2  a  2   2  a 2   2a  4a 3  4  0  a  1
2


Lại có: lim f  a     Min f  a   f  1 
x 

R

5
5
 MAmin 
4
2

Câu 27. Chọn A.
Phương pháp:
Xét max – min của hàm trong dấu trị tuyệt đối, dựa vào đồ thị hàm số trị tuyệt đối để tìm max
1
19
Cách giải: Xét hàm số t  x 4  x 2  30 x  20 trên [0;2]  t   x3  19 x  30x   0; 2
4
2

0  x  2
Phương trình t   0   3
 x  19 x  30  0
Tính t  0   20; t  2   6  20  t  6
Khi đó max y  max t  m   m  20 ; m  6   13  m  7  20  0  m  14
0;2

 20;6

Kết hợp với m    m  0;1; 2;...;14   m 

14.15
 105
2

Câu 28. Chọn D.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ, đưa về hàm một biến, dựa vào giả thiết để tìm điều kiện của biến
Cách giải:
Từ giả thiết chia cả 2 vế cho x 2 y 2 ta được:
Đặt

x  y x 2  y 2  xy
1 1 1
1
1

   2 2
2 2
xy
x y
x y x
y
xy

1
1
 a;  b, ta có: a  b  a 2  b 2  ab
x
y

Khi đó M 

1 1
2
 3  a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2    a  b 
3
x
y
2

3
2
2
 ab
Ta có: a  b  a  b  ab  a  b   a  b   3ab mà ab  
 nên a  b   a  b    a  b 
4
 2 
2

2

2

  a  b   4  a  b   0  0  a  b  4  M   a  b   16
2

Dấu đẳng thức xảy ra  a  b  2  x  y 

2

1
. Vậy Mmax = 16.
2

Câu 29. Chọn D
Phương pháp: Gọi 3 nghiệm của phương trình đã cho là x1 , x2 , x3 sử dụng định lí Vi-et cho phương trình
bậc ba.
Chia cả từ và mẫu của biểu thức P cho a 3 , sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá và tìm GTNN của P.
1


 x1  x2  x3  x1 x2 x3  a  0
Cách giải: Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm. x1 , x2 , x3  
x x  x x  x x  b
 1 2 1 3 2 3 a
22


5 3b 2
2
 
x1  x2  x3 

b
1
5a  3ab  2 a a 2 a 3
Khi đó P 
mà x1 x2  x1 x3  x2 x3 

  2
2
b
a b  a 
3
a 3a
1
a
1 27
1
a

Do x1  x2  x3  3  3 x1 x2 x3  3 
a
a
3 3
2

5 3 b 2
5 3 b 2
 .  3
 .  3
1
15a 2  3
a
a
a
a
a
a
a
a
P


 f  a  với 0  a 
3
b
1
a  3a
3 3
1

1
2
a
3a

Xét hàm số f  a  

15a 2  3 
1 
 1 
a
 Min f  a   f 

  12 3
3 
a  3a 
3 3   0; 1 
3 3


3 3

Câu 30. Chọn B.
Phương pháp:
+) Từ độ thị hàm số y  f   x  tìm các điểm x0 mà tại đó g   x0   0
+) Xác định các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số y  g  x 
+) Lập BBT của đồ thị hàm số y  g  x 
Cách giải:

 x  3

Ta có: g   x   2 f   x   2  x  1  0   x  1
 x  3
Với x  3 ta có: f   x   x  1  Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 3
Bảng xét dấu của g   x 
x

g x

3

1

0

+

0

3



0

Dựa vài bảng xét dấu, ta được max g  x   g 1
 3;3

Câu 31. Chọn A.
Phương pháp: Đặt sin x  a, cos x  b
Cách giải: Đặt sin x  a, cos x  b , ta có: a 2  b 2  1

2
2
a b 1 1 ab  a  b   a  b  a  b ab  a  b   a  b  1
Khi đó: y  a  b     

b a a b
ab
ab

t 2 1
, khi đó ta có:
Đặt t  a  b    2; 2   t 2  a 2  b 2  2ab  1  2ab  ab 
2

y t

2  t  1
2
2
 t
 t 1
1
2
t 1
t 1
t 1
23


2

1  2 2 1  y  2 2 1
t 1
1
1
1
Nếu t  1  0 
1 t  2 2 
 t  1  2 2 
 t 11  1 2 2  y  2 2 1
1 t
1 t
t 1

Nếu t  1  0  t  1 

Vậy y  2 2  1
Dấu bằng xảy ra  1  t   2  t  1  2  t  0 
2


  1 2


 sin x  cos x  1  2  2 sin  x    1  2  sin  x   
4
4
2


Câu 32. Chọn C.

ax  b
Phương pháp: Hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 
 ad  bc  0  luôn đơn điệu trên từng khoảng
cx  d
xác định của nó.
TH1: Hàm số đồng biến trên  2; 4  max y  y  4 
 2;4

TH2: Hàm số nghịch biến trên  2; 4  max y  y  2 
 2;4

Cách giải: Tập xác định: D  R \ 1
Ta có: y 

1 1  1.m

 x  1

2



1  m

 x  1

2

TH1: 1  m  0  m  1: y  0x   2; 4  Hàm số đồng biến trên (2;4)
 max y  y  4  

 2;4

2
4m 2

  m  2  tm 
3
4 1 3

TH2: 1  m  0  m  1: y  0x   2; 4  Hàm số nghịch biến trên (2;4)
 max y  y  2  
 2;4

2
2m 2
4

  m    L
3
2 1 3
3

Vậy m  2
Câu 33. Chọn C.
Phương pháp:
+ Rút y theo x từ phương trình (1), thế vào phương trình (2) để tìm khoảng giá trị của x.
+ Đưa biểu thức P về 1 ẩn x và tìm GTLN, GTNN của biểu thức P.

 x 2  xy  3  0 1
Cách giải: 

2 x  3 y  14  0  2 
Ta nhận thấy x  0 không thỏa mãn phương trình (1), do đó 1  y 

x2  3
, thế (2):
x

 x  0  ktm 
5 x 2  14 x  9
9
x2  3
2 x 2  3x 2  9  14 x
0
2x  3
 14  0 
0 
9 1 x 

x
5
x
x
1 x 

5
24


2

 x2  3 
x2  3
3
P  3 x y  xy  2 x  2 x  3 x .
 x. 
  2x  2x
x
 x 
2

2

P  3 x  x  3
2

3

x


2

2

 3

2

x

9

max P  4  x 
 2 x3  2 x . Sử dụng MTCT: 
5  maxP  minP  0

 min P  4  x  1

Câu 34. Chọn D.
Phương pháp: Xét hàm bên trong dấu trị tuyệt đối trên đoạn, so sánh các giá trị để tìm min
Cách giải: Đặt t  e x , x   0;ln 4  t  1; 4
Khi đó, hàm số trở thành: g  t   t 2  4t  m
Xét hàm số u  t   t 2  4t  m trên [1;4], có u   t   2t  4  0  t  2
Tính u 1  m  3; u  2   m  4; u  4   m  g 1  m  3 , g  2   m  4 , g  4   m
 m4 m3 ; m
 m4 m3 ; m


TH1: 
   m  10
 m  10
min
g
t

m

4

6



 1;4

  m  2
 m3 m4 ; m
 m3 m4 ; m


TH2: 
 m  9
 Vô nghiệm.
g t   m  3  6
min


1;4
  m  3

 m   m  4 ; m  3  m   m  4 ; m  3

TH3: 
 m  6
 m  6
g t   m  6
min


1;4
  m  6

Vậy m  10; 6 là hai giá trị cần tìm.
Câu 35. Chọn B.
Phương pháp: Lập BBT và suy ra GTNN của hàm số trên đoạn  m  1; m  2
Cách giải: TXĐ: D = R. Ta có: y  3 x 2  3  0  x  1
BBT
x

1



y

+

0

y



1



0

+


3

1



Với m  0  m  1  1  Hàm số đồng biến trên  m  1; m  2
 min f  x   f  m  1   m  1  3  m  1  1  3
3

 m 1;m  2

  m  1  2  m  1  1  0  m  1 Vậy m   0;1
2

25