chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp THPT môn toán có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (170.78 KB, 28 trang )
CHUYÊN ĐỀ CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
1.
Bài toán lập số
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng
cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.
A. 151200
B. 846000
C. 786240
Câu 2. Từ các chữ số
D. 907200
0, 1, 2, 3, 5, 8
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một
khác nhau và phải có mặt chữ số 3?
A.
36
số
B.
108
số
C.
228
số
D.
144
số
Câu 3. Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào
đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị?
A. 32
B. 16
C. 80
D. 64
Câu 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 số sao cho trong mỗi số tự nhiên đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số
đứng trước nó.
A. 60480
B. 84
C. 151200
D. 210
Câu 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và tho mãn
điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2?
A. 720 số
B. 360 số
C. 288 số
D. 240 số
Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 được
xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chữ số 6 luôn đứng trước chữ số 5
A. 544320.
B. 3888.
C. 22680.
D. 630.
Câu 7. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số
5, 6, 7, 8, 9.
Tính tổng tất các số thuộc tập S.
A.
9333420
B.
46666200
C.
9333240
D.
46666240
2. Bài toán tổ hợp
Câu 8. Trên mặt phẳng có 2017 đường thẳng song song với nhau và 2018 đường thẳng song song khác
cùng cắt nhóm 2017 đường thẳng đó. Đếm số hình bình hành nhiều nhất được tạo thành có đỉnh là các
giao điểm nói trên
A. 2017.2018
Câu 9. Cho
∆ABC
B.
C 42017 + C 42018
C.
2
C 22017 .C 2018
D.
2017 + 2018
có 4 đường thẳng song song với BC, 5 đường thẳng song song với AC, 6 đường
thẳng song song với AB. Hỏi 15 đường thẳng đó tạo thành bao nhiêu hình thang (không kể hình bình
hành).
A. 360
B. 2700
C. 720
D. Kết quả khác
Câu 10. Trên mặt phẳng cho hình 7 cạnh lồi. Xét tất cả các tam giác có đỉnh là các đỉnh của hình
đa giác này. Hỏi trong số các tam giác đó, có bao nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đểu không
phải là cạnh của hình 7 cạnh đã cho ở trên?
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
Câu 11. Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được
tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách
tô?
A. 360
B. 480
C. 600
D. 630
Câu 12. Biển số xe ở thành phố X có cấu tạo như sau:
Phần đầu là hai chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh (có 26 chữ cái)
Phần đuôi là 5 chữ số lấy từ
{ 0;1; 2;...;9} .
Ví dụ
HA 135.67
Hỏi có thể tạo được bao nhiêu biển số xe theo cấu tạo như trên
A.
262.104
B.
26.105
C.
262.105
D.
262.102
Câu 13. Cho tập hợp A có n phần tử
( n > 4)
số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm
26
. Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp
k ∈ { 1, 2, 3,..., n}
lần
sao cho số tập con gồm k phần tử của A là
nhiều nhất.
A.
k = 20
B.
k = 11
Câu 14. Xét bảng ô vuông gồm
hoặc
−1
4× 4
C.
k = 14
D.
k = 10
ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số
sao cho tổng các số trong mỗi hang và tổng các số trong mỗi cột đều bằng
0
. Hỏi có bao nhiêu
cách?
A.
72
B.
90
C.
80
D.
144
3. Đẳng thức tổ hợp
Câu 15. Tính tổng S=
1010
1011
2018
C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018
(trong tổng đó, các số hạng có dạng
C k2018
với k
nguyên dương nhận giá trị lien tục từ 1009 đến 2018)
A. S=
C.
S=2
2017
D.
1
− C1009
2018
2
S=
Câu 16. Tính tổng
1
2018
S=
C4036
2018
A.
B. S=
22018 − C1009
2018
1
22017 + C1009
2018
2
S = 22017 − C1009
2018
2
2
1
2
2017 2017 2 2018 2018 2
1
2
C2018
+
C2018
+ ... +
(
)
(
)
( C2018 ) + 1 ( C2018 )
2018
2017
2
S=
B.
1
2018
C4036
2018
S=
C.
2018 1009
C2018
2019
S=
D.
1
2018 2018
C4036
2019
Câu 17. Rút gọn tổng sau
S=
A.
22018 − 1
3
2018
S = C 22018 + C52018 + C82018 + ... + C2018
22019 + 1
3
S=
B.
S=
C.
22019 − 1
3
S=
D.
22018 + 1
3
−1) nCnn
(
−C1n 2Cn2 3C3n
S=
+
−
+ ... +
2.3 3.4 4.5
( n + 1) ( n + 2 )
n
Câu 18. Cho số nguyên dương n, tính tổng
A.
−n
( n + 1) ( n + 2 )
Câu 19. Cho tổng
A.
22018
B.
2n
( n + 1) ( n + 2 )
2
2017
S = C12017 + C2017
+ ... + C2017
B.
n
C.
( n + 1) ( n + 2 )
D.
−2n
( n + 1) ( n + 2 )
. Giá trị tổng S bằng:
22017
C.
22017 − 1
D.
22016
Câu 20. Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn
C0n C1n Cn2
Cnn
2100 − n − 3
+
+
+ ... +
=
1.2 2.3 3.4
( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 1) ( n + 2 )
A.
n = 100
B.
n = 98
C.
n = 99
D.
n = 101
Câu 21. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho
(
)
S = 2 + ( C10 + C02 + ... + C0n ) + C11 + C12 + ... + C1n + ... + ( Cnn −−11 + C nn −1 ) + C nn
A.
3
B.
1
C.
M=
Câu 22. Tính giá trị của biểu thức
Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+ 3 + Cn2+ 4 = 149
An4+1 + 3 An3
,
( n + 1) !
0
biết rằng
là một số có 1000 chữ số.
D.
2
M=
A.
3
4
Câu 23. Tìm
A.
M=
B.
n ∈ Z+
n = 2008
sao cho
.
Câu 24. Tính tổng
S=
A.
1
420
A.
C.
n = 1008
15
9
M=
D.
17
25
.
C.
n = 2006
.
D.
n = 1006
.
1 0 1 1 1 2 1 3
1 18 1 19
C19 − C19 + C19 − C19 + ... + C19
− C19
2
3
4
5
20
21
S=
.
Câu 25. Tính tổng
M=
1 0 1 1 1 2 1 3
1
1
C n − C n + C n − C n + ... + ( −1) n
Cnn = 1
2
4
6
8
2n + 2
A 2018
B.
S=
4
3
B.
1
240
S=
.
C.
1
440
S=
.
D.
1
244
.
1 1
1 2
1
0
S = C2017
+ C2017
+ C2017
+ ... +
C 2017
2
3
2018 2017
22017 − 1
2017
B.
22018 − 1
2018
C.
22018 − 1
2017
D.
22017 − 1
2018
2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 4 − 1 3
2 n +1 − 1 n
S= C +
Cn +
Cn +
Cn + ... +
Cn
2
3
4
n +1
0
n
Câu 26. Tính tổng
A.
3n + 2 − 2n + 2
S=
n+2
B.
3n +1 − 2 n +1
S=
n +1
C.
3n + 2 + 2n + 2
S=
n+2
D.
3n +1 + 2n +1
S=
n +1
4. Nhị thức Niu tơn
Câu 27. Hệ số của
A. 20
( 1+ x ) ( 1+ y)
6
x 3 y3
trong khai triển
B. 800
6
là
C. 36
D. 400
Câu 28. Tìm hệ số của
x
5
trong khai triển
A. 252
( 1+ x + x
2
B. 582
Câu 29. Khi triển
A = ( 1+ x2 )
n
D. 7752
= a 0 + a1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a 2m + n x 2m + n
. Biết rằng
a 0 + a1 + a 2 + ... + a 2m + n = 512, a10 = 30150
A. – 33265
10
C. 1902
( 1 − 2x )
m
+ x3 )
. Hỏi
a19
B. – 34526
bằng:
C. – 6464
D. – 8364
n
Câu 30.Tìm hệ số của
x 26
1
7
4 +x ÷
x
trong khai triển
biết n thỏa mãn biểu thức sau
2
n
20
C12n +1 + C2n
− 1.
+1 + ... + C 2n +1 = 2
A.
210
B.
126
C.
462
D.
924
m
Câu 31.Trong khai triển nhị thức
2 x 16 32
16 +
÷ ,
8
2x ÷
cho số hạng thứ tư trừ số hạng thứ sáu bằng
56, hệ số của số hạng thứ ba trừ hệ số của số hạng thứ 2 bằng 20. Giá trị của x là
A.
−1
B. 2
(2
x
C. 1
+ 2−2x )
D.
−2
n
Câu 32.Trong khai triển
, tổng hệ số của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là 36, số hạng
thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai. Tìm x?
x=
A.
1
3
Câu 33. Đa thức
x=
B.
P ( x ) = ( x − 1)
2n
1
2
+ x ( x + 1)
x=−
C.
2n −1
1
2
( n ∈ ¥ , n ≥ 3)
x=−
D.
viết lại thành
1
3
P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a 2n x 2n .
Hãy tính giá trị của
A.
a3
Đặt
T = a 0 + a 2 + a 4 + ... + a 2n
B.
a3 = 1
C.
( 1 − 3x + 2 x )
2 2017
Câu 34. Cho khai triển
A. 9136578
( 1+ x + x )
2
Câu 35. Cho khai triển
a3
14
S = 310.
=
B.
A.
n
, với
khi đó tổng
S = a0 + a1 + a2 + ... + a2n
S = 311.
C.
9
n≥2
11
và
D.
(1+ x)
. Tính tổng các hệ số
a0, a1, a2,..., a2n
bằng
12
S = 313.
.
Khai triển và rút gọn ta
ai , i = 0,1, 2,...,12
C. 0
D. 7920
P ( x ) = ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) ... ( 1 + 2017 x ) = a0 + a1 x + ... + a2017 x 2017
Tính giá trị
1 2
1 + 2 2 + ... + 2017 2 ) .
(
2
2
A.
a3 = 3
.
S = 312.
12
B. 7936
Câu 37. Cho khai triển
biểu thức
10
P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + a12 x
2
T = a2 +
.
D. 18302258
= a0 + a1x + a2x2 + ... + a2n x 2n
p ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x)
A. 5
a2
C. 8132544
8
được đa thức:
D.
. Tìm
a4
41
a3 = 2
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ...a4034 x 4034
B. 16269122
Câu 36. Cho đa thức
T = 768
.
a3 = 0
là các hệ số. Biết rằng
, cho biết
2016.2017
÷
2
Câu 38. Cho đa thức
2
B.
2017.2018
÷
2
P ( x ) = ( 2x − 1)
1000
2
C.
1 2016.2017
.
÷
2
2
.
Khai triển và rút gọn ta được
2
D.
1 2017.2018
.
÷
2
2
P ( x ) = a1000 x1000 + a 999 x 999 + ... + a 1x + a 0 .
A.
C.
Đẳng thức nào sau đây đúng
a1000 + a 999 + ... + a1 = 0
B.
a1000 + a 999 + ... + a1 = 1
D.
a1000 + a 999 + ... + a1 = 21000 − 1
a1000 + a 999 + ... + a1 = 21000
Câu 39. Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức Niu Tơn
( 2 + x)
n
, biết rằng
C0n .3n − C1n .3n −1 + C2n .3n − 2 − C3n .3n −3 + ... + ( −1) C nn = 2048
n
A. 12
B. 21
C. 22
(1+ x + x
Câu 40. Cho khai triÓn
r»ng:
2
1
15
C150 a15 − C15
a14 + C152 a13 − ... − C15
a0 = −15
Câu 41. Cho
sao cho
n∈¥ *
và
ak −1 ak ak +1
=
=
2
9
24
A. 10
( 1+ x)
. Tính
n
là các hệ số. Tính tổng
S = 310
Câu 43. Hệ số của
A. 2901
15
. Biết rằng tồn tại số nguyên
x9
k ( 1 ≤ k ≤ n − 1)
n=?
( 1+ x+ x )
C. 20
n
D. 22
= a0 + a1x + a2x2 + ... + a2nx2n
S = a0 + a1 + a2 + ... + a2n
B.
. Chøng minh
.
= a0 + a1 x + ... + an x n
2
A.
+ ... + x14 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a210 x 210
B. 11
Câu 42. Cho khai triển
D. 23
S = 312
với v
a3
biết
14
C.
=
D.
S = 212
f ( x ) = ( 1 + x ) + ( 1 + x ) + ... + ( 1 + x )
9
B. 3001
và
a0, a1, a2,..., a2n
a4
41
S = 210
sau khi khai triển và rút gọn đa thức
n≥ 2
C. 3010
10
D. 3003
14
là:
ĐÁP ÁN
CHUYÊN ĐỀ CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
2.
Bài toán lập số
Câu 1. Đáp án A
Lời giải:
Gọi số có 8 chữ số thỏa mãn đề bài là
a1a2 ...a8
+ Chọn vị trí của 3 chữ số 0 trong 7 vị trí a2 đến a8: Vì giữa 2 chữ số 0 luôn có ít nhất 1 chữ số khác 0, nên
ta chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để điền các số 0, sau đó thêm vào giữa 2 số 0 gần nhau 1 vị trí nữa ⇒ Số cách
chọn là
C53 = 10
.
+ Chọn các số còn lại: Ta chọn bộ 5 chữ số (có thứ tự) trong 9 chữ số từ 1 đến 9, có
chọn
Vậy số các số cần tìm là 10.15120 = 151200 (số)
Câu 2. Đáp án B
A95 = 15120
cách
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ các số trên có:
3.4.4.3 = 144
số
Xét các số lẻ có 4 chữ số được lập từ 4 số trên và không có mặt chữ số 3 có:
Do đó có
144 − 36 = 108
2.3.3.2 = 36
số
thỏa mãn.
Câu 3. Đáp án D
2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2
_ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2
Chọn 5 vị trí cho số 2, có 2 cách là
Và 5 vị trí trống còn lại có thể là số 1 hoặc 3
Vậy có tất cả
2.25 = 64
⇒
có
25
cách
số cần tìm
Câu 4. Đáp án B.
Số đang xét có dạng
a ≠ 0
abcdef ,
⇒ a, b, c, d, e, f ∈ ( 1; 2;3;...;9 )
a < b < c < d < e < f
Mỗi bộ gồm 6 chữ số khác nhau lấy trong tập chỉ cho ta một số thỏa mãn điều kiện trên. Do đó số các số
tìm được là
C96 = 84
Câu 5. Đáp án D
abcdef
Gọi
TH1:
TH2:
là số cần lập. Suy ra
f =2⇒
f =6⇒
có
có
f ∈ { 2; 4;6} , c ∈ { 3; 4;5; 6}
1.4.4.3.2.1 = 96
1.3.4.3.2.1 = 72
cách chọn
cách chọn
. Ta có
TH3:
f =6⇒
có
1.3.4.3.2.1 = 72
96 + 72 + 72 = 240
Suy ra
cách chọn.
số thỏa mãn đề bài
Câu 6. Đáp án C
Gỉa sử số cần tìm có 10 chữsố khác nhau tương ứng với 10 vị t r í .
Vì chữố 0 không đứng vị tríi đầu tiên nên có 9 cách xếp vị trí cho chữ số 0 .
Có
A39
cách xếp các chữ số 7; 8 ;9 vào 9 vị trí còn lại .
Vì chữ số 6 đứng trước chữ số 5 nên có 5 cách xếp vị trí cho chữ số 6 và 1 cách xếp cho các chữ số
1;2;3;4;5 theo thứ tự tăng dần. Theo quy tắc nhân
9.5.A 39 = 22680
số thoảmãn.
Câu 7. Đáp án C
Số phần tử của tập S là
5! = 120
số.
5, 6, 7,8,9
Mỗi số
có vai trò như nhau và xuất hiện ở hàng đơn vị
Tổng các chữ số xuất hiện ở hàng đơn vị là
4! = 24
lần
4!. ( 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) = 840
Tương tự với các chữ số hàng chục, hàng tram, hàng nghìn và hàng chục nghìn.
Vậy tổng tất cả các số thuộc tập S là
2. Bài toán tổ hợp
Câu 8. Đáp án
840. ( 104 + 103 + 102 + 10 + 1) = 9333240.
Muốn thành một hình bình hành thì cần lấy 2 đường thẳng của nhóm 2017 cắt với 2 đường thẳng của
nhóm 2018. Chọn 2 đường thẳng trong nhóm 2017 có
C
2018 có
2
2018
C
cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân có
C 22017
2
2017
.C
cách chọn. Chọn 2 đường thẳng trongnhóm
2
2018
(Dethithpt.com)
cách chọn
Câu 9. Đáp án C
Gọi
Gọi
Gọi
D1 ,...D 4
∆1 ,...∆ 5
d1 ,...d 6
là 4 đường thẳng song song với BC.
là 5 đường thẳng song song với AC.
là 6 đường thẳng song song với AB.
Cứ 2 đường thẳng song song và hai đường thẳng không song song tạo thành một hình thang.
Vậy số hình thành là
C24 .C15 .C16 .C52 .C14 .C62 .C14 .C15 = 720
Câu 10. Đáp án A
Số tam giác tạo bởi các đỉnh của đa giác là
C37 = 35
Số tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác là 7
Số tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác là
7.3 = 21
Vậy số tam giác tạo bởi đỉnh của đa giác và không có cạnh trùng với cạnh của đa giác là
35 − ( 7 + 21) = 7
tam giác.
(Dethithpt.com)
Câu 11. Đáp án D
Chú ý 4 cạnh khác nhau
Có
C64
cách chọn 4 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 4 màu thì có
4! = 24
cách tô màu khác nhau
Có
Có
C63
C62
cách chọn 3 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 3 màu, có
cách chọn 2 màu khác nhau khi đó có:
Tổng cộng:
24.C64 + 4.3C63 + 2.C62 = 630
2.1 = 2
4.3 = 12
cách tô
(Dethithpt.com)
cách tô
cách
Câu 12. Đáp án C
Để tạo một biển số xe ta thực hiện các bước sau:
+ Chọn hai chữ cái cho phần đầu có
+ Chọn 5 chữ số cho phần đuôi có
Vậy có thể tạo ra được
262.105
262
105
(mỗi chữ có 26 cách chọn)
(mỗi chữ số có 10 cách chọn)
biển số xe
Câu 13. Đáp án D
Ta có:
C8n = 26C4n ⇔
n!
n!
= 26
⇔ ( n − 7 ) ( n − 6 ) ( n − 5 ) ( n − 4 ) = 13.14.15.16
8!( n − 8 ) !
4!( n − 4 )
⇔ n − 7 = 13 ⇔ n = 20
Số tập con gồm k phần tử của A là:
C k20 ⇒ k = 10
thì
C k20
nhỏ nhất.
Câu 14. Đáp án A
Xét 1 hàng (hay 1 cột bất kì). Giả sử trên hàng đó có
đó là
x− y
. Theo đề bài có
x− y =0⇔ x = y
x
y
số 1 và
số -1. Ta có tổng các chữ số trên hàng
.
Lần lượt xếp các số vào các hàng ta có số cách sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cách)
3. Đẳng thức tổ hợp
Câu 15. Đáp án B
Áp dụng công thức:
Ta có:
Xét
C kn = C nn − k , C 0n + C1n + C 2n + ... + C nn = 2n
1010
1011
2018
S = C1009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018
S' = C 02018 + C12018 + C22018 + ... + C1009
2018
0
1
2009
2010
2018
2018
2009
S + S' = C 2009
+ C 2019
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2019 + C 2018 + ... + C 2018 = 2
( 1)
0
1
2009
2009
2010
2018
S − S' = C 2009
2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2019 − C 2018 − C 2018 − ... − C 2018 = 0
( 2)
Lấy
Lấy
Lấy
( 1) + ( 2 )
2S = 2
2018
+C
2009
2018
⇒S=2
vế theo vế ta được:
2017
C2009
+ 2018
2
Câu 16. Đáp án D
2
Ta có
Do đó
( n − 1) ! = C k .C k −1
k k 2 k
n!
Cn ) =
= Cnk .
(
÷
÷
n
n k !( n − k ) !
( k − 1) !( n − k ) ! n n −1
0
1
1
2
2017
2018
C2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
Xét khai triển
Hệ số chứa
Hệ số chứa
2017
C4036
=
( 1+ x)
x 2017
x 2017
2018
. ( x + 1) = ( 1 + x )
trong khai triển
trong khai triển
4036
(1+ x)
2018
( 1+ x )
4036
. ( x + 1)
là
0
1
1
2
2017
2018
C2018
.C2018
+ C2018
.C2018
+ ... + C2018
.C2018
=S
là
4036!
4036!
2018 2018 2018
=
.
=
C4036
2017!.2019! 2018!.2018! 2019 2019
S=
Vậy
2018 2018
C4036
2019
Câu 17. Đáp án A
2016
A 2018 = C02018 + C32018 + ... + C 2018
B2018 = C12018 + C42018 + ... + C 2017
2018
C 2018 = C22018 + C52018 + ... + C 2018
2018
Ta có kết quả sau
A 2018 = C 2018 = B2018 − 1
(Có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học, tổng quát
A 6k + 2 = C6k + 2 = B6k + 2 − 1; A 6k +5 = C6k +5 = B6k + 2 5 − 1)
Mặt khác ta có
2018
A 2018 + B2018 + C2018 = C02018 + C12018 + ... + C2018
( 1 + 1)
2018
= 2 2018
⇒ S + ( S + 1) + S = 2
2018
22018 − 1
⇒S=
3
Câu 18. Đáp án A
n = 2⇒S= −
Giải trắc nghiệm:
Với
n=2
=−
thay vào A được
1
6
1
6
nên đáp án B và Csai.
=−
thay vào D được
1
3
.
Câu 19. Đáp án C
Xét khai triển
Thay
( 1+ x )
x = 1
n = 2017
n
= C0n + x.C1n + x 2 .C2n + ... + x n .C nn
vào (*), ta được
( *)
2
2017
22017 = C02017 + C12017 + C2017
+ ... + C2017
⇒ S = 2 2017 − 1.
Câu 20. Đáp án B
Ta có
Cn0 Cn1
Cn0 Cn1
Cnn
Cnn
+
+ ... +
=
+
+ ... +
1.2 2.3
( n + 1) ( n + 2 ) 1 2
( n + 1)
1
∫ ( 1+ x)
Ta có
0
1
n
1
dx = ∫ ( C0n + C1n x + ...Cnn x n ) dx ⇒
0
Cn0 Cn1
Cnn
÷
÷− 2 + 3 + ... + ( n + 2 ) ÷
÷
C0n C1n
Cn
2n +1 − 1
+
+ ... + n =
1
2
n +1
n +1
1
n
n
n n
∫ x ( 1 + x ) dx = ∫ x ( C0 + C1 x + ...Cn x ) dx
n
0
0
1
⇔ ∫ ( 1+ x)
n +1
0
1
dx − ∫ ( 1 + x )
0
( 1+ x)
⇔
n+2
n+2
−
(1+ x)
n +1
1
dx = ∫ ( C0n x + C1n x 2 + ...Cnn x n +1 ) dx
0
0 C n x 2 C n x3
C n x n+2 1
÷ = 0 + 1 + ... + n
÷
1
n +1 ÷
3
n+2 0
2
n +1
C0n C1n
Cnn
n 2n+1 + 1
⇔
+
+ ... +
÷=
3
n + 2 ( n + 1) ( n + 2 )
2
Như vậy
C 0 C1
Cn0 Cn1
Cnn
Cnn
+
+ ... +
= n + n + ... +
1.2 2.3
( n + 1) ( n + 2 ) 1 2
( n + 1)
=
Cn0 Cn1
Cnn
−
+
+
...
+
÷
÷ 2
3
( n + 2)
2n +1 − 1
n2 n+1 + 1
2n+ 2 − n − 3
2100 − n − 3
−
=
=
⇒ n = 98
n + 1 ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 1) ( n + 2 )
Câu 21. Đáp án A
Phương pháp :
+) Nhóm các tổ hợp có chỉ số dưới bằng nhau.
÷
÷
n
( 1 + n ) = ∑ Ckn = C0n + C1n + Cn2 + ...C nn = 2n
n
k =0
+) Sử dụng tổng
+) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
+) Để S là số có 1000 chữ số thì
10999 ≤ S ≤ 101000
Cách giải:
S = 2 + ( C10 + C02 + ... + C0n ) + ( C11 + C12 + ... + C1n ) + ... + ( C nn −−11 + C nn −1 ) + C nn
S = 2 + ( C 10 + C11 ) + ( C02 + C12 + C22 ) + ( C30 + C13 + C32 + C33 ) + ... + ( C 0n + C1n + C 2n + ... + C nn )
(1+ n)
n
n
= ∑ C kn = C 0n + C1n + C2n + ...C nn = 2 n
Xét tổng
k =0
S = 2 + 21 + 2 2 + 23 + ... + 2 n = 2 +
2 ( 1 − 2n )
Từ đó ta có:
1− 2
= 2 + 2 ( 2 n − 1) = 2 n +1
Để S là số có 1000 chữ số thì
10999 ≤ 2n +1 ≤ 101000 ⇔ log 2 10999 − 1 ≤ n ≤ log 2 101000 − 1 ⇔ 3317, 6 ≤ n ≤ 3320,9
n là số nguyên dương
⇒ n ∈ { 3318;3319;3320}
Câu 22. Đáp án A
Từ đề bài ta có
Cn2+1 + 2Cn2+ 2 + 2Cn2+3 + Cn2+ 4 = 149
⇔
( n + 1) ! + ( n + 2 ) ! + ( n + 3) ! + ( n + 4 ) ! = 149
2 ( n − 1) !
n!
( n + 1) ! 2 ( n + 2 ) !
⇔ 6n 2 + 24n + 28 = 298
⇔ n = 5 ∪ n = −9
Vậy n=5
T
Câu 23. Đáp án B
(1 − x) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + ( −1) n Cnn x n
Lấy tích phân 2 vế ta được:
1
∫ (1 − x)
1
n
0
⇔−
dx = ∫ (Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n )dx
0
n +1
(1 − x)
n +1
1
x2
x3
x n +1 1
= (Cn0 .x − Cn1 + Cn2 + ... + ( −1) n Cnn
)
0
2
3
n +1 0
1
1
1
1
= Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1) n
Cnn
n +1
2
3
n +1
1
1
1
1
1
⇔
= Cn0 − Cn1 + Cn2 + ... + (−1) n
Cnn
2( n + 1) 2
4
6
2n + 2
1
1
⇒
= 1 ⇒ 2(n + 1) = 2018 ⇒ n = 1008
2( n + 1) A2018
⇔
Câu 24. Đáp án A
( 1 − x ) = C190 − C191 x + C192 x 2 − C193 x 3 + ... + C1918 x18 − C1919 x19
19
⇒ x ( 1 − x ) = C190 x − C191 x 2 + C192 x3 − C193 x 4 + ... + C1818 x18 − C1919 x19
19
1
1
⇒ ∫ x ( 1 − x ) dx = ∫ ( C190 x − C191 x 2 + C192 x3 − C193 x 4 + ... + C1918 x19 − C1919 x 20 ) dx
19
0
0
1
∫( C
0
0
21
1 2
3 4
21 22
x − C21
x + C212 x 3 − C21
x + ... + C2120 x 21 − C21
x ) dx =
1
∫ x ( 1− x)
0
S=
Vậy
19
0
dx = = ∫ ( 1 − t )t 19 dt =
1
1
C210 C21
C2 C3
C18 C 19
−
+ 21 − 21 + ... + 19 − 19
2
3
4
5
20 21
1
420
1 0 1 1 1 2 1 3
1 18 1 19
1
C19 − C19 + C19 − C19 + ... + C19
− C19 =
2
3
4
5
20
21
420
Câu 25. Chọn đáp án B
0
1
2
2017 2017
f (x) = (1+ x)2017 = C2017
+ C2017
x + C2017
x2 + ... + C2017
x
Xét
1
1
0
1
2
2017 2017
⇒ ∫ (1+ x)2017dx = ∫ C2017
+ C2017
x + C2017
x2 + ... + C2017
x
dx
0
0
1
1
0
(1+ x)2018
1 1
1 2
1
2017 2018
⇔
= C2017
x + C2017
x2 + C2017
x3 + ... +
C2017
x
2018
2
3
2018
0
0
⇔
22018 − 1
=S
2018
Câu 26. Đáp án là B
a
a
0
1
n n
∫ ( 1 + x ) dx = ∫ ( Cn + Cn x + ... + Cn x ) dx ⇔
n
0
0
+) Cho
+) Cho
a =1
a=2
Cn0 +
ta có
ta có
Từ
n +1
n +1
|oa = Cn0 x +
Cn1 2
C n 2 n 3n +1 − 1
+ ... + n =
( 2)
2
n +1
n +1
2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 4 − 1 3
2n +1 − 1 n 3n +1 − 2 n +1
Cn +
Cn +
C n + ... +
Cn =
2
3
4
n +1
n +1
4. Nhị thức Niu tơn
Câu 27. Đáp án D
( 1+ x ) ( 1+ y)
6
6
Cn1 x
C n xn
+ ... + n |0a
2
n +1
Cn1
Cn
2n +1 − 1
+ ... + n =
( 1)
2
n +1
n +1
Cn0 2 +
( 1) , ( 2 ) ⇒ S = C0n +
( 1+ x)
2
6
6
6
= ∑ Ck6 x k ÷ ∑ C6k y k ÷ = ∑ ( Ck6 ) x k yk
k =0
k =0
k =0
x 3 y3 ⇒ k = 3 ⇒ a 3 = ( C36 ) x 3 y3 = 400x 3 y 3
2
Số hạng chứa
Câu 28.
(1+ x + x
2
+ x 3 ) = ( 1 + x ) + x 2 ( 1 + x ) = ( 1 + x 2 ) ( 1 + x )
10
10
10
Áp dụng khai triển nhị thức Newton, ta có:
10
10
( 1 + x 2 ) ( 1 + x ) = ∑ C10k .x 2 k .∑ C10m .xm ( k , m ∈ ¢ )
k =0
k =0
10
x5
Để tìm hệ số của
Vậy hệ số của
x5
ta cho
là :
2k + m = 5 ⇔ ( k ; m ) ∈ { ( 0;5 ) ; ( 1;3 ) ; ( 2;1) }
1
1
C100 .C105 + C10
.C103 + C102 .C10
= 1902
Câu 29. Đáp án D
x = 1 ⇒ 2m. ( −1) = 29 ⇒ m = 9
n
Cho
( 1 + x ) ( 1 − 2x )
2 9
n
Khai triển
9
n
9
Và
i
k = 0 i =0
i
k =0 i =0
Nếu
n
= ∑∑ C9k Cin ( −1) .2i.x 2k +i
⇒ a10 = ∑∑ C9k Cin ( −1) .2i
Trong đó
và n chẵn
với
k + i = 10
i ≤ m ≤ 10, i M2
n = 10
thì các cặp
( k;i )
thỏa
2k + i = 10
là
( 5;0 ) , ( 4; 2 ) , ( 3; 4 )
2
4
a10 = C59 + C94 .C10
.23 + C93 .C10
.24 + ... = 305046 > 30150
Nếu
n =8
thì
(loại)
a10 = C59 + C94 .C82 .23 + C39 .C84 .2 4 + ... = 108318 > 30150
(loại)
Nếu
n=6
thì
a10 = C59 + C94 .C62 .23 + C39 .C 64 .2 4 + C 92 .C66 .2 6 = 30150
A = (1+ x2 )
19
9
trong đó
Các cặp
6
i
k = 0 i =0
và i lẻ.
( k;i ) = ( 9;1) , ( 8;3) , ( 7;5 )
a19 = C99C16 . ( −1) .2 + C89 .C36 . ( −1) .23 + C97 .C56 . ( −1) .25 = −8364
5
Câu 30. Đáp án A
Biểu thức đã cho viết thành
Mà
C02n +1 + C12n +1 + ... + C22n +1 = 220
n
2n +1
2n +1
C02n +1 + C12n +1 + ... + C2n
+1 + ... + C 2n +1 = 2
Do tính chất
2n +1− k
C k2n +1 = C 2n
+1
nên
n
2n +1
2 ( C02n +1 + C12n +1 + ... + C2n
⇒ 221 = 22n +1 ⇒ n = 10
+1 ) = 2
Số hạng tổng quát trong khai triển
Hệ số của
x 26
Hệ số đó là
n
k = 0 i =0
3
Vậy
9
( 1 − 2x ) = ∑∑ C9k Cin ( −1) .2i.x 2k +i ⇒ a19 = ∑∑ ( −1) .2i
Do đó
k,i ∈ N
n
(nhận)
trong khai triển là
(x
k
C10
−4
+ x7 )
với
là
k
C10
.x −4( 10− k ) .x 7k
−4 ( 10 − k ) + 7k = 26 ⇒ k = 6
6
C10
= 210. [§ î cph¸thµnhbëiDethithpt.com]
i
với
2k + i = 19
Câu 31. Đáp án C
Theo giả thiết ta có
⇒
C83
C 2m − C1m = 20
m ( m − 1)
− m = 20 ⇒ m 2 − 3m − 40 = 0 ⇒ m = 8
2
( ) .( )
( 3) ( 2 )
2x
5
16
5
16
⇒ 2x −
25
x
3
3
− C85
( ) .( )
( 3) ( 2 )
2x
16
3
16
3
2
2
= 1 ⇒ ( 2x ) − 2x − 2 = −1
x
2
25
x
3
3
= 56
(loại)
∨ 2x = 2
(nhận)
⇒ x =1
Câu 32. Đáp án D.
Theo giả thiết ta có
C1n + C2n = 36
2 x n −2 −2x 2
1
x n −1
−2x 1
Cn ( 2 ) . ( 2 ) = 7C n ( 2 ) . ( 2 )
n+
Phương trình (1) cho
Thay
n =8
n ( n − 1)
= 36 ⇒ n 2 + n − 72 = 0
2
( 2 ) : 22x = 25x +1 ⇒ x = −
vào
1
3
Câu 33. Đáp án A
Khi
x = 1 ⇒ P ( 1) = 22n −1 = a 0 + a1 + a 2 + ... + a 2n
x = −1 ⇒ P ( −1) = 22n = a 0 − a1 + a 2 + ... + a 2n
Suy ra:
22n −1 ( 1 + 2 ) = 2 ( a 0 + a 2 + a 4 + ... + a 2n )
. Giải ra
( 1)
( 2)
n =8
⇒ 22n −1.3 = 2 x 768 ⇒ 22n −1 = 29 ⇒ 2n − 1 = 9 ⇒ n = 5
Vậy
P ( x ) = a 0 + a 1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5
P ' ( x ) = a1 + 2a 2 x + 3a 3x 2 + 4a 4 x 3 + 5a 5 x 4
P '' ( x ) = 2a 2 + 6a 3x + 12a 4 x 2 + 20a 5x 3
P ''' ( x ) = 6a 3 + 24a 4 x + 60a 5 x 2
⇒ P ''' ( 0 ) = 6a 3
Mặt khác ta có:
P ( x ) = ( x − 1)
⇒ P ' ( x ) = 2n ( x − 1)
2n −1
2n
+ x ( x + 1)
+ ( x + 1)
⇒ P '' = 2n ( 2n − 1) ( x − 1)
2n − 2
2n −1
+ ( 2n − 1) x ( x + 1)
+ 2 ( 2n − 1) ( x + 1)
⇒ P ''' = 2n ( 2n − 1) ( 2n − 2 ) ( x − 1)
Ta có:
2n −1
2n − 3
2n − 2
2n − 2
+ ( 2n − 1) ( 2n − 2 ) x ( x + 1)
+ 3 ( 2n − 1) ( 2n − 2 ) ( x + 1)
2n − 3
+ ( 2n − 1) ( 2n − 2 ) ( 2n − 3 ) x ( x + 1)
P ''' ( 0 ) = 6a 3 ⇔ a 3 = 0
Câu 34. Đáp án D
k
k
C2017
Cki ( 2 x 2 ) . ( −3 x )
( 2 x2 − 3x ) = C2017
k
Số hạng tổng quát của khai triển là
k
= C2017
.Cki .2i. ( −3)
Cho
k −i
.x k +1 ( 0 ≤ i ≤ k ≤ 2017 )
k = 2; i = 0
k +i = 2⇒
k = 1; i = 1
2
1
a2 = C2017
.C20 .20. ( −3) + C2017
.C11.21. ( −3) = 18302258
2
Vậy
0
i
2n −3
k −i
2n − 4
Câu 35. Đáp án A
( 1+ x + x )
2
n
(
)
n
= 1 + x 1 + x =
n
∑C
k =0
n
k
(
x 1+ x
k
Ta có
)
k
k k k
= ∑ C x ∑Cj x ÷
k =0
j =0
n
k
n
k
æk k k ö
÷
Þ Tk +1 = Ckn x k ç
Cj x ÷
ç
å
÷
ç
÷
ç
èj =0
ø
Ta tính các số hạng như sau:
T0 = 1 T1 = Cn1Cn2 x + Cn1C11 x 2 = nx; T2 = Cn2Cn0 x 2 + Cn2C21 x 3 + Cn2C22 x 4 ,....
;
Như vậy ta có:
a3 = Cn2C21 + Cn3C20 ; a4 = Cn2C22 + Cn3C31 +Cn4C40
Theo giả thiết
a3 a4
Cn2C21 + Cn3C20 Cn2C22 + Cn3C31 + Cn4C40
= Þ
=
14 41
14
41
n ( n - 1) n ( n - 1) ( n - 2)
n ( n - 1) 3n ( n - 1) ( n - 2) n ( n - 1) ( n - 2) ( n - 3)
+
+
+
2!
3!
3!
4!
Û
= 2!
14
41
2
Û 21n - 99n - 1110 = 0 Þ n = 10
2.
( 1+ x + x )
2
10
= a0 + a1x + a2x2 + ... + a20x 20
Trong khai triển
S = a0 + a1 + a2 + ... + a20 = 310
Câu 36. Đáp án B
Phương pháp:
cho
x =1
ta được
Sn =
u1 ( q n − 1)
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
( a + b)
2
n
= ∑ Cnk a k b n −k
k =0
Áp dụng khai triển nhị thức Newton
( 1 + 1)
2
q −1
n
= ∑ Cnk = 2n
k =0
Sử dụng tổng
Cách giải:
p ( x ) = ( 1+ x ) + ( 1+ x ) + ( 1+ x ) + ( 1+ x) + ( 1+ x )
8
9
( 1 + x ) ( 1 + 5)
13
=
11
12
− 1 ( 1 + x ) 13 − ( 1 + x ) 8 ( 1 + x ) 13 ( 1 + x ) 8
=
=
−
1 + x −1
x
x
x
8
=
10
∑C
m =0
m
13
8
xm
=
x
5
∑C
n=0
n
8
xn
x
13
8
m =0
n =0
= ∑ C13m x m −1 − ∑ C13n x n −1
1
13
⇒ a0 + a1 + a2 + ... + a12 = ( C13
− C81 ) + ( C132 − C82 ) + ... + ( C138 − C88 ) + C139 + ... + C13
13
8
a =1
b =1
∑ C13a − ∑ C8b
( 1 + 1)
Xét tổng
2
n
13
k =0
a =1
= ∑ Cnk = 2n ⇒ ∑ C13a = 28 − C80 = 28 − 1
⇒ a0 + a1 + a2 + ... + a12 = 213 − 1 − 28 + 1 = 7936
Câu 37. Đáp án D
12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 =
Ta có
n ( n + 1) ( 2n + 1)
6
1 + 2 + 3 + ... + n 2 =
và
n ( n + 1)
2
