Giao lưu HSG Toán 7 Tam Dương 11-12

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8
Năm học: 2011 – 2012
Môn: Toán 7.
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi này gồm 01 trang

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1 (2 điểm). Tìm x biết:
7 x  7 x 1  7 x  2  7 x 3
22
a)
2 2 2
2 .5 .7
b) 9  7 x  5 x  3

Câu 2 (2,5 điểm).
a) Tìm các số x, y khác 0 thoả mãn

1+3y 1+5y 1+7y


.
12
5x
4x

b) Cho 2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị

1
1
1


của biểu thức P 
.
x+2 y+2 z+2
Câu 3 (2 điểm).
x
y
z


.
a  2b  c b  2a  c c  4a  4b
a
b
c
Chứng minh rằng x  2 y  z  y  2 x  z  z  4 x  4 y , (với a, b, c là các số khác 0

a) Cho

và các mẫu số khác 0).
b) Cho 4 số nguyên phân biệt a, b, c, d. Chứng ming rằng
(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) chia hết cho 12
Câu 4 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn (ABAD của tam giác ABC (D thuộc BC). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt
AB, AC lần lượt tại E, F. Kẻ BH, CI vuông góc với đường thẳng EF.

a) Chứng minh BI = CH và ∆AEF cân.
b) Chứng minh AE 

AB  AC
.
2

Câu 5 (1 điểm).
Cho đa thức f(x) có bậc lớn hơn 1, có hệ số nguyên thoả mãn f(5) chia hết cho
7, f(7) chia hết cho 5. Chứng minh rằng f(12) chia hết cho 35.
--------------------------Hết-------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh…………………………………………………….SBD:……………

/>

PHÒNG GD& ĐT LẬP THẠCH

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7
Năm học 2009-2010
Thời gian 120 phút

Câu 1.(2đ).
7 48.530.28  530.7 49.210
a) Rút gọn biểu thức A=
.
529.28.7 48
x y
b) Cho  .
3 5

5x2  3 y 2
Tính giá trị biểu thức: B =
.
10 x 2  3 y 2

Câu 2.(2đ)
Cho biểu thức E =

5 x
. Tính giá trị nguyên của x để:
x2

a) Biểu thức E có giá trị nguyên.
b) Có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3.(2đ).
Cho ABC cân tại A, điểm M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB.
Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho �
AEE = 2
� .
� . Chứng minh FM là tia phân giác của EFC
EMH
Câu 4.(2đ).
1

1

1

2

2009

a) Tìm x biết: 3  6  10  ...  x( x  1)  2011
b) Cho biết (x-1)f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x.
Chứng minh f(x) có ít nhất 2 nghiệm.
Câu 5.(2đ).
a) Cho x,y,z �0 và x-y-z =0.
� x�
� z�
� y�
1 �
1 �
1 �
.
Tính giá trị biểu thức A = �
�
�
x
y
z
�

�
�

�
�

�

b) Cho x,y,z thoả mãn x.y.z =1.
1

y

1

Chứng minh: xy  x  1  yz  y  1  xyz  yz  y  1

/>

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
TRỰC NINH
*****
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang

Bài 1: (3,5 điểm)
Thực hiện phép tính:
3

4

7

4

7

7

�
�
�
�
a) �  �:  �  �:
�7 11 �11 �7 11 �11

b)

1
1
1
1
1


 ... 

99.97 97.95 95.93
5.3 3.1

Bài 2: (3,5 điểm)
Tìm x; y; z biết:

a) 2009 – x  2009 = x
b)  2 x  1

2008

2008

� 2�
 �y  �  x  y  z  0
� 5�

Bài 3: (3 điểm)
Tìm 3 số a; b; c biết:

3a  2b 2c  5a 5b  3c


và a + b + c = – 50
5
3
2

Bài 4: (7 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên
tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho
CI = CA.
Câu 1: Chứng minh:
a) ABD  ICE
b) AB + AC < AD + AE
Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo

thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN.
Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 5 (3 điểm):
Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225

/>

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 7
Bài 1: 3 điểm
Câu a: 1 điểm (kết quả = 0).
Câu b: 2 điểm
1
1
1
1
1


 ... 

99.97 97.95 95.93
5.3 3.1
1
1
1
1 �
�1

� 


 ... 
�
99.97 �
1.3 3.5 5.7
95.97 �
1
1� 1 1 1 1 1
1
1 �

 �
1       ...   �
99.97 2 � 3 3 5 5 7
95 97 �
1
1� 1 �

 �
1 �
99.97 2 � 97 �
1
48


99.97 97
4751

99.97
Bài 2: 3,5 điểm
Câu a: 2 điểm

- Nếu x �2009 � 2009 – x + 2009 = x
� 2.2009 = 2x
� x = 2009
- Nếu x < 2009 � 2009 – 2009 + x = x
� 0=0
Vậy với  x < 2009 đều thoả mãn.
- Kết luận : với x �2009 thì 2009  x  2009  x
Hoặc cách 2:
2009  x  2009  x
� 2009  x  x  2009
� x  2009    x  2009 
 x 2009
Câu b: 1,5 điểm

1
9
2
; y ; z
5
10
2
Bài 3: 2,5 điểm
x

3a  2b 2c  5a 5b  3c


5
3
2

15a  10b 6c  15a 10b  6c
�


25
9
4

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:
15a  10b 6c  15a 10b  6c 15a  10b  6c  15a  10b  6c



0
25
9
4
38
/>

�a b
�2  3
15a  10b  0 �
3a  2b �
�
�
�
�a c
��
6c  15a  0 � �

2c  5a � � 
�
�
�2 5
10
b

6
c

0
5
b

3
c
�
�
�c b
�5  3
�
a b c
Vậy  
2 3 5

�a  10
�
b  15
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau � �
�

c  25
�
Bài 4: 7 điểm
A

M

O

B

C

E

D
N

I

Câu 1: mỗi câu cho 1,5 điểm
Câu a: Chứng minh VABD VICE  cgc 
Câu b: có AB + AC = AI
Vì VABD VICE � AD  EI (2 cạnh tương ứng)
áp dụng bất đẳng thức tam giác trong VAEI có:
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
Câu 2: 1,5 điểm
Chứng minh V vBDM =
vCEN (gcg)
� BM = CN

Câu 3: 2,5 điểm
Vì BM = CN � AB + AC = AM + AN (1)
có BD = CE (gt) � BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:

V

/>

MO  OD �
�� MO  NO  OD  OE
NO  OE �
� MN  DE
� MN  BC  2 
Từ (1) và (2) � chu vi VABC nhỏ hơn chu vi VAMN
Bài 5: 2 điểm
Theo đề bài � 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ.
Nếu a � 0 � 2008a + 2008a là số chẵn
để 2008a + 2008a + b lẻ � b lẻ
Nếu b lẻ � 3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0 � (3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b � N � (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1
3b  1  25
�
��
�b 8
b 1  9

�
Vậy a = 0 ; b = 8.
tài nguyên giáo dục...

/>

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN – LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
0

� 1 �1 2
�14 �
.  3 .9  7 � � 5
a.Tính: �23 : �
� 2 �8
�25 �
b. So sánh: A  2  6  12  20  30  42 và B  24

Câu 2:
Cho

x
y
z


.
a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c

Chứng minh rằng:

a
b
c


x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z
(Với abc �0 và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số: f  x  xác đinh với moi giá tri của x � R . Biết rằng với mọi x �0 ta
�1 � 2
đều có f  x   2 f � � x . Tính f  2  .
�x �

Câu 3.
x 1
x 11
a. Tìm x biết:  x  5   x  5 
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dương của x và y sao cho:
1 1 1
 
x y 5

Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x  2008  x  2009  y  2010  x  2011  2008

Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho

BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH  BC
b. Chứng minh �MAN  �BAM
c. Kẻ đường cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.
---------------------------

/>

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN – LỚP 7
Câu 1(4đ) Ta có:
0

1.a(2đ)

1.b(2đ)

 3 1 1
 14 
2
 2 : .  3 .9  7   5
2 8

 25 
 1 1 1
 8 : .  2 .9  7.1  5
 2 8 3
1 1
16.  .9  7  5 1
8 9

0,5
0,5

Ta có:
A 2

6  12 

20 

30 

42

 2,25  6,25  12,25  20,25  30,25  40,25
1,5  2.5  3,5  4,5  5,5  6,5 24  B

Vậy ACâu 2(4đ)
2.a(2đ)

0,5
0,5

Từ giả thiết suy ra:

x
2y
z

x  2y  z



 1
a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c
9a
2x
y
z
2x  y  z



 2
2a  4b  2c 2a  b  c 4a  4b  c
9b
4x
4y
z
4x  4 y  z



 3
4a  8b  4c 8a  4b  4c 4a  4b  c
9c

0,25
0,25

0,25

Từ (1), (2), (3) ta có:

2.b(2đ)

Câu 3(4đ)
3.a(2đ)

x  2 y  z 2x  y  z 4x  4 y  z


9a
9b
9c
9a
9b
9c
Hay x  2 y  z  2 x  y  z  4 x  4 y  z
a
b
c
Vậy x  2 y  z  2 x  y  z  4 x  4 y  z
1
Với x=2 ta có: f  2  2 f   4
 2
1
1
1
Với x  ta có f    2 f  2 

4
2
 2
7
Giải ra tỡm được f  2 
6

 x  5    x  5
x 1
x 1
10
�  x  5   x  5  x  5   0
x 1
10
�  x  5 �
1  x  5  � 0
� 
�
x 1

x 11

x 1
�
 x  5  0
��
10
�
� x  5   1

Giải ra tỡm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
3.b(2đ)
/>
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5

0,5
1


1 1 1
 
x y 5
Từ  xy  5 x  5 y 0
 x y  5  5 y  5 25
  x  5 y  5 25
Vỡ x, y nguyờn dương  x  5; y  5 thuộc ước của 25.

Câu4(2đ)

Giải ra tỡm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả món điều
kiện bài toán là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tính chất a   a và a  b  a  b , dấu “=” xảy ra khi
ab 0 và a 0 dấu “=” xảy ra khi a=0. Ta có:

0,5
0,5
1

0,5
0,5

x  2008  x  2011  x  2008  2011  x  x  2008  2011  x 3

Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)

5.c(2đ)

Dấu “=” xảy ra khi 2008 x 2011
và x  2009 0 dấu “=” xảy ra khi x=2009.
y  2010 0 dấu “=” xảy ra khi 2010.
 A 3  2008 2011 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc  ABM=  ACN(cgc) � AM=AN
- Chứng minh đựơc  ABH=  ACH(cgc) �
�AHB  �AHC  90 � AH  BC

0,5
0,5
1đ
1đ
1đ

0

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh được AMN  DMB  cgc  � �MAN  �BDM và
AM=AN=BD
-Chứng minh được BA>AM � BA>BD
-Xét BAD có BA>BD � �BDA  �BAD hay �MAN  �BAM
A

0
A 900 nên chỉ có hai trường hợp xảy ra
Vì AK ��й
TH1:
- �BAC nhọn � k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB � AC  9cm � KC  AC  AK  2
- AKB vuông tại K � BK 2  AB 2  AK 2  32
- AKC vuông tại K nên ta có
K
BC= BK 2  KC 2  6cm
TH2:
- �BAC tù � A nằm giữa hai điểm K,C � KC=AK+AC=16cm
- ABK vuông tại K � BK 2  BAB 2  AK 2  32
C
2
2
H
N
- BKC vuông tai K � BC  BK  KC
M  288
Vậy BC=6cm hoặc BC= 288cm

/>
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ


/>