Chuyên đề rút gọn đã xong

CHUYÊN ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC
A. Lý thuyết chuyên đề.
A. Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây:
1. Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A �0

6.

1
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A �0
1
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là A > 0
A
Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là A �0 ; B > 0
�
�
A �0
�
�
�
�
�
�B �0
�
�A �0
�
�
�
�
�
�B �0
�

AB
�
Điều kiện để biểu thức
có nghĩa là �
�
A �0
�
�
�
�
�
�
�B > 0
�
�
�
A �0
�
�
A
�
�
�
�
�B < 0
Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là �

7.

( A)

Ta luôn có

8.

( A)
Tương tự

2.
3.
4.

5.

3

3

2

=A

với điều kiện A �0 ( định nghĩa căn bậc hai)

=A

�A (khiA �0)
A2 = A = �
�
�
- A (khiA < 0)

�
. Do đó

9. Hằng đẳng thức
10. Ta có AB = A. B khi A �0 ; B �0 .
AB =

11.
12.

B. Tuy nhiên
A
A
=
B
B nếu A �0 và B > 0
A2 B = A B

(

A

)

2

= A2 ۳ A

0

� A. B ( khiA �0; B �0)
�
A . B =�
�
�
� - A. - B ( khiA < 0; B < 0)

(nếu B �0 );

2
C. A B = A B ( nếu A �0 và B �0 ); A B =-

A2 B (nếu A �0 và B �0 )


A
A B
=
B (nếu B > 0 )
13. Trục căn thức ở mẫu: B
C A- B
C
=
A- B
D. A + B
nếu A �0 và B �0 ; A �B
E.
C A+ B
C
=

A- B
A- B
F.
( nếu A �0 và B �0 ; A �B )
C A- B
C
=
2
A - B2
G. A + B
( nếu A �0 ; A �B )
C A +B
C
=
A - B 2 ( nếu A �0 ; A �B 2 )
H. A - B
14. Một số biến đổi cơ bản.
a ) A = A. A

(

)

(

)

(

)

(

)

(

b) A � A = A.

)

A �1

(

c) A B �B A = A. B .
d ) A- B =

(

A-

A+ B

B .

e) A + B �2 AB =

(

A� B

)

)

)

2

( A ) +( B ) = (
B =( A) - ( B ) =(

f ) A A +B B =
g) A A - B

)(

A� B

3

3

3

3

)(
B ) .( A +

A + B . AA-

)
AB + B )
AB + B

15. Một số phương trình cơ bản:
2
2
I........................................................................... A = B � A = �B
A2 = B � A = � B (với B �0 )
J.
16. Một số bất phương trình cơ bản:
�A �0
�
�A > 0
�
A �0
A<0
�
�
A.B �0 � �
A.B > 0 � �
�
�
�
�
�
�

�B �0 hoặc �
�B �0 ;
�B > 0 hoặc �
�B < 0 ( A và B cùng
K.
dấu)
A �0 A
A <0
�A �0
�
�A > 0
�
A
�
�
�0 � �
>0 ��
�
�
�
�
�
�
B
�B > 0 hoặc �
�B < 0 ; B
�B > 0 hoặc �
�B < 0 ( A và B cùng
L.
dấu)

�
A �0
A <0
�A �0
�A > 0
�
�
�
A.B �0 � �
A.B < 0 � �
�
�
�
�
�
�
�B �0 hoặc �
�B �0 ;
�B < 0 hoặc �
�B > 0 ( A và B trái
M.
dấu)
�A �0
�
�A > 0
�
A �0 A
A<0

A
�
�
�0 � �
<0 � �
�
�
�
�
�
�
B
�B < 0 hoặc �
�B > 0 ; B
�B < 0 hoặc �
�B > 0 ( A và B trái dấu)
N.
B. Bài toán tính giá trị của biểu thức.
Bài 1: Thực hiện phép tính:

(2
a)
c)

)

5. 2 - 3 40 + 90 : 3 : 640

3 2a -

b)

(

)

( 1-

2

3 +1 -

3

)

2

+2 3

a 1
128a
2 4
với a �0

18a 3 + 4

Bài giải

(2

a)

(

)

)

2
2
2
5. 2 - 3 40 + 90 : 3 : 640 = 2 5.2 - 3 2 .10 + 3 .10 : 3 : 8 .10

(

)(

(

)

)

= 2 10 - 6 10 + 3 10 : 3 : 8 10 =- 3 10 : 8 10 =

b)

(

)

2

3 +1 -

= 3 +1 = 3 +1-

c)

3 2a -

(

( 1-

3

)

)

2

+ 2 3 = 3 +1 - 1-

3 - 1 +2 3

(Vì

- 3

8

3 +2 3

3 >1 )

3 +1 + 2 3 = = 2 + 2 3

18a3 + 4

a 1
128a = 3 2a 2 4

32.2.a 2 .a + 4.

a 1
- . 82.2.a
2 4

= 3 2a - 3 a 2a + 2 2a - 2 2a = 3 2a - 3a 2a
( Vì a �0 )

Bài 2: (GK I THCS Ngô Sĩ Liên năm 2018- 2019) Tính:

A = 18 - 2 50 + 3 8

B = 27 - 6

1
3- 3

+
3
3

C=

5
7+ 2

8- 2 7 + 2


Bài giải

A = 18 - 2 50 + 3 8 = 32.2 - 2 52.2 + 3 2 2.2 = 3 2 - 10 2 + 6 2 =1
3- 3
3
+
= 32.3 - 6.
+13
3
3

B = 27 - 6

5
C=
7+ 2
= 7-

2-

= 7-

2-

8- 2 7 + 2

(
(

)

=

5

(

2

)

= 1 ( Vì

= 3 3 - 2 3 +1 -

)

7-

2

)(

7-

7+ 2

7- 1 + 2 = 77- 1 + 2

(

3

2-

2

)

-

2

3 =1

7 - 2 7 +1 + 2

7- 1+ 2

7 >1 )

Bài 3: (GK I THCS Giảng Võ năm 2018- 2019) Thu gọn các biểu thức sau:
a)

A = 12 - 6 3 +

(

)

3 +5

2

5
1
B = 2 54 + . 28 - . 24 - 3 63
2
2
b)

C=
c)

2
13
+
5 + 3 4- 3

18. 10

Bài giải
A = 12 - 6 3 +

= 3-

(

)

3 +5

3 + 3 +5 = 3-

2

= 9 - 2.3. 3 + 3 + 3 + 5 =

3 + 3 +5 = 8

( 3-

3

)

2

+ 3 +5

( Vì 3 > 3 )

5
1
5
1
B = 2 54 + . 28 - . 24 - 3 63 = 2 32.6 + . 2 2.7 - . 2 2.6 - 3 32.7
2
2
2
2
= 6 6 +5 7 - 6 - 9 7 = 5 6 - 4 7
Bài 4: (GK I THCS Tân Mai năm 2018- 2019) Thực hiện phép tính:
1
48 - 2 75 a) 2

33
1
+5 1
3
11


b)

6 +2 5 -

c) 5 2a -

6- 2 5 -

3

8

50a - 2 a 3 + 4 32a với a �0

Bài giải
1
48 - 2 75 2
a)

33
1 1 2
+5 1 =
4 .3 - 2 52.3 3 2
11

22
10 3 - 17 3
3 +5
=- 9 3 +
=
3
3
3

= 2 3 - 10 3 -

b)

6 +2 5 -

=

(

6- 2 5 -

)

(

2

5 +1 -

= 5 +1 -

3. 11
4
+5
3
11

3

8 = 5 + 2 5 +1 -

)

2

5 - 1 - 2 = 5 +1 -

5 +1 - 2 ( Vì

5 - 2 5 +1 -

3

23

5- 1- 2

5 >1 )

=0
c) 5 2a -

50a - 2 a 3 + 4 32a = 5 2a -

52.2a - 2 a 2 .a + 4 42.2a

= 5 2a - 5 2a - 2 a a +16 2a =- 2a a +16 2a
( Vì a �0 )

Bài 5: (GK I THCS Nguyễn Tất Thành) Tính giá trị của biểu thức:

�
1
A =�
28 �
�
�
2
B=

(

)

12 -

2

3 +1 + 2

(

�
7�
7 + 2 21
�
�
�
2
� 1

3 - 2 - 4�
�
�
�3 - 1

)

�
1 �
�
�
3 +1�

Bài giải
�
1
A =�
28 �
�
�
2

12 -

(

7 . 7 + 2 21 =- 2 21 + 2 21 = 0

=

7 - 2 3-

)

�
�
1
�
7�
7
+
2
21
=
. 22.7 �
�
�
�
�
�
2

22.3 -

�
7�
. 7 + 2 21
�
�
�

B=

(

)

2

3 +1 + 2

2
� 1
3 - 2 - 4�
�
�
�3 - 1

(

�
1 �
�
�
3 +1�

)

= 4 + 2 3 + 2 3 - 2 - 4.

(

3 +1-

3 +1

3- 1

3 +1 = 4 + 2 3 + 2 2 -

)(

(

)

)

3 - 4.

2
3 - 1 ( Vì 2 > 3 )

= 4 +2 3 +4 - 2 3 - 4 = 4
Bài 6: (GK I THCS Tây Hồ) Tính giá trị của biểu thức:
a) A = 18 - 3 8 + 6 2

C=
c)

4
3 +1

b)

6
+
3- 3

B=

(

2
9 16
25 + 144
5
2 81

)

3- 5

2

Bài giải
2
2
a) A = 18 - 3 8 + 6 2 = 3 .2 - 3 2 .2 + 6 2 = 3 2 - 6 2 + 6 2 = 3 2

2
9 16
2
9 42
9 4
2
B=
25 + 144 = . 5 - . 2 + 122 = 2 - . +12 = 12
5
2 81
5
2 9
2 9
b)
4
3 +1

C=
c)
=

4

(

(

6
+

3- 3

)

3- 1

)(

3 +1

-

) (

3- 1

(
6

)

3- 5

(

2

)

3 +3

)(

3- 3

)

3 +3

+ 3- 5

= 2 3 - 2-

( Vì 5 > 3 )

= 2 3 - 2 + 3 +3 +5 -

3 = 3 3 +6

Bài 7: (GK I THCS Chu Văn An) Thực hiện phép tính:

a) ( 24 c)

48 -

21 + 3 48 -

6). 6 +12 2
21 - 3 48

b)

�1
�
�
�
�
�5

�
16
�
+ 5�
: 20
�
�
5
�

6

(

) +5-

3 +3
3- 9

3

Bài giải
a) ( 24 -

6). 6 +12 2 =

48 -

(

(

22.6 -

)

42.3 -

6 . 6 +12 2

)

= 2 6- 4 3-

6 . 6 +12 2 = 12 - 4 18 - 6 +12 2 = 6 - 4 32.2 - 6 +12 2
= 6 - 12 2 +12 2 = 6

b)

�1

�
�
16
�
=
�
+ 5�
:
20
�
�
�
�
5
5
�
�

�1
�
�
�
�
5
�
1
5. 20

=

4
5
1
+
=
5. 20
20
100

= 21 +12 3 -

(

=

)

4
1 - 3 1 1
+
+ =
100
4 = 10 2 5

21 - 3 48 = 21 + 3 42.3 -

21 + 3 48 -

c)

�1
42
�
+ 5�
.
�
�
5
�
� 20

21- 3 42.3

21 - 12 3 = 12 + 2.2 3.3 + 9 -

(

2

2 3 +3 -

)

12 - 2.2 3.3 + 9

2

2 3 - 3 = 2 3 +3 - 2 3 - 3

= 2 3 + 3 - 2 3 ( Vì 2 3 > 3 )

Bài 8: (GK I Quận Hà Đông) Thực hiện phép tính và rút gọn:
A=

a)

( 3-

5

( 3-

5

)

2

(

+

)

5 +13

�
� 10
3
75 �

�
B =�
2
45
20
+
:
�
�
�
�
2
3
15 �
�
�
b)

2

Bài giải
a)

A=

)

2

+

(

)

5 +13

2

= 3-

5 + 5 +13 = 3 -

5 + 5 +13 = 16

)
�
� 10 � 2
�3
3
75 �
3 2
75 �
�
�
�
B =�
2
45
20

+
:
=
2
3
.5
2
.5
+
.
�
�
�
�
�
�
�
�
2
3
2
15 �
15 �
10
�
�
�
�
b)

(

)

= 6 5- 3 5+ 5 .

3
3
= 4 5.
=6 2
10
2. 5

C. Bài giải mẫu chuyên đề rút gọn.
Q=
Bài 1: Cho biểu thức

x + 2 x - 10
x- x - 6

x- 2
x- 3

1
( x �0; x �9)
x +2

(Vì 3 > 5

1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tính giá trị của Q khi x = 16
1
3

Q=

3. Tìm giá trị của x khi

Q>

4. Tìm giá trị của x sao cho

1
9

5. Tìm giá trị lớn nhất của Q .
Bài giải mẫu
1. Với x �0; x �9 thì
=

=

=

=

x

(

(

Q=

x + 2 x - 10
x- 3 x +2 x - 6

x + 2 x - 10

)

x - 3 +2

(

x + 2 x - 10

)(

x- 3

x +2

x + 2 x - 10 -

(

(

)

x- 3

)

x- 2
x- 3

-

x- 2

)(

)(

x- 3

x + 2 x - 10 - x + 4 -

(

)(

x- 3

x +2

Vậy với x �0; x �9 thì

x- 2
x- 3

-

)

)

x +3

Q=

1
x +2

) (

=

(

)

x- 3

x- 3

)(

x- 3

1
1
1
=
=
16 + 2 4 + 2 6

Vậy khi x = 16 thì

Q=

1
6

)

x +2

1
x +2

2. Thay x = 16 ( thỏa mãn x �0; x �9 ) vào Q ta được:

Q=

1
x +2

1
x +2

x +2 -

x +2

x- 2
x- 3

=

1
x +2


1
Q= �
3
3.

1
1
= � 3 = x + 2 � x =1 � x =1
x +2 3
( thỏa mãn x �0; x �9 )

Vậy với x = 1 thì

1
Q> �
9
4.
Vì

Q=

1
3

1
1
> �
x +2 9

1
1
9- x - 2
7- x
- >0 �
>0 �
> 0 ( 1)
x +2 9
x +2
x +2

x �0 với mọi x �0; x �9 nên

� ( 1) � 7 -

x + 2 > 0 với mọi x �0; x �9

x > 0 � x < 7 � x < 49

�
0 �x < 49
�
�
�x �9
Kết hợp với điều kiện x �0; x �9 nên �
�
0 �x < 49
�
1
�
Q>
�
x
�
9
9
Vậy với �
thì
5. Vì

x �0 với mọi x �0; x �9 nên
1
x +2

x + 2 �2 với mọi x �0; x �9

1
‫ޣ‬
2 với mọi x �0; x �9

1
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 0 ( thỏa mãn x �0; x �9 )
� 1
1
P =�
+
�
�
�x - x
xBài 2: Cho biểu thức

�
x +1
�
:
�
� x - 2 x +1 với x > 0; x �1
1�

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tìm x để P =- 1
3. Tính giá trị của P khi

(

)(

)

x - 1 2 x - 1 =0

4. Tính giá trị của P khi x = 9 - 4 5 + 3 5 +11


5. Tìm tất cả các giá trị của x để

P<

1
- 5
x

1
Q = + 3P
x
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài giải mẫu
�
1
� 1
P=�
+
�x x - 1
x�

1. Với x > 0; x �1 thì:

(

=

1+ x
x

(

)

x- 1

(
.

)

x- 1

x +1

Vậy với x > 0; x �1 thì

2.

�x=

(

)

=

x- 1
x

P=

x- 1
x
x � 2 x =1 � x =

1
2

1
4 ( thỏa mãn x > 0; x �1 )

x=

3. Ta có

(

2

x- 1

=- 1 � x - 1 =x

P=

Vậy

)

�
� x +1
:
�
2
1� x - 1
�

1
4 thì P =- 1
�x = 1
�
x = 1 loai )
�x - 1 = 0
�
� (
�
��
��
1
1��
�

�
x
=
x
=
( TM )
2
x
1
=
0
�
x - 1 2 x - 1 =0
�
�
�
2
� 4
�

)(

)

1
- 1
- 1
P= 4
= 2 =- 1
1

1
1
x=
2
4
4 thì
Với
4. Ta có x = 9 - 4 5 + 3 5 +11 = 5 - 2 5.2 + 4 + 3 5 +11


=

(

)

2

5 - 2 + 3 5 +11 = 5 - 2 + 3 5 +11 = 5 - 2 + 3 5 +11

= 4 5 + 9 = 5 + 2. 5.2 + 4 =

� x=

P=

Vậy

(

5 +2

)

2

(

5 +2

)

(thỏa mãn x > 0; x �1 )

= 5 +2 = 5 +2

x- 1
5 +2- 1
5 +1
=
=
=
x
5 +2
5 +2

x- 1
1
<
- 5�

x
x

(

)(

5 +1

5- 2

5- 4

) = 3-

5

x- 1 1
+5 < 0
x
x

1
- 5�
x

�

x - 1- 1 + 5 x
6 x- 2

<0 �
<0
x
x
(2)

Vì

1
1
� 6 x - 2 <0 � x < � x <
x > 0 với mọi x > 0; x �1 nên (2)
3
9

Kết hợp với điều kiện x > 0; x �1

Vậy

5 >2 )

2

P<
5.

(vì

0

1
1
P<
- 5
x
9 thì

1
1
x- 1 1
Q = + 3P = + 3.
= x
x
x
x
6.

3
+3
x
2

�
�9
�1
1
1 3 9�
3� 3
=�
- 2.

. + �
- +3 =�
- �
+
�
�
�
�
� x 2�
�x
� 4
�
� 4
x 2 4�
2

�1
3�
�
- �
�
�
��0
�
�
�
2
x
Vì
với mọi x > 0; x �1 nên

x > 0; x �1

�
Dấu “=” xảy ra

2

�1
3� 3 3
�
- �
�+ �
�
�
� x 2�
� 4 4 với mọi

1
3
2
4
= � x = � x=
3
9 ( thỏa mãn x > 0; x �1 )
x 2


3
4
x=

9
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 4 khi
x- 7
x - 5 x +6

A=
Bài 3: Cho biểu thức

x + 3 2 x +1
+
x- 2
x - 3 với x �0; x �4; x �9

1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị của A khi x = 3 - 2 2
3. Tìm giá trị của x để A = 4
4. Tìm giá trị của x để A > 2

B=
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1 x +6
+
A
x

Bài giải mẫu

A=

1. Với x �0; x �4; x �9 thì
=

=

x

(

(

) (

x- 2 - 3
x- 7

x- 2

x- 2

x + 3 2 x +1
+
x- 2
x- 3

)(

x - 3 + 2 x +1

x- 3

)

(

x +3

(

)

x- 2

)(

) (

)

(

x

(

(

x- 2

x- 2

x- 2

)(

)

)

x- 3

)(

=

)(

x- 2

)

x- 3

x - 7 - x +9 + 2x + x - 4 x - 2

=

x + 3 2 x +1
+
x- 2

x- 3

x + 3 2 x +1
+
x- 2
x- 3

-

-

)(

x - 7-

=

=

x- 7

x- 7
x - 2 x - 3 x +6

)

x- 3

x
x- 3

=

(

x- 2 x
x- 2

)(

)

x- 3


Vậy với x �0; x �4; x �9 thì
2. Ta có:

x
x- 3

A=

x = 3 - 2 2 = 2 - 2 2.1 +1 =

� x=

� A=

(

)

(

)

2- 1

2

( thỏa mãn x �0; x �4; x �9 )

2

2- 1 = 2- 1 = 2- 1

2- 1
2- 1
=
=
2 - 1- 3
2- 4

(

)(

2- 1

2 >1 )

( vì

2- 4

2 - 16

) = 2-

2 - 4 2 +4 6- 6 2 3 2 - 3
=
=
- 8
- 8
4

3.
x
= 4 � x = 4 x - 3 � x = 4 x - 12 � 3 x = 12 � x = 4 � x = 16
x- 3
(Thỏa mãn x �0; x �4; x �9 )

(

A=4 �

)

Vậy x = 16 thì A = 4

A>2 �
4.
�

x
>2 �
x- 3

x
- 2>0 �
x- 3

�
6- x >0
6- x
<0 � �
�
�
x- 3
� x - 3 < 0 hoặc

�x > 36
��
�
�
�x > 9 hoặc

x - 2 x +6
>0
x- 3

�
� x >6
6- x <0
�
�
�
�
�
� x - 3>0 � �
� x > 3 hoặc

� x <6
�
�
�
� x <3

�
x < 36
�
�
�
�x < 9 � x > 36 hoặc x < 9

Kết hợp với điều kiện x �0; x �4; x �9

Vậy

0 �x < 9

�
�
�
�
�x �4

hoặc x > 36 thì A > 2

5. Với x > 0; x �4; x �9 thì :
B=

1 x +6
x - 3 x +6
+
=
+
= 1A
x
x
x

3
3
6
= x+
+1
+ x+
x
x
x

x;
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương
3
�2
x

x+

x.

3
=2 3
x

� x=
Dấu “=” xảy ra

+

‫ޣ‬
B

2 3

3
x ta được:

3

� x =3
x
( thỏa mãn x > 0; x �4; x �9 )

1

Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 2 3 +1 khi x = 3

P=
Bài 4: Cho biểu thức

x- 3
x- 2
9- x
+
2 - x 3 + x x + x - 6 với x �0; x �4

1. Rút gọn P
2. Tìm x để
3. Tìm x để

P=

7
12

P>

1
2

1
4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
5. Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài giải mẫu
1. Với x �0; x �4 thì
=

P=

x- 3
x- 2
+
2- x 3+ x

=-

x- 3
x- 2
+
x - 2 3+ x

x

(

x- 3
x- 2
9- x
+

2 - x 3 + x x +3 x - 2 x - 6

(

9- x

)

x +3 - 2

(

9- x

)(

x +3

x- 2

x- 2

)

)


=

=

-

(

)(
(

x +3 +

(

x - 2 - 9+x

9- x +

(

) ( x - 2)
x + 3)( x - 2)

x- 3

)(

x +3

)

x- 2

)

2.

7
�
12

=

P=

(

- 9+x

(

2

Vậy với x �0; x �4 thì
P=

2

x- 2

)(

x +3

)

2

x- 2

)

=

x- 2
x +3

x- 2
x +3

x- 2
7
= � 12 x - 24 = 7 x + 21 � 5 x = 45
x + 3 12

� x = 9 � x = 81 ( thỏa mãn x �0; x �4 )
Vậy với x = 81 thì
P>
3.

1
�

2

P=

7
12

x- 2 1
> �
x +3 2

x- 2 1
2 x - 4- x - 3
- >0 �
>0
�
x +3 2
2 x +3

(

)

x- 7
>0
x +3

(3)
Vì

x �0 với mọi x �0; x �4 nên

x + 3 > 0 với mọi x �0; x �4

Nên (3) � x - 7 > 0 � x > 7 � x > 49
Kết hợp với điều kiện x �0; x �4
Vậy x > 49 thì

P>

1
2

1
x +3
x - 2 +5
5
=
=
=1+
x- 2
x- 2
x- 2
4. Ta có P

1
P nguyên �

5
x - 2 nguyên � 5M x - 2 �

(

)

x - 2 là Ư (5) = { �1; �5}


Lập bảng:

x- 2

-1

1

-5

5

x
x

1

3

-3

7

1
Thỏa mãn

9
Thỏa mãn

Loại

49
Thỏa mãn

1
x �{1;9;49}
Vậy
thì P nguyên.
P=
5. Ta có

x- 2
x +3 - 2
=
= 1x +3
x +3

2
x +3

Vì

2
x + 3 > 0 nên P <1 với mọi x �0; x �4

Mà

2
2
x =-�-�-�-�‫�ޣ‬+
3 3
x +3 3

2
x +3

2
3

1

2
x +3

1

2
3

1
3

1
�P <1
Do đó 3
Vậy không có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên.
A=
Bài 5: Cho biểu thức

2 x +4
x +7
+
x +3
x +2 x - 3

x +1
x - 1 với x �0; x �1

1. Rút gọn A
2. Tính giá trị của A khi x thỏa mãn 2 x - 5 x + 2 = 0
3. Tìm các giá trị của x để
4. Tìm các giá trị của x để

x +1
8

A=
A<

1
6

5. Chứng minh rằng với x �0; x �1 thì A chỉ nhận duy nhất một giá trị nguyên. Tìm
giá trị nguyên đó.


Bài giải mẫu
1. Với x �0; x �1 thì
=

2 x +4
+
x +3
x

=

2 x +4
+
x +3

=

(2

=

x +7

(

)

x - 1 +3

(

x +7

(

)(

2 x +4
+
x +3
x-

)(

x- 1

)

x- 1

)

x +3

)

)(

x +3

x +1
x- 1

x +1
x- 1

-

x +1
x- 1

-

(

x - 1 + x +7 -

(

x +7
x +3 x - 3

)(

x +1

)

)

x +3

x- 1

2x + 4 x - 2 x - 4 + x + 7 - x - 4 x - 3

=

=

x +4

A=

(

(

x-

x

(

)(

x +3

(

x

)(

x +3

) (

x- 1

)

x- 1

)(

x +3

=

)

x- 1

=

Vậy với x �0; x �1 thì

)

x- 1
x

(

)

x- 1

)(

x +3

)

x- 1

x
x +3

A=

x
x +3

2. Ta có:

2x - 5 x + 2 = 0 � 2x - 4 x -

�

(

x +2 = 0 � 2 x

(

�
x = 4 ( TM )
�x - 2 = 0
�
�
x - 2 2 x - 1 =0 � �
�� 1
�
x = ( TM )
2
x
1
=
0
�
�
�
� 4

)(

Với x = 4 thì

)

A=

4
2
=
4 +3 5

) (

x- 2 -

)

x - 2 =0


Với

x=

1
4

A=

1
4 thì

1
+3
4

=

Vậy khi 2 x - 5 x + 2 = 0 thì
A=
3.

x +1
�
8

1
2

1
+3
2
A=

=

1
7

2
1
A=
5 hoặc
7

x
x +1
=
�8 x =
8
x +3

(

)(

x +3

)

x +1

� 8 x = x + 4 x +3 � x - 4 x +3 = 0
� x- 3 x -

�

(

)(

x- 3

x +3 = 0 � x

Vì

) (

x- 3 -

)

x - 3 =0

�x = 3 �
x = 9 ( TM )
�
x - 1 =0 � �
�
�
�
x = 1 ( loai )
�
�
�x = 1

)

Vậy với x = 9 thì
1
A< �
6
4.

(

A=

x +1
8

x
1
< �
x +3 6

x
1
6 x- 1
- <0 �
<0
x +3 6
x +3
(4)

x �0 với mọi x �0; x �1 nên

x + 3 > 0 với mọi x �0; x �1

1
1
� 6 x - 1< 0 � x < � x <
6
36
Suy ra (4)
Kết hợp với điều kiện x �0; x �1

Vậy
A=
5.

0 �x <

1
1
A<
36 thì
6

x
x +3- 3
=
= 1x +3
x +3

3
x + 3 <1 ( vì

3
x + 3 > 0 với mọi x �0; x �1 )


x �0 với mọi x �0; x �1 nên

Vì

3
�-�-�-�‫ޣ‬1
x +3

3
x +3

1

x + 3 �3 với mọi x �0; x �1
3
x +3

1

0

Suy ra 0 �A <1 Mà A �Z nên A = 0
x
=0 � x =0
x +3

( thỏa mãn x �0; x �1 )

A=0 �
Ta có

Vậy với x �0; x �1 thì A chỉ nhận duy nhất một giá trị nguyên bằng 0.
2 ( x + 4)

B=

x- 3 x - 4

Bài 6: Cho biểu thức

+

x
x +1

8
x - 4 với x �0; x �16

1. Rút gọn B.
2. Tìm giá trị của x để B = 1
3
3. Tính giá trị của x sao cho B không vượt quá 2

2x - 1 = x

4. Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức

5. Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
Bài giải mẫu
1. Với x �0; x �16 thì
=

=

=

x

(

B=

2 ( x + 4)

(

)

x +1 - 4
2( x + 4)

x- 4

)(

(

2 ( x + 4)
x+ x - 4 x - 4

)

x +1

)

x +1

+

x- 4

)(

)

x +1

x
x +1

8
x- 4

8
x- 4

(

) (
)(
)

)

2x +8 + x x - 4 - 8
8
=
x- 4
x- 4
x +1

x
x +1

+

2 x +8 + x - 4 x - 8 x - 8

(

x
x +1

+

(

=

(

3x - 12 x
x- 4

)(

3 x

) =(

x +1

(

x- 4

x- 4

)(

x +1

)

)

x +1


=

3 x
x +1

Vậy với x �0; x �16 thì
B =1 �
2.

B=

3 x
x +1

3 x
1
1
= 1 � 3 x = x +1 � 2 x = 1 � x = � x =
2
4
x +1

( thỏa mãn x �0; x �16 )

Vậy

x=

1
4 thì B = 1

3 ‫ۣޣޣ‬
B
3. B không vượt quá 2
6 x- 3 x- 3
‫ۣޣ‬
2 x +1

(

)

3 x- 3
‫ۣޣ‬
2 x +1

(

Vì

)

0

3
2

3 x
x +1

0

‫ۣޣ‬

x- 1
x +1

0
(6)

x �0 với mọi x �0; x �16 nên

x 1
Suy ra (6) �-‫�ޣޣ‬

3
3 x
3
- �0
2 � x +1 2

0

x

1

x +1 > 0 với mọi x �0; x �16
x

1

Kết hợp với điều kiện x �0; x �16

3
Vậy 0 �x �1 thì B không vượt quá 2
4. Ta có

2x - 1 = x

( x �0; x �16 )
2

� 2 x - 1 = x 2 � x 2 - 2 x +1 = 0 � ( x - 1) = 0 � x = 1

( thỏa mãn x �0; x �16 )


�B=

3 1
3
=
1 +1 2
B=

3

2

Vậy

2 x - 1 = x thì

B=

3 x
3 x +3- 3
=
= 3x +1
x +1

5.
Vì

x �0 với mọi x �0; x �16 nên

3
�-�-�-�‫ޣ‬3
x +1

3
x +1

3
>0
x +1
với x �0; x �16 )

3
<3
x +1
( vì

3

3

x +1 �1 với mọi x �0; x �16
3
x +1

0

B �{ 0;1;2}
Suy ra 0 �B < 3 Mà B �Z nên
B =0 �

3 x
=0 � x =0
x +3
( thỏa mãn)

B =1 �

3 x
3
9

=1 � 3 x = x + 3 � x = � x =
2
4 ( thỏa mãn)
x +3

B =2 �

3 x
= 2 � 3 x = 2 x + 6 � x = 6 � x = 36
x +3
( thỏa mãn)

TH1:

TH2:

TH3:

�9 �
x ��
0; ;36�
�
�
�
�thì B �Z
�4 �
Vậy
D. Bài toán toán rút gọn biểu thức
Bài 1: Với số thực x > 0 và x �16 , cho
1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 4 .

2) Rút gọn biểu thức B .
A 5
=
3) Tìm x để B 6 .

A=

x
2 x
x +12 x
B=
x - 16 .
x + 5 và
x- 4


Bài giải
1) Với x = 4 thỏa mãn điều kiện x > 0 và x �16 nên
Vậy với x = 4 thì

A=

2 x
x +12 x
2 x
=
x - 16
x- 4
x- 4

2) Với x > 0 và x �16 thì

=

2 x

(

x- 4
x

(

(

x +4

)(

(

x- 4

-

x +12 x

) (

x- 4

=

x
x +4

x +4

x- 4

)(

)

)

x +4

)

4
2
=
4 +5 7

2
7
B=

=

A=

)(

x +4

)

=

x +12 x

(

)(

x- 4

2 x + 8 x - x - 12 x

(

x- 4

)(

x +4

)

=

(

x +4

)

x- 4 x
x- 4

)(

x +4

3) Với x > 0 và x �16 thì:
A
x
x
x
x +4
x +4
=
:
=
.
=
B
x +5 x + 4

x +5
x
x +5

�

x +4 5
= �6
x +5 6

(

)

x +4 = 5

(

)

x + 5 � 6 x + 24 = 5 x + 25

� x = 1 � x = 1 ( thỏa mãn x > 0 và x �16 ).
A 5
=
Vậy với x = 1 thì B 6

Bài 2:
A=
1) Cho biểu thức

2
x- 1
x=
2- 1
x +1 ( x �0) .Tính giá trị biểu thức A khi

2
2 +1 .

)


�x
B =�
�
�
�
x
4
x
�
0;
x
�
4
2) Với
. Rút gọn biểu thức

1 �

x- 2
�
:
�
� x +2
x - 2�
.

3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nguyên của x để A.B có giá trị là số
nguyên.
Bài giải
2
2
=
2 +1

2
2- 1

x=
1) Với

điều kiện x �0 nên

(

)

) =2
( 2 +1)( 2 - 1)

(
2 +1 - 2

�x
B =�
�
�
�
x
4
x
�
0;
x
�
4
2) Với
thì

(

x-

=

=

)(

x

(

x- 2

(

x- 2

)(

x +1
x

(

)=

x- 2

x- 2

)

3) Với x �0; x �4 thì

A.B �Z
Mà

�

x

x- 2 x + x - 2
x

)=

2 + 2- 2 2 +2

)(

2 +1

)

2- 1

=4

1 �
x- 2
�
:
�
� x +2
x - 2�

�
1 � x +2

.
=
�
x - 2� x - 2
�

)

2- 1

4- 1 1
=
4 +1 3

A=

�
x
�
=�
� x - 2 x +2
�

(

(

x- 2

)

(

=

(

x-

x- 2

)(

x +2

) (

x- 2

x- 2

x- 2 +
x

(

x- 2

)

)

.

x +2
x

)

x +1
x

A.B =

1
x - 1 x +1
x- 1
= 1.
=
x
x +1
x
x

1
�Z � 1M x � x
x
là Ư(1)

x �0" x �0; x �4 � x = 1 � x = 1 ( thỏa mãn x �0; x �4 ; x �Z )

Vậy x = 1 thì A.B �Z .

thỏa mãn


A=
Bài 3: Cho biểu thức
x �0; x �4 .
1) Tính giá trị của B khi

1
1
x
x- 2
+
B=
x- 2
x + 2 4 - x và
x + 3 với điều kiện

1
9.

x=

2) Rút gọn biểu thức P = A.B . Chứng minh P <1 .
3) Tìm các giá trị của x để

2 x - 3 - A( x - 2) = 2 x - 6 .

Bài giải
1) Với

x=

1
9 thỏa mãn điều kiện x �0; x �4 nên

1
1
- 5
- 2
- 2
x- 2
- 1
B=
= 9
=3
= 3 =
1
10
2
x +3
1
+3
+3
3
3
9

2) Với x �0; x �4 thì:
A=

=

1
1
x
1
1
+
=
+
+
x- 2
x +2 4- x
x- 2
x +2

(

x- 2

x

(

x +2

x +2 + x - 2+ x

(

x- 2

)(

� P = A.B =

P=
Ta có

x +2

)

=

(

x +2 x
x- 2

)(

x +2

=

) (

x- 2

)(

)(
)

x +2

x +2

)

x
x- 2
x
.
=
x - 2 x +3
x +3

x
x +3- 3
=
= 1x +3
x +3

3
x +3

x �0 " x �0; x �4 � x + 3 > 0" x �0; x �4 �
Vì

�-

x

3
< 0 � 1x +3

3
<1
x +3

3
>0
x +3

=

)
x
x- 2


Vậy P <1" x �0; x �4
3
x � ; x �4
2

3) Điều kiện:
2 x - 3 - A( x - 2) = 2 x - 6

� 2x - 3 �

x = 2x - 6

�

(

x
( x - 2) = 2 x - 6
x- 2

� 2x - 3 2x - 3 -

x

)(

2x - 3 + x

2x - 3 + x

) =2

( x - 3)

2x - 3 - x

x- 3
= 2( x - 3) �
= 2 ( x - 3)
2x - 3 + x
2x - 3 + x

�
�
x- 3=0
x = 3 (TM)
�
�
��
��
1
1
�
= 2 �2 x - 3 + x =
(2)
�
�
2
�
�2 x - 3 + x
Giải (2)

� 2 x - 3 + x + 2 x ( 2 x - 3) =

� 4 x ( 2 x - 3) = 4 x 2 - 13 x +
� 4x2 + x -

1
13
3
13
� 2 x ( 2 x - 3) = - 2 x
�x �
4
4
8
ĐK: 2

169
169
� 8 x 2 - 12 x = 4 x 2 - 13 x +
16
16

169
=0
� 64 x 2 +16 x - 169 = 0
16

'
Ta có D = 64 + 64.169 = 10880 > 0 � Phương trình có 2 nghiệm

� - 1 + 170
�
x=
( TM )

�
8
�
� - 1- 170
�
x=
( loai )
�
8
�

� - 1 + 170 �
�
�
x ��
3;
�
�
�
�
�
8
�
�
Vậy
là giá trị cần tìm.