Đề thi chọn HSG cấp trường Toán 10 năm 2017 – 2018 trường THPT Con Cuông – Nghệ An (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10
NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn : TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai x 2 - 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m = 6.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x 2 + x 2 x 1 = 6 .
Câu 2. (3,0 điểm)

ìï x 2 + x 3 y - xy 2 + xy - y = 1
Giải hệ phương trình: í 4
2
ïî x + y - xy (2 x - 1) = 1

Câu 3.(5,0 điểm)
4sin - cos
sin 3 + 2 cos3
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD = BC; AE = AC . Điểm K trên đoạn
3
4

a) Cho góc

thỏa mãn tan = 2 . Tính giá trị biểu thức P =

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số

AD
.
AK

Câu 4. ( 5,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm
16
AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD : x - 3y +1 = 0 , E æç ;1ö÷ .
è3 ø

a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD
và BE.
b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
+
.
2
2
a +b +c
abc
2

---- Hết ---Họ tên thí sinh :........................................................................... Số báo danh :.....................................


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu
1.

Nội dung

Điểm

Phương trình x 2 - 5 x + m = 0

5,0

a) Giải phương trình (1) khi m = 6

1,5

Khi m = 6 PT (1) có dạng: x 2 - 5 x + 6 = 0

0,5

Ta có: D ' = 4 + 1 = 5 > 0

0,5

PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2 và x2 = 3

0,5

b) Tìm giá trị m thỏa mãn

3,5

Lập ∆ = 25 - 4m
Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 khi ∆ ≥ 0 hay m £

0,5

25
4

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5; x1 x2 = m
0,5

ì
ïx + x > 0
Hai nghiệm x1 , x2 dương khi ïí 1 2
hay m > 0.
ï
ï
îx1x 2 > 0

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là
2

Ta có:

x1 + x 2

Suy ra

x1 + x 2 = 5 + 2 m

25
(*)
4

0,5

= x1 + x 2 + 2 x1 .x 2 = 5 + 2 m

Ta có x1 x 2 + x 2 x1 = 6 Û x1.x 2
Hay

0
x1 + x 2 = 6

0,5

m 5 + 2 m = 6 Û 2m m + 5m - 36 = 0 (1)

Đặt t = m ³ 0 , khi đó (1) thành:
Û 2t3 + 5t2 - 36 = 0

0,5

Û (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0
Û t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0
Với t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)).

0,5

Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm.
Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 0,5


x1 x 2 + x 2 x1 = 6 .

2.

ìï x 2 + x3 y - xy 2 + xy - y = 1
Giải hệ phương trình: í 4
2
ïî x + y - xy (2 x - 1) = 1

3,0

ìï( x 2 - y ) + xy ( x 2 - y ) + xy = 1
Hệ Û í 2
2
ïî x - y + xy = 1

1,0

ìa = x 2 - y
Đặt í
. Hệ trở thành:
îb = xy

ì a + ab + b = 1
(*)
í 2
îa + b = 1

0,5

ìï a 3 + a 2 - 2a = 0
ìï a(a 2 + a - 2) = 0
Ûí
Hệ (*) Û í
2
2
îïb = 1 - a
îïb = 1 - a

0,5

Từ đó tìm ra ( a; b) Î (0; 1); (1; 0); ( -2; - 3)
ì x2 - y = 0
Với (a; b) = (0; 1) ta có hệ í
Û x = y = 1.
î xy = 1
ì x2 - y = 1
Với (a; b) = (1; 0) ta có hệ í

Û ( x; y ) = (0; -1);(1;0);(-1;0) .
î xy = 0

0,5

Với (a; b) = (-2; -3) ta có hệ
3
3
ì
ì
ì x 2 - y = -2
ïy = ïy = Ûí
Ûí
Û x = -1; y = 3 .
x
x
í
xy
=
3
3
2
î
ïx + 2x + 3 = 0
ï( x + 1)( x - x + 3) = 0
î
î

0,5

Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( x; y ) Î (1; 1);(0; - 1);(1; 0);(-1; 0);(-1; 3) .
3.

5,0

a) Cho góc

thỏa mãn tan = 2 . Tính giá trị biểu thức P =

4sin - cos
P=
sin 3 + 2 cos3
=
=
=

=

4sin

- cos

sin 2

sin 3

+ 2 cos3

4sin 3

- sin 2

cos + 4sin cos 2
sin 3 + 2 cos3

4 tan 3

- tan 2 + 4 tan - 1
tan 3 + 2

4.8 - 4 + 4.2 - 1 7
=
8+2
2

+ cos2

- cos3

4 sin - co s
sin 3 + 2 co s 3

2,5

1.0

0,5
0,5
0,5

2 uuur uuur
3

1 uuur
4
b)
AD
trên đoạn thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng. Tìm tỉ số
.
AK

b) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các BD = BC; AE = AC . Điểm K
uuur

Vì AE =

uuur

2,5

A

1 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
AC Þ BE = BC + BA (1)
4
4
4

E

K
0,5

B

D

C

uuur
uuur uuur
uuur
uuur
Giả sử AK = x AD Þ BK = xBD + 1 - x BA (1)

2 uuur
3

Mà BD = BC nên AK = x.AD Þ BK =
uuur

uuur

uuur

uuur

Do BC; BA không cùng phương nên
uuur uuur

1
3

8
9

uuur
2x uuur
BD + (1 - x)BA
3

4.

0,5

m 2x
3m
= 0 &1 - x =0
4 3
4

0.5

1 uuur
3

0,5

Từ đó suy ra x = ; m = . Vậy AK = AD Þ
uuur

0,5

AD
=3
AK

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là
trung điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình
æ 16 ö
CD : x - 3y +1 = 0 , E ç ;1 ÷ .
è 3 ø

5,0

Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao
2,5
a) của CD và BE.
Ta có

BA EA
=
= 2 Þ E là chân đường phân giác trong
BC EC

A

D

B

0,5
I

E

C


Do BD = BC Þ BE ^ CD Þ BE : 3x + y - 17 = 0

0,5

ìx - 3y +1 = 0
I = BE Ç CD Þ tọa độ điiểm I là nghiệm của hệ í
î3x + y - 17 = 0

0,5

Giải hệ phương trình Þ I 5; 2

1,0

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm.
Đặt BC = a > 0 Þ AB = 2a, AC = a 5, CE =
Do CBE = 450 Þ IB = IC =

2,5

a 5

3

0,5

BC
a
=
2
2

(1)

Tam giác EIC vuông tại I Þ IE = EC - IC Þ IE =
2

2

0,5

a

2

(2)

3 2

Từ (1) và (2) Þ IB = -3IE Þ B (4;5)
uur

Gọi C (3c - 1; c) từ

0,5

uur

éc = 1
BC = 2 5 Û c 2 - 4c + 3 = 0 Û ê
ëc = 3

0,5

Với c = 1 Þ C (2;1), A(12;1) (KTM)
Với c = 3 Þ C (8;3), A(0; -3) (TM)

0,5

Vậy A(0; -3), B(4;5), C (8;3)
Cho a , b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 1 .
5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1
1
+
.
2
2
2

a +b +c
abc

2,0

Áp dụng BĐT AM- GM ta có
ab + bc + ca ³ 33 a 2 b 2 c 2
1= a + b + c ³ 3 3 abc Þ 3 abc £

ÞP³
ÞP³

0,5
1
Þ ab + bc + ca ³ 33 abc
3

3

abc ³ 9abc

1
9
+
2
2
a +b +c
ab + bc + ca
2

1
1
7
1
+
+
+
2
2
a +b +c
ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
2

0,5

0,5


³

9
7
+
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca a + b + c
3
2

2

2

2

= 30

1
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 30 khi chẳng hạn tại a = b = c = .

0,5