CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN

giáo viên: phạm xuân trinh.
các dạng bài tập rút gọn biểu thức.
I . Lý thuyết
A. N hững hằng đẳng thức
1) (a+b)
2
= a
2
+ 2ab +b
2

2)(a-b)
2
= a
2
- 2ab + b
2

3)a
2
- b
2
= (a-b)(a+b)
4)a
2
+ b
2
= (a+b)
2
- 2ab = (a-b)

2
+ 2ab
5)(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a+b)
6)(a-b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
= a
3
- b

3
- 3ab(a-b)
7)a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
- ab + b
2
) = (a+b)
3
- 3ab(a+b)
8)a
3
- b
3
= (a-b)(a
2
+ ab + b
2
) = (a-b)
3
+ 3ab(a-b)
9)(a+b+c)
2
= a
2
+ b
2

+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca
10) (a+b+c)
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3(a+b)(b+c)(c+a)
B. Các công thức biến đổi căn thức
1)
2
A A=
2)
.AB A B=
(với A
0
và B
0
)
3)
A A
B
B
=
( với A
0

và B
0>
)
4)
=
2
a b a b
( với B
0
)
5)
=
2
a b a b
( với A
0
và B
0
)

=
2
a b a b
(với A
0
và B
0
)
6)
=

1A
A B
B b
(với A.B

0 và B

0 )
7)
=
A A B
B
B
( với B > 0 )
8)
( )
=


m
2
C A B
C
A b
A B
(với A

0 và A

B

2
)
9)
( )
=


mC A B
C
A B
A B
(với A

0 , B

0 và A

B )
II .bài tập áp dụng
bài tập 1. Tính
a, A =
( )
2
1 1 15
6 5 120
2 4 2
+
Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định
1

gi¸o viªn: ph¹m xu©n trinh.
b, B =
( )
3 2 3 2 2
3 3 2 2
3 2 1
+
+ − + −
+
c)
( ) ( )
4 15 5 3 4 15
+ − −
híng dÉn
a, A =
( )
2
1 1 15
6 5 120
2 4 2
+ − −
=
( )
1 1 30
11 2 30 4.30
2 4 4
+ − −
=
11 30 30 11
30

2 2 2 2
+ − − =
b, B =
( )
3 2 3 2 2
3 3 2 2
3 2 1
+
+ − + −
+
=
( )
3 2 2 2 2 1 3 3 2 2+ + − − − +
= 3
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + −
=
( )
5 3 4 15
− +
=
( ) ( )
2
5 3 4 15− +
=
( ) ( )
8 2 15 4 15− +
=

2
bµi tËp 2. TÝnh
a)
2
(1 2)−
e) E =
17 12 2 3 2 2 3 2 2− + − + +
b)
3 2 2−
f) F =
4 7 4 7+ − −
c)
7 4 3+
g) G =
4 2 3 4 2 3− − +
d)
2 3−
h) H =
21 6 6 21 6 6+ + −
híng dÉn
a) =
2 1−
v× 1 <
2
b) =
2 1−
c) = 2+
3
d) =
2

4 2 3 ( 3 1) 3 1
2 2
2
− − −
= =
e) E =
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 2 1 2 1− + − + +
= 3- 2
2
+
2
- 1 +
2
+ 1 = 3
f) C¸ch 1
F =
( ) ( )
2 2
7 1 7 1
8 2 7 8 2 7
2 2 2 2
+ −
+ −
− = −
=
7 1 7 1
2 2
+ −

−
=
2
C¸ch 2 : Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
Cã F > 0 . Nªn F
2
= 4 +
7
+ 4 -
7
- 2
( ) ( )
4 7 4 7+ −
= 8 - 2
16 7−
= 2
⇒
F =
2
g) C¸ch 1
G =
3
- 1 - (
3
+ 1 ) = -2
C¸ch 2 :Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
Chó ý : G < 0
h) Còng cã hai c¸ch nh trªn
Trêng THCS Trùc Phó – TRùc Ninh-Nam §Þnh
2

giáo viên: phạm xuân trinh.
Đáp số H =
( ) ( )
2 2
3 3 2 3 3 2+ +
= 6
2
bài tập 3 : Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên .
a) A =
( ) ( )
57 3 6 38 6 57 3 6 38 6+ + + +
b) B =
2 3 5 13 48
6 2
+ +
+
c) C =
5 3 29 12 5
hớng dẫn
a) A =
( ) ( )
2 2
57 6 3 6 38 93 12 7 92 6 28 1+ + = + = Z
b) B =
2
2 3 5 (2 3 1)
6 2
+ +
+

=
2 3 4 2 3
6 2
+
+
=
2 2 3
1
6 2
+
=
+
Z
c) C =
( )
2
5 3 2 5 3 5 6 2 5 1 = = Z
bài tập 4 : So sánh A và 2B với
A =
10 24 40 60+ + +
B =
2 3 6 8 16
2 3 4
+ + + +
+ +
hớng dẫn
Ta có A =
( ) ( )
2 2
2 2

( 2) 3 ( 5) 2 6 2 10 2 15 2 3 5 2 3 5+ + + + + = + + = + +
B =
( ) ( )
2 3 4 2 2 3 4
1 2
2 3 4
+ + + + +
= +
+ +
Vậy 2B = 2 + 2
2 2 2 4= + +
Suy ra A > 2B
bài tập 5 : Rút gọn biẻu thức
a) A =
2 3
5 3 6 3
+
+
b) B =
1 1 1
...
2 3 3 4 2008 2009
+ + +
+ + +
hớng dẫn
Sử dụng phơng pháp trục căn thức
a) A =
( )
( ) ( )
( )

( ) ( )
( ) ( )
2 5 3 3 6 3 2 5 3 2 6 3
5 6
5 3 6 3
5 3 5 3 6 3 6 3
+ +
+ = + = +

+ +
b) B =
( ) ( )
( 2 3) 3 4 ... 2008 2009 2009 2 + + + + + + =
bài tập 6 : Tính
Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định
3

gi¸o viªn: ph¹m xu©n trinh.
a) N =
( )
2
1 2008 2009 2 2008− +
b) M =
4 10 2 5 4 10 2 5− − − + −
c) P =
2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ −
+
+ + − −

híng dÉn
a) N =
( ) ( ) ( )
2
1 2008 2008 1 2008 1 2008 1 2007− + = − + =
b) Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ”
M
2
= 6 - 2
( )
2
5 5 1= −

⇒
M = 1 -
5
v× M < 0
c) Cã 2
±

( )
2
3 1
3
2
±
=
P =
2 3 2 3 2 3 2 3
2

3 1 3 1 3 3 3 3
2 2
2 2
 
+ − + −
+ = +
 ÷
 ÷
+ − + −
 
+ −
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 3 2 3 3 3
2
3 3 3 3
 
+ − + − +
 ÷
 ÷
+ −
 
=
3 3 3 3
2 2
6
 
+ + −
=

 ÷
 ÷
 
bµi tËp 7 : CMR
a)
( )
1 1 1 1
...
2
3 2 4 3 1n n
+ + + +
+
< 2 víi n
≥
1vµ n
∈
N
b)
2 1 3 2 36 35
...
2 1 3 2 36 35
− − −
+ + +
+ + +
<
5
12

híng dÉn
a) Ta cã

( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
k k k
k k k k
k k k k k k
 
  
 
= = − = − +
 ÷
 ÷
 ÷ ÷
 ÷
+ +
+ + +
 
  
 
=
1 1 1 1
1 2
1 1 1
k
k k k k k
 
   
+ − < −

 ÷
 ÷  ÷
 ÷
+ + +
   
 
¸p dông víi k
{ }
1; 2;3;...; n∈
ta cã
1 1
2 1
2
2
 
< −
 ÷
 
(1)
1 1 1
2
3 2 2 3
 
< −
 ÷
 
(2)
…………………….
( )
1 1 1

2
1 1n n n n
 
< −
 ÷
+ +
 
(n)
Trêng THCS Trùc Phó – TRùc Ninh-Nam §Þnh
4

giáo viên: phạm xuân trinh.
Cộng vế với vế n BĐT trên ta có
( )
1 1 1 1
...
2
3 2 4 3 1n n
+ + + +
+
<
1
2 1
1n


ữ
+

< 2.

b) Xét biểu thức
( )
1
1
n n
n n
+
+ +
với n

N
*

Vì (n+1) +n = 2n + 1 =
( ) ( )
2
2 2
2 1 4 4 1 4 4 2 1n n n n n n n+ = + + > + = +
( )
1 1
1
2 . 1
n n
n n
<
+ +
+
( )
+ +
< + >

+ +
+
+
<
+ +
+
1 1
( 2 0)
1
2 1
1 1 1
( 1)
2 2 1
n n n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
áp dụng BĐT với n
{ }
1;2;...;36
ta có
2 1 3 2 36 35
...
2 1 3 2 36 35

+ + +
+ + +

<
+ + +
1 1 1 1 1 1
...
2 1 2 2 2 2 2 3 2 35 2 36
=
=
1 1 5
2 2.6 12
L u ý :Ta có thể dùng BĐT cô si (n+1) + n > 2
( )
1n n+
Tổng quát
2 1 3 2 1 1 1
...
2 1 3 2 ( 1)
2 1
n n n
n n
n
+ +
+ + + <
+ + + +
+
bài tập 8 : Rút gọn biểu thức
a) A=
+

6 5 4
3

45 30 5
3 1
a a a
a
với a <
1
3
b) B =
+

2
4
1 2
1
m m
m
hớng dẫn
a) A =
( )
( )
+ = = =

4 2 2
3 3 3
5 9 6 1 5 3 1 5 1 3 3 5
3 1 3 1 3 1
a a a a a a
a a a
vì 3a <1 nên 3a - 1 < 0
b) Điều kiện m

1
B =
( )

>

=


<


4 1
4
1
1
4( 1)
m
m
m
m
bài tập 9 : Cho biểu thức
A =


+
ữ
ữ
ữ

+


1 1 2
:
1
1 1
a
a
a a a a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2
3
c) Tìm a để A < 0 .
Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định
5