GT11-ChươngII : Bài 3 : Nhị thức nuuton

Biên soạn : Phạm Quốc Khánh
Soạn theo ppct TOÁN hh11 thay sách 2008 – chế độ
click dễ sử dụng.

I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN :
Ta có : (a + b)
2
= a
2
+ 2 ab + b
2
=
0 2 1 2 2
2 2 2
C a C ab C b
+ +
(a + b)
3
= a
3
+ 3 a
2
b + 3 a b
2
+ b
3
=
0 3 1 2 2 2 3 3
3 3 3 3
C a C a b C ab C b

+ + +
Có công thức sau :
( )
0 1 1 2 2 2 1 1
... ...
n
n n n k k n k n n n n
n n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C a b C b
− − − − −
+ = + + + + + + +
Được gọi là công thức Nhị thức NiuTơn
Hệ quả :
a) Với a = 1 = b ⇒
0 1
2 ...
n n
n n n
C C C
= + + +
b) Với a = 1 ; b = - 1 ⇒
( ) ( )
0 1
0 ... 1 ... 1
k n
k n
n n n n
C C C C
= − + + − + + −
Chú ý :

a) Các số hạng tử là n + 1
b) Số mũ của mỗi số :
( )
k k n k
n
C a b k n k n
−
⇒ + − =
c) Các hệ số cách đều hai hạng tử đầu và cuối bằng nhau :
1 1n k n k
n n n n
C C C C
− −
= ⇔ =

Ví dụ 1 : Khai triển biểu thức : ( x + y)
6
Giải :
Theo công thức có :
( )
6
0 6 1 5 2 4 2 3 3 3 4 2 4 5 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6
x y C x C x y C x y C x y C x y C xy C y
+ = + + + + + +
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
6 15 20 15 6x x y x y x y x y xy y
= + + + + + +
1
6

15
20
15 6
1
Ví dụ 2 : Khai triển biểu thức : ( 2x - 3 )
4
Giải :
Theo công thức có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 3 2 2 1 3 4
0 1 2 3 4
4 4 4 4 4
2 3 2 2 3 2 3 2 3 3x C x C x C x C x C
− = + − + − + − + −
4
6x
=
1
3
96x
−
2
216x
+
216x
−
81
+
Ví dụ 3 : Chứng tỏ rằng n ≥ 4 ta có : 2
n – 1

Giải :
Kí hiệu
0 2 4 1 3 5
n n n n n n
= C + C + C + ... = C + C + C + ...
0 2 4
n n n
A = C + C + C + ...
1 3 5
n n n
B = C + C + C + ...
Theo hệ quả có :
0 2 4 1 3 n
n n n n n
A+ B = C + C + C + ...+ C + C + ...= 2
0
0 2 4 1 3
n n n n n
A B = C + C + C + ... C C ...=
− − − −
Vậy suy ra : A = B = 2
n - 1

II. TAM GIÁC PA-XCAN :
Trong công thức Nhị thức Niutơn cho n = 0 , 1 , 2 … và xếp các hệ số thành
dòng , nhận được 1 tam giác Pa-xcan sau :
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
Từ công thức
1
1 1
k k k
−
− −
=
n n n
C C + C
suy ra cách tính các số hạng VD :
2 1 2
5 4 4
4 6 10
= = + =
C C + C
VD : Dùng Pa-xcan thể hiện : 1 + 2 + 3 + 4 = C
5
2
có :
+
+
+
=
VD : Dùng Pa-xcan thể hiện : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = C
7

2
có :
+

+

+

+

+

=




C
7
2
= 21


III. Bài tập áp dụng :
VD 4: Khai triển nhị thức :
13
1
x
x
 

−
 ÷
 
( ) ( ) ( )
13 2 13
13 12 11
0 1 2 13
13 13 13 13
1 1 1 1
...x C x C x C x C
x x x x
     
− = + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
13
x
=
11
13x
+
9
78x
+
7
286x
+
5
660x
+

3
1287x
+
2028x
+
1
2028x
−
+
3
1287x
−
+
5
660x
−
+
7
286x
−
+
9
78x
−
+
11
13x
−
+
13

x
−
+
VD 5: Tìm hệ số của x3 trong khai triển nhị thức :
6
2
2
x
x
 
+
 ÷
 
6 6
6
2 2
2 2
.
k
k k
x C x
x x
−
   
+ ⇒
 ÷  ÷
   
6
6 3 12
2

2
. 2
k
k k k
x x
x
−
− −
 
⇒ =
 ÷
 
3 12 3 5k k
⇒ − = ⇒ =
Vậy hệ số của x
3
là :
5 6 5
6
.2 6.2 12C
−
⇒ = =
VD 6: Biết hệ số của x
2
trong khai triển (1 – 3x)
n
là 90 tìm n ? :
( ) ( )
1 3 1 . 3
n n k

k k
n
x C x
−
− ⇒ −
( )
2
2 1
n k
x x n k
−
⇒ = ⇒ − =
( )
( )
( ) ( )
!
3 90 3 90 2
! !
n k n k
k
n
n
C
k n k
− −
⇒ − = ⇒ − =
−
Từ (1) và (2) ta có :
( ) ( )
( )

( )
( )
2 2
1 .
!
3 90 3 90 5 6
2 ! 2 ! 2!
n n
n n
n
n n
n n n
− +
−
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = =
− − +