Luyện thị lớp 10: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PT PHÂN THỨC

Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình đó về một trong các
dạng đặc biệt đó là:
1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:

Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu
thì ta luôn có sự phân tích:

là một nghiệm của phương trình
. Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:
•

Phương trình dạng:

Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng:

khi đó phương trình trở thành:

Ta mong muốn vế phải có dạng:

•

Phương trình dạng:

Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:

Bằng cách khai triển biểu thức:
. Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng:
khi đó phương trình trở thành:

129


Bây giờ ta cần:

Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1)
Giải các phương trình:
a)
b)
c)
d)
Lời giải:
a)

.
.
.

Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:
Khi đó phương trình trở thành:
Ta có

. Ta viết lại phương trình thành:

. và

.

b)
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:
Khi đó phương trình trở thành:
Ta có

.
.

Ta viết lại phương trình thành:

c) Phương trình có dạng:
Ta tạo ra vế trái dạng:
130


Tức là thêm vào hai vế một lượng là:

phương trình trở thành:
. Ta cần
. Phương trình trở thành:

d) Phương trình đã cho được viết lại như sau:
Ta tạo ra phương trình:
Ta cần:
Phương trình trở thành:

Ví dụ 2)

a) Giải phương trình:
b) Giải phương trình:
c) Giải phương trình:

(1).
(4)

Lời giải:
a) Ta có phương trình

(1.1)
. Vậy phương trình có hai

nghiệm
b) Phương trình

131


Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

.

c) Ta có phương trình

.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương trình bậc cao cũng
vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình bậc cao về phương trình bậc thấp hơn.

Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Phương trình trùng phương:
Với dạng này ta đặt

(1)

ta chuyển về phương trình:

(2)

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2)
Dạng 2: Phương trình đối xứng (hay phương trình hồi quy):
. Với dạng này ta chia hai vế phương trình cho
được:

. Đặt

với

ta có:

thay vào ta được phương trình:
Dạng 3: Phương trình:

trong đó a+b=c+d

132

ta

Phương trình
Đặt

.
, ta có:

Dạng 4: Phương trình

trong đó

hai vế phương trình cho

Đặt

. Với dạng này ta chia

. Phương trình tương đương:

. Ta có phương trình:

Dạng 5: Phương trình

. Đặt

ta đưa về phương trình trùng

phương
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1)

2)

3)

4)

Lời giải:
1) Ta thấy

không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình cho
. Đặt

. Ta có:

. Với

2) Đặt

ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

.

Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có BĐT:
với

ta được:

.
133


Áp dụng BĐT này với:

. Đẳng thức xảy ra khi

3) Ta có phương trình:

. Đặt

*

.

. Ta được:

phương trình vô nghiệm

*

. Vậy phương trình có hai nghiệm

.

4) Phương trình
Vì

không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho

. Đặt

ta được:

, ta có:

*
*
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm:
Ví dụ 2)
a) Giải phương trình:
b) Giải phương trình:
c) Giải phương trình:
d) Giải phương trình:

.

Lời giải:
a) Vì

không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho
. Đặt

134

ta được:


*

*

phương trình vô nghiệm

b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể áp dụng cách giải mà
ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng.
Ta thấy

không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương trình cho
. Đặt

. Ta có:

nên phương trình trở thành:

*

*

. Vậy phương trình có bốn nghiệm
.

c) Phương trình
Đặt

, ta có phương trình:

Vậy phương trình có hai nghiệm:
d) Ta có:

.
nên phương trình tương đương
. Đặt

135

. Ta được hệ:

ta được:


.
. Vậy

là nghiệm duy nhất của

phương trình.
Dạng 6:
a) Phương trình:

với

.

Phương pháp giải: Nhận xét
không phải là nghiệm của phương trình. Với
tử số và mẫu số cho thì thu được:
. Đặt

, ta chia cả

. Thay vào phương trình

để quy về phương trình bậc 2 theo .
b) Phương trình:

với

.

Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức

. Ta viết lại phương trình thành:
. Đặt

quy về phương trình bậc

2.
Ví dụ 1) Giải các phương trình:
a)
b)
c)

. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2013).
. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại học Vinh 2010).
(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà Nội 2008).

d)
Giải:
136

a) Điều kiện
Ta viết lại phương trình thành

. Đặt

thì phương trình có dạng

Nếu

ta có:

. Nếu
phương trình vô nghiệm.

b) Để ý rằng nếu
được:

là nghiệm thì

nên ta chia cả tử số và mẫu số vế trái cho

. Đặt

thì thu

thì phương trình trở thành:

.

Với

ta có:

vô nghiệm. Với

ta có:

.

c)

.

Giải 2 phương trình ta thu được các nghiệm là

.

d) Sử dụng HĐT

ta viết lại phương trình thành:
hay

. Suy ra
phương trình đã cho vô nghiệm.

137

BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6)

.

7)

.

8)
9)

.
.

10)

.

11)

.

12)

.

13)

.

14)
15)

.

16)

.

17)
18)

.
.

19)
20)
21)

.
.
.

138


LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1) Đặt
Với

. Phương trình đã cho thành

thì

Với

.

hoặc

.

thì

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

2) Biến đổi phương trình thành
Đặt

.

thì phương trình trên thành

Với

.

thì

hoặc

thì

, phương trình này vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
3) Đặt

.

.

thì phương trình đã cho thành
.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
4) Đặt

.
thì phương trình trở thành:
.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

139

Với


5) Do

không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho

. Đặt

ta được

thì phương trình trở thành

.
6) Biến đổi phương trình thành
.
Do

không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho
. Đặt

thì phương trình trở thành
. Với

nghiệm). Với

thì

thì

(vô

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
7) Do

ta được:

.

không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình cho

được

. Đặt

, phương trình trở thành:

. Suy ra

tập nghiệm của phương trình là
8) Phương trình không nhận
. Đặt

. Vậy

.
là nghiệm, chia hai vế cho

được

thì phương trình trở thành

140

ta

hoặc
Với

Với

.

thì

hoặc

thì

.

hoặc

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
9)

.
(8).

Lời giải:
Ta thấy

và

nên phương trình (8) là phương trình bậc bốn có hệ số

đối xứng tỉ lệ.

. Đặt

Phương trình (9) trở thành

hoặc

suy ra
. Với

. Phương trình có hai nghiệm
. Với

thì

. Phương trình có hai nghiệm
. Vậy PT (8) có tập nghiệm
.

10) Điều kiện

. Ta biến đổi phương trình thành

141

thì

.


. Đặt

, phương trình trở thành

.

Do đó

. Tìm được tập nghiệm của phương trình là

.

11) Biến đổi phương trình thành
Đặt

.
dẫn đến phương trình

. bTìm được tập nghiệm của phương trình là

12)
Điều kiện

. Biến đổi phương trình thành

142

.


.
Đặt

thì phương trình (*) có dạng
.

Mặt khác

với mọi

phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

. Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy
.

13) .
Lời giải:
Điều kiện

. Biến đổi phương trình thành

.

Đặt

thì phương trình (*) trở thành

. Từ đó ta có

.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

.

14)
Do

không là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức ở vế trái

của phương trình cho

, rồi đặt

ta được

143


.
Phương trình trên có 2 nghiệm

.

Với

. Phương trình này vô nghiệm.

thì

Với

thì

. Phương trình này có hai nghiệm

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là
15) Đặt

.

, phương trình (1) thành
hoặc

Với

Với

.

thì

.

.

thì

.

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là

.

16) Lời giải:
Đặt

đưa phương trình (2) về dạng tổng quát

.

Bạn đọc giải tiếp theo phương pháp đã nêu. Ta có thể giải bằng cách khác như sau
Viết phương trình đã cho về dạng
Đặt

.

, phương trình thành

.

144


Vậy tập nghiệm của PT(2) là

.

17) PTtương đương với
Đặt

.

thì

, PT trên thành

.

Vậy tập nghiệm của phương trình là
18) Điều kiện

.

. Khử mẫu thức ta được phương trình tương đương:
.

đặt

thì

, suy ra

, PT trên thành
hoặc

, suy ra
hay

(thỏa mãn đk). Với
suy ra

19)

(5).
PT(5) trở thành
. ĐK:

.

Khử mẫu thức ta được PT tương đương

hoặc

thì

ta có

(thỏa mãn đk). Vậy tập nghiệm của PT(4) là
.

Lời giải: Đặt

. Với

(thỏa mãn ĐK)

145


Với
Với

thì

phương trình vô nghiệm.
thì

PT(5) là

hoặc

.Vậy tập nghiệm của

.

20) PT

.

Giải phương trình trùng phương trên ta được tập nghiệm của PT là

.

21) Lời giải:
Điều kiện
Đặt

.
, PT có dạng:

Dẫn đến
hoặc
kiện). Vậy tập nghiệm của PT(2) là

.

146

(thỏa mãn điều