ChIV : Bài 3 : Phép chia số phức

Chương IV
SỐ PHỨC
Biên soạn :
Phạm Quốc Khánh
Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008
click
(Bài này ở chế độ : on click nên chủ động – xử lý thời gian cho phù hợp)
Bài 3
Thực hiện phép tính : :

I - Tổng và tích của hai số phức liên hợp :
Cho : z = 2 + 3i hãy tính
z z
+
và
.z z
Nêu nhận xét .
Giải : Có
2 3z i
= −
Nên
( ) ( )
2 3 2 3 4z z i i
+ = + + − =
Và
( ) ( ) ( )
2
2
. 2 3 . 2 3 2 3z z i i i
= + − = −

4 9 13
= + =
Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực .
Tổng quát : cho số phức z = a + bi . Ta có :
( ) ( )
2z z a bi a bi a
+ = + + − =
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
. .z z a bi a bi a bi a b z
= + − = − = + =
•
Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó .
•
Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó .
Vậy : Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực .
click

2 - Phép chia hai số phức :
Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác là tìm số phức z sao cho : c + di = (a + bi).z
Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu :
c di
z
a bi
+
=
+
Ví dụ 1 :

Thực hiện phép chia 4 + 2i cho 1 + i.
Giải : Giả sử :
4 2
1
i
z
i
+
=
+
Theo định nghĩa ta có : 4 + 2i = (1 + i) .z
Nhân cả 2 vế với số phức liên hợp của 1 + i được
(1 – i) (4 + 2i) = (1 – i) (1 + i).z ⇔ 2.z = 6 – 2i
( )
1
6 2 3
2
z i i
⇔ = − = −
Tổng quát : Giả sử :
c di
z
a bi
+
=
+
Theo định nghĩa phép chia số phức có :
c + di = (a + bi).z . Nhân cả hai vế vơi số phức liên hợp a + bi , có :
(a – bi) (c + di) = (a – bi) (a + bi) . z Hay (a
2

+ b
2
).z = (ac + bd)(ad – bc).i
Nhân cả hai vế vơi số thực
2 2
1
a b
+
( ) ( )
2 2
1
.z ac bd ad bc i
a b
⇒ = + + −
 
 
+
Vậy :
2 2 2 2
.
c di ac bd ad bc
i
a bi a b a b
+ + −
= +
+ + +
Chú ý : Trong thực hành để tính thương ta nhân cả tử với mẫu với số phức liên hợp mẫu số .

click

Ví dụ 2 :
Thực hiện phép chia 3 + 2i cho 2 + 3i.
Giải :
( )( )
( )( )
3 2 2 3
3 2
2 3 2 3 2 3
i i
i
i i i
+ −
+
=
+ + −
12 5 12 5
13 13 13
i
i
−
= = −
Thực hành tại lớp :
1. Thực hiện phép chia
1 6 3
;
2 3 5
i i
i i
+ +
−

( )( )
( )( )
1 ? ?
2 32 3 ? ?
1
i
i
i
i
ii
+ +
−
+
=
+−
( )( )
( )( )
1 2 3
2 3 2 3
i i
i i
+ +
=
− +
( )
1 5
4 9
i
− +
=

+
1 5
13 13
i
− +=
( ) ( )
( )( )
6 3 ? ?
5
6
5 ?
3
?
i i
i i
i
i
+ +
=
+
+
( )( )
( )( )
6 3 0 5
5 0 5
i i
i i
+ −
=
−

( )
5 . 6 3
25
i i
− +
=
2
30 15
25
3 6
5 5
i
i i
− −
= = −
click

2. Thực hiện phép tính :
5 4
4 3
3 6
i
i
i
+
− +
+
( )( )
( )( )
5 4 ... ...

4 3
3 6 ... .
5 4
3 6 .
4 3
.
i i
i
i
i
i
i i
+ −
= − +
+ −
+
− +
+
( ) ( )
( )( )
5 4 3 6
4 3
3 6 3 6
i i
i
i i
+ −
= − +
+ −
39 18

4 3
45
i
i
−
= − +
39 18
4 3
45 45
73 51
15 15
i i
   
= + − + =
 ÷  ÷
   
−
3. Giải các phương trình :
) 2 3 5 2
4 3
z
a i i
i
− + = −
−
2 3 5 2
4
3
4 33
z

i i
i
z
i
i
− + = − ⇔ = +
−−
( )( )
3 4 3 15 5z i i i
⇔ = − = −+
( ) ( ) ( )
) 1 3 . 2 5 2 .b i z i i z
+ − + = +
( ) ( )
1 3 2 . 2 5i i z i
⇔ + − + = +
 
 
( )
1 2 . 2 5i z i
⇔− + = +
2 5
1 2
i
z
i
+
⇔ =
− +
( )( )

( ) ( )
2 5 1 2
1 2 1 2
i i
i i
+ − −
=
− + − −
8 9
5
8 9
5 5
i
i
−
= = −
click