400 câu trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI
VECTƠ
GIÁ TRỊ VÀ
LƯỢNG
GIÁC CỦA
MỘT GĨC
ỨNG
DỤNG

7
BÀI
1.

0
0
BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180

1. Định nghĩa
a ( 00 �a �1800 )

ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn
�
M ( x0 ; y0 ) .
đơn vị sao cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ
y
Khi đó ta có định nghĩa:
1
�sin của góc a là y0, kí hiệu sin a = y0 ;
Với mỗi góc

�cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa = x0 ;

y0
( x0 �0) ,
�tang của góc a là x0
kí hiệu

y0
;
x0

�cotang của góc a là

x0
( y0 �0) ,
y0

tan a =

M

y0

a
x0

-1

cot a =
kí hiệu

x

1

O

x0
.
y0

2. Tính chất
�
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM = a
0
�
thì xON = 180 - a. Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0. Do đó y
sin a = sin( 1800 - a )
cosa = - cos( 1800 - a )

y0

N

tan a = - tan( 1800 - a )

M

cot a = - cot( 1800 - a ) .

x

a

- x0

x0

O

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị a
lượng giác

00

300

450

600

900

1800

sina

0

1
2

2

2

3
2

1

0

cosa

1

3
2

2
2

1
2

0

- 1

1


tana

0

cota

P

1

1

3

3
1

1

3

3

P

0

0

P

Trong bảng kí hiệu " P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính
chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 =

3
2

cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = -

2
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
r
r
r
uur r
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a
uur r
r
0
0
�
và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a
r r
r r

r
r
r
a, b
a, b = 900
và b. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là
. Nếu
thì ta nói
r
r
r r
r r
rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a ^ b hoặc b ^ a.
r
A
b
r
a
r
r
B
a
b

( )

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có

r r
r r

a, b = b, a .

( )

O

( ) ( )

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
0
0
Câu 1. Giá trị cos45 + sin45 bằng bao nhiêu?

A. 1.

B.
0

2.

C.

3.

0

Câu 2. Giá trị của tan30 + cot30 bằng bao nhiêu?

4

2
1+ 3
.
.
3
A. 3
B.
C. 3
D. 2.
Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?
A.

2

.

sin150O = -

3
.
2

B.

cos150O =

3
.
2

D. 0.


tan150O = C.

1
3

.

O
D. cot150 = 3.

o
o
o
o
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 .

A. P = 3.

B.

P=

3
.
2

C. P = 1.

D. P = 0.

o
o
o
o
Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 .

A. P = 1.
B. P = 0.
C. P = 3.
Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
A. sin45 + cos45 = 2.

D. P = -

3.

O
O
B. sin30 + cos60 = 1.

O
O
O
O

C. sin60 + cos150 = 0.
D. sin120 + cos30 = 0.
Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
A. sin0 + cos0 = 0.

O

O
O
B. sin90 + cos90 = 1.

sin60O + cos60O =

O

C. sin180 + cos180 =- 1.
D.
Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
O
O
A. cos45 = sin45 .

3 +1
.
2

O
O

B. cos45 = sin135 .

O
O
C. cos30 = sin120 .

O
O
D. sin60 = cos120 .
0
�
Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc B = 30 . Khẳng định nào sau đây là
sai?
1
3
1
1
cosB =
.
sinC =
.
cosC = .
sin B = .
3
2
2
2
A.
B.
C.

D.
Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là
đúng?

A.

� =
sin BAH

3
� = 1.
cosBAH
.
3
2 B.

C.

� =
sin ABC

3
.
2

� = 1.
sin AHC
2
D.

Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU
Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A.
C.

sin( 180�
- a ) =- cosa.
sin( 180�
- a ) = sin a.

B.
D.

sin( 180�
- a ) =- sin a.
sin( 180�
- a ) = cosa.

Câu 12. Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức
sau đây, đẳng thức nào sai?
A. sin a = sin b. B. cosa = - cosb.
C. tan a =- tan b.
D. cot a = cot b.
cos15�+ sin150�
cos165�
.
Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin30�
A.

P =-

3
.
4

B. P = 0.

1
P= .
2
C.

D. P = 1.

3


Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180�. Tính giá trị của biểu thức
P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P =- 1.

D. P = 2.

P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C )
Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính
.

A. P = 0.
B. P = 1.
C. P =- 1.
D. P = 2.
P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C )
Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính
.
P
=
0.
P
=
1.
P
=1.
P
=
2.
A.
B.
C.
D.
b
Câu 17. Cho hai góc nhọn a và
phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin a = - cosb. B. cosa = sin b.
C. tan a = cot b.
D. cot a = tan b.
2
+ cos2 20�

+ sin2 75�
+ cos2 110�.
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin 15�
A. S = 0.
B. S = 1.
C. S = 2.
D. S = 4.
Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90�. Tính giá trị của biểu thức
P = sin a cosb + sin b cosa .

A. P = 0.

C. P =- 1.
D. P = 2.
Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90�. Tính giá trị của biểu thức
P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.

B. P = 1.

B. P = 1.
C. P =- 1.
D. P = 2.
Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin a < 0.
B. cosa > 0.
C. tan a < 0.
D. cot a > 0.

Câu 22. Cho hai góc nhọn a và b trong đó a < b . Khẳng định nào sau đây là
sai?
A. cosa < cosb. B. sin a < sin b.
C. cot a > cot b.
D. tan a + tan b > 0.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?
.
.
A. cos75�> cos50�
B. sin80�> sin50�
.
.
C. tan45�< tan60�
D. cos30�= sin60�
Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?
.
.
A. sin90�< sin100�
B. cos95�> cos100�
.
.
C. tan85�< tan125�
D. cos145�> cos125�
Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?

.
A. sin90�< sin150�
30�
> cos100�
.

C. cos90�

15�
< sin90�
30�
.
B. sin90�

.
D. cos150�> cos120�

Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
2
2
Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos a + sin a = 1?

4


A.

cos2

a
a 1
+ sin2 = .
2
2 2

B.

cos2

a
a 1
+ sin2 = .
3
3 3

� 2a
a�
5�
cos + sin2 �
�= 5.
�
�
�
�
5
5�
C.
D.
a 3
a
a
sin = .
P = 3sin2 + 5cos2
3
5
3

3 bằng bao nhiêu ?
Câu 27. Cho biết
Giá trị của
105
107
109
111
P=
.
P=
.
P=
.
P=
.
25
25
25
25
A.
B.
C.
D.
cos2

a
a 1
+ sin2 = .
4
4 4

6sin a - 7cosa
P=
6cos
a + 7sin a bằng bao nhiêu ?
tan
a
=3.
Câu 28. Cho biết
Giá trị của
4
5
4
5
P= .
P= .
P =- .
P =- .
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
cot a + 3tan a
2
P=
cosa =- .

2cot
a + tan a bằng bao nhiêu ?
3 Giá trị của
Câu 29. Cho biết
19
19
25
25
P =.
P= .
P= .
P =.
13
13
13
13
A.
B.
C.
D.
2
Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2cos a + 5sin a cosa +1 bằng bao
nhiêu ?
10
100
50
101
P= .
P=
.

P= .
P=
.
26
26
26
26
A.
B.
C.
D.
0
0
Câu 31. Cho biết 3cosa - sin a = 1 , 0 < a < 90 . Giá trị của tana bằng
4
4
3
5
tan a = .
tan a = .
tan a = .
tan a = .
3
5
4
4
A.
B.
C.
D.

0
0
Câu 32. Cho biết 2cosa + 2sin a = 2 , 0 < a < 90 . Tính giá trị của cot a.

A.

cot a =

5
.
4

cot a =

3
.
4

cot a =

2
.
4

B.
C.
D.
sin
a
+

cos
a
=
a
.
sin
a
cos
a
.
Câu 33. Cho biết
Tính giá trị của
2
A. sin a cosa = a .

C.

sin a cosa =

a2 - 1
.
2

cot a =

2
.
2

B. sin a cosa = 2a.

sin a cosa =

a2 - 11
.
2

D.
1
cosa + sin a = .
2
2
3 Giá trị của P = tan a + cot a bằng bao
Câu 34. Cho biết
nhiêu ?
5
7
9
11
P= .
P= .
P= .
P= .
4
4
4
4
A.
B.
C.
D.

1
sin a - cosa =
.
4
4
5 Giá trị của P = sin a + cos a bằng bao
Câu 35. Cho biết

5


nhiêu ?
A.

15
.
5

P=

B.

P=

17
.
5

C.

19
.
5

P=

D.

21
.
5

P=

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau
O
đây bằng 120 ?
uuuu
r uuur
uuur uuur
uuuu
r uur
uuuur uuur
MN , NP
MO,ON .
MN ,OP .
MN , MP .
A.
B.

C.
D.
uuur uuur
uuu
r uur
uur uuu
r
P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB .
Câu 37. Cho tam giác đều ABC. Tính

(

)

(

)

(

)

(

(

A.

P=

3 3
.
2

3
P= .
2
B.

C.

)

P =-

(

3
.
2

Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính
0
A. 30 .

(

)

)

(

P =-

3 3
.
2

D.
uuur uuu
r
AH , BA .

)

)

0
B. 60 .

0
C. 120 .

0
D. 150 .

0
�
Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 50 . Hệ thức nào sau đây

sai?
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
AB, BC = 1300.
BC, AC = 400.
A.
B.
uuu
r uur
uuur uur
AB, CB = 500.
AC, CB = 400.
C.
D.
uuur uur
cos AC,CB .
Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính
uuur uur
uuur uur
1
1
cos AC,CB = .
cos AC,CB = - .
2
2
A.
B.

uuur uur
uuur uur
3
3
cos AC,CB =
.
cos AC,CB = .
2
2
C.
D.
uuur uuu
r
uuu
r uur
uur uuu
r
AB, BC + BC,CA + CA, AB .
Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

o
A. 180 .

o

B. 360 .

) (

o
C. 270 .

o
B. 360 .

)

o

o
�
Câu 42. Cho tam giác ABC với A = 60 . Tính tổng

o
A. 120 .

) (

)

o
C. 270 .

(

D. 120 .
uuur uuu
r
uuu
r uur
AB, BC + BC,CA .

) (

)

o
D. 240 .

o
Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm H . Tính tổng
uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur
HA, HB + HB, HC + HC, HA .

(

) (

o
A. 360 .

) (

)

o
B. 180 .

Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính

6

o
C. 80 .
uuur uuu
r
cos AC, BA .

(

)

o
D. 160 .


uuur uuu
r
2
cos AC, BA =
.

2
A.
uuur uuu
r
cos AC, BA = 0.
C.

(

)

(

)

B.
D.

Cõu 45. Cho hỡnh vuụng

uuur uuu
r
cos AC, BA =-

(

)

uuur uuu
r

cos AC, BA =- 1.

(

)

uuu
r uuur

uuur uur

uuu
r uuur

AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) .
ABCD tõm O. Tớnh tng (

0
A. 45 .

0
B. 405 .

BAỉI
2.

2
.
2

0
C. 315 .

0
D. 225 .

TCH VO HệễNG CUA HAI
VECTễ

1. nh ngha

r
r
r
r
r
Cho hai vect a v b u khỏc vect 0. Tớch vụ hng ca a v b l mt
rr
ab
s, kớ hiu l . , c xỏc nh bi cụng thc sau:

rr r r
r r
ab
. = a . b cos a, b .

( )

Trng hp
rr

ab=
.
0.
Chỳ ý
r
Vi a v
r r
Khi a = b

r
r
r
ớt nht mt trong hai vect a v b bng vect 0 ta quy c

r
r
rr
r r
b khỏc vect 0 ta cú ab
. = 0 a ^ b.
uu
r
rr
2
a
aa
.
tớch vụ hng
c kớ hiu l
v s ny c gi l bỡnh

r
phng vụ hng ca vect a.
Ta cú:

r2 r r
r2
a = a . a .cos00 = a .
2. Cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng
Ngi ta chng minh c cỏc tớnh cht sau õy ca tớch vụ hng:
r r r
Vi ba vect a, b, c bt kỡ v mi s k ta cú:
rr rr
. = ba
. (tớnh cht giao hoỏn);
ab
r r r
rr rr
a b+ c = ab
. + a.c

(tớnh cht phõn phi);
r r
rr
r r
ka .b = k ab
. = a. kb

;
r2
r2

r
a 0, a = 0 a = 0.

(

)

( )

( )

( )

Nhn xột. T cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng ca hai vect ta suy ra:
r r 2 r2
r r r2
a + b = a + 2ab
. +b ;

(

)

7


r

r

r2

rr

r2

2

2

a- b) = a - 2ab
. +b ;
�(
r r r r
r
r
a + b)( a- b) = a - b .
(
�
2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
rr

Trên mặt phẳng tọa độ
rr
. là:
tích vô hướng ab

Nhận xét. Hai vectơ

nhau khi và chỉ khi

( O;i; j ) ,

cho hai vectơ

r
ur
a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) .

Khi đó

rr
ab
. = ab
1 1 + a2b2.

r
r
a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 )

r
đều khác vectơ 0 vuông góc với

ab
1 1 + a2b2 = 0.
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
r
a = ( a1;a2 )

Độ dài của vectơ
được tính theo công thức:

r
a = a12 + a22 .

b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu
r
r
b = ( b1;b2 )
đều khác 0 thì ta có

r
a = ( a1;a2 )

và

rr
r r
ab
.
ab
1 1 + a2b2
cos a;b = r r =
.
2
a1 + a22 . b12 + b22
a. b

( )

c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm

A ( xA ; yA )

và

B( xB ; yB )

2

được tính theo công thức:
2

AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
r
r
r
Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề
nào sau đây đúng?

rr r r
ab
. = a. b

rr

r r

rr
rr
ab
. =- a. b
.
0.
.
- 1.
A.
.
B. ab=
C. ab=
D.
.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b

8


khi

rr

r r
ab
. =- a . b.

0
A. a = 180 .

0
B. a = 0 .

0
0
C. a = 90 .
D. a = 45 .
r
r
r
r
rr
a = 3, b = 2
Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn
và a.b = - 3. Xác định góc
r
r
a giữa hai vectơ a và b.
0
A. a = 30 .

0
B. a = 45 .

0
0
C. a = 60 .
D. a = 120 .
r
r
r
r 2r
r
u = a- 3b
r
a = b =1
5
Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn
và hai vectơ
và
r
r
r r r
v = a+ b vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b.
0
A. a = 90 .

0
0
0
B. a = 180 .
C. a = 60 .
D. a = 45 .

r
r
Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
r r 1�r r 2 r 2 r 2 �
r r 1�r 2 r 2 r r 2 �
�
a.b = �
a +b - a - b �
.
a
.b = �
a + b - a- b �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
A.
B.
r r 1�r r 2 r r 2 �
r r 1�r r 2 r r 2 �
�
a.b = �

a +b - a- b �
.
a
.b = �
a +b - a- b �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
4
C.
D.
uuu
r uuur
Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC.

uuu
r uuur
uuu
r uuur
a2 3
a2
uuu

r uuur
AB.AC =.
AB.AC =.
2
2
2
A. AB.AC = 2a . B.
C.

uuu
r uuur a2
AB.AC = .
2
D.
uuu
r uuu
r
Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC.
uuu
r uuu
r a2 3
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r a2
a2
uuu
r uuu

r
AB
.
BC
=
.
AB
.
BC
=
.
AB
.
BC
= .
2
2
2
2
A. AB.BC = a . B.
C.
D.

Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào
sau đây là sai?
uuu
r uuu
r a2
uuur uuur 1 2
uuur uur

uuu
r uuur 1
1
GA.GB = .
AB.AC = a .
AC.CB = - a2.
AB.AG = a2.
6
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề
nào sau đây là sai?
uuu
r uuur a2
uuur uur a2
uuu
r uuur
uuur uuu
r
AB.AC = .
AC.CB = .
AB, HA = 1500.
2
2
A. AH .BC = 0.

B.
C.
D.
uuu
r uuu
r
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC.
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r a2 2
a2 2
uuu
r uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
AB
.
BC
=
.
AB

.
BC
=
.
2
2
2
2
A. AB.BC =- a . B. AB.BC = a .
C.
D.
uuu
r uuu
r
Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính BA.BC.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2
2
2

2
2
2
A. BA.BC = b .
B. BA.BC = c .
C. BA.BC = b + c . D. BA.BC = b - c .

(

)

9


uur uur
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB.
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur
A. CA.CB = 13.
B. CA.CB = 15.
C. CA.CB = 17.
D. CA.CB = 19.
uuur uuur uuu
r
P = AB + AC .BC.
BC
=
a

,
CA
=
b
,
AB
=
c
.
Câu 13. Cho tam giác ABC có
Tính

(

)

c2 + b2 + a2
c2 + b2 - a2
.
P=
.
2
2
3
2
A. P = b - c .
B.
C.
D.
Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh

uuuu
r uuu
r
BC. Tính AM .BC.
P=

c2 + b2
.
2

uuuu
r uuu
r b2 - c2
AM .BC =
.
2
A.
uuuu
r uuu
r c2 + b2 + a2
AM .BC =
.
3
C.

P=

uuuu
r uuu
r c2 + b2

AM .BC =
.
2
B.
uuuu
r uuu
r c2 + b2 - a2
AM .BC =
.
2
D.

Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích
uur uur uuu
r
OA +OB .AB = 0
vô hướng
là
OAB
A. tam giác
đều.
B. tam giác OAB cân tại O.
C. tam giác OAB vuông tại O.
D. tam giác OAB vuông cân tại O.

(

)

Câu 16. Cho M , N , P , Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào

sai?
uuuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuuur uuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
MN NP + PQ = MN .NP + MN .PQ
A.
. B. MP.MN = - MN .MP .
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
MN
PQ
MN
+
PQ
= MN 2 - PQ2
C. MN .PQ = PQ.MN .
D.
.

uuu
r uuur
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB.AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur 1
2 2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
AB.AC =
a.
AB.AC = a2.
2
2
2
2
A. AB.AC = a . B. AB.AC = a 2. C.
D.
uuur uuu
r uur
P = AC. CD +CA .
Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính

(

)

(

)(

)

(

)

2
2
C. P =- 3a .
D. P = 2a .
uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
P = AB + AC . BC + BD + BA .
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính

A. P = - 1.

2
B. P = 3a .

(

)(

)

2
2
2
B. P = 2a .
C. P = a .
D. P =- 2a .
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C.
uuu
r uuu
r
Tính AE .AB.
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
2
2
2
2
A. AE .AB = 2a . B. AE .AB = 3a .
C. AE .AB = 5a .

D. AE.AB = 5a .
Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng

A. P = 2 2a.

10


AM =

AC
4 . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính

AC sao cho
uuur uuuu
r
MB.MN .
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0.

uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
C. MB.MN = 4.
D. MB.MN = 16.
uuu

r uuu
r
Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích AB.BD.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
A. AB.BD = 62. B. AB.BD = 64.
C. AB.BD = - 62.
D. AB.BD = - 64.
uuu
r uuur
Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB.AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB.AC = 24. B. AB.AC = 26.

C. AB.AC = 28.
D. AB.AC = 32.
�
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc ABC nhọn
uuu
r uuu
r
cos AB, BC .
54 cm2.
và diện tích bằng
Tính

(

uuu
r uuu
r
2 7
cos AB, BC =
.
16
A.
uuu
r uuur
5 7
cos AB, BC =
.
16
C.

(

)

(

)

)

uuu
r uuu
r
2 7
cos AB, BC = .
16
B.
uuu
r uuu
r
5 7
cos AB, BC = .
16
D.

(

)

(

)

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung
uuur uuur
điểm của cạnh AD. Tính BK .AC.
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
2
2
A. BK .AC = 0.
B. BK .AC =- a 2. C. BK .AC = a 2. D. BK .AC = 2a .
Vấn đề 2. QUỸ TÍCH

uuur uuur uuur
MA MB + MC = 0

(

)

Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.

uuur uuur uuur uuur
MB MA + MB + MC = 0
Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn
với
A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

(

A. một điểm.

B. đường thẳng.

)

C. đoạn thẳng.

D. đường tròn.
uuur uuu
r
Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
A
,
B
Câu 29*. Cho hai điểm
cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các
uuur uuu

r
2
điểm N thỏa mãn AN .AB = 2a là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa
uuur uuur
mãn MA.MB = - 16 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ

11


A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC )
Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định
thì
 Trung điểm I của đoạn

�xA + xB yA + yB �
�
AB ��
�I �
;
.

�
�
�
� 2
�
2 �

�
�
xA + xB + xC yA + yB + yC �
G ��
�G �
;
.
�
�
�
�
�
�
3
3
 Trọng tâm
uuu
r uuu
r
�
HA.BC = 0
�
H ��

��uuu
.
r uur
�
�HB.CA = 0
�
 Trực tâm







�AE 2 = BE 2
E ��
� EA = EB = EC � �
.
� 2
�
AE = CE 2
�
Tâm đường tròn ngoại tiếp
uuur uuu
r
�AK .BC = 0
�
A ��
��
uuur

uuu
r.
�
BK = kBC
�
�
K
Chân đường cao
hạ từ đỉnh
uuu
r
AB uuur
D ��
� DB = .DC.
AC
Chân đường phân giác trong góc A là điểm
Chu vi: P = AB + BC +CA .

1
1
AB.AC.sin A = AB.AC. 1- cos2 A
2
2
 Diện tích:
.
uuu
r uuur
A : cos A = cos AB, AC
 Góc
.

uuu
r uuur
�AB.AC = 0
�
A ��
��
.
�AB = AC
ABC
�
 Tam giác
vuông cân tại
S=

(

)

A ( 3;- 1) , B( 2;10) , C ( - 4;2) .
Oxy,
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba điểm
uuu
r uuur
Tính tích vô hướng AB.AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu

r uuur
uuu
r uuur
A. AB.AC = 40. B. AB.AC = - 40.
C. AB.AC = 26.
D. AB.AC = - 26.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ
uuur uur
tích vô hướng AO.OB.
uuur uur
uuur uur
A. AO.OB = - 4. B. AO.OB = 0.

Oxy,

cho hai điểm

và

B( 2;10) .

Tính

uuur uur
D. AO.OB = 16.
r
r
r
r
r r

Oxy,
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j.
rr
..
Tính tích vô hướng ab
rr
rr
rr
rr
.
- 30.
.
3.
.
30.
.
43.
A. ab=
B. ab=
C. ab=
D. ab=
r
r
a= ( - 3;2)
b= ( - 1;- 7) .
Oxy,
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và

r
rr
rr
c
c
.
a=
9
cb=
.
20.
Tìm tọa độ vectơ
biết
và

12

uuur uur
C. AO.OB = 4.

A ( 3;- 1)


A.

r
c= ( - 1;- 3) .

B.

r
c= ( - 1;3) .

C.

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ
r
c= ( 2;3) .
r r r
P = a. b+ c .
Tính
A. P = 0.
B. P = 18.

(

Oxy,

r
c= ( 1;- 3) .
cho ba vectơ

r
c= ( 1;3) .
D.
r
r
a = ( 1;2) , b = ( 4;3)

và

)

D. P = 28.
r
r
a= ( - 1;1)
b= ( 2;0)
Oxy,
Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.
r
r
Tính cosin của góc giữa hai vectơ a và b.

r r
1
cos a, b =
.
2
A.
r r
1
cos a, b = .
2 2
C.

( )

C. P = 20.

B.

r r
cos a, b = -

2
.
2

( )

r r
1
cos a, b = .
2
D.

( )

( )

Oxy,
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ
r
Tính cosin của góc giữa hai vectơ a
r r
5

cos a, b = .
5
A.
r r
3
cos a, b =
.
2
C.

cho hai vectơ
r
và b.

r
a= ( - 2;- 1)

và

r
b= ( 4;- 3)

.

r r
2 5
cos a, b =
.
5
B.

r r
1
cos a, b = .
2
D.
r
r
a= ( 4;3)
b= ( 1;7)
Oxy,
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Tính
r
r
góc a giữa hai vectơ a và b.

( )

( )

( )

( )

O
A. a = 90 .

O

B. a = 60 .

O
C. a = 45 .

O
D. a = 30 .
u
r
u
r
x = ( 1;2)
y = ( - 3;- 1)
Oxy,
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.
u
r
u
r
Tính góc a giữa hai vectơ x và y.
O
A. a = 45 .

O
B. a = 60 .

O

C. a = 90 .

O
A. a = 30 .

O
B. a = 45 .

O
C. a = 60 .

O
D. a = 135 .
r
r
a= ( 2;5)
b= ( 3;- 7)
Oxy,
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.
r
r
Tính góc a giữa hai vectơ a và b.

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ
r
không vuông góc với vectơ a ?
ur

ur
v1 = ( 1;- 3) .
v2 = ( 2;- 6) .
A.
B.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy,

cho vectơ

C.

Oxy,

r
a= ( 9;3)

ur
v3 = ( 1;3) .

cho ba điểm

O
D. a = 135 .

. Vectơ nào sau đây

D.

uu
r
v4 = ( - 1;3) .

A ( 1;2) , B( - 1;1)

và

C ( 5;- 1)

.

13


uuur
uuu
r
Tính cosin của góc giữa hai vectơ AB và AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
1
cos AB, AC =
.
cos AB, AC =- .
2
2

A.
B.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
5
2
cos AB, AC =.
cos AB, AC =- .
5
5
C.
D.

(

)

(

)

(

)

(

)

A ( 6;0) , B ( 3;1)
Oxy,
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( - 1;- 1)
. Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
O
O
O
O
A. 15 .
B. 60 .
C. 120 .
D. 135 .
A ( - 8;0) , B( 0;4) , C ( 2;0)
Oxy,
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ
cho bốn điểm
D ( - 3;- 5) .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
�
�
�
A. Hai góc BAD và BCD phụ nhau. B. Góc BCD là góc nhọn.
uuu
r uuur
uur uuu
r
cos AB, AD = cos CB,CD .

�
�
C.
D. Hai góc BAD và BCD bù nhau.
r 1r r
r
r
u
= i - 5j
Oxy,
v
=
ki
2
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
r
r
Tìm k để vectơ u vuông góc với v.
A. k = 20.
B. k =- 20.
C. k =- 40.
D. k = 40.
r 1r r
r
r
u = i - 5j
Oxy,
2

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và v = ki r
r
Tìm k để vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau.

(

)

(

và

và

)

r
4 j.

r
4 j.

5
k= .
8
A.
B.
C.

D.
r
r
a = ( - 2;3) , b = ( 4;1)
Oxy,
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba vectơ
và
r r
r
r
r
r
a+ b
c = ka + mb với k, m��. Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2k = 2m.
B. 3k = 2m.
C. 2k + 3m= 0.
D. 3k + 2m= 0.
r
r
a= ( - 2;3)
b= ( 4;1)
Oxy,
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Tìm

u
r
ru
r
ru
r
. = 4 và bd
. =- 2 .
vectơ d biết ad
u
r �
u
r
u
r �
u
r � 5 6�
�
� 5 6�
�
5 6�
5 6�
�
�
�
d =�
; �
.
d
=

;
.
d
=
;
.
d
=�
- ;- �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 7 7�
�
� 7 7�
�
�
�
�
�
�
�

�
7
7
7
7
A.
B.
C.
D.
r
r
u = ( 4;1) , v = ( 1;4)
Oxy,
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba vectơ
và
r r
r
r
a = u + mv
. với m��. Tìm m để a vuông góc với trục hoành.
A. m= 4.
B. m=- 4.
C. m=- 2.
D. m= 2.

k=

37
.

4

k=

37
.
2

k=�

37
.
2

(

14

)


r
r
u = ( 4;1)
v= ( 1;4) .
Oxy,
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
Tìm

r r r
r
r r
m để vectơ a = mu
. + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450.
1
1
1
m= - .
m= - .
m= .
m=
4.
2
4
2
A.
B.
C.
D.
Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ
M ( 1;- 2)
N ( - 3;4) .
và
A. MN = 4.

B. MN = 6.

Oxy,

tính khoảng cách giữa hai điểm

C. MN = 3 6.
Oxy,
tọa độ
cho

D. MN = 2 13.

Câu 52. Trong mặt phẳng
tam
A ( 1;4) , B( 3;2) , C ( 5;4)
. Tính chu vi P của tam giác đã cho.
A. P = 4 + 2 2.

giác

ABC

có

B. P = 4 + 4 2.

C. P = 8+ 8 2.
D. P = 2+ 2 2.
r
r
r
3 4

r r
a =- i j
r
O;i ; j
5 5 . Độ dài của vectơ a
Câu 53. Trong hệ tọa độ
, cho vectơ
bằng
1
6
7
.
.
.
5
5
1.
A.
B.
C.
D. 5
r
r
u = ( 3;4)
v = ( - 8;6)
Oxy,
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.

Khẳng định nào sau đây đúng?
r
r
r
r
u = v.
A.
B. u và v cùng phương.
r
r
r
r
C. u vuông góc với v .
D. u =- v.

(

)

A ( 1;2) , B ( - 2;- 4) , C ( 0;1)
Oxy,
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ
cho các điểm
và
� 3�
D�
- 1; �
�
�
�

�
� 2�
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB = CD .
A. AB cùng phương với CD.
B.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
C. AB ^ CD.
D. AB = CD.
A ( 7;- 3) , B( 8;4) , C ( 1;5)
Oxy,
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ
cho bốn điểm
và
D ( 0;- 2)
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uur

A. AC ^ CB.
B. Tam giác ABC đều.
C. Tứ giác ABCD là hình vuông.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn.
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy,

cho bốn điểm

A ( - 1;1) , B( 0;2) , C ( 3;1)

và

15


D ( 0;- 2) .

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình thoi.
C. Tứ giác ABCD là hình thang cân.
D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.

A ( - 1;1) , B( 1;3)
Oxy,
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và

C ( 1;- 1)
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
C. Tam giác ABC cân tại B .

D. Tam giác ABC vuông cân tại A .

A ( 10;5) , B( 3;2)
Oxy,
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và
C ( 6;- 5)
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù.
A ( - 2;- 1) , B( 1;- 1)
Oxy,
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( - 2;2)
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông tại B .
D. Tam giác ABC vuông cân tại C .
Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

A ( - 2;4)
B( 8;4) .
Oxy,
Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm
C
ABC
C
.
tọa độ điểm
thuộc trục hoành sao cho tam giác
vuông tại
A.

C ( 6;0) .

B.

C ( 0;0) , C ( 6;0) .

C.

C ( 0;0) .

D.

C ( - 1;0) .

A ( 1;2)
B( - 3;1) .
Oxy,
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm tọa
độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.
A.

C ( 0;6) .

B.

C ( 5;0) .

C.

C ( 3;1) .

D.

C ( 0;- 6) .

A ( �4;0) , B ( �
5;0)
C ( 3;0) .
cho ba điểm
và

uuur uuur uuur r
Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB + MC = 0.

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

M (�
2;0) .

B.

Oxy,

M ( 2;0) .

C.

M (�
4;0) .

D.

M(�
5;0) .

M(�
2;2)
N ( 1;1) .
cho hai điểm

và
Tìm
M
,
N
,
P
tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm
thẳng hàng.

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

P ( 0;4) .

B.

P ( 0;�
4) .

Oxy,

C.
Oxy,

P( �
4;0) .

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ

tìm điểm M
N ( - 1;4)
khoảng cách từ đó đến điểm
bằng 2 5.

16

D.

P ( 4;0) .

thuộc trục hoành để


A.

M ( 1;0) .

B.

M ( 1;0) , M ( - 3;0) .

C.

M ( 3;0) .

D.

M ( 1;0) , M ( 3;0) .

A ( 1;3)
B( 4;2) .
Oxy,
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm tọa
C
C
B
.
A
độ điểm
thuộc trục hoành sao cho
cách đều hai điểm
và
�5 �
�
�
�
�
�
�
�
5 �
3
3 �
C�
- ;0�
.

C�
;0�
.
C�
- ;0�
.
C�
;0�
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 �
5 �
A. � 3 �
B. �
C. � 5 �
D. �

A ( 2;2) , B( 5;- 2) .

Oxy,
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
Tìm điểm
0
�
M thuộc trục hoàng sao cho AMB = 90 ?
M ( 0;1) .
M ( 6;0) .
M ( 1;6) .
M ( 0;6) .
A.
B.
C.
D.
A ( 1;- 1)
B( 3;2) .
Oxy,
Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm M
2
2
thuộc trục tung sao cho MA + MB nhỏ nhất.
� 1�
M�
0;- �
.
�

�
�
�
�
2�
A.
B.
D.
A ( - 2;0) ,
Oxy,
Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hình bình hành ABCD biết
B( 2;5) , C ( 6;2) .
Tìm tọa độ điểm D.
D ( 2;- 3) .
D ( 2;3) .
D ( - 2;- 3) .
D ( - 2;3) .
A.
B.
C.
D.
Oxy,
Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có

M ( 0;1) .

M ( 0;- 1) .

� 1�
M�
0; �
.
�
�
�
�
�
2�
C.

A ( 1;3) , B ( - 2;4) , C ( 5;3) .
� 10�
G�
2; �
.
�
�
�
�
�
3�
A.

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho.
�
�
8 10�
4 10�

�
G�
;.
G�
; �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
G
2;5
.
(
)
�
�
�
3
3
3
3�
B.
C.
D.
A ( - 4;1) , B ( 2;4) ,

Oxy,
mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có

Câu 71. Trong
C ( 2;- 2) .
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
�
�1 �
�
� 1�
� 1�
�
1 �
I�
;1�
.
I�
- ;1�
.
I�
1; �
.
I�
1;- �
.
�
�
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 �
A. �
B. � 4 �
C. � 4�
D. � 4�
A ( - 3;0) , B( 3;0)
Oxy,
Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và
C ( 2;6) .
H ( a;b)
Gọi
là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b.
A. a + 6b = 5.
B. a + 6b = 6.
C. a + 6b = 7.
D. a + 6b = 8.

A ( 4;3) , B ( 2;7)

Oxy,
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và
C ( - 3;- 8) .
Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
A '( 1;- 4) .
A '( - 1;4) .
A '( 1;4) .
A '( 4;1) .
A.
B.
C.
D.
A ( 2;4) , B( - 3;1) ,
Oxy,
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( 3;- 1) .
Tìm tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.

17




3 1
A '
;
.

5 5
A.

3 1
A '
- ;-
.





5 5
B.

3 1

A '
- ;
.



5 5
C.

3 1
A '
;-
.




5 5
D.
A ( - 3;- 2) , B( 3;6)

Oxy , cho ba im
Cõu 75. Trong mt phng ta
v
C ( 11;0) .
Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh vuụng.
D ( 5;- 8) .
D ( 8;5) .
D ( - 5;8) .
D ( - 8;5) .
A.
B.
C.
D.
A ( 2;4)
B ( 1;1) .
Oxy,

Cõu 76. Trong mt phng ta
cho hai im
v
Tỡm ta
C
ABC
B
.
im
sao cho tam giỏc
vuụng cõn ti
C ( 4;0) .
C ( - 2;2) .
C ( 4;0) , C ( - 2;2) .
C ( 2;0) .
A.
B.
C.
D.
A ( 1;- 1)
Oxy,
Cõu 77. Trong mt phng ta
cho hỡnh vuụng ABCD cú
v
B( 3;0) .
Tỡm ta im D , bit D cú tung õm.
A.

D ( 0;- 1) .

B.

D ( 2;- 3) .

C.

D ( 2;- 3) , D ( 0;1) .

D ( - 2;- 3) .

D.

A ( 1;2) , B( - 1;3) , C ( - 2;- 1)
Oxy,
Cõu 78. Trong mt phng ta
cho bn im
D ( 0;- 2) .
v
Mnh no sau õy ỳng ?
A. ABCD l hỡnh vuụng.
B. ABCD l hỡnh ch nht.
C. ABCD l hỡnh thoi.
D. ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
A ( 1;3)
B ( 4;2)
Oxy,
Cõu 79. Trong mt phng ta
cho tam giỏc OAB vi
v
.

O
E
Tỡm ta im
l chõn ng phõn giỏc trong gúc
ca tam giỏc
OAB.


5 5
3 1
E =
.
E =
.


;
;-






2 2
2 2
A.
B.
C.

(

)

E = - 2+ 3 2;4 + 2 .

D.

(

E = - 2+ 3 2;4-

)

2.

A ( 2;0) , B( 0;2)
C ( 0;7) .
Oxy,
Cõu 80. Trong mt phng ta
cho ba im
v
Tỡm ta nh th t D ca hỡnh thang cõn ABCD.
A.

D ( 7;0) .

B.

BAỉI

3.

D ( 7;0) , D ( 2;9) .

C.

D ( 0;7) , D ( 9;2) .

D.

D ( 9;2) .

CAC HE THệC LệễẽNG TRONG
TAM GIAC
VAỉ GIAI TAM GIAC

1. nh lớ cụsin
Cho tam giỏc ABC cú BC = a, AC = b v AB = c .
Ta cú

A
b

c

18

B

a

C


a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A;
b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB;
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.
Hệ quả

cos A =

b2 + c2 - a2
c2 + a2 - b2
a2 + b2 - c2
; cos B =
; cosC =
.
2bc
2ca
2ab

2. Định lí sin
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Ta có
a
b
c
=
=

= 2R
sin A sin B sinC

A
b

c
B

I
a

C

3. Độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C .
Ta có
A
b2 + c2 a2
2
ma =
;
2
4
ma
b
a2 + c2 b2
c
2
mb =

;
2
4
mc
mb
a2 + b2 c2
mc2 =
.
a
B
C
2
4

4. Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có
● ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ;
● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
a + b+ c
p=
2
●
là nửa chu vi tam giác;
S
●
là diện tích tam giác.
Khi đó ta có:
1
1

1
S = aha = bhb = chc
2
2
2
1
1
1
= bcsin A = casin B = absinC
2
2
2
abc
=
4R
= pr
= p( p- a) ( p- b) ( p- c) .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

19


Vấn đề 1. GIẢI TAM GIÁC
�
Câu 1. Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8 . Số đo góc A bằng:
.
.
.
A. 30�
B. 45�

C. 60�

.
D. 90�

�
Câu 2. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và A = 60�. Tính độ dài cạnh BC .

A. BC = 1.

B. BC = 2.
C. BC = 2.
D. BC = 3.
Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 ,
�
cạnh AB = 9 và ACB = 60�. Tính độ dài cạnh cạnh BC .
A. BC = 3+ 3 6. B. BC = 3 6 - 3.

C. BC = 3 7.

D.

BC =

3+ 3 33
.
2

� = 45�
AB = 2, AC = 3 và C

Câu 4. Tam giác ABC có
. Tính độ dài cạnh BC .

A. BC = 5.

B.

BC =

6+ 2
.
2

C.

BC =

6- 2
.
2

D. BC = 6.

�
� = 45�
,C
Câu 5. Tam giác ABC có B = 60�
và AB = 5 . Tính độ dài cạnh AC .

AC =

5 6
.
2

C. AC = 5 2.
D. AC = 10.
�
Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có BAD = 60�. Tính độ dài cạnh
AC .
A.

A. AC = 3.

B. AC = 5 3.

B. AC = 2.

C. AC = 2 3.

D. AC = 2.

AB = 4, BC = 6, AC = 2 7
Câu 7. Tam giác ABC có
. Điểm M thuộc đoạn BC
sao cho MC = 2MB . Tính độ dài cạnh AM .
A. AM = 4 2.

B. AM = 3.

C. AM = 2 3.

D. AM = 3 2.

6- 2
, BC = 3, CA = 2
2
Câu 8. Tam giác ABC có
. Gọi D là chân đường
�
�
phân giác trong góc A . Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ?
.
.
.
.
A. 45�
B. 60�
C. 75�
D. 90�
AB =

Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH = 32 cm . Hai cạnh AB và
AC tỉ lệ với 3 và 4 . Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao
nhiêu?
A. 38 cm.
B. 40 cm.
C. 42 cm.
D. 45 cm.
E , F sao

Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm
�
�
�
MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y
cho các góc MPE , EPF , FPQ bằng nhau. Đặt
.
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
2
2
2
A. ME = EF = FQ.
B. ME = q + x - xq.

20


2
2
2
2
2
2
C. MF = q + y - yq.
D. MQ = q + m - 2qm.
�
Câu 11. Cho góc xOy = 30�. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox
Oy
và
sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

3
.
A. 2

B. 3.
C. 2 2.
D. 2.
�
Câu 12. Cho góc xOy = 30�. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox
Oy
và
sao cho AB = 1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA
bằng:

3
.
2
A.

C. 2 2.
D. 2.
Câu 13. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với
b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 )
�
nhau bởi đẳng thức
. Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu
độ?
.
.

.
.
A. 30�
B. 45�
C. 60�
D. 90�
B.

3.

Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi l a là độ dài đoạn
�
phân giác trong góc BAC . Tính l a theo b và c .
A.

la=

2bc
.
b+ c

B.

la=

2( b+ c)
bc

.

C.

la=

2bc
.
b+ c

D.

la=

2( b+ c)
bc

.

Câu 15. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai
0
hướng tạo với nhau góc 60 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C
chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu
hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
A. 61 hải lí.
B. 36 hải lí.
C. 21 hải lí.
D. 18 hải lí.
Câu 16. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù
lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A
0

�
và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB = 40m , CAB = 45
0
�
và CBA = 70 .
Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng
cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 53 m .

21


B. 30 m .
C. 41,5 m .
D. 41 m .

Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).
0
�
Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 45 .
Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 17,5m .
B. 17m .
C. 16,5m .
D. 16m .
Câu 18. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn
hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo
0 �
0
�

được AB = 24 m , CAD = 63 , CBD = 48 .
Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?
A. 18m .
B. 18,5m .
C. 60m .
D. 60,5m .

Câu 19. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m . Từ vị trí quan sát
A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng0
0
ten dưới góc 50 và 40 so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 12m .
B. 19m .
C. 24m .
D. 29m .
Câu 20. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp.
Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp một khoảng CD = 60m , giả sử chiều
cao của giác kế là OC = 1m .
Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo
thanh ta nhình thấy đỉnh A của tháp. Đọc

22


0
�
trên giác kế số đo của góc AOB = 60 .
Chiều cao của ngọn tháp gần với giá trị
nào sau đây:

A. 40m .

B. 114m .
C. 105m .
D. 110m .
Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của
ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm
0
0
ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30' .
Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần
nhất với giá trị nào sau đây?
A. 135m .
B. 234m .

C. 165m .

D. 195m .
Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường
trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng:
A. 4cm .

B. 3cm .
C. 7cm .
D. 5cm .
Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường
trung tuyến BM của tam giác đã cho.

a 5
BM =
.
BM
=
a
2.
BM
=
a
3.
2
B.
C.
D.
Câu 24. Tam giác ABC có AB = 9 cm, AC = 12 cm và BC = 15 cm. Tính độ dài
đường trung tuyến AM của tam giác đã cho.
A. BM = 1,5a.

A.

AM =

15
2 cm. B. AM = 10 cm.

C. AM = 9 cm.

Câu 25. Tam giác ABC cân tại C , có AB = 9cm và
đối xứng của B qua C . Tính độ dài cạnh AD.

AC =

D.

AM =

13
2 cm.

15
cm
2
. Gọi D là điểm

A. AD = 6 cm.

B. AD = 9 cm.
C. AD = 12 cm.
D. AD = 12 2 cm.
Câu 26. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết
� =
cos AMB

5 13
26 và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC .

A. AC = 13 .

B. AC = 7 .

C. AC = 13 .
D. AC = 7 .
Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 và

23


� = 1200
BGC
. Tính độ dài cạnh AB .

A. AB = 11 .

B. AB = 13 .

C. AB = 2 11 .

D. AB = 2 13 .
Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện
tích của tam giác ABC bằng:
C. 72 .
D. 72 2 .
Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Nếu giữa a, b, c có liên
2
2
2
hệ b + c = 2a thì độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam
giác tính theo a bằng:
A. 24 .

B. 24 2 .

a 3
A. 2 .

a 3
B. 3 .

C. 2a 3 .
D. 3a 3 .
Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n .
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:
A.

m2 + n2 = 3( a2 + b2 )
2( m + n ) = a + b

.

B.

m2 + n2 = 2( a2 + b2 )

.

3( m + n ) = a + b
D.
.
Câu 31**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với
2

2
2
nhau bởi đẳng thức a + b = 5c . Góc giữa hai trung tuyến AM và BN là góc
nào?
2

C.

2

2

2

2

2

2

2

.

0
A. 30 .

0
B. 45 .

0
0
C. 60 .
D. 90 .
Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma, mb, mc thỏa mãn
5ma2 = mb2 + mc2
. Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông.

B. Tam giác đều.
D. Tam giác vuông cân.
Câu 33**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi ma, mb, mc là độ dài ba
đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
1 2
3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( I ) . ma + mb + mc = 4( a + b + c ) .
( II ) . GA +GB +GC = 3( a + b + c ) .
Trong các khẳng định đã cho có

A.
đúng.

( I ) đúng.

B. Chỉ

( II ) đúng.

C. Cả hai cùng sai. D.

Cả

hai

cùng

Vấn đề 3. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
O
�
Câu 34. Tam giác ABC có BC = 10 và A = 30 . Tính bán kính R của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R = 5 .

B. R = 10 .

R=
C.

10

3.

D. R = 10 3 .

�
Câu 35. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và A = 60�. Tính bán kính R của

24


đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R = 3 .

B. R = 3 3 .
C. R = 3 .
D. R = 6 .
Câu 36. Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
85
85
7
7
R = cm
R = cm
R = cm
R = cm
8
2
4
2

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 37. Tam giác đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R . Khi đó
bán kính R bằng:
A.

R=

a 3
2 .

B.

R=

a 2
3 .

C.

R=

a 3
3 .

R=

a 3
4 .

D.
12
AB 3
AH = cm
=
5
Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao
và AC 4 .
Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R = 2,5cm .
B. R = 1,5cm .
C. R = 2cm .
D. R = 3,5cm .
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung
điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
9
9
R=
R=
6.
2.
A.
B. R = 3 .
C. R = 3 3 .

D.
Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có AC = b, BC = a , BB ' là đường cao kẻ từ B
�
và CBB ' = a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC được tính
theo a, b và a là:

A.

R=

a2 + b2 - 2abcosa
2sin a
.
2

C.

R=

B.

R=

a2 + b2 + 2abcosa
2sin a
.

R=

a2 + b2 - 2abcosa

2cosa
.

2

a + b + 2abcosa
2cosa
.

D.

Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
�
Câu 41. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60�. Tính diện tích tam giác
ABC .

9 3
2 .

9
SD ABC =
S
=
9
2.
B.
C. DABC
.
D.
�

� = 75�
, ACB
Câu 42. Tam giác ABC có AC = 4, BAC = 30�
. Tính diện tích tam
ABC
giác
.

S
=9 3.
A. DABC

SD ABC =

S
=4 3.
S
=8 3.
B. D ABC
C. SDABC = 4 .
D. DABC
Câu 43. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10 . Diện tích của tam giác ABC
bằng:
A. SDABC = 8 .

25