Đề thi HSG toán 8 năm 2016 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2016-2017
Đề chính thức
MÔN:TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 02 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1. Cho biết x 2  6 x  13  x 2  6 x  10 1 .
Giá trị của biểu thức
A. 4

x 2  6 x  13  x 2  6 x  10 là:

B. 3

Câu 2. Cho biểu thức M =

C. 2
1

2 1 1 2



1
3 2 2 3



D. 1
1

4 3 3 4

 ... 

1
2017 2016  2016 2017

Giá trị của biểu thức M là:
A.

2016  1
2016

B.

2016

C.

2016  1

2017  1
2017

D.

2017

2017  1

Câu 3. Cho ba điểm A(-1;6); B(-4;4), C(1;1). Tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD là:
A. (3; -4)
B.(-4; 3)
C.(4; -3)
D. (4;3)
(d)
Câu 4. Cho đường thẳng y = (m - 2)x + 2 . Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến
đường thẳng (d) bằng 1 là:
C. 3 2
A. 2- 3
B. 2 + 3
D. 2 3
Câu 5. Gọi góc tạo bởi đường thẳng (d): y = 2017(x - 1) + 2016 với trục
hoành là αo.
Vậy tan(180 - α)o có giá trị là:
A

1
2017

B.

2016
2017

C. -2017

D. 2017

Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x  1  x 2  2 x  5 là:
A. 1
B. -1
C. 4
D. 2
Câu 7. Cặp số (x;y) thỏa mãn phương trình 3x2 - 6x + y - 2 = 0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất
là:
A. (3;-2)
B. (-1; 4)
C. (1; 5)
D. (-1;5)
Câu 8. Cho phương trình bậc hai x 2  mx 

1
 0 (m �0) . Biết phương trình luôn có 2
2m 2

nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m. Giá trị nhỏ nhất của x14 + x24 là:
A. 2
B. 1  2
C. 2 + 2
D. 3+ 2
Câu 9. Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 8cm, CD =12cm. Điểm M thuộc AB sao cho
DM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Độ dài đoạn BM là:
A. 2cm
B. 2,4cm
C. 3cm
D. 3,4cm
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết

AD =10cm, AE =15cm. Độ dài đoạn BC là:
A. 3 65 cm
B. 2 65 cm
C. 65 cm
D. 4 65 cm
Câu 11. Cho tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng
với cạnh huyền bằng 7cm. Diện tích tam giác vuông đó là:
A. 36
B. 72
C.144
D. 288


Câu 12. Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt là ba số tự nhiên liên tiếp
tăng dần. Kẻ đường cao AH, đường trung tuyến AM. Độ dài HM bằng:
A. 2,4
B. 2,8
C. 1,4
D. 2
�
Câu 13. Cho hình vuông ABCD. M, N thứ tự là trung điểm của BC, CD. Ta có cos MAN
bằng:
A. 0,8

B. 1,25

C.

3
2

D.

1
2

Câu 14. Cho đường tròn (O; 2), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A
đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B, C là các tiếp điểm),
M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường
tròn, cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E. Chu vi tam giác ADE bằng:
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Câu 15. Biết bán kính của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp một tam giác cân lần lượt là 6cm
và 12,5cm. Cạnh đáy của tam giác cân đó bằng:
A. 24cm
D. 20cm
B. 5 21 cm
C. 4 21 cm
Câu 16. Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 80km và ngược dòng 64km hết 8 giờ với
vận tốc không đổi. Biết vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng 4km/giờ. Vận tốc riêng
của ca nô bằng:
A. 18km/giờ
B. 12,5km/giờ
C. 16km/giờ
D. 24km/giờ
II. Phần tự luận (12 điểm)
Câu 1(3 điểm).
a) Cho các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3).

Chứng minh rằng: x + y + z + t chia hết cho 3
x3
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1  3x  3x 2
 1 
 2 
 3 
 2014 
 2015 
 f
 f
  ... f 
 f

P= f
 2016 
 2016 
 2016 
 2016 
 2016 

b) Cho f  x  

Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình sau:  3x  1 x 2  3 3x 2  2 x  3
 x 3  y 3 9
b) Giải hệ phương trình sau:  2
 2 x  y 2  4 x  y 0

Câu 3 (4điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C di động trên đường tròn (C

 A, C  B) sao cho BC < CA. Lấy điểm I trên AB sao cho IB < IA. Đường thẳng đi qua I
và vuông góc với AB cắt AC ở F và BC ở E. Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I.
a) Chứng minh rằng IE.IF = IA.IB
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE ở N. Chứng minh B, F, N thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy trên một đường
thẳng cố định khi C di động trên đường tròn.
Câu 4 (1,5điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
1
1
1


1
2
2
2ab  1 2bc  1 2ca 2  1

.....Hết.....
Họ và tên thí sinh:...............................................................SBD:..................


Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./..

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 04 trang
A. Một số chú ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng

thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Đáp án B C D A,B C D C C B A C D A B
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1(3 điểm).
Cho các số nguyên x, y, z, t thỏa mãn: x3 + y3 = 2(z3 – 8t3). Chứng minh rằng:
x+y +z+ t chia hết cho 3

15 16
A,C A

x3
b) Cho f  x  
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1  3x  3x 2
 1 
 2 

 3 
 2014 
 2015 
 f
 f
  ... f 
 f

P= f 
 2016 
 2016 
 2016 
 2016 
 2016 

Nội dung
3

3

3

Điểm
0,5

3

a) ta có x + y = 2(z – 8t )  x3 +y3 +z3 +t3 = 3z3 -15t3  3
lại có x3 – x = (x – 1)x(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên x3 – x  3
Tương tự ta có y3 – y  3; z3 – z  3 và t3 – t  3

suy ra (x3- x +y3 – y +z3 – z + t3 – t ) 3 hay (x3 +y3 +z3 +t3) – (x + y + z + t)  3
mà x3 +y3 +z3 +t3 3  x + y + z + t 3
b) Nhận xét. Nếu x  y  1 thì f  x   f  y   1 .

1 x
� f  y   f  1 x   3
Thật vậy, ta có f  x   3
3
3
x   1 x
x   1 x
3
1 x

x3
 3
 1.
suy ra f  x   f  y   f  x   f  1  x   3
3
3
x   1 x
x  1 x
x3

3

�1 � 1
Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có f � � .
�2 � 2

Theo nhận xét trên ta có:
P=
  1 
  2007 
 2015     2 
 2014  
 2009  
1
 f  2016   f  2016     f  2016   f  2016    ...   f  2016   f  2016    f  2 


  






 
 
 

0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

= 1+ 1 +...+ 1 +

1
= 1007 +0,5 = 1007,5
2

Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình sau:  3x  1 x 2  3 3x 2  2 x  3
 x 3  y 3 9
b) Giải hệ phương trình sau:  2
 2 x  y 2  4 x  y 0

Nội dung
a) ĐK: x 

1
3

Điểm
0,25

Đặt x 2  3 = t (t>0). khi đó pt đã cho trở thành:
2t2 – (3x + 1)t +x2 +2x – 3 = 0, coi đây là pt bậc hai với ẩn t, ta có
t  x  1
 = x – 10x +25= (x – 5) suy ra 
t  x  3

2
x 1 0
 x 1


 x 
Nếu t = x-1 thì ta có x 2  3 = x- 1   2
2
 x  3  x  2 x  1  x  1
2

Nếu t =

0,5

2

x 3
thì ta có
2

x2  3 

x 3

2

x 3
x 3

 x 1
 2
2
x


1
4
x

12

x

6
x

9



Đối chiếu điều kiện của bài toán ta thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
đã cho
 x 3  y 3 9(1)
b)  2
 2 x  y 2  4 x  y 0(2)

Lấy phương trình (2) nhân với -3 rồi cộng với pt (1) ta được:
x3 – y3 – 6x2 -3y2 +12x - 3y = 9  (x - 2)3 = (y + 1)3  x = y + 3
Thế x = y + 3 vào pt (2) ta có: 3y2 + 9y + 6 = 0  y 2  3 y  2 0

0,5

0,5

1,0

 y  1
 
 y  2

Với y = -1 thì x =2
Với y = -2 thì x = 1

0,75

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (2; -1) và (1; -2)
Câu 3 (4điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm C di động trên đường tròn (C
 A, C  B) sao cho BC < CA. Lấy điểm I trên AB sao cho IB < IA. Đường thẳng đi qua I
và vuông góc với AB cắt AC ở F và BC ở E. Lấy điểm M đối xứng với điểm B qua I.
a) Chứng minh rằng IE.IF = IA.IB
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE ở N. Chứng minh B, F, N thẳng hàng.


c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE chạy trên một đường
thẳng cố định khi C di động trên đường tròn.

Nội dung

Điểm

E

H

N
F

A

M

O

I

C

B

a) Tam giác EMB có EI vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến  tam giác
EMB cân tại E  EI cũng là phân giác   MEI BEI .
Tam giác ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB nên  ACB 90 0
  BEI BAC (cùng phụ với góc ABE)  IME và IFA đồng dạng


IM IE

mà IM = IB (gt)  IE.IF = IA.IB
IF
IA

b) Tam giác ABE có hai đường cao EI và AC cắt nhau tại F  F là trực tâm của tam
giác ABE  BF  AE (1)
Mặt khác tam giác ENF nội tiếp đường tròn đường kính EF (Đường tròn ngoại tiếp

tam giác CEF)  FN  AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, F, N thẳng hàng
c) Dễ thấy  ENF và  BIF đồng dạng nên  NEF  FBI mà  FBI  FMI suy ra
 NEF  FMI  tứ giác AEFM nội tiếp đường tròn.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFM chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác FAE.
Gọi tâm của đường tròn đó là H.
Vì B, I cố định nên M cố định (vì M đối xứng với B qua I), A cố định  AM cố
định.
vậy điểm H chạy trên đường trung trực d của AM cố định khi C di động trên (O)

0,25

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

0,25
0,5

Câu 4. (1,5điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c = 3. Chứng minh rằng:
1
1
1


1
2

2
2ab  1 2bc  1 2ca 2  1

Nội dung

Điểm


1
1
1
1
1
1


1 
 1
 1
 1 1  3
2
2
2
2
2
2ab  1 2bc  1 2ca  1
2ab  1
2bc  1
2ca 2  1
ab 2

bc 2
ca 2



1
2ab 2  1 2bc 2  1 2ca 2  1

0,25

Theo bất đẳng thức cauchy ta có: 2ab2 + 1 = ab2 +ab2 +1 33 a 2 b 4 suy ra
ab 2
ab 2
1
a  2b

 3 ab 2 
2
9
2ab  1 33 a 2 b 4 3

Tương tự ta có:

bc 2
b  2c
ca 2
c  2a


và

2
2
9
9
2bc  1
2ca  1

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:


0,5
0,5

ab 2
bc 2
ca 2
3(a  b  c) a  b  c 3




 1
2
2
2
9
3
3
2ab  1 2bc  1 2ca  1
 a b c

 a b c 1
a

b

c

3


Đẳng thức xảy ra khi 

0,25