Khoá Luận tốt nghiệp Toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert va ứng dụng

Mở đầu
Trong toán học, trên các không gian hữu hạn chiều với tích vô hớng(tích
trong), khái niệm toán tử tự liên hợp, đợc hiểu là liên hợp của chính nó. Tơng
tự , một ma trận là Hermit nếu nó không thay đổi qua một phép biến đổi liên
hợp. Sự xuất hiện của định lí phổ hữu hạn chiều, cho phép mỗi toán tử tự liên
hợp(có cơ sở trực giao), đều đợc biểu diễn nh một ma trận đờng chéo các số
thực. Trong luận văn này, chúng tôi đề cập tới lớp các toán tử tự liên hợp trên
không gian Hilbert với số chiều tùy ý. Đó là vấn đề đợc quan tâm nhiều trong
giải tích hiện đại và vật lí lý thuyết.
Chẳng hạn, nhờ công thức Dirac-von Neumann(trong cơ học lợng tử) mà ta
đánh giá đợc trạng thái vật lí của một hệ nào đó, về vị trí, xung lợng, tần số,
độ xoắn,, qua sự biểu diễn của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert.
Hoặc, nhờ phơng trình toán tử Hamilton H = V

2

2m

2 , mà ta mô tả

đợc năng lợng của hạt có khối lợng m trong trờng thế (thực) V.Trong đó
H là toán tử vi phân(tự liên hợp), thuộc lớp con các toán tử khả vi, của lớp các
toán tử không bị chặn. Một số vấn đề liên quan khác, có thể thấy ở ví dụ 3.1
(trang 22); chú ý 4.2(trang 26). Trong thực tế, nhiều bài toán vật lí - toán, đợc
giải bằng cách đa về bài toán tìm véctơ riêng của toán tử tự liên hợp trên
không gian Hilbert vô hạn chiều. Phơng pháp đó đợc áp dụng khá phổ biến
và hiệu quả. Chẳng hạn, các bài toán về
1. Phơng trình tích phân
b

2

K(x, y)u(y)dy = u(x) , a x b , u L [ a,b] ,
a

2. Bài toán Fredholm

u Au = b , u X .
3. Bài toán biên - giá trị riêng

u(x) = u(x) , 0 < x <

2
u(0) = u() = 0 , u C [ 0, ] , .
2

.


Từ ý nghĩa đó, luận văn đề cập tới một số vấn đề về lí thuyết toán tử tự liên
hợp trên không gian Hilbert và một số ứng dụng(trong toán học), với tiêu đề
Toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert và ứng dụng
Gồm các nội dung :
Phần 1.

Một số vấn đề về lí thuyết toán tử tự liên hợp
trên không gian Hilbert

Đ1. Toán tử tự liên hợp.
Đ2. Toán tử Laplace và ví dụ về toán tử Laplace không tự liên hợp.
Đ3. Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử và tính tự liên hợp.
Đ4. Phổ của toán tử tự liên hợp không bị chặn.

Phần 2.

Một số ứng dụng

Đ5. Bài toán giá trị riêng đối với toán tử tự liên hợp.
Đ6. Bài toán Fredholm.
Đ7. ứng dụng cho phơng trình tích phân.
Đ8. ứng dụng cho bài toán biên giá trị riêng.
Trong luận văn này, chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu để trình bày hệ thống
những vấn đề cơ bản nhất một cách đơn giản. Nhng do quỹ thời gian và năng
lực, chắc chắn sẽ còn những sai sót. Những vấn đề mở rộng, chuyên sâu hơn về
lý thuyết và ứng dụng mà luận văn cha đề cập đến một cách đầy đủ, bạn đọc
có thể tìm hiểu trong các giáo trình và tài liệu chuyên khảo.
Tác giả xin chân thành cảm ơn về những góp ý quan trọng của thầy giáo
Nguyễn Xuân Thuần, các thầy cô giáo và bạn bè khoa KHTN.

Thanh hoá, tháng 5 năm 2009.

3


Các kí hiệu sử dụng
D(A)

Miền xác định của toán tử A.

Ran(A)

Tập giá trị của toán tử A.

G(A)

G(A) := {( x,Ax ) : x D(A)} .

B(X)

Tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.

kerA

Không gian không(hoặc hạch của toán tử A).

span(D)

Bao tuyến tính của tập D.

C

Phần bù trực giao của không gian con tuyến tính C.

B( )

Tập các hàm đơn giản trên

( X, B, )

Không gian độ đo.

( X, )

Không gian đo đợc.

P(H)

Tập các phép chiếu trên không gian Hilbert H.

.

A (hoặc [ A ]) Bao đóng của toán tử A.

(A)

Phổ của toán tử tuyến tính A.

(A)

Tập giải thức của toán tử tuyến tính A.

R (A)

Giải thức của toán tử tuyến tính A tại .

dimX

Số chiều của không gian tuyến tính X.

C k ()

Tập các hàm khả vi bậc k trên

C
c ()

Tập các hàm khả vi vô hạn, với giá compact trên

n

.
n

k
C
0 [ a, b ] , C () Không gian các hàm trơn trên [ a,b ], .

C [ a,b ] , C() Không gian các hàm liên tục trên [ a, b ], .
L(a, b);L2 (a,b);L2 ();L2 () Không gian các hàm khả tổng Riemann,
Lebesgue.

L loc ;L2loc ;Lploc Không gian các hàm khả tổng có lũy thừa p =1,2,..N,
khả tổng địa phơng.

4

.


Mục lục

Nội dung

Trang

Mở đầu.....2
Các kí hiệu sử dụng..........................................................................................4
Mục lục ...5
Phần 1. Một số vấn đề về lí thuyết toán tử tự liên hợp
trên không gian Hilbert.....6
Đ 1. Toán tử tự liên hợp6

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản6
2. Các ví dụ............................................. 9
Đ 2. Toán tử Laplace và ví dụ về toán tử Laplace không tự liên hợp... 11

1. Toán tử Laplace...11
2. Toán tử Laplace không tự liên hợp.16
Đ 3. Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử và tính tự liên hợp .20

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản...20
2. Các ví dụ. ..... . 22
Đ 4. Phổ của toán tử tự liên hợp không bị chặn 25

1. Định nghĩa và ví dụ. ...25
2. Một số tính chât cơ bản...27
Phần 2 . Một số ứng dụng31
Đ 5. Bài toán giá trị riêng đối với toán tử tự liênhợp......................................31
Đ 6. Bài toán Fredholm..35
Đ 7. ứng dụng cho phơng trình tích phân 38
Đ 8. ứng dụng cho bài toán biên- giá trị riêng...43

Kết luận. 48

Tài liệu tham khảo.....49

5


Phần 1. Một số vấn đề về lý thuyết toán tử tự
liên hợp trên không gian Hilbert
Đ 1. Toán tử tự liên hợp

1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
Định nghĩa1.1. Giả sử X và Y là các không gian Banach, M là không gian con
của X. Phép biến đổi tuyến tính( hoặc toán tử) A : M Y là xác định trù mật,
nếu M trù mật trong X
Định nghĩa1.2. Cho không gian Hilbert H và các toán tử
A : D(A) H H,B : D(B) H H .
Khi đó, ta định nghĩa phép cộng và nhân các toán tử
A + B : D ( A ) D ( B ) H , bởi x
( A + B ) x = Ax + Bx và
AB : {x D ( B ) : Bx D ( A )} H , bởi x

( AB ) x = A ( Bx ) .

Mệnh đề1.1. Giả sử A, B là các toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert H .
Khi đó, phép biến đổi liên hợp : H H, A (A) = A có các tính chất
(1). ( cA ) = c A* nếu c 0, c C.
*

(

)

(2). A* + B* ( A + B ) , nếu A + B là xác định trù mật.
(3).

*

( AB )* B*A* , nếu AB

là xác định trù mật.

(4). A B B* A*
Nhận xét1.1. Các tính chất (2) và (3) trong mệnh đề 1.2 là tơng đơng, nếu
A bị chặn và xác định hầu khắp nơi.
Mệnh đề1.2. Giả sử A,B là các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert H . Khi đó, ta có
(1). A tuyến tính bị chặn và A* = A .
(2). ( A + B ) =A* + B* , , .
*

(3).

AB A B và

( AB )* = B*A*

(4). AA = A .
2

Định nghĩa1.3. Giả sử A : H H là toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert H . Khi đó

6


(1).
(2).
(3).
(4).
(5).

A là chuẩn tắc, nếu A*A = AA* .
A là đối xứng( liên hợp ), nếu ( Ax, y ) = ( x, Ay ) , x, y H .
A là tự liên hợp( Hermit ), nếu A* = A .
A là unita, nếu Ax = x , x H .
A là trực giao, nếu H là không gian Hilbert thực và A là unita.

Nhận xét1.2. (1). Nếu định nghĩa toán tử U : H ì H H ì H , bởi
( x, y ) U ( x, y ) = ( y, x ) , thì U là toán tử unita.
(2). Lớp các toán tử đối xứng hẹp hơn lớp các toán tử tự liên hợp
( A A ) .
Gọi D := D(A) là miền xác định của A :D H H , kí hiệu

G(A) = {( x,Ax ) :x D} là đồ thị của A.
Bổ đề 1.1. Nếu A : H H là toán tử tuyến tính xác định trù mật trên H,
thì

G(A ) = U ( G(A) ) . Trong đó, U là toán tử unita ở nhận xét 1.1(1).
Chứng minh.
(Ax, y) = (x, y* ) ( (Ax, x),(y, y) ) = 0 U(x,Ax),(y, y* ) = 0 . Do đó

(

(

)

)

(y, y* ) G(A* ) U ( x,Ax ) ,(y, y* ) = 0 , x D . Nghĩa là


G(A ) = U ( G(A) ) .
Hệ quả1.1. Nếu A là toán tử xác định trù mật, thì A* là toán tử đóng.
Định lí1.1. Nếu A là đóng và xác định trù mật trên H thì A* xác định trù
mật trên H và A** = A .
Chứng minh. Giả sử D(T* ) không trù mật trong H. Khi đó, tồn tại

z 0 sao cho z D(A* ) . Vì (0, z) (A* y, y), y D(A* ) ,
kéo theo

(

)



(0,z) U G(A* ) = U ( G(A) ) . Do đó, từ U 2 = 1 , suy ra

U ( 0, z ) U ( G ( A ) ) . Hơn nữa, vì G ( A ) và U ( G ( A ) ) đóng, nên

U ( 0, z ) U ( G ( A ) ) . Tơng tự, 0,z G ( A ) tức là z = A ( 0 ) , điều này mâu

( )

thuẫn với giả thiết z 0 . Vì vậy, D A* trù mật trên H và A** tồn tại.
Với mỗi toán tử unita U và không gian con đóng M , ta có.

(

Do đó G(A** ) = U G(A* )

) = ( U ( G(A)) )





vậy A** = A .
7

= U 2 ( G(A) ) = G ( A ) .Vì


Nhận xét1.3. Nếu A xác định trù mật trong H , thì A* xác định trù mật trong
H khi và chỉ khi A có mở rộng tuyến tính đóng. Khi đó, A** là mở rộng tuyến
tính nhỏ nhất và G(A** ) = G(A) .
Định nghĩa1.4. Nếu A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật và có mở
rộng tuyến tính đóng, thì bao đóng của A là mở rộng tuyến tính nhỏ nhất.
Định nghĩa1.5. Không gian con M D ( A ) , gọi là lõi của toán tử đóng A ,nếu

(

)

bao đóng của thu hẹp A trên M là A. Nghĩa là, A = A M .
Mệnh đề1.3. Giả sử H n là dãy các không gian Hilbert. Khi đó, tập




2

,
với
H
x
x
:
x
x,y
=
=
=
<

(
)
(
)
n

( x i ,y i ) , x,y H ,

k k =1 k
n=1
k =1
i=1


là không gian Hilbert( H đợc gọi là tổng trực tiếp của H n ) .


H=



H n .Giả sử mỗi

Mệnh đề1.4. Cho H n là dãy các không gian Hilbert và H =

n=1

A n : H n H n là bị chặn ; A : H H xác định bởi


A ( x1 ,x 2 ,...) = ( A1x1, A 2 x 2 ,...) với D ( A ) = x H : A i x i
i=1


và B ( x1 ,x 2 ,...) =

(

A1*x1 ,A*2 x 2 ,...

)

2



với D ( B ) = x H : A1*x i
i=1



< = H .

2


< .


Khi đó A* = B và tập các dãy hữu hạn (khác không) trong H là lõi của A .
Chứng minh.




i=1

i=1

Nếu x D(A),y D(B) thì (Ax,y) = (A i x i ,y i ) = (x i ,A*y i ) = (x,By) .
i

Do đó, ánh xạ x ( Ax, y ) liên tục trên D(A) ; y D(A* ) và A*y = By .
Vì vậy A* B . Ngợc lại, giả sử z D(A* ) . Khi đó, tồn tại z* H
sao cho (Ax,z) = (x, z* ), x D(A) , và với mọi x H n ta có
(x,A n*z n ) = (A n x,z n ) = (Ax,z) = (x, z* ) = (x,z* n ) .
Do đó A n*z n = z* n .Vì vậy,





A n*z n

2

n=1



=


n=1

8

z* n

2

= z*

2

< .


Suy ra z D ( B ) và z* Bz , nên A* B . Vậy A* = B .
Cuối cùng, nếu x D ( A ) ,x = ( x1,x 2 ,...) thì phần tử z i = ( x1,..., x i , 0, 0,...) là

x . Từ tính trù mật của D ( A ) ta có
dãy khác không hữu hạn, z i

Az i Ax . Do đó, các dãy hữu hạn(khác không) thuộc lõi của A .
Định nghĩa1.6. Toán tử A trong mệnh đề 1.4, gọi là tổng trực tiếp của các toán


tử A n . Kí hiệu A =

An .
n=1

Hệ quả1.2. Trong mệnh đề 1.4, nếu mỗi toán tử A n : H n H n là Hermit, thì A
là tự liên hợp.
2. Ví dụ.

Ví dụ 1. Cho không gian Hilbert H và tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên H,

{

}

B(H) = {A : H H} và B(H ) = A : H H ;
Với chuẩn đợc xác định tơng ứng A = sup Ax , A = sup Af ,f H . Khi
x 1

f 1

đó, A là toán tử tự liên hợp và ánh xạ B(H) B(H ),A

A là đẳng cấu ,

đẳng cự. Do đó, A có mọi tính chất của A.
Ví dụ 2. Cho không gian Hilbert H. Toán tử

H = Y Z Ax = y
;
A B(H) là phép chiếu, nếu A 2 = A

x = y + z
Az = 0
Khi đó, phép chiếu A : H H ; A (H ) = f H : f (x) = 0, x ( I A ) H

{

}

là toán tử tự liên hợp của A.
Ví dụ 3. ( Toán tử tích phân dạng Hilbert Schmidt ). Xét không gian Hilbert
H = L2 ( a,b ) và ánh xạ đo đợc K ( s, t ) , sao cho



K ( s, t ) dsdt < . Với
2

s,t( a,b )

b

mỗi x(t) L2 ( a,b ) , định nghĩa (Kx)(s)= K ( s,t ) x(t)dt . Khi đó, từ bất đẳng
a

b

thức Schwart và định lí Fubini

K ( s,t ) ds
2

a

Do đó

9

s,t( a,b )

K ( s, t )

2

b

x(t)dt < .
a


1
2

b

2
K K ( s, t ) dsdt . Từ định nghĩa toán tử (Ky)(s)= K ( t,s )y(s)ds ;
s,t( a,b )

a



Suy ra, K là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi K ( t,s ) = K ( t,s ) .
Ví dụ 4. ( Toán tử tọa độ trong cơ học lợng tử ). Xét không gian Hilbert
H = L2 ( , + ) . Giả sử D = x(t) :x(t) và t.x(t) L2 (, +) . Khi đó,

{

}

A x(t) := t.x(t) - là tự liên hợp.

toán tử A : x(t) D

Ví dụ 5. Giả sử ( H, ) là không gian đo đợc và f ( H, ) ; C H . Gọi

{

}

D = g L2 ( ) : fg L2 ( ) .Định nghĩa M f : L2 () L2 (),g
2

2

Khi đó , M f (g) = fg d f

2
.


2

g 2 Mf f

M f (g) = fg .

; M f là toán tử tuyến tính

C

bị chặn, xác định trù mật và tự liên hợp, vì
M f * (g) = f.g = M f (g) M f * = M f .
Nhận xét1.4. Nếu H là không gian Hilbert , A là toán tử đối xứng đóng trên

H . Khi đó, nếu tồn tại dãy các không gian con đóng {K n }n của H , bất biến
qua A ( nghĩa là AK n K n ), sao cho K n D(A), n và nếu



Kn
n=1

của A , thì A là tự liên hợp.

10

là lõi


Đ 2. Toán tử Laplace. ví dụ Về

toán tử Laplace không tự liên hợp

Phơng pháp biến đổi Laplace ( L ) đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của
toán học và vật lý, nh : Lý thuyết xác suất, giải tích Fourier, lý thuyết nhóm
Lie, lý thuyết phơng trình vi phân- đạo hàm riêng Chẳng hạn, để giải các
bài toán về phơng trình vi phân và bài toán giá trị biên tơng ứng. Quá trình
tìm nghiệm của các bài toán trên, gồm ba bớc :
(1). Sử dụng biến đổi ( L ), đa bài toán đã cho về dạng đơn giản.
(2). Giải phơng trình đại số thu đợc.
(3). Qua phép biến đổi ( L ) ngợc, thu đợc nghiệm của phơng trình
ban đầu.
y y = 1.
(2.1)
Ví dụ2.1. Giải bài toán

=
=
y(0)
1;
y
(0)
1.

Khi đó, nghiệm của (2.1) thu đợc qua các bớc :
(1). Sử dụng biến đổi ( L ), kí hiệu Y = L(y), và R = L(s) . Khi đó, ta có
phơng trình bổ trợ
s2 Y sy(0) Y = 1 s2 1 Y = s + 1 1 . (2.2)

s2
s2
Tơng đơng với s2 + as + b Y (s + a)y(0) y(0) R(s) = 0.
1

. Khi đó, (2.2) tơng đơng
(2). Gọi Q là phép biến đổi hàm s Q(s) = 2
s 1
1
1
1
1
với
Y(s) = ( s 1) Q(s) 2 Q(s) =
+ 2
2 . (2.3)
s 1 s 1 s
s
(3). Sử dụng phép biến đổi ngợc Laplace, ta đợc
1 -1 1 -1 1 t
y(t) = L-1 (Y) = L-1
L 2
L 2 = e sin t t .
s 1
s 1
s

(

)

1. Toán tử Laplace.

Định nghĩa2.1. Giả sử

n

là không gian Euclide n- chiều. Ck (

n

),

Ck 2 ( n ),k 2 - là tập các hàm liên tục, khả vi cấp k và (k-2) tơng ứng. Khi
đó, toán tử vi phân cấp hai ( hoặc toán tử Laplace ), cho bởi
n 2f
n
: C k ( n ) C k 2 ( n ), f
(f) = 2 := 2k f (2.4)
k=1 x k
k=1

Chú ý 2.1. (1).Trong (2.4), Laplace của f xác định bởi (f) := f = 2 f = .f .
11


(2). Tổng quát hơn, với miền mở tùy ý, toán tử Laplace cho bởi
: C k ( ) C k 2 ( ) .
Khi đó, thờng kí hiệu f := Af (2.5) - nh một toán tử trừu tợng.
(fg) = ( f ) g + 2 ( ( f ) . ( g ) ) + f ( g ) .
(3).
Ví dụ 2.2. (1). Trong không gian hai chiều( n = 2 ).
2f 2f
1 f 1 2 f
f = 2 + 2 , hoặc trong tọa độ cực f = . r. + 2 . 2 .

r r r r
x
y

(2). Trong không gian ba chiều( n = 3 ).

2f 2f 2f
f = 2 + 2 + 2 , hoặc trong tọa độ trụ
x
y
z
1 f 1 2 f 2 f
f = . . + 2 . 2 + 2 .

z
hoặc trong tọa độ cầu
1 2 f
1

f
1
2f
.
r
.
+
.
sin

+

.
.




r 2 sin 2 2
r 2 r r r 2 sin

f =

Bổ đề 2.1. Cho C c

( ) là không gian các hàm khả vi vô hạn,với giá compact.
n

Giả sử với mỗi C c (

n

) thỏa mãn

(1). 0 trê n n .
(2). (x)dx = 1 .
n

(3). (x) = 0 nếu x 1. Khi đó, nếu k (x) = k n (kx) thì
1
a). k (x)dx = 1 và x .
k

n

( ).
Chứng minh. Cho g L ( ) và > 0 , thì h C ( ) :
b). k g g

Lp (

p

n

)

k

0, g Lp

n

n

n

c

k (g h) L (
p

n

)

+ k h h

+ k h h + .

12

Lp (

n

)

+ hg

k

Lp (

g g
n

)



Lp (

n

)




k (x y) ( h(y) h(x) ) dy

(k h)(x) h(x) =

Nhng

n



k
h(y) h(x)
0 .

sup
1

y: x y
k


Hệ quả 2.1. Giả sử C
trên

n

( ) là không gian các hàm liên tục, khả vi vô hạn
n

. Khi đó

( ) L ( ) trù mật trong L ( ), với 1 p < .
Định lí 2.1. C ( ) trù mật trong L ( ) , với 1 p < .
Chứng minh. Chọn hàm C ( ) : (x) = 1, với x 1. Giả sử
C

n

p


c

n

p

n

p


c

n

n

n

k
1, x
k (x) = k (x / k) , thì k bị chặn đều và k (x)

nếu f C
Vì vậy, C c

n

. Từ đó,

( ) L ( ) f C ( ) , k và f f L .
( ) trù mật trong C ( ) L ( ) . Vậy, theo hệ quả 2.1,
n

p


c

n

k

n

k

n

p

k

n

p

n

nó trù mật trong Lp .
Bổ đề 2.2. C

( ) L ( ) là lõi của A .
n

2

*

n

Chứng minh. Chọn dãy hàm {k } nh trong bổ đề 2.1. Nếu f D(A ) ,

và fk = k f thì, từ bổ đề 2.1 , f k C L2 , f k
f . Ta cần chứng

minh f k D(A ) , Af k
Af L2 .Thật vậy, giả sử h C c

thì

( fk ,Ah ) = ( k f,Ah ) = ( f, k Ah ) =
= ( f,A(k h) ) = ( Af, k h ) = ( k (Af), h ) .

( Chú ý rằng k f C c

( ) ). Và vì

( ),
n

(2.6)

k (Af) L2 ,nên từ (2.6) suy ra

n

L2

Afk = k (Af) . Do đó, theo bổ đề 2.1, ta đợc Afk

Af .

Bổ đề 2.3. Giả sử f C

( ) D(A ) . Khi đó
n



13


( f ,f ) =

n

(k f )



k =1

Chứng minh. Với mỗi hàm C c

2

dx .

(2.7)

n

( ) đợc lấy nh trong chứng minh định lí
n

2.1. Có thể xây dựng nh sau
k (x) = k (x / k), x.
(x) = u( x ); u : [ 0, ) [ 0, ) , thì
n

; { k (x)}
0 k C c

( )

1.

(2.8)

Khi đó, từ công thức tích phân từng phần
n

k (x) ( ( k f)(x) )

k =1

=

2

n

dx =

k =1

n

n

( j k ) jf

k =1

2

{( j k ) jf + k ( j f)} fdx
2

n

(2.9)

dx ( k f, f ) =

n

( k )f

2

dx ( k f, f )

n


( f ) f L1 ( n ).

k
( f, f ) .
Do đó, từ (2.8), định lí hội tụ đơn điệu, và ( k f,f )

(x) = 1 ( )(x / k).
2
k
k
Suy ra

( k )f

2

k
dx
0. Vì vậy, từ đẳng thức (2.9), ta có (2.7).

n

Định lí 2.2. Giả sử A là toán tử xác định bởi (2.5), gọi A là bao đóng của A.
Khi đó

(1). A là đối xứng trong L2 (

n

) , và

(2). Bao đóng của A là tự liên hợp.
Chứng minh. ( Chi tiết của chứng minh, có thể tìm trong [1] ).
(1). Tích phân từng phần, ta đợc ( A f,g ) = ( f, A g ) , f,g C c

( ) . Do A đối
n

xứng, nên A đối xứng.

( )

(2). Vì A

*

= A* , ta cần chứng minh A = A* . Thật vậy, A A* nên

14


A A* A = A* . Hơn nữa, từ định lí 2.1, bổ đề 2.3, suy ra
Afk Af

L2

k

0, fk C c

Nhận xét 2.1.

( ).
n

Từ định lí 2.1, ta có

(1).Toán tử Laplace(một chiều) của hàm f là f '' . Nếu xem toán tử Laplace nh
một toán tử đóng, trên miền xác định không đầy, thì nó có thể không tự liên
hợp.
(2). Mỗi phần tử f xác định trên D(A ) , đều thỏa mãn các tính chất giải tích
hầu khắp nơi trên L2 ( ) .
Định lí 2.3. Với n = 1và h D(A* ) . Khi đó, tồn tại duy nhất hàm liên tục u sao
cho
(1). u = h , hầu khắp nơi.
(2). u C1 ( ) .
(3). u là liên tục tuyệt đối.
(4). u L2 ( ) và A*h = u .
Chứng minh.
Chọn hàm C
c (

) sao cho ( x ) dx = 1 . Với mỗi hàm f C ( ) ,
x

ta có

f ( x ) = f ( t ) + f ( s ) ds

(2.10)

t

Nhân hai vế của (2.10) với ( t ) và lấy tích phân hai vế theo t, ta đợc
x

f ( x ) = ( t ) f ( t ) dt + ( t ) f ( s ) ds dt

(2.11)

t

Đặt x ( s ) := (t) [ t,x ] (s)dt , ở đây [ t,x ] = [ x,t ] nếu t > x .
Khi đó, với x cố định , x ( s ) là hàm bị chặn và compact. ánh xạ x
hàm liên tục vào L2 (

x là

) . Khi đó, (2.10) đợc viết thành

f ( x ) = ( , t ) + ( x ,f )

(2.12)

Đẳng thức (2.12), cho biết giá trị của f tại một điểm, theo tích vô hớng.

15


( )

Giả sử h D A* . Theo bổ đề 2.2, tồn tại dãy f n C L sao cho
n
n
f n
h L2 , nhng f n
g A*h L2 . Thay f bởi f n

trong (2.12) và cho n
lim f n ( x ) = ( ,h ) + ( x ,g ) := v(x) .

n

(2.13)

Khi đó, v liên tục và bị chặn địa phơng. Lặp lại quá trình trên, từ đẳng thức
x

f n ( x ) = f n ( t ) + f n ( s ) ds

(2.14)

t

fn ( x ) =

Suy ra

( t ) f n ( t ) dt + ( x ,f n )

(2.15)

lim f n ( x ) = ( ,h ) + ( x , v ) , với mỗi x.

n

(2.16)

h.k.n
u , nên u(x) = h(x) ,
{ }k =1

Tính bị chặn của v, kéo theo dãy {fn } fn



k

hầu khắp nơi. Ta cần chứng minh f n ( x ) hội tụ tới u ( x ) , khi f n hội tụ về hàm
bị chặn v trên mọi khoảng hữu hạn. Thật vậy, qua giới hạn hai vế trong (2.15),
x

ta đợc

u ( x ) = u ( t ) + v ( s ) ds , với mọi x và t .

(2.17)

t

Tính liên tục của v và định lí cơ bản về hàm tính. Ta đợc u = v . Do đó
u C1 (

) . Trong đẳng thức (2.10), thay f bởi f n

và cho n , ta đợc

x

v ( x ) = v ( t ) + g ( s ) ds

(2.18)

t

Vì L2loc = L1loc , nên v liên tục tuyệt đối và v ( x ) = g ( x ) , hầu khắp nơi.

2. Toán tử Laplace không tự liên hợp.

Ví dụ 2.3. Một toán tử đối xứng và đóng, có thể không tự liên hợp.
Thật vậy, lấy H = L ( 0, ) , D = C ( 0, ) . Đặt Af = f , f D . Khi đó A
là xác định trù mật. Nếu f,g D thì
2

0

0

0

( Af,g ) = f gdx = f gdx = fgdx = ( f,Ag ) .
Vì vậy, A A A là xác định trù mật và bao đóng A của A tồn tại.
*

*

16


*

( )

Ta có A = A**

*

= A* . Nhng vì A* A nên A* A , nghĩa là A là đối

xứng. Ta chỉ ra A không tự liên hợp. Thật vậy,

Lấy f D ( A ) và g = A f . Khi đó tồn tại dãy fn D ( A ) sao cho f n f trong
L2 ( 0, ) và A fn g . Ta có
x
x t
x x


fn ( x ) = fn ( t ) dt = fn ( s ) ds dt = [0,t ] ( s ) fn ( s ) dsdt
0
0 0
0 0

x x
x
x


= [0,t ] ( s ) fn ( s ) dt ds = ( x s ) fn ( s ) ds ( x s ) g ( s ) ds
0 0
0
0

x

f ( x ) = ( x s ) g ( s ) ds , hầu khắp nơi.

Do đó

(2.19)

0

Vì f(x) = 0 trên X \ D(A) , nên có thể giả sử (2.19) đúng với mọi x. Hơn nữa,
tích phân (2.19) thuộc L1 ( 0, ) , nên f liên tục tuyệt đối trên [ 0,+ ) . Do đó,
f ( 0 ) = lim f ( x ) = 0 .
x 0

Mặt khác
x
f ( x + h ) f ( x ) 1 x+h

= ( x + h s ) g(s)ds ( x s ) g(s)ds
h
h 0
0

x
1 x+ h

= ( x + h s ) g(s)ds + h g(s)ds
h 0
0


Nhng

1 x+h
x+h

x

h
s
g(s)ds
+

)
(
g(s) ds 0 khi h 0 .
h x
x

x

Suy ra f ' ( x ) = g(s)ds, x . Vậy f ' liên tục tuyệt đối trên [ 0, ) và f '(0) = 0 .
0

Do đó, nếu f D ( A ) thì f và f ' là liên tục tuyệt đối, f '' = g L2 ( 0, ) và
Af = f '' . Ngoài ra f (0) = f '(0) = 0 .

Nếu là hàm tuỳ ý thuộc C2 [ 0, ) thì

( Af , ) = ( f , '') , f D ( A ) .

(Sử dụng công thức tính phân từng phần hai lần và f (0) = f '(0) = 0 ) . Suy ra
D ( A ) . Tuy nhiên, có thể lấy (0) 0 D ( A ) nên A A . Nghĩa

17


là A không tự liên hợp.

Nhận xét 2.3.
(1). Trong ví dụ trên miền xác định của A và do đó của A là quá hẹp, tính đối
xứng của dạng

d
đợc thoả mãn, nhng tính tự liên hợp thì không. Sự khác
dx 2

nhau đó do miền xác định của A bị ràng buộc bởi f (0) = f '(0) = 0 trên

Cc ( 0, ) . ở đây f(x) = 0, x (0 ,0 + ) .Tuy nhiên, nếu mở rộng miền
xác định của A bằng cách bỏ đi một trong hai điều kiện trên, thì bao đóng A là
tự liên hợp. Điều này sẽ đợc đề cập đến trong định lí 2.4.
(2). Lấy Af = f '' trên miền D ( A ) = C c0 ( 0, ) . Khi đó, g D ( A ) khi và chỉ
khi các điều kiện sau thoả mãn
(a). g L2 ( 0, ) .
(b). g C1 [ 0, ) , trên tập có độ đo không.
(c). g' liên tục tuyệt đối và g'' L2 ( ( 0, ) ) .

{

}

Định lí 2.4. Cho S(f ) = f với D ( S) = f C ([ 0, ) ) : f ( 0 ) = 0 . Khi đó S là
đối xứng và S là tự liên hợp.
Chứng minh.
Giả sử f Cc ( [ 0, ) ) và g, g L2 ( [ 0, ) ) , điều kiện thứ hai có nghĩa rằng
g C1 ( [ 0, ) ) trong khi g liên tục tuyệt đối và g L2 ( 0, ) . Ta cần chứng

minh

( f ,g ) = ( f ,g) + f ( 0 ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) .

(2.20)

Thật vậy,




0

0

f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) dx f ( 0 ) g ( 0 )



= f ( x ) g ( x ) dx + f ( 0 ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) , với f ( 0 ) = 0 , f D ( S)
0

(2.20)

( S(f ),g ) = ( f ,g '') f ' ( 0 ) g ( 0 )
18

(2.21)


Nếu g D ( S) thì g ( 0 ) = 0 và (2.21) chứng tỏ S là đối xứng.

Theo định nghĩa 4.6[1], g D ( S ) , khi ( S(f ),g ) là hàm liên tục của f trong

L2 ( 0, ) . Tuy nhiên, vế phải của (2.21) là một hàm tuyến tính liên tục của f
trong L2 ( 0, ) , vì g '' L2 ([ 0, ) ) . Do đó g D ( S ) chỉ khi ánh xạ

f

f '(0)g(0) liên tục trong L2 ( 0, ) .Điều này xảy ra khi g ( 0 ) = 0 (nhận xét

2.3(2)). Do đó, điều kiện cần để

g D ( S ) là g ( 0 ) = 0 . Nghĩa là, nếu

g D ( S ) thì g D ( S ) . Tức là S S . Vậy S = S hay S là tự liên hợp .

19


Đ 3. Liên hệ cơ bản giữa phổ của toán tử

và tínhtự liên hợp. Ví dụ.

1.Một số khái niệm và tính chất cơ bản.

Định nghĩa 3.1. (1). Với mỗi toán tử tuyến tính A : H H , số phức thuộc
tập giải thức (A) của A, nếu A I là song ánh và ( A I ) bị chặn. Toán tử
1

R (A) := ( A I ) gọi là giải thức của A tại .
1

(2). Tập (A) các giá trị gọi là phổ của A.
(3). Nếu thoả mãn x Ax = 0 , với mỗi x 0 , thì x gọi là vectơ
riêng(hoặc hàm riêng) của A và gọi là giá trị riêng của A.
Chú ý 3.1. Giả sử (A) . Khi đó, nếu
(1). Miền giá trị của A I trù mật trong H và ( A I ) tồn tại, nhng không
1

bị chặn, thì nói thuộc vào phổ liên tục của A.
(2). ( A I ) tồn tại, nhng miền xác định không trù mật trong H, thì nói
1

thuộc vào phổ thặng d của A.
(3). A I không có khả nghịch( nghĩa là, tồn tại x 0 thõa mãn x Ax = 0 ),
thì là giá trị riêng của A.
(4). (A) (A) = ; (A) (A) =

.

Mệnh đề 3.1. Nếu A là toán tử tuyến tính xác định trù mật trên H, thì
(1). (A) là tập con mở trong mặt phẳng phức.
(2). R (A) là hàm giá trị toán tử, giải tích trên

.

(3). Họ {R (A) : (A)} là tập giao hoán các toán tử bị chặn.
Chứng minh. Bạn đọc có thể tìm trong [1]-trang 14.
Định lí 3.1.(Von neumann ; Đặc trng cơ bản của tính tự liên hợp). Giả sử A là

toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H . Khi đó, các khẳng định sau tơng
đơng
20


(1). A tự liên hợp.
(2). A đóng và ker ( A* + I ) = ker ( A* I ) = {0} .
(3). Ran ( A + I ) = Ran ( A I ) = H .
Chứng minh.

(1) (2) . Giả sử A là tự liên hợp. Vì A = A* nên A là đóng.
Nếu ker ( A I ) thì
*

Do đó

2

I ( , ) = ( I, ) = ( A*, ) = ( A, )
= ( ,A* ) = ( ,I ) = I ( , )

.

= 0 và = 0 . Tơng tự , ta đợc ker ( A* + I ) = {0} .

Vậy ker ( A* + I ) = ker ( A* I ) = {0} và A đóng.
(2) (3).Nếu trực giao với Ran ( A + I ) thì

( ( A + I ) , ) = 0 , D ( A ) .

Do đó, D ( A* ) và ( , ( A I ) ) = 0 , D ( A ) . Vì D ( A ) là trù mật
nên ( A* I ) = 0 .Do đó, từ (2), = 0 nên Ran ( A + I ) là trù mật trong H.
Mặt khác, với mỗi D ( A )

( A + I)

= ( ( A + I ) , ( A + I ) ) = A

2

+

2



2

(3.1)

Do đó, với mỗi H , tồn tại n D ( A ) sao cho ( A + I ) n và
từ (3.1), suy ra {n } là dãy Cauchy. Nên H sao cho n .
Nhng A + I là đóng, nên D ( A ) và ( A + I ) = .
Vì vậy Ran ( A + I ) = H .Tơng tự, ta chứng minh đợc Ran ( A I ) = H .
(3) (1).Vì A đối xứng, nên A = A* khi và chỉ khi D ( A* ) D ( A ) .
Thật vậy, với mỗi D ( A* ) , vì Ran ( A I ) = H , nên tồn tại y D ( A ) ,
sao cho ( A I ) y = ( A* I ) . Nhng D ( A ) D ( A* ) , nên y D ( A )
và ( A* I ) ( y ) = 0 . Theo (3), Ran ( A + I ) = H nên ker ( A* I ) = {0} .
Vì vậy, y = 0 . Nghĩa là D ( A ) .
Định nghĩa 3.2. Toán tử A gọi là tự liên hợp cốt yếu, nếu bao đóng

A tồn tại và tự liên hợp.
21


Hệ quả 3.1. Nếu A là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H, thì
các tính chất sau tơng đơng
(1). A tự liên hợp cốt yếu.
(2). ker(A* + I) = ker(A* I) = {0} .
(3). Ran(A + I) và Ran(A I) trù mật trong H.
Chứng minh. Vì A = A* nên từ định lí 3.1, (1) và (2) tơng đơng. Với mỗi
toán tử đối xứng A, từ bất đẳng thức (3.1) và định nghĩa về bao đóng của toán

(

)

(

)

tử, suy ra Ran ( A + I ) = Ran A + I .
Tơng tự, Ran ( A I ) = Ran A I . Do đó khẳng định (3) trong hệ quả, tơng
đơng với khẳng định (3) trong định lí 3.1.
Nhận xét 3.1.
(1). Nếu A là toán tử đối xứng và đóng thì bất đẳng thức (3.1) là đúng
và không gian con K = Ran ( A I ) là đóng.
(2). A là tự liên hợp nếu và chỉ nếu K + = K = H .
Mệnh đề 3.2. Giả sử A là toán tử xác định trên H ( theo nghĩa A đóng, đơn ánh
và Ran(A) = H ). Khi đó, A 1 tồn tại, xác định trù mật ; A* , ( A 1 ) cũng tồn tại

*

và :

(1). ker A* = 0 .
(2). Ran(A* ) trù mật trong H.
(3). (A 1 )* = (A* ) 1 .
(4). A 1 đóng.

Chứng minh. Bạn đọc có thể tìm trong [1]-trang 50.
2. Các ví dụ.

Ví dụ 3.1. Trong cơ học lợng tử, bài toán : Tìm hàm sóng L2 (
để xác suất P ( , x

3

) = ( , ) = d x (x)
3





22

2

=1

(3.2)

3

)

,


Bài toán (3.2) tơng đơng với bài toán : Tìm các toán tử momen xung lợng

A

p k = k
x k

q k = x k

(3.3)

Trong đó, toán tử tuyến tính
A : B(H) B(H) , sao cho A < và A = A .
(x);A
C(
là hằng số Plan, thỏa mãn A(x) = A

3

), với

p k (x) = x k và q k là tự liên hợp trên miền D(q k ) = { L2 (

3

) : x k L2 (

và

+

3

)} .

x k (x) .

trong đó x

Lời giải.(Sơ lợc lời giải của (3.2)).
+) Sử dụng biến đổi Fourier, : L2 (

3

) . Với k = ( k1 , k 2 , k 3 ) , thì

(k) = d3 x(x)e ikx ; kx = x1 k1 + x 2 k 2 + x 3 k 3 .

(3.4)

3

+) Xấp xỉ bởi dãy { n } C c (
+) Dãy

3

n
), n
, theo chuẩn trong L2 (

3

{ } xác định bởi (3.4) là dãy cauchy trong L ( ) ,
2

n

n
n
L2 (

+) Khi đó L

2

(

3

) L2 (

3

3

).

3

).

) (x) =

3

d3 k

( 2 )

3

. (k)e ikx . Vì vậy, miền

xác định của toán tử momen xung lợng là
D(p i ) = L2 ( 3 ) : k i L2 ( 3 ) và trong D(p i ) có p i = p i . Nghĩa là ,

{

}

toán tử momen xung lợng là tự liên hợp.
Ví dụ 3.2. Giả sử C [ 0,1]a là tập các hàm liên tục tuyệt đối trên [ 0,1] , có đạo
hàm trên L2 [ 0,1] , và A, B là các toán tử đóng, với miền xác định

D(A) = { : C [ 0,1]a } và D(B) = { : C [ 0,1]a , (0) = 0} trù mật

trong L2 [ 0,1] . Khi đó
+) Phổ của A là , vì ( I A ) e ix = 0 và e ix D(A), .
+) Phổ của B là , vì với g

x

S (g) = i e i ( x s)g(s)ds , ta có
0

( I B ) S



= I = S ( I B ) , trên D(B) . Hơn nữa,

(S g)


2

2
2

2

sup ( (S g) (x) ) sup e i ( x s)g(s)ds
x[ 0,1] 0
x[ 0,1]

23
x

1

= (S g)(x) dx
0

2


2
⎛
2
2
⎛x
⎞⎞ ⎛
⎛x
⎞⎞
≤ ⎜ sup ⎜ ∫ e − iλ ( x −s) ds ⎟ ⎟ . ⎜ sup ⎜ ∫ g(s) ds ⎟ ⎟ ≤ C(λ ) g 2 .
⎠ ⎠ ⎝ x∈[0,1] ⎝ 0
⎠⎠
⎝ x∈[0,1] ⎝ 0
Do ®ã S λ bÞ chÆn. Tõ ®ã σ(B) = ∅ .♦

24


Đ 4. định lí phổ của

toán tử tự liên hợp không bị chặn
1. Định nghĩa và ví dụ.
Gỉa sử M là tập con của không gian Hilbert H. Khi đó, tập

M = {y H : x

( x, y ) = 0, x M}

gọi là phần bù trực giao của M. Tính liên tục của tích vô hớng, kéo theo M

( )



là không gian con tuyến tính đóng của H, theo nghĩa M





= M . Kí hiệu

P ( H ) là tập các phép chiếu trực giao trên H, B là sigma đại số Borel các tập
.

con của

Định nghĩa 4.1. ánh xạ E : B P(H), D

( E(D)x,y ) , với x,y H

gọi

là độ đo xạ ảnh( hay độ đo phổ) trên H, nếu
(1). Với mỗi D B , E(D) là một phép chiếu.
(2). E() = 0 và E(H)=1 .
(3). E(D C) = E(D).E(C), D,C B.


(4). Với mỗi dãy tập {D n }n = 0 B rời nhau, D = D n , thì


n =0



E D n = E(D n ).
n =0 n =0

Chú ý 4.1. (1).Trong định nghĩa 4.1(2), nếu D C = , thì E(D) và E(C) là
trực giao với nhau. Từ đó, chuỗi trong tiên đề (3) hội tụ đến phép chiếu từ
H span {Ran(p)} ,p P(H) và span {Ran(p)} là bao đóng của bao tuyến tính
tập giá trị của p .
(2). E(D) = E(D),E(D)2 = E(D) .

(3). Hội tụ mạnh(yếu), nói trong chú ý 4.1(1), theo nghĩa tơng ứng sau


+)

E(D
n =1

n

)x = E(D)x, với mỗi x H , theo chuẩn sinh bởi tích vô

hớng trên H ; và
25


+)

( x ,Ex ) .
( x , E x )
n

n

Chú ý 4.2. (1). Trong xác suất, ánh xạ B

P(B) , từ các tập con Borel

của vào [ 0,1] , là độ đo xác suất, khi
a). P( )=1.

b). P B n = P(B n ), B i B k = , i k .
n =0 n =0

(2). Trong vật lý lý thuyết, một hệ lợng tử đợc xem nh một không gian
Hilbert tách đợc H. Do đó, trạng thái của hệ đợc biểu diễn bởi các phần tử
của H và chuẩn trên nó. Chẳng hạn, giá trị kỳ vọng

E (A) = ( ,A ) = ( A, )

(4.1)

thay thế cho tính đo đợc của toán tử A, khi hệ ở trạng thái Ran(A) .
Hoặc, một đa thức đợc biểu diễn tơng ứng cho một toán tử tuyến tính, xác
định trên miền trù mật cực đại
n

n

k =0

k =0

p n (t) = k t k p n (T) = k T k ; T dom(T)=H . (4.2)
Ví dụ 4.1.(1). Giả sử H =

n

và A GL(n) là một ma trận đối xứng tùy ý,

{ , ,..., } là các giá trị riêng tơng ứng của A và {p }
1

2

k

m

m
k =1

là các phép chiếu

tơng ứng vào các không gian riêng. Khi đó, với mỗi
D B, ánh xạ D

p A (D) =



{k: k D}

p k - là độ đo xạ ảnh trên H.

(2). Giả sử H = L2 ( ) và f là hàm giá trị thực đo đợc. Khi đó, với mỗi

D B, ánh xạ D

p(D) = f

mãn các tính chất p() = 0, p(

1

(D)

là độ đo xạ ảnh trên H. Dễ thấy p thỏa

\ D) = 1 p(D) và

p ( D1 D 2 ) + p ( D1 D 2 ) = p ( D1 ) + p ( D 2 )
p ( D 1 D 2 ) = p ( D 1 ) p ( D 2 ) .

(4.3)
(4.4)

n

(3). Với mỗi D B và hàm đơn giản f = k D , k = f 1 (D k ) , đặt
k =1

n

f

k

p(f) = f( )dp( ) = k p(D k ) . Khi đó, từ tính tuyến tính của tích phân,

k =1

26