Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 giải bài toán về tìm trung bình cộng

MỤC LỤC

I. Mở đầu .
1. Lí do chọn đề tài.

Trang 1

2.Mục đích nghiên cứu.

Trang 2

3. Đối tượng nghiên cứu.

Trang 2

4. Phương pháp nghiên cứu.

Trang 2

II. Nội dung của sáng kiến.
1. Cơ sở lí luận

Trang 2

2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

Trang 3

3. Các giải pháp và biện pháp nâng cao chất lượng học

Trang 4

Trung bình cộng
4. Kết quả thử nghiêm.

Trang 18

III. Kết luận và kiến nghị.
1 . Kết luân chung.

Trang 19

2 . Kiến nghị.

Trang 20

1


I. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mỗi môn học ở bậc Tiểu học đều góp phần vào việc hình thành và phát
triển những cơ sở ban đầu về nhân cách con người Việt Nam. Trong các môn
học ở tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có một vị trí rất quan trọng.
Các kiến thức, kỹ năng của môn Toán ở tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời
sống; chúng rất cần thiết cho mọi người lao động, rất cần thiết để học các môn
học khác. Không những thế, môn Toán còn góp phần rất quan trọng trong việc
rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết
vấn đề; nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt,
sáng tạo; nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng
của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó, làm việc có nề nếp,

có kế hoạch và tác phong khoa học.
Chính vì vậy, môn Toán chiếm một thời lượng lớn trong chương trình dạy
học ở tiểu học. Thông qua môn học, học sinh có những kiến thức cơ bản ban đầu
về số tự nhiên, số thập phân, các đại lượng cơ bản và một số yếu tố hình học đơn
giản. Hình thành và rèn luyện kỹ năng thực hành tính, đo lường, giải bài toán có
nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống.
Trong chương trình môn Toán lớp 4, dạy giải các dạng toán điển hình có vị
trí đặc biệt quan trọng. Một phần lớn thời gian học của học sinh dành cho việc
giải các bài toán ấy. Biết giải thành thạo các bài toán là một trong những tiêu
chuẩn chủ yếu để đánh giá trình độ học toán của mỗi học sinh. Do đó, đòi hỏi
giáo viên phải lựa chọn phương pháp, hình thức giảng dạy sao cho đạt hiệu quả
cao nhất. Tiêu biểu trong số các dạng toán điển hình ấy là dạng toán về tìm số
trung bình cộng. Đây cũng là một trong những dạng toán khó, trừu tượng, mỗi
bài toán là một bức tranh nhỏ của cuộc sống, học sinh phải biết rút ra từ bức
tranh ấy cái bản chất toán học của nó để lựa chọn cách giải thích hợp. Trên thực
tế, nhiều giáo viên còn đang băn khoăn không biết nên dạy như thế nào để đạt
hiệu quả. Làm thế nào để sau mỗi tiết học học sinh đều nắm được nội dung bài
học và biết vận dụng nó một cách sáng tạo đang là vấn đề đáng quan tâm.
Bản thân tôi là một giáo viên thường xuyên dạy khối 4 - 5, qua khảo sát
chất lượng học sinh, qua kinh nghiệm dạy giải toán tìm số trung bình cộng, tôi
nhận thấy rằng chất lượng còn nhiều khiêm tốn. Để nâng cao chất lượng dạy học
2


bản thân tôi luôn tự đặt ra cho mình một câu hỏi: Làm thế nào để nâng cao chất
lượng giải toán về tìm số trung bình cộng? Tôi thiết nghĩ: Phương pháp, cách
thức dạy học phù hợp nhất định sẽ thành công, đó sẽ là chìa khóa để mở ra tất cả
những gì còn băn khoăn chưa tháo gỡ. Chính vì lý do đó tôi đã chọn đề tài:
“Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm trung bình cộng”
để nghiên cứu, áp dụng vào công tác dạy học ở nhà trường

2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm ra Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 giải bài toán về Tìm trung bình
cộng
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Phương pháp dạy dạng toán Tìm trung binh cộng ở lớp 4
- Học sinh khối 4 nơi trường tôi giảng dạy.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu trên cơ sở phân tích tìm hiểu lý thuyết dạy học toán
nói chung và dạy dạng toán Tìm trung bình cộng nói riêng.
- Phương pháp điều tra thực tế thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê xử lí số liệu.
- Phương pháp thực hành.
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Môn Toán là một tự nhiên nhưng rất trừu tượng, đa dạng và lôgic, hoàn
toàn gắn với thực tiễn hằng ngày. Bởi vậy nếu HS không có phương pháp học
đúng sẽ không nắm được kiến thức cơ bản về Toán và đối với những bài toán
nâng cao, với các môn học khác nhận thức cũng có nhiều khó khăn. Môn Toán
là môn học quan trọng trong tất cả các môn học khác, nó là chìa khóa để mở ra
các môn học khác. Đồng thời nó có khả năng phát triển tư duy, phát triển trí tuệ
cần thiết giúp con người vận dụng vào cuộc sống hàng ngày.Trong giờ Toán, bên
cạnh việc tìm tòi và sáng tạo phương pháp giảng dạy phù hợp với yêu cầu bài
học và đối tượng HS, mỗi giáo viên cần phải giúp các em có phương pháp lĩnh
hội tri thức Toán. HS có phương pháp học Toán phù hợp với từng dạng Toán thì
việc học mới đạt kết quả.Vì vậy cách vận dụng phương pháp hay vào giải toán
trung bình cộng một dạng Toán cơ bản ở lớp 4 là rất cần thiết.
3


2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Trường Tiểu học tôi đang giảng dạy đóng trên địa bàn vùng nông thôn
của huyện còn nhiều hạn chế về sự quan tâm chăm sóc. Tuy vậy, nhờ sự nỗ lực
cố gắng của Ban giám hiệu và đội ngũ giáo viên nên chất lượng giáo dục của
nhà trường luôn là lá cờ đầu của huyện nhà. Mỗi giáo viên luôn tập trung đổi
mới phương pháp dạy học, luôn nhiệt tình, có tinh thần trách nhiệm cao, không
ngừng tự học, tự bồi dưõng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
Trong năm học, nhà trường thường tổ chức dự giờ giáo viên, các giáo viên
trong khối tự đi dự giờ lẫn nhau để học hỏi kinh nghiệm và trao đổi về phương
pháp dạy học tích cực. Ngoài ra các khối lớp còn tiến hành khảo sát chất lượng
học sinh (qua kiểm tra định kỳ, thanh tra định kì). Bản thân tôi là một giáo viên
chuyên giảng dạy ở khối 4-5, tôi thấy rằng chất lượng giải toán về tìm số trung
bình cộng cho học sinh lớp 4 chưa cao. Dạng toán tìm số trung bình cộng là một
trong những dạng toán điển hình được dạy từ lớp 4 khi các em bước sang giai
đoạn mới, kiến thức toán học có tính khái quát, tính hệ thống cao hơn so với giai
đoạn đầu (lớp 1, 2, 3). Do vậy giáo viên cần lựa chọn phương pháp, hình thức
dạy học phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh. Nhưng trên thực tế, giáo
viên mới chỉ dạy dàn trải cho hết yêu cầu sách giáo khoa, chưa hướng học sinh
đi đến bản chất của dạng toán, giờ dạy chưa chú ý đến các đối tượng học sinh
trong lớp. Ở các tiết thực hành của buổi 2, giáo viên ôn tập còn hình thức, chưa
mang tính hệ thống, các bài tập đưa ra cho học sinh chưa có sự phân loại, chọn
lọc. Phương pháp giảng dạy (đối với những bài khó dành cho học sinh năng
khiếu) thiếu sáng tạo, học sinh phần lớn “bắt chước” cô. Chính vì vậy, một số
học sinh có thể làm bài được ngay tại chỗ những sau một thời gian ngắn lại quên
ngay, cũng có một số học sinh không biết cách làm hoặc làm sai. Điều đó dẫn
đến chất lượng về giải toán tìm số trung bình còn thấp. Bản thân giáo viên dạy
cũng chưa tìm ra hướng giải quyết nên khi dạy vẫn tỏ ra lúng túng, xử lý các
tình huống chưa triệt để. Đứng trước thực trạng đó, bản thân tôi luôn xác định
phải biết giải quyết, tháo gỡ những vướng mắc trong chuyên môn thì mới dạy tốt
.Vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài này nhằm cải tiến phương pháp dạy giải
toán tìm số trung bình cộng góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán

trong nhà trường.

4


* Kết quả khảo sát chất lượng học sinh khối 4 về giải toán trung bình cộng
năm học 2015 – 2016 như sau:
Số
học sinh
62

Hoàn thành (H)
SL
%
60
96,8

Chưa hoàn thành (C)
SL
%
2
3,2

3.3. CÁC GIẢI PHÁP VÀ BIỆN PHÁP NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY
GIẢI TOÁN TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG.
Để nâng cao chất lượng dạy giải toán điển hình về tìm số trung bình cộng,
giáo viên cần phải phân theo từng loại bài và cách giải từng loại bài như thế nào
cho phù hợp, có khả năng phát huy tính sáng tạo của học sinh.
Các biện pháp cụ thể như sau:
1. Dạy giải toán Trung bình cộng dựa vào công thức:

(Đối với loại bài đơn giản dành cho đối tượng học sinh đại trà)
Muốn dạy các loại bài về trung bình cộng sao cho đạt hiệu quả, trước hết
giáo viên phải thống kê các loại bài tập thường gặp, sau đó sắp xếp hệ thống bài
tập theo mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Các loại bài về trung
bình cộng đơn giản được phân loại như sau:
Loại 1: Tìm trung bình cộng của các số dạng đơn.
Muốn giải được dạng toán tìm số trung bình cộng của nhiều số trước hết
GV cần yêu cầu học sinh nắm vững quy tắc về tìm số trung bình cộng một cách
ngắn gọn dưới dạng công thức để học sinh dễ nhớ đặc biệt là đối với đối tượng
học sinh yếu (Trung bình cộng = Tổng các số hạng : số các số hạng). Với công
thức này, học sinh có thể dễ dàng áp dụng để tìm số trung bình cộng. Bên cạnh
đó, giáo viên cũng cần sắp xếp hệ thống bài tập một cách hợp lý theo mức độ từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
Ví dụ:
Bài 1: Tìm số trung bình cộng của các số sau: 26 và 12
Ta có: Số trung bình cộng của 2 số là (26 + 12): 2 = 19
Bài 2: Tìm số trung bình cộng của các số sau: 14, 38, 214 và 134
Để giải bài toán trên học sinh chỉ cần áp dụng công thức trên:
Số trung bình cộng = (14 + 38 + 214 + 134) : 4 = 100
Bài 3: Có 3 bao gạo, bao thứ nhất nặng 24 kg, bao thứ hai nặng 46 kg, bao
thứ 3 nặng 20 kg. Hỏi trung bình mỗi bao gạo nặng bao nhiêu kilôgam?
5


Áp dụng công thức và chỉ cần thêm vào câu lời giải cho bài toán:
Trung bình mỗi bao gạo nặng là:
(24 + 46 + 20) : 3 = 30 (kg)
Loại 2: Tìm trung bình cộng của các số dạng phức.
Tìm số trung bình cộng dạng phức chủ yếu được đưa vào toán giải. Đối
với loại bài này học sinh vẫn thường nhầm lẫn về tổng các số và số các số hạng.

Vì vậy, khi dạy giải các bài toán dạng phức, giáo viên cần yêu cầu học sinh tóm
tắt đề, xác định dạng toán và phân biệt được đâu là tổng các số hạng, đâu là số
các số hạng, làm thế nào để tìm được tổng các số? Làm thế nào để tìm được số
các số hạng?
Ví dụ:
Bài 1: Ba xe đầu chở được 230 tạ gạo, hai xe sau chở được 120 tạ gạo. Hỏi trung
bình mỗi xe chở bao nhiêu tạ gạo?
Bài toán có thể giải theo 2 bước:
Bước 1: Tìm tổng số xe: 3 + 2 = 5 (xe)
Bước 2: Tìm trung bình mỗi xe chở ? tạ gạo: (230 + 120) : 5 = 70 (tạ)
Hoặc: Áp dụng công thức về tìm số trung bình cộng ta tính được:
Trung bình mỗi xe chở được số gạo là:
(230 + 120) : (3 + 2) = 70 (tạ)
Khi dạy giải bài toán này GV cần nhấn mạnh: Số các số hạng chính là số
xe (3 + 2 = 5 xe) để học sinh tránh nhầm lẫn rằng chỉ có 2 xe (tương ứng 2 số
lượng gạo) và dẫn đến kết quả sai (230 + 120) : 2 = 175 (tạ).
Bài 2: Một cửa hàng bán gạo, trong 2 ngày đầu, mỗi ngày bán được 20 tạ gạo.
Ba ngày sau, mỗi ngày bán được 10 tạ gạo. Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng
đó bán được bao nhiêu tạ gạo?
Để giải được bài toán này học sinh cũng chỉ cần áp dụng công thức tìm số
trung bình cộng, nhưng cần lưu ý cho học sinh phân tích: Tổng các số hạng ở
đây là gì? (là số gạo cửa hàng đã bán), số các số hạng chính là gì? (là tổng số
ngày). Bởi vì trên thực tế học sinh vẫn thường nhầm tưởng chỉ có 2 lần bán rồi
tính một cách máy móc theo công thức (20 + 10) : 2 = 15 hoặc (20 + 10) : 5 = 6
Trên cơ sở những lỗi sai học sinh thường gặp, giáo viên cần nhấn mạnh để từ đó
học sinh có thể khắc phục và hiểu rõ bản chất của giải toán về tìm số trung bình
cộng.
6

Có thể giải theo 3 bước:
Bước 1: Tìm tổng số gạo đã bán: 20 x 2 + 10 x3 = 70 (tạ)
Bước 2: Tìm tổng số ngày đã bán: 2 + 3 = 5 (ngày)
Bước 3: Tìm trung bình mỗi ngày bán được ? tạ gạo:
70 : 5 = 14 (tạ)
Hoặc: Trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được số gạo là:
(20 x2 + 10 x 3) : (2 + 3) = 14 (tạ)
Số gạo bán Số gạo bán Tổng số ngày
2 ngày đầu 3 ngày sau
đã bán
Bài 3: Một tổ sản xuất, 10 ngày đầu, mỗi ngày làm được 129 sản phẩm. Trong
12 ngày tiếp theo, mỗi ngày hơn trung bình số sản phẩm của 10 ngày đầu là 11
sản phẩm. Hỏi trung bình mỗi ngày tổ sản xuất làm được bao nhiêu sản phẩm?
So với bài 2 thì bài toán này có thêm một bước trung gian nữa, đó là tìm
trong 12 ngày tiếp theo mỗi ngày làm được bao nhiêu sản phẩm.
Bước 1: Trong 12 ngày tiếp theo, mỗi ngày làm được:
129 + 11 = 140 (sản phẩm).
Bước 2: Tìm tổng số sản phẩm đã làm được:
10 x 129 + 12 x 140 = 2970 (sản phẩm)
Bước 3: Tìm số ngày đã làm: 10 + 12 = 22 (ngày)
Bước 3: Tìm trung bình mỗi ngày làm được ? sản phẩm:
2970 : 22 = 135 (sản phẩm)
* Như vậy, từ những ví dụ trên học sinh đã có thể nắm vững được kiến thức
cơ bản và cách giải những loại bài điển hình thường gặp về tìm số trung bình
cộng. Mỗi bài ở mỗi ví dụ đã được nâng cao dần, có thêm dữ liệu cho bài toán
và điều cơ bản là giáo viên phải biết điểm khác, điểm mới của bài sau so với bài
trước và yêu cầu học sinh so sánh, chỉ rõ. Chẳng hạn, ở loại bài 1: học sinh chỉ
cần thay số vào công thức. Ở loại bài 2: bài 1 học sinh phải tính thêm một bước
trung gian là tìm số số hạng (tức số xe), bài 2 phải qua 2 bước trung gian là tìm
tổng (tức tổng số gạo đã bán) và tìm số số hạng (tức tổng số ngày), đến bài 3 thì

so với bài 2 phải thêm một bước trung gian nữa là tìm số hạng còn thiếu (12
ngày sau, mỗi ngày làm được bao nhiêu?). Qua phân tích, so sánh các ví dụ trên
cho thấy việc sắp xếp, phân loại hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến

7


khó, từ đơn giản đến phức tạp sẽ giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và dễ khắc phục
lỗi sai thường gặp.
Loại 3: Loại bài củng cố công thức tìm số trung bình cộng.
Từ công thức về tìm số trung bình cộng, giáo viên có thể kết hợp dạy một
số dạng bài có liên quan. Đó là điều kiện để củng cố, khắc sâu kiến thức không
chỉ ở dạng toán về trung bình cộng mà còn ở nhiều dạng toán điển hình khác. Có
như vậy thì học sinh mới ghi nhớ được lâu.
Ví dụ:
Bài 1: Tìm số hạng thứ nhất biết số hạng thứ hai là 68 và trung bình cộng
của hai số là 75.
Giáo viên cần yêu cầu học sinh áp dụng vào công thức:
(TBC = Tổng các số hạng : Số các số hạng)
Ta có: (SH1 + 68) : 2 = 75
Từ đó suy ra: SH1 = 75 x 2 – 68 = 82
Bài 2: Trung bình cộng của hai số là 124, biết số thứ nhất hơn số thứ hai
18 đơn vị. Tìm hai số?
Theo công thức ta có: (SH1 + SH2) : 2 = 124.
Từ đó, học sinh có thể tìm được tổng của 2 số (124x2 = 248) và dựa vào
dạng toán Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu để tìm ra 2 số.
Bài 3: Cho 3 số có trung bình cộng là 21. Tìm 3 số biết rằng số thứ ba gấp
3 lần số thứ số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lần số thứ nhất.
Tương tự bài toán trên, học sinh tìm tổng 3 số (21 x 3 = 63) rồi dựa vào
dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số để tìm 3 số.

Bàì 4: Trung bình cộng của số bi đỏ, bi xanh, bi vàng là 12 viên. Số bi đỏ
nhiều hơn tổng số bi xanh và bi vàng là 8 viên. Nếu bớt 6 viên bi xanh thì số bi
xanh bằng số bi vàng. Hãy tìm số bi mỗi loại?
Trước hết tìm tổng số bi 3 loại: 12 x 3 = 36 (viên).
Dựa vào dạng toán “Tìm 2 số khi biết tổng và hiệu” để tìm ra số bi đỏ là
(36 + 8) : 2 = 22 (viên); tổng số bi xanh và bi vàng là 22 – 8 = 14 (viên). Từ đó
tính được số bi xanh là (14 +6) : 2 = 10 (viên); số bi vàng là 10 – 6 = 4 (viên).
* Như vậy, khi học sinh đã nắm vững cách tìm số trung bình cộng và hiểu
rõ bản chất của nó, giáo viên (đặc biệt là giáo viên dạy đội tuyển học sinh giỏi
4,5) có thể liên kết vận dụng nó một cách linh hoạt trong dạy các dạng toán điển
8


hình khác như: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số, tìm hai số khi biết
tổng và tỉ số, ...Thông qua đó, học sinh không chỉ được củng cố dạng toán tìm số
trung bình cộng mà có thể củng cố một lúc nhiều dạng toán khác nhau.
1. Dạy giải toán Trung bình cộng dựa vào tính chất của dãy số:
(Dạy loại bài dành cho học sinh năng khiếu)
Loại: Tìm trung bình cộng của dãy số cách đều có số số hạng lẻ.
Tính chất: Nếu dãy số cách đều có số số hạng lẻ thì số ở chính giữa là số
trung bình cộng của dãy số.
Với tính chất nêu trên học sinh có thể áp dụng cho việc tìm trung bình
cộng của dãy số cách đều có số hạng là lẻ một cách nhanh, gọn mà cũng rất dễ
hiểu. Giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt “số hạng lẻ’ với “số số hạng lẻ”
Trước hết giáo viên nên lấy những ví dụ thật đơn giản để khẳng định lại
tính chất đó là hoàn toàn có căn cứ và như vậy sẽ giúp học sinh ghi nhớ một
cách bền vững.
Ví dụ:
Bài 1: Tìm trung bình cộng của các số sau: 1, 2, 3, 4, 5.
Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh làm theo 2 cách:

Cách 1: Như công thức đã nêu ở biện pháp 1. (tính tổng các số rồi chia
cho số các số hạng.
Cách 2: Vận dụng theo tính chất nêu trên. (Số chính giữa là số 3 nên trung
bình cộng là 3)
So sánh 2 kết quả ở 2 cách sẽ thấy bằng nhau và một lần nữa khẳng định
lại tính chất trên là đúng và áp dụng tính chất đó trong tìm số trung bình cộng rất
nhanh, hiệu quả.
Bài 2: Trung bình cộng của 5 số tự nhiên liên tiếp là số thứ mấy? (Số thứ
3 vì dãy số cách đều đó có số số hạng lẻ nên số trung bình cộng là số ở chính
giữa)
Đây là ví dụ dạng tổng quát, giáo viên cũng cần phân biệt cho học sinh số
ở giữa và số ở chính giữa khác nhau như thế nào vì thông thường sẽ có nhiều
học sinh nhầm lẫn (cho kết quả là số thứ 2 hoặc số thứ 4 vì cho rằng đó là số ở
giữa).
Bài 3: Tìm trung bình cộng của dãy số: 1, 2, 3, ...98, 99.

9


Để xác định xem cần vận dụng tính chất nào thì học sinh phải xác định
được số số hạng của dãy số trên là chẵn hay lẻ.
Bước 1: Tìm số các số hạng (99 số)
Bước 2: Tìm số trung bình cộng của dãy số: Vì dãy số có 99 số hạng (số
số hạng lẻ) nên số trung bình cộng của dãy số là số hạng thứ 50 (vì số thứ 50 là
số ở chính giữa dãy số). Mà số hạng thứ 50 chính là 50 (vì đây là dãy số tự
nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1) hoặc cũng có thể áp dụng công thức tìm số hạng thứ
n để tìm số hạng thứ 50. Cụ thể là: (50 – 1) x 1 +1 = 50
Vậy số trung bình cộng của dãy số là 50.
Bài 4: Tìm trung bình cộng của 15 số chẵn đầu tiên.
Vì dãy số trên có 15 số hạng nên số trung bình cộng là số hạng chính

giữa, tức là số hạng thứ 8.
Số trung bình cộng của dãy số trên là:
(8 – 1) x 2 + 2 = 16
*Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo cách tính trung bình cộng của
dãy số cách đều có số số hạng lẻ, giáo viên cũng nên áp dụng để dạy các bài
toán ngược, tức là viết dãy số có số số hạng lẻ khi biết trung bình cộng của
dãy số đó.
Ví dụ: Tìm 7 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 1886.
Đối với bài này thông thường học sinh cũng có thể thực hiện theo dạng
toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu (tìm tổng các số, vẽ sơ đồ tìm hiệu 2 số đầu
dãy và cuối dãy, tìm số đầu rồi các số liên tiếp). Cách làm này sẽ mất nhiều thời
gian việc tìm hiệu cũng rất dễ bị sai. Nếu vận dụng tính chất trên, cách làm sẽ
trở nên đơn giản hơn, học sinh chỉ cần tìm số hạng thứ 4 là số 1886 (vì dãy số
cách đều có số số hạng lẻ nên trung bình cộng của dãy số là số ở chính giữa), từ
đó bớt 2 đơn vị ta có thể tìm được số hạng thứ 3, 2, 1; thêm 2 đơn vị ta có thể
tìm được số hạng thứ 5, 6, 7.
Loại 2: Tìm trung bình cộng của dãy số cách đều có số số hạng chẵn.
Tính chất: Nếu dãy số cách đều có số số hạng chẵn thì trung bình cộng
của dãy số bằng

1
cặp số cách đều 2 đầu dãy số.
2

Với tính chất này giáo viên cũng lưu ý cho học sinh chỉ áp dụng với
trường hợp dãy số cách đều có số số hạng chẵn. Giáo viên cũng cần phân biệt

10

cho học sinh “số hạng chẵn” với “số số hạng chẵn” là 2 khái niệm hoàn toàn
khác nhau.
Ví dụ:
Bài 1: Tìm số trung cộng của các số sau: 2, 4, 6, 8.
Đây là một ví dụ đơn giản nên giáo viên có thể tổ chức cho học sinh làm
theo 2 cách (như ở loại bài 1) để khẳng định lại tính chất trên.
Trên cơ sở đó, giáo viên có thể vận dụng để dạy ở những bài phức tạp
hơn.
Bài 2: Tìm trung bình cộng của dãy số: 1, 3, 5, 7,...97, 99.
Bước 1: Tìm số số hạng của dãy: (99 – 1) : 2 + 1 = 50 (số)
Bước 2: Tìm số trung bình cộng của dãy số:
Vì dãy số có số số hạng chẵn nên số trung bình cộng của dãy là

1
cặp số
2

cách đều hai đầu dãy số và cặp số đơn giản nhất là số hạng đầu dãy số và số
hạng cuối dãy số. Do đó, số trung bình cộng của dãy số là:
(99 + 1) : 2 = 50
Bài 3: Tìm trung bình cộng của 22 số lẻ đầu tiên.
Vì dãy số trên có 22 số hạng nên trung bình cộng của dãy số là

1
cặp số
2

cách đều 2 đầu dãy số. Giáo viên cũng nên lưu ý ở loại bài này đã biết số số
hạng. Vậy để tìm được số trung bình cộng thì phải tìm được số hạng cuối cùng
của dãy là số nào? Số hạng đầu tiên của dãy là số nào?

Bước 1: Tìm số hạng thứ 22:
(22 – 1) x 2 + 1 = 43
Bước 2: Tìm số trung bình cộng:
(1 + 43) : 2 = 22
* Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo cách tính trung bình cộng của
dãy số cách đều có số số hạng chẵn, giáo viên cũng nên áp dụng để dạy các
bài toán ngược, tức là viết dãy số có số số hạng chẵn khi biết trung bình cộng
của dãy số đó.
Ví dụ: Tìm 10 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 2316.
Ta thấy, dãy số trên có 10 số hạng nên 2316 bằng

1
tổng của số thứ 6 và
2

số thứ 5 (cặp số ở chính giữa). Giáo viên nên đặt ra câu hỏi: Vì sao không chọn
11


cặp số cách đều là số đầu và số cuối? Vì như vậy sẽ phải tính hiệu của số đầu và
số cuối, nếu chọn cặp số chính giữa thì hiệu hai số đương nhiên sẽ là 2 (hai số lẻ
liên tiếp). Như vậy đối với loại bài này (có số số hạng chẵn), giáo viên cần lưu ý
học sinh chọn cặp số cách đều là cặp số chính giữa dãy số để rút ngắn khoảng
cách và rõ ràng việc tìm hiệu cũng đơn giản hơn.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Tổng của số thứ 5 và số thứ 6 là: 2316 x 2 = 4632
Số thứ 5 là: (4632 – 2) : 2 = 2315
Từ đó bớt dần 2 đơn vị để được các số thứ 4, 3, 2, 1; tăng dần 2 đơn vị để
được các số 6, 7, 8, 9, 10.
Lưu ý: Ở loại bài tìm trung bình cộng của dãy số cách đều có số số hạng

chẵn ta nên lựa chọn cặp số hai đầu dãy số (Số đầu và số cuối). Đối với loại bài
ngược viết dãy số có số số hạng chẵn khi biết trung bình cộng của dãy số ta nên
chọn cặp số chính giữa để không phải mất thời gian tìm hiệu 2 số.
* Tóm lại: Từ những ví dụ trên cho thấy việc vận dụng hai tính chất tìm số
trung bình cộng của dãy số cách đều giúp cho học sinh dễ nhớ, dễ làm và tính
nhanh gọn hơn rất nhiều so với cách tính thông thường (tìm số số hạng, tìm
tổng, tìm số trung bình cộng).
Với hai tính chất trên giáo viên có thể áp dụng để dạy những loại bài tìm số
trung bình cộng của một dãy số cách đều có số số hạng là chẵn hoặc lẻ. Bên
cạnh đó, giáo viên còn có thể mở rộng để dạy những bài toán ngược (viết dãy số
có số số hạng chẵn hoặc lẻ khi biết trung bình cộng cuả dãy số) rất phù hợp.
Thông thường học sinh cũng có thể vận dụng công thức tìm số trung bình cộng
như đã nêu ở biện pháp 1 nhưng sẽ tốn nhiều thời gian và sẽ không phát huy
được tính sáng tạo của những học sinh khá, giỏi. Do vậy, khi dạy giáo viên cần
sắp xếp các bài tập đảm bảo tính lôgíc, hệ thống, lựa chọn cách giải sao cho phù
hợp và đôi khi cũng cần dạy theo kiểu đảo ngược để khắc sâu kiến thức.
3. Dạy giải toán trung bình cộng dựa vào sơ đồ đồ đoạn thẳng:
(Đối với những loại bài dành cho học sinh năng khiếu)
Dạy giải toán trung bình cộng cũng không phải là dễ đối với học sinh tiểu
học hiện nay. Nhiều bài rất trừu tượng mà học sinh thường tính sai do hiểu chưa
rõ vấn đề. Song với cách giải dựa trên sơ đồ đoạn thẳng sẽ giúp học sinh hiểu

12


vấn đề một cách cụ thể hơn, trực quan hơn. Nếu vận dụng đúng loại bài và
thường xuyên thì có thể học sinh trung bình cũng sẽ làm được.
Các loại bài toán tìm số trung bình cộng giải bằng sơ đồ đoạn thẳng:
Loại 1: Số cần tìm bằng trung bình cộng các số hạng.
Ví dụ:

Bài 1: Một lần Nam, Hùng và Dũng đi câu cá. Dũng câu được 15 con cá,
Hùng câu được 11 con cá. Còn Nam câu được số cá đúng bằng trung bình cộng
số cá của cả 3 người. Đố bạn biết Nam câu được mấy con cá?
Biểu thị tổng số cá 3 người câu được là một đoạn thẳng, chia đoạn thẳng
đó thành 3 phần bằng nhau (chia cho 3 người) thì 1 phần chính là trung bình
cộng của 3 người.
Ta có thể vẽ sơ đồ như sau:
TBC
|

|

Hùng + Dũng
|

|

Nam
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy Số cá Nam câu được tương ứng 1 phần, số cá
của Hùng và Dũng câu được tương ứng 2 phần.
Vậy số cá của Nam câu được là:
(15 + 11) : 2 = 13 (con)
Bài 2: Hoa gấp được 15 cái thuyền, Lan gấp được 12 cái thuyền, Minh
gấp được kém Lan 3 cái thuyền, Hà gấp được số thuyền bằng trung bình cộng
của 4 bạn. Hỏi Hà gấp được bao nhiêu cái thuyền?
Ta vẽ sơ đồ như sau:
TBC
Hoa + Lan + Minh
|
|

|
|
|
Hà
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy số thuyền của Hà gấp được tương ứng 1 phần,
số thuyền của Hoa, Lan và Minh gấp được tương ứng với 3 phần.
Bước 1: Tìm số thuyền của Minh gấp được:
12 – 3 = 9 (cái thuyền)
Bước 2: Tìm số thuyền Hà gấp được:
( 15+ 12 + 9) : 3 = 12 (cái thuyền)
13


Loại 2: Số cần tìm nhiều hơn số trung bình cộng của các số.
Ví dụ: Bốn bạn trồng cây ở vườn sinh vật của lớp. Bạn Lý trồng được 12
cây, bạn Huệ trồng được 15 cây, bạn Hồng trồng được 18 cây, bạn Lan tự hào vì
mình đã trồng được số cây nhiều hơn số trung bình cộng của cả bốn bạn là 3 cây.
Đố bạn biết bạn Lan trồng được bao nhiêu cây?
Đối với bài toán này học sinh vẫn thường hay làm sai. Nếu không vẽ sơ đồ sẽ
rất dễ nhầm với bài toán thuộc loại 1. Tức là lấy (12 + 15 + 18) : 3 + 3 = 18.
Vì vậy, để tránh nhầm lẫn giáo viên cần yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ trước khi
giải bài toán.
Biểu thị tổng số cây 4 bạn trồng được là 1 đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng đó
thành 4 phần bằng nhau (vì có 4 bạn) thì 1 phần là trung bình cộng của 4 bạn.
Ta có sơ đồ như sau:
TBC 3cây
Lý + Huệ + Hồng
|
| |
|

|
|
Lan
Nhìn vào sơ đồ trên ta thấy số cây Lan trồng là 1 phần và 3 cây. Số phần đoạn
thẳng còn lại là số cây của Lý, Huệ và Hồng trồng được. Muốn tìm số cây của
Lan trồng được thì phải tìm 1 phần tương ứng với bao nhiêu cây.
Vậy bài toán được giải như sau:
Bước 1: Tìm số cây Lý, Huệ, Hồng trồng được:
12 + 15 + 18 = 45 (cây)
Bước 2: Tìm số cây Lan trồng được:
(45 + 3) : 3 + 3 = 19 (cây)
Khi dạy giải bài toán giáo viên lưu ý học sinh có thể tính gộp như bước 2
hoặc cũng có thể tách bước 2 thành 2 bước:
Bước 1: Tìm 1 phần tương ứng bao nhiêu cây? (45 + 3) : 3 = 16 (cây)
(HS hiểu 45 + 3 tương ứng với 3 phần bằng nhau)
Bước 2: Tìm số cây Lan trồng được: 16 + 3 = 19 (cây)
Loại 3: Số cần tìm kém số trung bình cộng của các số.
Ví dụ: Bốn bạn Cần, Kiệm, Liêm, Chính góp tiền mua chung nhau cầu
lông và vợt cầu lông. Cần góp 11 000 đồng, Kiệm góp 10 000 đồng, Liêm góp
kém mức trung bình cộng của hai bạn trước là 2 000 đồng. Chính góp kém mức
trung bình của cả 4 người là 2500 đồng. Hỏi Chính góp bao nhiêu tiền?
14


Trong bài toán này học sinh phải tìm được số tiền Liêm, Chính góp là bao
nhiêu? Song giáo viên cũng cần lưu ý cho học sinh khi tìm số tiền Liêm góp thì
không phải vẽ sơ đồ bởi vì Liêm góp kém mức trung bình của Cần và Kiệm mà
đã biết số tiền Cần và Kiệm góp. Còn muốn tìm số tiền Chính góp thì phải dựa
trên sơ đồ đoạn thẳng vì Chính góp kém trung bình cộng của cả 4 người.
Các bước giải như sau:

Bước 1: Tìm số tiền Liêm góp:
(11 000 + 10 000) : 2 – 2000 = 8 500 (đồng)
Bước 2: Vẽ sơ đồ đoạn thẳng:
Cần + Kiệm + Liêm
|
| |
|
|
|
Chính 2500 đ
TBC
Nhìn sơ đồ trên ta thấy 1 phần bằng nhau tương ứng số tiền là:
(11 000 + 10 000 + 8 500 – 2 500) : 3 = 9 000 (đồng)
Bước 3: Tìm số tiền Chính góp:
9 000 – 2 500 = 7 500 (đồng)
Loại 4: Số cần tìm hơn, kém số trung bình cộng của các số.
Trên cơ sở của loại bài 2 và loại bài 3, giáo viên có thể đưa ra những bài
toán có tính chất tổng hợp hơn. Dạng toán này rất phức tạp, nếu không sử dụng
sơ đồ đoạn thẳng thì sẽ rất khó nhận ra hướng giải quyết vấn đề bởi giữa các đại
lượng thường có mối quan hệ, ràng buộc lẫn nhau.
Ví dụ: Tìm 3 số có trung bình cộng lớn hơn số thứ nhất 54 đơn vị, bé hơn
số thứ hai 126 đơn vị và gấp 10 lần số thứ ba.
Khác với bài toán cơ bản, bài toán này cho mối liên hệ giữa trung bình
cộng của 3 số với từng số. Dựa vào điều kiện trung bình cộng gấp 10 lần số thứ
3 ta biết được tỉ số của số trung bình cộng với số thứ 3.
Ta có sơ đồ:
TBC
TBC
TBC
|

|
|
|
| |
ST1
54
126 - 54 ST3
ST2
Nhìn sơ đồ trên ta thấy trung bình cộng của 3 số lớn hơn số thứ 3 là:
126 – 54 = 72
15


Số thứ 3 là: 72 : (10 – 1) = 8
Trung bình cộng của 3 số là: 8 x 10 = 80
Số thứ 2 là: 80 + 126 = 206
Số thứ 1 là: 80 – 54 = 26
* Từ những ví dụ trên cho thấy việc giải toán trung bình cộng dựa trên sơ
đồ đoạn thẳng là cách rất tốt để diễn tả một cách trực quan các điều kiện của bài
toán, nó giúp ta tước bỏ được những cái không bản chất để tập trung vào bản
chất toán học của đề toán. Nhờ đó mà ta có thể nhìn bao quát được toàn bộ bài
toán. Từ đó, dễ dàng tìm ra được sự liên hệ giữa các đại lượng trong đó. Điều
này sẽ giúp nội dung của bài toán được bộc lộ rõ rệt hơn trước mắt học sinh, gợi
ý con đường suy nghĩ để đi đến cách giải một cách cụ thể.
4. Dạy giải toán tìm số trung bình cộng bằng kiến thức đại số:
( Dùng để dạy cho đối tượng học sinh năng khiếu)
Ngoài những cách giải trên, dạng toán trung bình cộng còn có thể giải
bằng cách vận dụng các yếu tố đại số. Cách giải này giúp học sinh phát triển khả
năng suy luận, tư duy lôgic.
Ví dụ:

Bài 1: Trung bình cộng của 2 số là 50, tìm hai số đó biết số này gấp 3 lần
số kia.
Gọi số lớn là a, số bé là b.
Theo bài ra ta có:
(a + b) : 2 = 50 a + b = 50 x 2 = 100 (1)
Vì a = 3 x b (2) nên thay (2) vào (1) ta có: 3 x b + b = 100
4 x b = 100
b = 100: 4 = 25
Thay b = 25 vào (2) ta có:
a = 3 x 25 = 75
Vậy: Hai số cần tìm là: 75 và 25
Bài 2: Trung bình cộng của 3 số là 100. Tìm số thứ 2 biết nó bằng trung
bình cộng của 2 số còn lại.
Coi số thứ nhất là a, số thứ 2 là b, số thứ 3 là c. Ta có:
(a + b + c): 3 = 100
a + b + c = 100 x 3 = 300 (1) mà b = (a + c): 2 nên a + c = 2 x b (2)
Thay (2) vào (1) ta có: b + 2 x b = 300
16


3 x b = 300
b = 300 : 3 = 100
Vậy: Số cần tìm là 100.
Bài 3: Một con gà và một con vịt nặng tất cả là 5 kg, con gà đó và một
con ngỗng nặng tất cả là 9 kg, con ngỗng đó và con vịt đó nặng tất cả 10 kg. Hỏi
trung bình mỗi con nặng mấy kg?
Coi số con gà là G, số con ngỗng là N, số con vịt là V.
Theo bài ra ta có: G + V = 5 kg (1)
G + N = 9 kg (2)
N + V = 10 kg (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta có: 2 x G + 2 x V + 2 x N = 5 + 9 + 10 = 24 kg
2 x (G + V + N) = 24 kg
G+V+N
= 24 : 2 = 12 kg
Vậy trung bình mỗi con nặng là:
12 : 3 = 4 kg
* Tìm số trung bình cộng bằng cách giải đại số là cách giải hay nhằm phát
triển tư duy cho học sinh có năng khiếu về môn Toán. Với cách giải này thì
những ngôn ngữ viết đều được thể hiện ngắn gọn dưới dạng phép tính, biểu thức
có chứa chữ giúp cho học sinh có cách nhìn bao quát, tổng thể hơn. Cách giải
này thường áp dụng cho học sinh khá, giỏi và rất hữu ích cho việc học toán ở
các lớp trên.
II. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM:
Sau khi chỉ đạo thử nghiệm các biện pháp trên vào trong giảng dạy dạng
toán tìm số trung bình cộng cho học sinh đại trà cũng như học sinh giỏi lớp 4.
Chất lượng giải toán về trung bình cộng bước đầu đã có những thành công đáng
kể. Kết quả khảo sát chất lượng giải toán tìm số trung bình cộng của học sinh
khối 4, năm học 2016 – 2017 đạt được như sau:
Số
học sinh
62

Hoàn thành tốt
SL
%
24
38.7

Hoàn thành
SL

%
38
61.3

Chưa hoàn thành
SL
%
0
0

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
17


I. KẾT LUẬN CHUNG.
Từ khi nắm bắt được những tồn tại, hạn chế của giáo viên trong việc dạy
giải toán tìm số trung bình cộng, bản thân tôi đã trăn trở tìm hiểu tài liệu, sách
vở và kết hợp kinh nghiệm trong chuyên môn để đưa ra những biện pháp nhằm
nâng cao chất lượng dạy giải toán tìm số trung bình cộng trong nhà trường. Sau
khi hoàn tất, tôi đã triển khai tới toàn thể giáo viên và thử nghiệm vào giảng dạy
chính khóa cũng như dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong năm học 2015 - 2016,
tôi trực tiếp dạy thử nghiệm không còn cảm thấy lúng túng bởi tất cả phương
pháp dạy cũng như hệ thống bài tập đưa ra đều đảm bảo tính khoa học, lôgic và
có thể áp dụng cho mọi đối tượng học sinh. Dựa trên sự phân loại bài tập từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giáo viên có thể lựa chọn áp dụng loại bài
cũng như cách giải từng loại bài cho phù hợp với đối tượng học sinh lớp mình
giảng dạy. Bên cạnh đó là những cách giải dễ hiểu, cụ thể, ngắn gọn. Học sinh
cảm thấy dạng toán tìm số trung bình cộng không còn khó như trước nữa, phần
đa các em rất thích làm dạng toán này và chất lượng đã có những chuyển biến
tích cực.

Tôi hi vọng sáng kiến nhỏ này có thể đóng góp một phần nhỏ bé giúp cán
bộ quản lý cũng như giáo viên có thể áp dụng vào giảng dạy ở đơn vị mình
nhằm nâng cao chất lượng giáo dục trong các trường tiểu học. Kinh nghiệm này
cũng có khả năng áp dụng cho các trường tiểu học ở các vùng miền khác nhau.
Tuy nhiên nó còn phụ thuộc vào yếu tố chủ quan của từng địa phương mà hiệu
quả đạt được cao hay thấp.
2. KIẾN NGHỊ:
Để không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục, cùng với sự nỗ lực chung của
tập thể cán bộ giáo viên trong nhà trường cần có sự quan tâm hỗ trợ đúng mức
của toàn xã hội, trong đó vai trò tổ chức chỉ đạo của các nhà quản lý là một yếu
tố quan trọng. Để cán bộ quản lý cũng như giáo viên có khả năng áp dụng thành
công kinh nghiệm trên vào công tác chuyên môn trong nhà trường, tôi có một số
đề xuất như sau:
- Đối với Ngành: Cần có thêm chính sách hỗ trợ cho giáo viên, cung cấp
thêm những tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học.

18


-

Đối với chính quyền các cấp: Cần ưu tiên đầu tư cho giáo dục về cơ sở

vật chất, trang thiết bị dạy học, hỗ trợ nhà trường trong công tác xã hội hóa giáo
dục.
Đối với giáo viên trực tiếp đứng lớp: Cần nghiên cứu kỹ bài dạy, tập
trung đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các hình thức dạy học phù hợp để
nâng cao chất lượng giáo dục.
Với thời gian và khả năng có hạn nên tôi chỉ nêu lên một số biện pháp dạy
giải toán trung bình cộng sao cho đạt hiệu quả nhằm đóng góp một phần nhỏ vào

việc nâng cao chất lượng giáo dục trong trường tiểu học. Rất mong nhận được
sự quan tâm đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các nhà quản lý giáo dục.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép của người khác.
Người thực hiện

19