ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOÁN 9 học kì 2

HỌ TÊN
LỚP 9D3
ĐẠI SỐ: 1) Hệ phương trình

A. (-2;5)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 9 HỌC KÌ 2
2 x − y = 3

x + y = 3

có nghiệm (x;y) là:

B. (0;-3)

C. (1;2)

D. (2;1)

x + 2 y = 1


1
 y = − 2

2) Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình
1
1

 1 
 1


 0; − ÷
− ;2÷
 0; ÷
 2; − ÷
2
2

 2 
 2

A.
B.
C.
D.
x − 2 y = 4

3) Cho hệ phương trình 3 x + y = 12 có kết luận gì về số nghiệm của hệ phương trình đã cho cho:
A
C

Vô nghiệm
Vô số nghiệm

B
Có một nghiệm duy nhất
D
Cả 3 đáp án trên đều sai
x − 2 y = 4


3 x − 6 y = 12
4) Cho hệ phương trình
có kết luận gì về số nghiệm của hệ phương trình đã cho cho:
A
Vô nghiệm
B
Có một nghiệm duy nhất
C
Vô số nghiệm
D
Cả 3 đáp án trên đều sai

ax + 3 y = 1

x + by = −2
5)Với giá trị nào của a, b thì hệ phương trình 
6) Nhận cặp số ( -2; 3 ) là nghiệm:
A. a = 4; b = 0.
B. a = 0; b = 4.

C.

a = 2; b = 2.

D.

a = - 2; b =- 2

2x − 3y = 5


4x + my = 2

7)Hệ phương trình
vô nghiệm khi
A. m = -6.
B. m = 1.
C. m = -1.
D. m = 6.
8) Hệ phương trình nào sau đây vô nghiệm.
ïìï x - y = 2
í
ïï 2x + y = 0
î

ïìï x - y = 2
í
ïï 2x + y = 2
î

ïìï x - y = 2
í
ïï x + y = 4
î

ïìï x - y = 2
í
ïï 2x - 2y = 1
î

A.

B.
C.
D.
9) Phương trình 3x – 2y + 1 = 0 kết hợp với phương trình nào dưới đây lập thành một hệ phương
trình vô nghiệm
A. 2x – 3y – 1 = 0 B. 6x – 4y + 2 = 0 C. -6x + 4y + 1 = 0 D. -6x + 4y– 2 = 0
∆'
10)Biệt thức
của phương trình 4x2 – 6x – 1 = 0 là
A. 5. B. 13. C. 20. D. 52.
11)Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x+ y = 1 để được một hệ p.trình bậc
nhất một ẩn có nghiệm duy nhất
A. 3y = -3x+3;
B. 0x+ y =1; C. 2y = 2 - 2x;
D. y + x =1.

ax + y = 1

x + by = −2
12) Với giá trị nào của a, b thì hệ phương trình 
TRANG 1


13) Nhận cặp số ( 1; 1 ) là nghiệm:
A. a = -3; b = 0.
B. a = 0; b = 3.

C.

a = 1; b = 1.

D.

a = 0; b =-3

14) Phương trình 3x - 2y =1 kết hợp với phương trình nào dưới đây để được một hệ phương trìnnh
vô nghiệm:
A.
6x – 6y =1
B.
6x + 4y = 1
C.
6x – 4y =2
D.
6x – 4y = 5
’
15) Biệt thức
của phương trình 4x2 – 6x – 1 = 0 là:
V
A. 5
B. 13
16) Biệt thức ∆' của phương trình 4x2 - 2mx - 1 = 0 là:
A. m2 + 16
B. - m2 + 4
C. m2 - 16

C. 52

D. 20

D. m2 +4

17) Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt
A. x2 + x + 1 = 0

B. 4x2 - 4x + 1 = 0

C. 371x2 + 5x - 1 = 0 D. 4x2 = 0

18) Phương trình nào sau đây là vô nghiệm :
A. x2 + x +2 = 0
B. x2 - 2x = 0
C. (x2 + 1) ( x - 2 ) = 0
D . (x2 - 1) ( x + 1 ) = 0
19) Với giá trị nào của m thì phương trình x2 - 3x + 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt?
A. m > 0

B. m < 0

C. m > 9/8

D. m < 9/8

20) Với giá trị nào của m thì phương trình x2 - 4x + m = 0 có nghiệm kép
A m=1

B. m=-1

C. m=4

D. m=-4

21) Một nghiệm của p.trình x2 + x - 2 = 0 là:
1
−
A. -2
B. 2
C. 2
22) Phương trình

m≠0

( m + 2) x

2

D. -1

− 3mx + 9 = 0
m≠2

là phương trình bậc hai ẩn x khi:

m ≠ −2

m≠9

A.
B.
C.

D.
23) Phương trình có nghiệm kép là
A. x2 – 2x – 1 = 0.
B. x2 + 4x + 4 = 0.
C. x2 – x + 1 = 0.
D. x2 + 2x + 4 = 0.
24) Trong các phương trình sau , phương trình nào có hai nghiệm phân biệt .
x 2 − 6x + 9 = 0
x2 +1 = 0
A.
B.
2
2x − x − 1 = 0
x2 + x +1 = 0
C.
D.
2
25) Phương trình 3x – 27 = 0 có tất cả các nghiệm là

x = ±9

x = ±3

A. x = 27.
B. x = 9.
C.
. D.
2
26) Phương trình x - 3x + m – 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi :
A. m < 5

B. m > 5
C. m > 0
27) Phương trình x2 – 2015x - 2014 = 0 có tổng hai nghiệm là
A. 2014
B. -2014
C. -2015
TRANG 2

.
D. m < 0
D. 2015


28) Hai số có tổng bằng 1 và tích bằng -6 là nghiệm của phương trình nào?
A. x2 – x + 6 = 0.
B. x2 – x – 6 = 0.
2
C. x + x – 6 = 0.
D. x2 + x + 6 = 0.
29) Phương trình x2 - 5x - 6 = 0 có hai nghiệm là:
A. 1 và -6
B. – 1 và 6
C. 1 và 6
D. – 1 và –6 .
2
30) Phương trình x - 4x - 5 = 0 có hai nghiệm là:
A. 1 và -5
B. – 1 và 5
C. 1 và 5
D. – 1 và –5 .

31) Phương trình 3x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm bằng 1 khi b bằng:
A. – 5
B. – 1
C. 5

D. 1

32) Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 -mx -3 = 0 thì x1 + x2 bằng :
m
m
3
3
−
−
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
2
33) Tổng hai nghiệm của phương trình x + 2x - 5 = 0 bằng :
A. 2 6
B.-2 6
C.–2
D. 0
2
34) Phương trình 3x + bx + 2 = 0 có nghiệm bằng -2 khi b bằng:
A. – 7
B. – 5
C. 7
D. 5

35) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình: x2 - 5x -7 = 0 là
A. 5 và -7
B. 5 và 7
C. -5 và -7
D. -5 và 7
36) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình: x2 - 10x -3 = 0 là
A. -10 và -3.
B. 10 và -3.
C. -10 và -3.
D. -10 và 3.
37) Gọi S và P là tổng và tích hai nghiệm của phương trình 2x2+x -3=0
Khi đó S. P bằng:
A. - B.
C. D.

1
2

3
4

3
4

3
2

2
2
38) Phương trình x2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Tính x1 + x2 theo m, ta có kết quả là:

A. 36 + 2m.
B. 6 – 2m.
C. 36 – 2m.
D. – 6 +m.
39) Phương trình x2 + 6x - m = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 . Tính
theo m, ta có kết quả là:
2
2
x1 + x2

A. 36 + 2m.

B. 6 – 2m.

C. 36 – 2m.

D. – 6 +m.

40) Biết u+v = 5; u.v =6. Khi đó u,v là hai nghiệm của phương trình:
A. x2 + 5x + 6 =0.
B. x2 + 5x - 6 =0.
C. x2 - 5x + 6 =0.
A. x2 + 7x + 12

B. x2 + 7x - 12

C. x2 - 7x + 12 =0.

x2 - 5x - 6 =0.
D.x2 - 7x - 12 =0.

=0.
=0.
41) Biết u+v = 7; u.v =12. Khi đó u,v là hai nghiệm của phương trình:
2
42) Với giá trị nào của m thì phương trình x − mx + 4 = 0 có nghiệm kép:
A. m = 4
B. m = - 4
C. m = ± 4
D. m = 8
43) Phương trình nao sau đây có 2 nghiệm trái dấu?
A. x2 – 3x + 1 = 0
B. x2 – x – 5 = 0
C. x2 + 5x + 2 = 0
D. x2+3x + 5 = 0
44) Nếu hai số x, y có tổng x + y = S và xy = P, thì x, y là hai nghiệm của phương trình:
2
2
A. X + SX − P = 0
B. X − SX + P = 0

2
C. ax + bx + c = 0

D.
TRANG 3


BÀI 1: 1) Xác định hàm số y = ax2 (P) biết M( -1; 2) thuộc vào (P)
2) Vẽ đồ thị hàm số y = - 2x2

3) Giải hệ phương trình :

x + 3 y = 1

x + y = 5

:

2 x − y = 7

4 x + y = 2
3 x + 2 y = 14 

8 x + 3 y = 5

4 x + 3 y = 6

4) Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của hệ.  2 x + y = 4
BÀI 2: Giải phương trình
1) 3x2 + 5x – 8 = 0
2) a, 5x2 - 3x = 0

b, 6x2 - 4x - 2 = 0

C) 4x4 – 3x2 – 1 = 0

3) Giải phương trình 2x2 – x – 1 = 0
BÀI 4: 1) Cho hàm số y = 2,5x2 (P)
a, Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b, Tìm hệ số a của phương trình đường thẳng (d) y = ax + 4, biết đường thẳng (d) cắt đồ thị (P)

tại điểm A có hoành độ là -2
1
9
2
2
2) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho Parabol (P): y = x2. Các điểm A(2;1); B(3; ) điểm nào thuộc,
không thuộc (P)?
BÀI 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 2
b) Biết phương trình (1) có một nghiệm x1 = 3. Hãy tính nghiệm còn lại x2 và m .
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm giá trị nguyên dương của m để biểu
x x +3
A= 1 2
x1 + x 2
thức
có giá trị nguyên.
BÀI 6: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m = 2
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
x12 + x22 = 52
BÀI 7: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x + m + 3 = 0 (1), (x là ẩn số, m là tham số).
a Tìm m để phương trình có nghiệm.
b Tìm m để phương trình có nghiệm là 1 tìm nghiệm còn lại
c Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2 – 2(x1 + x2) = -4.
BA 8: Cho phương trình x2 – 2x + m = 0
a) Giải phương trình với m = -15
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x12 + x 22 = 8
BÀI 9: Cho phương trình bậc hai 2x2 + 5x + m = 0 (với m là tham số)

a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm
BÀI 10 Cho phương trình: x2-2x + m = 0 (1)
Với giá trị nào của m thì phương trình (1)
TRANG 4


a) Có 2 nghiệm phân biệt?
b) Có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x12+x22= 6
2. Hai xe cùng khởi hành một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120 km. Xe thứ nhất
chạy nhanh hơn xe thứ hai 5 km/h nên đến B sớm hơn 20 phút. Tính vận tốc của mỗi xe?
BÀI 11: Cho phương trình bậc hai, ẩn số là x : x2 – 3x + k – 1 = 0.
a. Giải phương trình khi k = 3.
b. Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
c. Tìm giá trị của k sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện
x12 – x22 = 15.
2
BÀI 12: Cho phương trình: x + 3x – m = 0 (ẩn x, tham số m)
a) Xác định các hệ số a, b, c.
b) Tìm m phương trình có nghiệm.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 11.
BÀI 13: Cho phương trình: x2 + (m+1)x + m = 0 (*), m là tham số, x là ẩn.
a)
Chứng minh phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m?
b)
Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 4. Tìm nghiệm thứ 2 ?
c)
Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiêm x1; x2 thỏa mãn : x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
BÀI 14: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0 (*) ( m là tham số, x là ẩn)

a) Chứng minh phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m?
b) Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 3. Tìm nghiệm thứ 2 ?
c) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiêm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : x12 + x22 =4
x 2 − 2mx + m − 2 = 0 ( 1)
BÀI 15: Cho phương trình
( m là tham số )
x1 , x2
a Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm
với mọi m.
b)Tìm m để phương trình (*) có một nghiêm x = 1. Tìm nghiệm thứ 2 ?
M = x12 + x22 − 6 x1 x2
c) Tìm m sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
BÀI NÂNG CAO:
1) Chứng minh rằng
với mọi giá trị của a, b.

a2 − ab + b2 ≥

1 2
a + ab + b2 )
(
3

2) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

3) Cho a, b > 0 và ab >1. Chứng minh rằng:

GỢI Ý: Ta có:

x 2 y2
+
≥x+y
y
x

1
1
2
+
≥
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

1
1
2
+
≥
2
2
1 + a 1 + b 1 + ab

2 + a 2 + b2
2
≥
2
2
2 2

1 + a + b + a b 1 + ab
⇔ 2 + a 2 + b 2 + 2ab + a 3b + ab3 ≥ 2 + 2a 2 + 2b 2 + 2a 2b 2
⇔

⇔ (ab − 1)( a + b) 2 ≥ 0
Luôn đúng do ab>1
TRANG 5

.


6 8
+
x
y.
4) Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 3x + 2y +
6
8
3
3
3
6
y
8
+ = ( x + y) + ( x + ) + ( + )
y
2
2
2
x

2
y
Ta có : P = 3x + 2y + x
y
8
y 8
3x
6
3x 6
3
3
3
3
x+ y=
( x + y ) ≥ . 6 = 9. 2 + x ≥ 2 2 . x = 6 2 + y ≥ 2 2 . y = 4
2
2
2
Do 2
;
,
Suy ra P ≥ 9 + 6 + 4 = 19

x + y = 6

x = 2
6
 3x
=
⇔ 


x
y = 4
2
8
y
2 = y
Dấu bằng xẩy ra khi 
Vậy min P = 19.
5) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác

a
b
c
+
+
≥3
b+ c− a a+ c−b a+b−c
Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
Bài
Nội dung
Vì a, b, c là dộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có:
b+c- a >0; c+a- b >0; a+b- c > 0
y+ z
x+ z
x+ y
a=
; b=
; c=

2
2
2
Đặt b+c-a = x; c+a-b = y; a+b- c= z ⇒
(*)
4
y + z x + z x + y 1  y x   x z   y z  
(0,5đ)
A=
+
+
=   + ÷ +  + ÷ +  + ÷
2x
2y
2z 2   x y   z x   z y  
Thay (*) vào A ta có:
1
⇒ A ≥ (2 + 2 + 2)
2
hay A ≥ 3 (đpcm)

6) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện:

x−3 + 5− x

ĐK

3≤ x≤5

= y2 + 2

2018

y + 2020

ĐÁP ÁN
. Ta có:

VT = ( x − 3 + 5 − x ) 2 ≤ ( 1 + 1) . ( x − 3 + 5 − x )
⇔ ( x − 3 + 5 − x )2 ≤ 4
⇔ x−3 + 5− x ≤ 2

(1)

TRANG 6

0,25

Điểm
0,25đ
0,25đ


2018

VP = (y +

)2 + 2

Từ (1) và (2) => …

Vậy

≥2

(2)

 x = 4

 y = 2018

(TMĐK)

 x = 4

 y = 2018

0,25

-1
x − 2 x + 2019

7) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

ĐÁP ÁN
Bài 4
ĐK :

0,5 điểm

x≥0

Ta có x - 2
Mà (
⇒ (

⇒

⇒

x

x

x

+ 2019 = (

x

- 1)2 + 2018

- 1)2 ≥ 0 với mọi x ≥ 0

- 1)2 + 2018 ≥ 2018 với mọi x ≥ 0

1
1
2
( x − 1) + 2018 ≤ 2018

0,25

-1
1
≥
−
2018
( x − 1)2 + 2018
−

⇒GTNN của A =

1
2018
−

Vậy GTNN của A =

⇔

1
2018

x

= 1 ⇔ x = 1 (TMĐK)

⇔x=1

8) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 2 .
≤
Chứng minh rằng : x2y2(x2 +y2) 2
ĐÁP ÁN

TRANG 7

0,25


Vì x > 0;y > 0 mà x + y = 2 nên áp dụng BĐT Cosi với hai số dương x và y
2 xy ≤ x + y ⇔ xy ≤ 1 ⇔ xy ≤ 1
ta có:
áp dụng BĐT Cosi với hai số dương 2xy và x2 + y2 ta được:
2 2xy + + = (x+y)2 = 4
2
2xy ( x2 + y2 ) 4
xy ( x2 + y2 ) 2
x2 y 2 x2 + y 2 ≤ 2
0 < xy ≤ 1
Mà
nên
(đpcm)

(

0,25
0,25

)

9) Cho a + b + c = 0 và a, b, c ≠ 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
1
1
1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c
ĐÁP ÁN
VT =
Bài 4
(0,5điểm)

1
1
1
1
1
1
1
1   1
1
1 
 1
+ 2 + 2 =
+ 2 + 2 + 2

+
+  − 2
+
+ 
2
2
a
b
c
a
b
c
 ab bc ca   ab bc ca 
2

2

0,25
2

a
b 
 1 1 1
 c
 1 1 1
 a+b+c 
 1 1 1
=  + + ÷ − 2
+
+

÷ =  + + ÷ − 2
÷=  + + ÷
a b c
 abc abc bca 
a b c
 abc 
a b c
=

1 1 1
+ + = VP
a b c

10) Chứng minh rằng nếu

x+

y − z =0

thì

1
1
1
+
+
=0
y+z−x z+x− y x+ y−z

.

ĐÁP ÁN
x + y − z = 0 ⇔ ( x + y )2 = z

2

⇔ x + y + 2 xy = z ⇔ x + y − z = −2 xy
x + y − z = 0 ⇔ ( x − z ) 2 = (− y )2
⇔ x + z − 2 xz = y ⇔ x + z − y = 2 xz
x + y − z = 0 ⇔ ( y − z ) = (− x )
2

Bài 4
(0,5điểm)

;

2

⇔ y + z − 2 yz = x ⇔ y + z − x = 2 yz

0,25

Thay các kết quả ta được:
1
1
1
1
1
1

+
+
=
+
−
y + z − x z + x − y x + y − z 2 yz 2 zx 2 xy
=

y
x
z
+
−
=
2 xyz 2 zxy 2 xyz

x+ y− z
2 xyz
TRANG 8

=0

0,25

0,25


HÌNH HỌC
0

1) Góc nội tiếp chắn cung 120 có số đo là :
A. 1200.
B. 900.
C. 300.
D. 600.
2) Góc nội tiếp đường tròn có số đo 600. Khi đó cung bị chắn có số đo là:
A. 600.
B. 1200.
C. 900.
D. 300.
A
D
60o
B
x

C

H1

3) Trong hình 1 Biết AC là đường kính của (O) và góc BDC = 600. Số đo góc x bằng:
A. 400
B. 450
C. 350
D. 300

D

H3

C

n
60o B

A

4) Trong hình vẽ AB là đường kính của (O), DB là tiếp tuyến của (O) tại B. Biết

BnC

bằng:

A. 400
B. 500
D. 300
N

60°

M

40°

x

Q

P

5) Trong hình vẽ, cho 4 điểm MNPQ thuộc (O) . Số đo góc x bằng:
A. 200
B. 250
C. 300
D. 400

TRANG 9

ˆ = 60O
B

cung


A

D

x
B

30o
H4

C

6) Trong hình vẽ. Biết AC là đường kính của (O). Góc ACB = 300
Số đo góc x bằng:
A. 400
B. 500

C. 600
D. 700
B

7) Trong hình 6 Biết MA và MB là tiếp tuyến của (O), đường
kính BC. Góc BCA = 700 Số đo góc x bằng:
A. 700
B. 600
C. 500
0
D. 40

O

70o

x

M
M

H6

P

K

C

A

45o

O

30o
Q

N

H7

8) Trong hình 7 Biết góc NPQ = 450 vốcgóc MQP = 30O
Số đo góc MKP bằng:
A. 750
B. 70 0
C. 65 0
D. 600

A

B

9) Trong hình 8. Biết cung AmB = 80 O và cung CnB =
30O.
Số đo góc AED bằng:
A. 500
B. 250
C.
300

0
D. 35

m 80°

30° n
H8

N

60°

M

40°
P

TRANG 10

E

C

D

10) Trong hình vẽ sau cho 4 điểm M,N,Q,P thuộc đường tròn . Số đo
góc x bằng:
A. 250
B. 200
C. 300

D. 400
11) Cho hình vẽ. Biết AB là đường kính của đường tròn (O),
∠
∠
CAB = 400; BAD = 200. Khi đó số đo góc AQC là:

x

x

Q


A

O
C
Q
D
B

A. 600

B. 1400

12) Trên hình vẽ bên, biết
A. 300
B. 500
C. 600
D. 1000

C. 700

·
·
BAC
= 800 ; ACE
= 200

D. 300.

·
; số đo BEC bằng

B
O 80°
C

20°

13) Cho hình vẽ, giá trị của góc x là:
A

D

x
B

o
30

A. 400

B. 500

C. 600

D. 700

C

14) Trong hình sau, cho 4 điểm MNPQ thuộc đường tròn . x có số đo bằng:
A. 200;
B. 250;
C. 300;
D. 400.
N

60°

M

40°

x

Q

P

15) Biết

·
·
MDA
= 200 ; DMB
= 30 0

. Số đo cung DB bằng

TRANG 11

A
E


E
A F

A. 200
B. 300
C. 500.
D. 1000.

D
n

B

A

M

O

B

D
C

16)
Cho hình chữ nhật có
chiều
dài là 5 cm và chiều
A
rộng
Dlà 3 cm. Quay hình
chữ
nhật đó một vòng
quanh
chiều dài của nó ta
được
một hình trụ. Diện
tích
C xung quanh của hình
B
trụ đó
là:
A.
30 π (cm2) B. 10 π

(cm2) C. 15 π (cm2)
D. 6 π (cm2)
17) Cho tam giác ABC vuông tại A; AC = 3 cm; AB = 4 cm.E Quay tam giác đó một vòng quanh
cạnh AB của nó ta được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
2
A. 20 (cm2) B. 48 (cm2) C. 15 (cm2)
D. 64 A (cm
)
F

π

π

π

π

18) Một hình trụ và hình nón có cùng chiều cao và đáy. Tỷ số thể tích giữa hình nón và hình trụ là:
A.
B.
C.
D. 2

1
2

1
3

2
3

B

19) Thể tích của một hình trụ bằng 375cm3, chiều cao của hình trụ là 15cm. Diện tích xung quanh
của hình trụ là :
D
A.150πcm2 B. 70πcm2
C. 75πcm2
D. 32πcm2
20) Một hình chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng 3cm.
Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài
C
của nó thì diện tích xunh quanh hình trụ thu được là
π
A. 3 (cm2).
π
A
D
B. 9 (cm2).
π
C. 18 (cm2).
π
D. 36 (cm2).
B

C

21) Cho hình nón có bán kính đáy là 6cm, chiều cao là 8cm. diện tích xung quanh của hình nón là :

π

π

π

π

A. 24 cm2
B. 60 cm2
C. 48 cm2
D. 50 cm2
Một hình nón có bán kính đáy là 5cm, chiều cao bằng 12cm. Khi đó diện tích xung quanh bằng :
A. 60πcm2
B. 300πcm2
C. 17πcm2
D. 65πcm2
TRANG 12


22) Hình nón có chiều cao bằng 12 cm, đường sinh bằng 15 cm có thể tích là
36π
81π
162π
324π
A.
(cm3)
B.
(cm3)

C.
(cm3)
D.
(cm3)
23) Một hình chữ nhật có chiều dài 6cm, chiều rộng 3cm. Khi quay hình chữ nhật quanh chiều dài
của nó thì diện tích xunh quanh hình trụ thu được là
π
A. 3 (cm2).
π
B. 9 (cm2).
π
C. 18 (cm2).
π
D. 36 (cm2).
24) Một hình nón có bán kính đáy là 5cm, chiều cao bằng 12cm. Khi đó diện tích xung quanh bằng
:
A. 60πcm2
B. 300πcm2
C. 17πcm2
D. 65πcm2
25) Cho tam giác ABC vuông tại A; AC = 3 cm; AB = 4 cm. Quay tam giác đó một vòng quanh
cạnh AC của nó ta được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:
A. 20 π (cm2)
B. 48 π (cm2)
C. 15 π (cm2)
D. 64 π (cm2)
Thể tích của hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 9 và chiều cao là 6 là:
A. 234 π .
B.324 π .
C. 108 π .

D. 486 π .
3
2
26) Hình trụ có thể tích là 300 cm , diện tích đáy là 15cm , chiều cao hình trụ là
A. 20 cm.
B. 25 cm.
C. 60 cm.
D. 75 cm.
BÀI 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn (O)
(M không trùng với A và B). Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc
với AB tại P, MQ vuông góc với AE tại Q.
a. Chứng minh bốn điểm A, E, M, O thuộc cùng một đường tròn
b. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
c. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh K là trung điểm của MP.
ĐÁP ÁN
Vẽ hình đúng cho câu a)
0,5đ

a. Chứng minh rằng tứ giác AEMO nội tiếp (0.75đ)
0,25đ
TRANG 13


·
EMO
= 900

Có:
·
EAO

= 900

(EM là tiếp tuyến của (O)) => M thuộc đường tròn đường kính OE.

=> A thuộc đường tròn đường kính OE
Do đó: A; E; O; M cùng thuộc đường tròn đường kính OE
c. Chứng minh K là trung điểm của MP (0.75đ)
EK AP
=
EB AB
Do AE // PK =>
(1) (định lí Talet)
EI
AP
=
EO AB
∆EOA
∆MAB (g.g) =>
(2)

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ

s
EK EI
=

EB EO

Từ (1); (2) =>
Do đó: KI // OB (định lí Talet đảo) hay IK // AP
Trong ∆AMP có: IK // AP (cmt) và I là trung điểm AM (cmt)
Suy ra: K là trung điểm AM
2) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) và cát
tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O).
·AMO = BAO
·
a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp và
.
b) Chứng minh: MC.MD = MA2.
c) Đường thẳng MO cắt AB tại H và cắt (O) tại I, K (I nằm giữa M và K). Chứng minh: CK là tia
·
DCH
phân giác của
.
ĐÁP ÁN
Câu 4

3,0
A
D

M

C
I

O

H

K

B

0,5

Vẽ đúng hình cho câu a)
a)
(1 điểm)

a) Chứng minh: tứ giác MAOB nội tiếp và
Xét tứ giác MAOB có
TRANG 14

·AMO = BAO
·

1,0
.
0,25


⇒

c)
(0,5 điểm)

·
·
MAO
= MBO
= 900

(Tính chất tiếp tuyến)

·
·
MAO
+ MBO
= 1800

⇒
⇒ Tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp (Định lí đảo về tứ giác nội tiếp)
·
·
»
BMO
= BAO
BO
⇒
(Góc nội tiếp cùng chắn
)
·
BMO
= ·AMO
Mà

(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
·AMO = BAO
·
⇒
·
DCH
c) Chứng minh: CK là phân giác của
.
MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB
⇒ OM là đường trung trực của AB ⇒ OM ⊥ AB tại H
∆MAO vuông tại A có đường cao AH nên MA2 = MH.MO
Mà MA2 = MC. MD
⇒ MH.MO = MC.MD
MC MO
=
·
CMH
MH MD
⇒
và
là góc chung
∆
∆
⇒ MHC ~ MDO (c.g.c)
·
·
·
·
·
·

MCH
= MOD
MCH
HCD
MOD
HCD
0
⇒
mà
+
= 180 nên
+
= 1800
⇒Tứ giác CHOD nội tiếp
·
·
DOK
= DCH
⇒
1·
·
DCK
= DOK
2
Mà
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
1
·
·
DCK

= DCH
·
DCH
2
⇒
⇒ CK là tia phân giác của

0,25

0,25
0,25
0,5

0,25

0,25

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm M. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC
cắt BC tại E, BM cắt đường tròn (O) tại điểm D. Chứng minh:
a) Các tứ giác ABEM và ABCD nội tiếp.
b) DB là phân giác của góc EDA.
c) Ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.
ĐÁP ÁN
Câu 4

3,0

TRANG 15

B
E

M

A

1
O
2

C

1
D

0,5

K

Vẽ đúng hình cho câu a)
a) Các tứ giác ABEM và ABCD nội tiếp.
*Xét tứ giác ABEM có:

·
MEC
= 900

⇒
a)

(1 điểm)

Mà

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
MEC
(Kề bù với
)

·
MEB
= 900

·
BAM
= 900

1,0

0,25
0,25

(gt)

·
·
MEB
+ BAM
= 1800

⇒
⇒ Tứ giác ABEM nội tiếp (Định lí đảo về tứ giác nội tiếp)
*Xét tứ giác ABCD có:

·
·
BDC
= BAC
= 900

0,25

(gt và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ A và D cùng nhìn BC dưới cặp góc bằng nhau
⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp (Bài toán quỹ tích cung chứa góc)
b) DB là phân giác của góc EDA.
µ =D
¶
C
1

Xét đường tròn (O) có:
b)
(0,5 điểm)

c)
(0,5 điểm)

1

(Góc nội tiếp cùng chắn cung ME)
µ =D
¶
⇒C
1
2
Mà tứ giác ABCD nội tiếp (cmt)
(Góc nội tiếp cùng chắn
cung AB)
¶ =D
¶ ⇒
⇒D
1
2
DB là tia phân giác của góc EDA
c) Ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

0,25
0,5
0,25

0,25

0,5

Giả sử AB cắt CD tại K

BD ⊥ CK ; CK ⊥ BK
Xét tam giác KBC, ta có:

(gt)
⇒M là trực tâm của tam giác KBC (Tính chất 3 đường cao)
⇒ KM ⊥ BC
Mặt khác

·
MEC
= 900

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
TRANG 16

0,25
0,25


⇒ ME ⊥ BC

⇒ Đường thẳng KM và ME trùng nhau
Do đó 3 đường thẳng AB, EM, CD đồng quy tại K

4) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M
khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB (), MB
cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp.
b)
c) Điểm N là trung điểm của đọan thẳng CH.
ĐÁP ÁN
DAPAN
Đáp án

Bài
- Vẽ đúng hình cho câu a)

O

H

a) (1 điểm)
Xét (O) có AB là đường kính ta có:
= 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

·
AKB

CH

⊥

AB (gt)

·
⇒ AHN

Xét tứ giác AKNH có :

Điểm
0,5

= 900

0,25
0,25

·
·
AKN
+ AHN

= 900 + 900 = 1800

Suy ra tứ giác AKNH nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) (1,0 điểm)
Có MA và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của đường tròn (O) (gt)
⇒ MA = MC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực của
đoạn thẳng) (1)
TRANG 17

0,25
0,25


Bài

Đáp án
Có OA = OC (Bán kính của đường tròn (O))
⇒ O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC (T/c đường trung trực của
đoạn thẳng) (2)
Từ (1) và (2) ⇒OM là đường trung trực của đoạn thẳng AC

⇒ OM AC
Có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ BC AC
OM//BC (T/c từ vuông góc đến song song)
⇒
⇒

Điểm
0,25

0,25
0,25

=

(2 góc so le trong) (3)
Xét (O) có : = (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (4)
Từ (3) và (4) suy ra
c) (0,5 điểm)
Gọi giao điểm của BC với AM là I
Có BC//OM (cmt)
Xét tg ABI có:
O là trung điểm của AB
OM//BI ( vì OM//BC )
⇒ M là trung điểm của AI (T/c về đường trung bình của tam giác)
MA = MI

0,25

⇒

Có AM ⊥ AB (Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O))
CH ⊥ AB (gt)
⇒ CH //AM (T/c từ vuông góc đến song song)
⇒ CH //AI
Xét ABM có HN//MA ( Vì CH //AI, N ∈ CH, M ∈ AI)

0,25

∆

(Hệ quả của định lí Ta lét) (5)
Xét MBI có : CN//IM ( Vì CH //AI, N ∈∈ CH, M ∈ AI)

∆

(Hệ quả của định lí Ta lét) (6)
Từ (5) và (6)
mà MA = MI ( cmt) nên NH = NC
0,25
⇒N là trung điểm của CH
5) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (P và Q là 2
tiếp điểm) và một cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn.
b) PQ cắt AB tại E. Chứng minh MP2 = ME. MI
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với MP cắt PQ, PB lần lượt tại H, K.
Chứng minh KB = 2. HI
ĐÁP ÁN
Bài
Đáp án

Điểm
(3điểm)
Hình vẽ đúng cho câu a)
0,5
TRANG 18


a. (1 điểm)
Xét (O) có AB là dây không đi qua O và I là trung điểm của AB(gt)
⇒ OI
tại I ⇒
(q.hệ vuông góc giữa đ.kính và dây)
⊥ AB
·
MIO
= 900
Ta có:

·
MPO
= 900

·
MQO
= 900

0,25

( Vì MP là tiếp tuyến tại P của (O) )

( Vì MQ là tiếp tuyến tại Q của (O) )
0,25
0,25
0,25

⇒ I, P, Q thuộc đường tròn đ.kính MO (quỹ tích cung chứa góc)
⇒M, P, I, O, Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO
C) Vì AH // MP(gt) ⇒ (2 góc đồng vị)
Ta có: MPIQ nội tiếp đường tròn(c/m trên)
⇒ (2 góc nội tiêp cùng chắn cung MQ)
⇒
hay
Xét tứ giác AHIQ có
mà I và H thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AQ nên tứ giác AHIQ nội tiếp
(quỹ tích cung chứa góc)
⇒ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Xét (O) có ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AP)
⇒ mà là 2 góc đồng vị ⇒HI // BP
Xét ΔABK có: HI // BK ( c/m trên)
I là trung điểm của AB(gt)
⇒ HI là đường trung bình của ΔABK
⇒ BK = 2HI ( tính chất đường trung bình của tam giác)
6) Cho đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy điểm A tùy ý trên đường tròn (A

≠

0,25

0,25
B, A

≠

C).

Dựng hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AI vuông góc với đường thẳng BD tại I, Từ C kẻ CK vuông
góc với BD tại K.
a) Chứng minh 4 điểm A; D; C; I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh BA.AK = CK. AD.
c) Khi BC cố định tìm vị trí của điểm A trên đường tròn sao cho CK. BD lớn nhất.
.
TRANG 19


ĐÁP ÁN
(3 điểm)
Hình vẽ
đúng cho
câu a,
0,5

Chứng minh:

·
·
ABD
= ACK
·
·
BAD

= AKC

Suy ra
Suy ra:

(3điểm)

∆

(Góc nội tiếp cùng chắn
(cùng bù với góc

·
ABC

»
AK

)
0,25

)

ABD : KCA (g.g).
∆

BA AD
=
CK AK

0,25

.
0,25

Kết luận: BA.AK = CK. AD.
Câu c: 0,5 điểm
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
1

SDBC = SABC =  SABCD ÷ ⇒ CK.BD = AH.BC.
2


0,25

0,25

Chứng minh được khi A thay đổi trên đường tròn tâm O đường kính
BC thì
AH ≤ AO
(Dấu ''='' xảy ra khi H trùng với O)

⇔

A là điểm chính giữa

Từ đó suy ra CK. BD lớn nhất khi A là điểm chính giữa

»

BC

»
BC
0,25

(Có hai vị trí điểm A)
7) Cho tam giác ABC; H là chân đường cao kẻ từ A. Đường tròn đường kính HB cắt AB tại điểm
thứ hai là D. Đường tròn đường kính HC cắt AC tại điểm thứ hai là E.
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp một đường tròn.
b/ Gọi F là giao điểm của AH và DE . Chứng minh FA.FH = FD.FE .
c/ Chứng minh
.
·
·
EBH
= EDC
ĐÁP ÁN

TRANG 20


Bài 3
(3đ):

+ Vẽ hình
đúng:

0.5

a.Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn
Chứng minh được
·
·
CEH
= 900 ⇒ HEA
= 900
Chứng minh được

·
BDH
= 900 ⇒ ·ADH = 900

Từ đó kết luận A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AH
b) Gọi F là giao điểm của AH và DE. Chứng minh FA.FH = FD.FE
Xét 2 AFD và EFH có
∆
∆
·
EFH
= ·AFD
·
·
DAH
= DEH

0.25
0.25
0.25

0,25

(đđ);
(cùng chắn cung DH của (ADHE))

⇒ ∆AFD : ∆EFH
c) Chứng minh

(g.g)

⇒ FA FE
=
⇒ FA.FH = FE.FD
FD FH

·
·
EBH
= EDC

Chứng minh được
Chứng minh được

0,25

·
·
DHA
= DEA
0,25

·
DHA
= ·ABH

⇒ ·ABH = DEA
·
·
·
DEA
+ CED
= 1800

0,25
0,25
0,25

(kề bù)

Vậy tứ giác DECB nt

0,25

⇒ ·ABH + CED
·
= 1800

⇒ EBH
·
·
= EDC

(cùng chắn cung EC của đt (DECB)) Mà

TRANG 21


D thuộc (O) ⇒FD là tiếp tuyến đường tròn (O)
8) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại
E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DCEF nội tiếp.
·
·
b) CDE = CFE
·
c) Tia CA là tia phân giác của BCF
ĐÁP ÁN
Bài 3:
Nội dung
Điểm
C
2
1

0,5 đ

B
E

a

A

b

c

1

F

D

Vẽ hình làm câu a
Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )
¼
·
·
CDE
= CFE
CE
=>
( góc nội tiếp cùng chắn
) ( đpcm )
Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp ( cm phần a )
=>
( góc nội tiếp cùng chắn
)
(4)
¶C = D
¶

»EF
1

1

Xét đường tròn đường kính AD, ta có:
( góc nội tiếp cùng chắn
)
¶ =D
¼
¶
AB
C
2

Từ (4) và (5) =>

0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

(5)

1

¶ =C
¶
C

1
2

hay CA là tia phân giác của

·
BCF

.

( đpcm )

9) Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D
và cắt đường tròn tại E.
a) Chứng minh OE vuông góc với BC.
b) Gọi S là giao điểm của BC với tiếp tuyến của đtròn tại A . Cm tam giác SAD cân.
c) Chứng minh SB.SC = SD2
ĐÁP ÁN
Bài
Câu
Nội dung
Điểm

TRANG 22


0,5

A

O

S

B

D

C
E

4
3,0đ

a

Chứng minh được BE = CE => E thuộc trung trực BC
OE = OC => O thuộc trung trực BC

b

=> OE là đường trung trực của BC
=> OE vuông góc BC
Cm được
;
1
1
·
¼ = Sd AB
» + BE

»
SAD
= SdABE
2
2

(

(

1
·
» + SdCE
»
SDA
= SdAB
2

c

·
·
SAD
= SDA

0,25
0,25
0,25

)

Có AD là phân giác góc BAC nên
Suy ra

)

0,25
0,25
0,25
0,25

» = CE
»
BE

=> tam giác SAD cân tại S

Cm tam giác SAB đồng dạng với tam giác SCA
=> SA2 =SB.SC

0,25
0,25
0,25

Mà SA = SD => SB.SC = SD2
10) Cho điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B là tiếp điểm).
Đường thẳng MO cắt (O) tại hai điểm N và Q (N nằm giữa M và Q). Gọi H là giao điểm của AB và
MO, K là giao điểm của BN và AM; I là hình chiếu của A trên BM.
a) Chứng minh rằng các tứ giác AOBM nội tiếp.
Xác định tâm của đường tròn đi qua 4 đỉnh A,0,B,M

b) Chứng minh rằng MA2 = MN . MQ
c) Khi K là trung điểm của AM, chứng minh ba điểm A, N, I thẳng hàng.
ĐÁP ÁN
Câu 3
Vẽ hình đúng để làm câu a
0,5

TRANG 23


3
điểm

a. (1 điểm)
·
OAM

·
OBM

0

MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) =>
=
= 90
·OAM OBM
·
=>
+
= 1800

=> Tứ giác AOBM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
Vì các tam giác AMO và BMO là các tam giác vuông nên tâm của đường
tròn đi qua 4 đỉnh A,0,,B,M là trung điểm của AO
b. (1 điểm)
·AMN
xét ∆AMN và ∆QMA có:
chung
·AQN
·
MAN
=
( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng
chắn một cung AN)
=> ∆AMN ~ ∆QMA(g - g)
MA MQ
=
MN MA
=>
=> MA2 = MN . MQ
c. (0,5 điểm)
Có :OA=OB (= bán kính); MA=MB (vì là hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> OM là đường trung trực của AB,mà N thuộc OM nên NA=NB
·
·ABN
BAN
=> ∆ABN cân ở N =>
=
Lại có
·
·

BAN
MBN
=
(Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng
chắn một cung BN)
·ABM
= => BN là đường phân giác của
·ABM
Hay BK là đường phân giác của
.
Mà K là trung điểm của AM => BK là đường trung tuyến của ∆AMB
Do đó ∆AMB cân tại B nên BA=BM
Lại có: MA = MB(cmt) nên MA=MB =AB.Vậy ∆AMB đều
=> AN là đường phân giác đồng thời là đường cao
Mà I là hình chiếu của A trên BM nên ba điểm A, N, I thẳng hàng.

TRANG 24

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25


11) Cho tam giác ABD vuông tại B .Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A lấy điểm C sao

∈

cho góc ACD = 900 . E là giao điểm của AC và BD. Kẻ EF vuông góc với AD (F AD).
a) Chứng minh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn xác định tâm O của đường
tròn đó.
b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của góc BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh: CM.DB = DF.DO.
ĐÁP ÁN
Câu 3
Vẽ hình đúng để làm câu a
B
3
điểm
C
0,5
E
M

A
O

F

D

a. (1 điểm)
Xét tứ giác ABCD có
= 900 ( do tam giác ABD vuông tại B)
= 900 (gt)
Suy ra: = = 900
Do đó tứ giác ABCD nội tiếp ( Vì có 2 đỉnh B và C kề nhau cùng nhìn cạnh đối
diện AD dưới một góc không đổi)
Vì các tam giác ABD và ACD là các tam giác vuông nên tâm(O) của đường tròn đi
qua 4 đỉnh A,B,C,D là trung điểm của AD

0,25
0,25
0,25
0,25

b. (1 điểm)
Ta có tứ giác DCFE nội tiếp ( Vì có + = 1800 )

⇒

= ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF ) Hay = (1)
Mặt khác trong (O) ta cũng có = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )(2)
Từ (1) và (2) suy ra: . =
Vậy tia CA là tia phân giác của góc BCF.

c. (0,5 điểm)

TRANG 25

0,25

O,25
0,25
0,25