Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

◆●❯❨➍◆ ❙❖◆● ❍⑨

❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈❍❖ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❱❰■ ❍➴ ❱➷ ❍❸◆ ❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸
❑❍➷◆● ●■❶◆
❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾✹✻✵✶✵✷

◆❣➔♥❤✿

▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✽


✐✐

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐✱ ✤÷ñ❝
❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤
❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛
♥❣÷í✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✳✳✳ t❤→♥❣ ✽ ♥➠♠ ✷✵✶✽

❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❙♦♥❣ ❍➔





ữủ t t rữớ ồ ữ ồ
ữợ sỹ ữợ t t ừ ữớ
tọ ỏ t ỡ ổ ũ s s tợ ữợ
r q tr ồ t ự tổ q ờ
s t ổ sr ở t ồ tr ữợ t
ổ ữủ sỹ q t ú ù ỳ ỵ õ õ qỵ
ừ P ý ụ ữ
ổ P
P P P ộ ữ P r Pữỡ
P Pữủ P ừ ũ
ữỡ ổ ũ ũ
r ỡ
rữỡ ụ ứ ỏ t ụ
ữủ tọ ỏ t ỡ s s ổ
t ỡ ừ Pỏ t
rữớ ồ ữ ừ
Pỏ tờ ự trữớ ồ ồ
ồ t ồ tốt t t õ t t
ừ
t ỡ t ổ tr ở ổ t
rữớ ồ ữ t ổ tr
rữớ ồ ồ ồ ũ t t
ự s t ỗ ổ
q t ở tr ờ õ õ ỳ ỵ t

tr sốt q tr ồ t ự sr t
t t ợ





iv

▼ö❝ ❧ö❝

❚r❛♥❣ ❜➻❛ ♣❤ö
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▼ö❝ ❧ö❝
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t
❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐
✐✐
✐✈
✈✐
✈✐✐✐
✶
✽
✽

✶✳✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✸✳ ▼ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✸✳✶

▼æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✸✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✶
✸✷
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✸✸
✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ S˜k ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✶✳✶

◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✷✳✶✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ Sˆk ✳ ✳ ✳ ✳

✹✻

✷✳✶✳✸

✺✶


✷✳✷✳✶

◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✷

✷✳✷✳✸

▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✼

✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ S k ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾

✷✳✸✳✶

◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✾

✷✳✸✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✷✳✸✳✸

▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✷
❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳ ✈➔ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ sè

✸✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❜➠♥❣ t❤æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✸
❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✼✸
✼✹

✼✹
✽✵

✾✶
✾✷
✾✸
✾✹


vi

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t

H

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝

E

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝

E∗

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ E

SE

♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ E

E ∗∗

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E

l∞

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❜à ❝❤➦♥

lp (1 ≤ p < ∞)

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❦❤↔ tê♥❣ ❜➟❝ p

c

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö

c0

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö ✈➲ 0

Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞)

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p tr➯♥ [a, b]

C[a, b]

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a, b]

R

t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝

R+

t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠

Rn

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ t❤ü❝ n ❝❤✐➲✉

N

t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥

∅

t➟♣ ❤ñ♣ ré♥❣

∀

✈î✐ ♠å✐

∩ ❤♦➦❝

♣❤➨♣ ❣✐❛♦

d(x, C)

❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ♣❤➛♥ tû x ✤➳♥ t➟♣ ❤ñ♣ C

PC

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø E ✭❤♦➦❝ H ✮ ❧➯♥ C

I

→♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✈à

x, x∗

❣✐→ trà ❝õ❛ x∗ ∈ E ∗ t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ E

x, y

t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ x ∈ H ✈➔ y ∈ H

xT

❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ✈➨❝tì x


J

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

j

→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà

s❣♥

❤➔♠ ❞➜✉

µ

❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤

∇ϕ(x)

❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ϕ(x)

R(F )

♠✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ F

D(F )

♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ F

❋✐①(T )

t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T

❱■P∗ (F, C)

❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥
∞

❋✐①(Ti ) ✈î✐ F : E → E

C :=
i=1
∗

Sol(❱■P (F, C))

t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❱■P∗ (F, C)

A−1

→♥❤ ①↕ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A

JrA

t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A ✈î✐ JrA := (I + rA)−1

JA

t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ r = 1

❩❡r(A)

t➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A

lim supxk

❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❞➣② {xk }

k→∞

lim inf xk

❣✐î✐ ❤↕♥ ❞÷î✐ ❝õ❛ ❞➣② {xk }

xk → x0

{xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0

o(λk )

✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ λk

k→∞


viii

❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣

✸✳✶

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✷

✸✳✷

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/20 ✳ ✳ ✳ ✳

✽✹

✸✳✸

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/3 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✹

✸✳✹

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ γk = 1/100 ✳ ✳ ✳

✽✺

✸✳✺

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ γk = 1/1000

✳ ✳

✽✺

✸✳✻

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✽

✸✳✼

❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✵


1



t t tự ữủ t ỳ ừ
t t ợ ỳ ự ừ s t
ở sỹ ứ õ t tự ổ
ởt ừ ự t tớ sỹ t út ữủ sỹ q t ừ
ồ tr ữợ t ữ t ỹ
tr t t ở t
t ũ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ t
õ ừ ữỡ tr r . . . õ t q ổ

t t tự ữợ tt t ủ t
t ởt ổ ử tố t tr ự ổ
t tt ự ử tỹ t
é t t ữớ t
ồ õ ỳ õ õ q trồ t õ t ữ
õ ự ừ P ý
P ố rữỡ ố
ử ụ ữ P
P ồ P ỳ

ổ P
ữớ P P
ừ ũ rồ . . . õ t
tự ởt số t q ụ t
ự ừ t t s ự s tr ữợ ữ
P ữỡ P
ỗ Pữỡ ữỡ t ổ ừ
rữỡ




ổ t t tự ờ õ
x C s

F (x ), x x 0,

x C,

tr õ C t ỗ õ rộ ừ ổ rt H

F : H H tr H
r trữớ ủ t C ừ t ữủ ữợ t
t ở ừ ởt ồ ỳ ổ ổ
t t õ ợ t tỹ t ữ t ổ
ử t t ố tổ st
ữủ tố tổ tt ỷ t
t
õ t ự ử t t tự tỹ t ỏ ọ
õ ỳ ữỡ số q t õ ởt
tr ỳ ữợ ự q trồ ữủ sỹ q t
ừ t ồ tr ữợ õ t ữỡ
ợ t ừ t t q ừ
ữỡ õ ữớ t tt ữủ tt
t tự ỹ tr ữỡ ừ st
P ữỡ ừ rtt r
ỵ t ử ừ ữỡ
rr ữỡ ừ
ts ữỡ q t
r tt t ỹ tr ởt số tt t t
ở ữ ữỡ rsss ữỡ
r ữỡ
Pữỡ t ữỡ
rt ữủ ổ t ữ s

x C,
0
x

= P (I F )(x ),
k+1

C

k

k = 0, 1, 2, . . .



tr õ PC tr tứ H C I ỡ tr H
ởt số ữỡ ố ỹ ở tử ừ tt t ữủ t tr
ữợ




tr
C t ỗ õ rộ ừ H F : H H
tr H sỷ s tọ
F tử Lst ỡ
(0, 2/L2 )
õ ở tử tợ t x ừ t
õ ữợ ữủ s số

xk x k (1 )1 x1 x0 ,
=

1 2 L2 2

Pữỡ õ trú ỡ ử tr ỳ t
ố ử t t t Pữỡ sỹ t ủ ỳ sỷ ử
trỹ t õ ừ PC ữỡ ữớ ố t
ớ õ ỳ t ở tr tt t ở ừ
ổ t t ữỡ
ữớ ố t ữủ ở sỹ t ữ ởt
t ừ ữỡ ữớ ố t t ỹ t ừ ởt ỗ tr
t t ở ừ ổ ừ
ữỡ ũ õ ừ ổ t t
t ở ừ õ t r ở ừ t t
t tỹ t ữ t ỷ t st ữủ
tố tổ ố tổ . . .
õ t ữ t t ừ t tự tr t
t ở ừ ởt ởt ồ ổ ỡ ỳ ú
t t r ồ t ỗ õ õ t ữợ
ữủ ừ ỷ ổ õ ữủ ừ t t ở
ổ t tỷ ỳ ỷ ổ
t t t ừ t tự tr ởt t
ỗ õ õ t q t t tự tr t
t ở ừ ởt ồ ổ õ ởt
t r ữỡ t t




tự ữ t ú t õ ừ
ổ Ti i I ợ I t số õ t t tứ ỵ tữ
ỹ ữỡ ữớ ố t
ữỡ ở tử ởt t tr t

t ở ừ ồ ỳ ổ ỗ tớ
ừ t ử t C := (T ) t t ở ừ ởt
ổ tt ữủ ở tử s



F : H H tử Lst ỡ tr H
T : H H ổ tr H ợ (T ) = sỷ

(0, 2/L2 ) k (0, 1] tọ
lim k = 0,
k




k = ,
k=1

lim (k k+1 )2
k+1 = 0.
k

õ ợ tũ ỵ x0 H

xk+1 = T (xk ) k+1 F (T (xk )),

k = 0, 1, 2, . . .

ở tử tợ t x ừ t
N

r trữớ ủ C :=

(Ti ) t t ở ừ ởt ồ
i=1

ỳ ổ Ti : H H ỏ
t ữủ ỹ õ

x H,
0
x
k = 0, 1, 2, . . .
k+1 = T[k+1] (xk ) k+1 F (T[k+1] (xk )),



[k] := k N tr tr t {1, 2, 3, . . . , N }
N = 1 ữỡ s õ ỹ ở tử ừ ữỡ
ữủ ữợ tt t ủ



F : H H tử Lst ỡ tr H
Ti : H H(i = 1, 2, 3, ..., N ) ồ ỳ ổ tr H

N

(Ti ) =

ợ C :=
i=1

C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).
sỷ (0, 2/L2 ) k (0, 1] tọ

lim k = 0,
k




k = ,
k=1




|k k+N | < .
k=1

õ ợ tũ ỵ x0 H {xk } ở tử
tợ t x ừ t

ứ õ õ ổ tr ự rở
t ữỡ ừ t ữợ
t ữợ t t số {k } ợ ỳ
ữủ ỗ ừ ỹ ữủ ỗ
ợ số ố ữủ t t t số k tr ổ tự
ừ ở sỹ sỷ ử Vk tt
ữủ ỗ ợ ừ ữớ ũ ữỡ
õ ổ tt t tr t t ở ừ
ổ Ti t t tr trữớ ủ tờ qt
ỡ ợ C t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ
ổ ởt số ữỡ ũ Wk
t ữủ t ự tt tr ự ừ
t s ở sỹ
Wk õ trú ự t r
t q õ tr ữủ tt tr ổ rt H ữủ
tỹ ỏ õ ữỡ t tỹ
ú t ụ t r tr ổ ổ rt

H õ ỳ t t tũ ữ tọ tự
sỹ tỗ t t ừ tr PC ỳ t
t ự t tr ổ rt tr




ỡ ỡ s ợ ự t õ tr ổ
tờ qt ụ õ t r ởt số ừ t ồ ữủ tt
ự tr ổ õ q t tự
ữ t t ở t ổ
ừ t tỷ ỡ ữỡ tr t rst ữỡ

tr ữỡ tr r ởt tr
ỳ ự tr t ừ t ồ t ự
t ữỡ t tự tr ổ
rở ữỡ t tự tứ ổ
rt s ổ ởt ừ ữủ q t s s
ở sỹ ự trữớ ủ C t
t ở ừ ởt ổ tr ổ
tỹ ởt q trồ sỹ ở tử ố ợ ữỡ ợ
ừ t tt t tử t ừ ố
t tr ổ q tở t t
tọ tr ổ lp (1 p < ) tr
ữ ổ tọ tr ổ Lp [a, b] (1 p < )
t tr õ ự ử
ở sỹ rở t q ừ tợ ợ
ổ q trỡ ợ số dq , q > 1 ữợ tữỡ
tỹ t t số ự tr ợ ổ
tỹ ỗ t õ t t
sỷ ử ự t Wk t õ t sỷ ử Vk Sk ỡ
ỡ r ữớ ũ ở sỹ tữỡ ự tt
ữỡ ợ ờ t ừ
ữỡ ũ Sk õ õ trú ỡ õ t
t t s s ữủ
õ t r ỹ ữỡ t tự
tr ổ ởt ữủ s ởt
tỹ tt ú t t ỵ tt
t q trồ ỳ t tr ú tổ ỹ
ồ t ự t tự


✼

♣❤➙♥ ✈î✐ ❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✧✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ ①✉➜t ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
❈ö t❤➸✱ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ❧➔ ✧❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ t❤ü❝✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ❝â ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✧✳
▲✉➟♥ →♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿
✶✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❧î♣ ❜➔✐
t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♠î✐ S˜k , Sˆk ✈➔ S k ✳
✣ç♥❣ t❤í✐✱ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝ö t❤➸ ✈➔ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈î✐ ♠ët sè
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➣ ❝â✳
✷✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠î✐ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳
✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠î✐ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳
▲✉➟♥ →♥ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝
❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♠ët sè ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➔ ❜ê
✤➲ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕t ✤÷ñ❝ ð ❝→❝
❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❜❛ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠î✐ ❝õ❛
❝❤ó♥❣ tæ✐ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ♥➯✉ tr➯♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳
❝ò♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ♥❤➡♠ ♠✐♥❤ ❤å❛ t❤➯♠ ❝❤♦ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤↕t ✤÷ñ❝✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✭✶✮✱
✭✷✮ ✈➔ ✭✸✮ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥
✈➔ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿

• ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝→❝ ♥➠♠ ✷✵✶✺✱ ✷✵✶✻ ✈➔ ✷✵✶✼✳

• ❍ë✐ t❤↔♦ ❚è✐ ÷✉ ✈➔ ❚➼♥❤ t♦→♥ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❧➛♥ t❤ù ✶✹✱ ✷✶✲✷✸✴✵✹✴✷✵✶✻ ✈➔
❧➛♥ t❤ù ✶✺✱ ✷✷✲✷✹✴✵✹✴✷✵✶✼✱ ❇❛ ❱➻✱ ❍➔ ◆ë✐✳

• ❍ë✐ ♥❣❤à ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔ t✐♥ ❤å❝✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❇→❝❤ ❦❤♦❛ ❍➔ ◆ë✐✱
✶✷✲✶✸✴✶✶✴✷✵✶✻✳


8

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ sì ❧÷ñ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ❝èt
②➳✉ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ð ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✳
❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❜❛ ♠ö❝✳ ❚r♦♥❣ ▼ö❝ ✶✳✶✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐
❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲
→♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ L✲▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ❝ö t❤➸ ❤â❛ ð ▼ö❝ ✶✳✷✳
P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ▼ö❝ ✶✳✸ ❞ò♥❣ ✤➸ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ò♥❣
♠ët sè ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❤♦➦❝ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣
❞è❝ ♥❤➜t✳

✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✱ E ∗ ✈➔ E ∗∗ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐
♥❣➝✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❉➣② {xk } ⊂ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✐✮ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0 ∈ E ♥➳✉

lim xk − x0 = 0,

k→∞

✐✐✮ ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ x0 ∈ E ♥➳✉

lim xk , x∗ = x0 , x∗

k→∞

∀x∗ ∈ E ∗ .

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ◆➳✉ ❞➣② {xk } ⊂ E ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0 ∈ E t❤➻ ♥â ❤ë✐ tö ②➳✉

tî✐ x0 ∈ E ✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❧➔ ✤ó♥❣ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❚➟♣ C ⊆ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✐✮ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â λx + (1 − λ)y ∈ C.
✐✐✮ ✤â♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } tr♦♥❣ C ♠➔ xk → x0 t❤➻ x0 ∈ C ✳




ổ E ữủ ồ ợ ồ
tỷ x E tỗ t tỷ x E s

x, x = x , x

x E .

ử tr

ổ ỳ ổ rt Lp [a, b] ợ

1 < p < ổ ởt số ổ
ổ l1 , L1 [a, b], l , c c0

tr
E ởt ổ tỹ õ E ổ
ồ tr E õ ở tử

ổ E ữủ ồ ỗ ợ ồ
0<

2 t tự x 1, y 1, x y

tọ t

tỗ t ởt số = ( ) > 0 s

(x + y)/2 1 .

ử ổ rt H ổ ỗ t tứ q
t tr ổ rt t õ

x+y

2

= 2( x

2

+ y 2) x y

2

x, y H.

sỷ ợ ồ 0 < 2 t tự x 1, y 1, x y
tọ õ t ữủ

x+y

2

4 2 .

s r

(x + y)/2 1 (),
tr õ () = 1

1 2 /4.

ổ E ữủ ồ ỗ t ợ ồ
x, y SE x = y t

(1 )x + y < 1 (0, 1),
tr õ SE = {x E : x = 1} t ỡ ừ E

tr
ồ ổ ỗ ỗ t

t ởt ổ ỗ t õ ổ ổ
ỗ t ợ > 0 ố t E = C[0, 1] ợ

.




1

x

= x



0

x2 (t)dt

+

1/2

x = x(t) C[0, 1],

0

tr õ x

0

= sup |x(t)| õ (C[0, 1], . 0 ) ổ ỗ t
t[0,1]

(C[0, 1], . ) ổ ỗ t ữ ổ ỗ ử tr
ử tr

tr tr
ồ ổ ỗ ổ

t ởt ổ õ ổ ổ
ỗ t ổ E = Rn ợ
n

|xi | x = (x1 , x2 , ..., xn ) Rn ,

x =
i=1

ổ ữ ổ ỗ

q tr

C t ỗ õ rộ ừ ổ ỗ
t E õ ợ ộ x E tỗ t t ởt y C tọ

x y = d(x, C),
ợ d(x, C) = inf x z
zC

ú ỵ y C tr ỏ ữủ ồ tốt t
ừ x E C

C t ỗ õ rộ ừ ổ
E PC : E 2C

PC (x) =

y C : x y = d(x, C) x E

ữủ ồ tr tứ E C




C

ừ ổ E ữủ ồ t

s tr E ộ x E õ t ởt y C

tốt t ừ x

t

ứ s r ồ t ỗ õ rộ ừ ởt ổ
ỗ t t s
ợ ồ t s C E t õ PC (x) t ỗ ởt tỷ
ỡ ỳ x PC (x) = d(x, C) ợ ồ x E

t C

t ỗ õ rộ tr ổ

rt H õ C t s tr PC
ổ tr

ử ử tr

sỷ C := {x Rn : x, u } ỷ ổ õ tr Rn ợ

R u Rn tỷ ố t õ
u = 0 0 t C = Rn PC = I
u = 0 < 0 t C =
u = 0 t C = ợ ồ x Rn t õ


x

PC (x) =
x, u

u

x +
u 2

x, u ,
x, u > .

ử tr

C := {x Rn : x x0 r} õ t x0 Rn

r > 0 ợ ồ x Rn t õ


x
PC (x) =
x x0

x0 + r
x x0

ởt J : E 2E



x x0 r,



x x0 > r.

õ tr tọ



J(x) = {x E : x, x = x

x

ữủ ồ ố t ừ E



x = x },




ú ỵ J tỗ t tr ồ ổ

ữủ s r ữ ởt q trỹ t ừ t
tr ờ tr r trữớ ủ
ố t ỡ tr t s j

ử r ổ rt H ố t J ừ H
ỡ I. t trữợ t ỵ r H = H ợ ồ x H
t õ

x, x = x x .

õ x J(x) ữủ ợ ồ y J(x) tứ ừ J t t


x, y = x y

y = x .

t ủ ợ t t

xy

2

= x

2

+ y

2

2 x, y ,

s r x = y J(x) = {x}

ử q tr
ợ ộ số tỹ x t

1


s(x) = 0



1

ừ x ữ s
x < 0,
x = 0,
x > 0.

r ổ Lp [0, 1] (1 < p < ) ố t ữủ
ữ s

|x|p1
s(x) x Lp [0, 1].
J(x) =
p1
x

ởt số t t ỡ ừ ố t ữủ tr
tr ữợ

tr

E ổ tỹ J : E 2E ố
t ừ E õ t õ s
J(0) = {0}


✶✸

✐✐✮ ❱î✐ ♠é✐ x ∈ E ✱ J(x) ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣✳
✐✐✐✮ J(λx) = λJ(x) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ E ✈➔ λ ∈ R✳
✐✈✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ J ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ SE
♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉

lim
t→0

x0 + ty − x0
,
t

tç♥ t↕✐ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ y, ∇ x0 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∇ x0

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛

❝❤✉➞♥ x t↕✐ x = x0 ✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐
●➙t❡❛✉① t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ SE . ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉
♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ t❤❡♦ x ∈ SE ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✼✳ ❚r➯♥ ❦❤æ♥❣

❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ H ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ♠å✐
x
x = 0 ✈➔ ∇ x =

x

✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ H, x = 0✱ t❛ ❝â

x + ty − x
x + ty 2 −
lim
= lim
t→0
t→0 t( x + ty +
t
2t x, y + t2
= lim
t→0 t( x + ty +

x 2
x )
y 2
=
x )

y,

x
x

.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ SE

tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ x∗ ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, x∗ = x ✈➔ x∗ = 1.

❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ✭tr❛♥❣ ✾✶✱ ❬✶❪ ❤♦➦❝ tr❛♥❣ ✾✲✶✵✱ ❬✷❪✮

❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳

❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ c0 , l1 , L1 [a, b] ✈➔ l∞ ❧➔ ❦❤æ♥❣ trì♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✻✳✻✱ tr❛♥❣ ✾✷✱ ❬✶❪✮
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①
tr➯♥ E\{0}✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼✳ ❬✷✼❪
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

x

2

+ 2 y, j(x) ≤ x + y

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y) ,


✶✹

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✳ ✭❍➺ q✉↔ ✷✳✻✳✾✱ tr❛♥❣ ✾✸✱ ❬✶❪✮
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ J ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ❑❤✐ ✤â✱
❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
✐✐✮ J ❧➔ ✤ì♥ trà✳
✐✐✐✮ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✈î✐ ∇ x = x

−1

J(x).

✣ë trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❍➔♠ ρE : R+ → R+ ✤÷ñ❝

❣å✐ ❧➔ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ E ♥➳✉

ρE (t) = sup
= sup

x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = t

2
x + ty + x − ty
−1: x = y =1 ,
2

t ≥ 0.

❱➼ ❞ö ✶✳✾✳ ✭▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✺✱ ❬✶❪✮

❚r➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ ✈î✐ t > 0 t❛ ❝â

ρH (t) = sup{tε/2 − 1 +

1 − ε2 /4 : 0 < ε ≤ 2} =

1 + t2 − 1.

❚➼♥❤ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ q ✲trì♥ ✤➲✉ ✭q > 1✮ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ♥❤÷ s❛✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉
ρE (t)
= 0.
t→0
t

lim

❱➼ ❞ö ✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉ ✈➻
ρH (t)

lim
= lim
t→0
t→0
t

√

1 + t2 − 1
= 0.
t

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✸✱ tr❛♥❣ ✾✽ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✻✱ tr❛♥❣ ✾✾✱ ❬✶❪✮
▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳ ❱î✐ q > 1✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
q ✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè β > 0 s❛♦ ❝❤♦
ρE (t) ≤ βtq ,

t > 0.


✶✺

❱➼ ❞ö ✶✳✶✶✳ ✭tr❛♥❣ ✺✹✱ ❬✸✵❪ ❤♦➦❝ tr❛♥❣ ✻✸✱ ❬✻✺❪✮

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp [a, b] ✈➔ lp ❝â t➼♥❤ trì♥ ♥❤÷ s❛✉✿

p✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ 1 < p < 2,
p

p
L [a, b] ✈➔ l ❧➔
2✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ p ≥ 2.

❈❤ó þ ✶✳✸✳ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q✲trì♥ ✤➲✉ ✭tr❛♥❣ ✺✷✱ ❬✸✵❪✮ t❤➻ ❧✉æ♥
tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè dq > 0 t❤ä❛ ♠➣♥

x+y
tr♦♥❣ ✤â jq (x) = x

q

≤ x

q

+ q y, jq (x) + dq y

q

∀x, y ∈ E,

j(x)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q ✲trì♥ ✤➲✉ ✈î✐ ❤➡♥❣ sè dq ✳
q−2

▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ trì♥ ✈➔ ❧ç✐ ❝❤➦t✱ t➼♥❤ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ❝õ❛ E ✈î✐
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ E ∗ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✵✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✻✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✷✱ ❬✶❪✮

❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
✐✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✶✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✹✱ tr❛♥❣ ✾✽ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✾✱ ❬✶❪✮
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
✐✮ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✳
✐✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣② ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ ✤✐➸♠ x t❤➻ j(xk )

❤ë✐ tö tî✐ j(x) t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
✐✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ x t❤➻ j(xk )
❤ë✐ tö tî✐ j(x) t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✷✳ ✭▼➺♥❤ ✤➲ ✺✳✶✸✱ tr❛♥❣ ✺✶✱ ❬✸✵❪✮
◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝â ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ t❤➻ →♥❤ ①↕ ✤è✐
♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥
❝õ❛ E ✳




t ú tổ tr ởt số t q ỡ ợ
t ổ số

l := {a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) : sup |ak | < }.
k

àk (ak+m ) t à(am+1 , am+2 , . . . , am+k , . . . ) ợ m = 0, 1, 2, . . .

P à : l R ữủ ồ ợ
tọ

à t t tử
à = à(1, 1, . . . , 1, . . . ) = 1
àk (ak+1 ) = àk (ak ) ợ ộ (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) l
ỹ tỗ t ừ ợ ữủ ớ

tr
ổ tỗ t t t tử à tr ổ l s

à = àk (1) = 1 àk (ak+1 ) = àk (ak ) ợ ộ (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) l
ởt t t q trồ ừ ợ ữủ t tr
ữợ

tr
à ợ õ

lim inf ak àk (ak ) lim sup ak ,
k

k

ợ ộ a = (a1 , a2 , ...) l ỡ ỳ ak x0 t àk (ak ) = à(a) = x0

t ợ ởt rở ừ ợ

tổ tữớ t tr ổ c số ở tử ừ ổ
l t ố ợ ồ ợ à t õ

à(a) = lim ak
k

a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) c.

ụ ữ ỵ r tỗ t ỳ ổ ở tử ữ õ t
t tr ợ a = (1, 0, 1, 0, . . . ) l t t ổ õ à(a) = 1/2
ố ợ ồ ợ à




t a = (a1, a2, . . . ) l b = (b1, b2, . . . ) l ak bk 0

t àk (ak ) = àk (bk )


sỷ E ổ õ t C t
ỗ õ rộ ừ E {xk } E ởt z C

à ợ õ
àk xk z

2

= min àk xk u 2 ,
uC

àk u z, j(xk z) 0 ợ ồ u C

tử st j ỡ
r ú tổ tr ởt số tử

Lst j ỡ t ởt số t q
q ụ ữủ ợ t ử t

C t rộ ừ ổ E

T : C E ữủ ồ tử Lst tỗ t

số L 0 s

Tx Ty L x y

x, y C.



r L [0, 1) t T ữủ ồ L = 1 t T
ữủ ồ ổ

tr
C t ỗ tr ổ ỗ t E T : C E
ổ õ t t ở

(T ) := {x C : T (x) = x},
ừ T rộ t õ t ỗ

ú ỵ t tử ừ ổ T t (T ) ổ

t õ

q q tr
C t ỗ õ rộ tr ổ ỗ t E
T : C E ổ õ (T ) t ỗ õ