✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
◆●❯❨➍◆ ❙❖◆● ❍⑨
❳❻P ❳➓ ◆●❍■➏▼ ❈❍❖ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❱❰■ ❍➴ ❱➷ ❍❸◆ ❈⑩❈ ⑩◆❍ ❳❸
❑❍➷◆● ●■❶◆
❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
▼➣ sè✿ ✾✹✻✵✶✵✷
◆❣➔♥❤✿
▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆ ❑❍❖❆ ❍➴❈
●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣
❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✽
✐✐
▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ tæ✐✱ ✤÷ñ❝
❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛ ●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ tr➻♥❤
❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ ♠î✐ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛
♥❣÷í✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥❤ú♥❣ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✳✳✳ t❤→♥❣ ✽ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔
◆❣✉②➵♥ ❙♦♥❣ ❍➔
ữủ t t rữớ ồ ữ ồ
ữợ sỹ ữợ t t ừ ữớ
tọ ỏ t ỡ ổ ũ s s tợ ữợ
r q tr ồ t ự tổ q ờ
s t ổ sr ở t ồ tr ữợ t
ổ ữủ sỹ q t ú ù ỳ ỵ õ õ qỵ
ừ P ý ụ ữ
ổ P
P P P ộ ữ P r Pữỡ
P Pữủ P ừ ũ
ữỡ ổ ũ ũ
r ỡ
rữỡ ụ ứ ỏ t ụ
ữủ tọ ỏ t ỡ s s ổ
t ỡ ừ Pỏ t
rữớ ồ ữ ừ
Pỏ tờ ự trữớ ồ ồ
ồ t ồ tốt t t õ t t
ừ
t ỡ t ổ tr ở ổ t
rữớ ồ ữ t ổ tr
rữớ ồ ồ ồ ũ t t
ự s t ỗ ổ
q t ở tr ờ õ õ ỳ ỵ t
tr sốt q tr ồ t ự sr t
t t ợ
iv
▼ö❝ ❧ö❝
❚r❛♥❣ ❜➻❛ ♣❤ö
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▼ö❝ ❧ö❝
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t
❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✐
✐✐
✐✈
✈✐
✈✐✐✐
✶
✽
✽
✶✳✷✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✼
✶✳✸✳ ▼ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✵
✶✳✸✳✶
▼æ ❤➻♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✵
✶✳✸✳✷
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✶
❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✶
✸✷
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✸✸
✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ S˜k ✳ ✳ ✳ ✳
✸✸
✷✳✶✳✶
◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✸
✷✳✶✳✷
❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✺
▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ Sˆk ✳ ✳ ✳ ✳
✹✻
✷✳✶✳✸
✺✶
✷✳✷✳✶
◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✶
✷✳✷✳✷
❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✷
✷✳✷✳✸
▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✼
✷✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❞ò♥❣ →♥❤ ①↕ S k ✳ ✳ ✳ ✳
✺✾
✷✳✸✳✶
◆ë✐ ❞✉♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺✾
✷✳✸✳✷
❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✻✵
✷✳✸✳✸
▼ët sè ❤➺ q✉↔ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✻✽
❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✷
❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳ ✈➔ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ sè
✸✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❜➠♥❣ t❤æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳ ❱➼ ❞ö sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤÷ì♥❣ ✸
❑➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ✤➲ ♥❣❤à
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
✼✸
✼✹
✼✹
✽✵
✾✶
✾✷
✾✸
✾✹
vi
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ❝❤ú ✈✐➳t t➢t
H
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝
E
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝
E∗
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ E
SE
♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ E
E ∗∗
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E
l∞
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❜à ❝❤➦♥
lp (1 ≤ p < ∞)
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❦❤↔ tê♥❣ ❜➟❝ p
c
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö
c0
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö ✈➲ 0
Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞)
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ❜➟❝ p tr➯♥ [a, b]
C[a, b]
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ [a, b]
R
t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝
R+
t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠
Rn
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ t❤ü❝ n ❝❤✐➲✉
N
t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥
∅
t➟♣ ❤ñ♣ ré♥❣
∀
✈î✐ ♠å✐
∩ ❤♦➦❝
♣❤➨♣ ❣✐❛♦
d(x, C)
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ♣❤➛♥ tû x ✤➳♥ t➟♣ ❤ñ♣ C
PC
♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø E ✭❤♦➦❝ H ✮ ❧➯♥ C
I
→♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✈à
x, x∗
❣✐→ trà ❝õ❛ x∗ ∈ E ∗ t↕✐ ✤✐➸♠ x ∈ E
x, y
t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝õ❛ x ∈ H ✈➔ y ∈ H
xT
❝❤✉②➸♥ ✈à ❝õ❛ ✈➨❝tì x
J
→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝
j
→♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà
s❣♥
❤➔♠ ❞➜✉
µ
❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤
∇ϕ(x)
❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ϕ(x)
R(F )
♠✐➲♥ ↔♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ F
D(F )
♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ F
❋✐①(T )
t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T
❱■P∗ (F, C)
❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥
∞
❋✐①(Ti ) ✈î✐ F : E → E
C :=
i=1
∗
Sol(❱■P (F, C))
t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❱■P∗ (F, C)
A−1
→♥❤ ①↕ ♥❣÷ñ❝ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A
JrA
t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A ✈î✐ JrA := (I + rA)−1
JA
t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ r = 1
❩❡r(A)
t➟♣ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A
lim supxk
❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❞➣② {xk }
k→∞
lim inf xk
❣✐î✐ ❤↕♥ ❞÷î✐ ❝õ❛ ❞➣② {xk }
xk → x0
{xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0
o(λk )
✈æ ❝ò♥❣ ❜➨ ❜➟❝ ❝❛♦ ❤ì♥ λk
k→∞
viii
❉❛♥❤ s→❝❤ ❜↔♥❣
✸✳✶
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✶✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✷
✸✳✷
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/20 ✳ ✳ ✳ ✳
✽✹
✸✳✸
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✼✮ ✈î✐ ρ = 1/3 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✹
✸✳✹
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ γk = 1/100 ✳ ✳ ✳
✽✺
✸✳✺
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✶✳✽✮ ✈î✐ γk = 1/1000
✳ ✳
✽✺
✸✳✻
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✷✺✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✽✽
✸✳✼
❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✸✶✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✾✵
1
t t tự ữủ t ỳ ừ
t t ợ ỳ ự ừ s t
ở sỹ ứ õ t tự ổ
ởt ừ ự t tớ sỹ t út ữủ sỹ q t ừ
ồ tr ữợ t ữ t ỹ
tr t t ở t
t ũ ữỡ tr ợ t tỷ ỡ t
õ ừ ữỡ tr r . . . õ t q ổ
t t tự ữợ tt t ủ t
t ởt ổ ử tố t tr ự ổ
t tt ự ử tỹ t
é t t ữớ t
ồ õ ỳ õ õ q trồ t õ t ữ
õ ự ừ P ý
P ố rữỡ ố
ử ụ ữ P
P ồ P ỳ
ổ P
ữớ P P
ừ ũ rồ . . . õ t
tự ởt số t q ụ t
ự ừ t t s ự s tr ữợ ữ
P ữỡ P
ỗ Pữỡ ữỡ t ổ ừ
rữỡ
ổ t t tự ờ õ
x C s
F (x ), x x 0,
x C,
tr õ C t ỗ õ rộ ừ ổ rt H
F : H H tr H
r trữớ ủ t C ừ t ữủ ữợ t
t ở ừ ởt ồ ỳ ổ ổ
t t õ ợ t tỹ t ữ t ổ
ử t t ố tổ st
ữủ tố tổ tt ỷ t
t
õ t ự ử t t tự tỹ t ỏ ọ
õ ỳ ữỡ số q t õ ởt
tr ỳ ữợ ự q trồ ữủ sỹ q t
ừ t ồ tr ữợ õ t ữỡ
ợ t ừ t t q ừ
ữỡ õ ữớ t tt ữủ tt
t tự ỹ tr ữỡ ừ st
P ữỡ ừ rtt r
ỵ t ử ừ ữỡ
rr ữỡ ừ
ts ữỡ q t
r tt t ỹ tr ởt số tt t t
ở ữ ữỡ rsss ữỡ
r ữỡ
Pữỡ t ữỡ
rt ữủ ổ t ữ s
x C,
0
x
= P (I F )(x ),
k+1
C
k
k = 0, 1, 2, . . .
tr õ PC tr tứ H C I ỡ tr H
ởt số ữỡ ố ỹ ở tử ừ tt t ữủ t tr
ữợ
tr
C t ỗ õ rộ ừ H F : H H
tr H sỷ s tọ
F tử Lst ỡ
(0, 2/L2 )
õ ở tử tợ t x ừ t
õ ữợ ữủ s số
xk x k (1 )1 x1 x0 ,
=
1 2 L2 2
Pữỡ õ trú ỡ ử tr ỳ t
ố ử t t t Pữỡ sỹ t ủ ỳ sỷ ử
trỹ t õ ừ PC ữỡ ữớ ố t
ớ õ ỳ t ở tr tt t ở ừ
ổ t t ữỡ
ữớ ố t ữủ ở sỹ t ữ ởt
t ừ ữỡ ữớ ố t t ỹ t ừ ởt ỗ tr
t t ở ừ ổ ừ
ữỡ ũ õ ừ ổ t t
t ở ừ õ t r ở ừ t t
t tỹ t ữ t ỷ t st ữủ
tố tổ ố tổ . . .
õ t ữ t t ừ t tự tr t
t ở ừ ởt ởt ồ ổ ỡ ỳ ú
t t r ồ t ỗ õ õ t ữợ
ữủ ừ ỷ ổ õ ữủ ừ t t ở
ổ t tỷ ỳ ỷ ổ
t t t ừ t tự tr ởt t
ỗ õ õ t q t t tự tr t
t ở ừ ởt ồ ổ õ ởt
t r ữỡ t t
tự ữ t ú t õ ừ
ổ Ti i I ợ I t số õ t t tứ ỵ tữ
ỹ ữỡ ữớ ố t
ữỡ ở tử ởt t tr t
t ở ừ ồ ỳ ổ ỗ tớ
ừ t ử t C := (T ) t t ở ừ ởt
ổ tt ữủ ở tử s
F : H H tử Lst ỡ tr H
T : H H ổ tr H ợ (T ) = sỷ
(0, 2/L2 ) k (0, 1] tọ
lim k = 0,
k
k = ,
k=1
lim (k k+1 )2
k+1 = 0.
k
õ ợ tũ ỵ x0 H
xk+1 = T (xk ) k+1 F (T (xk )),
k = 0, 1, 2, . . .
ở tử tợ t x ừ t
N
r trữớ ủ C :=
(Ti ) t t ở ừ ởt ồ
i=1
ỳ ổ Ti : H H ỏ
t ữủ ỹ õ
x H,
0
x
k = 0, 1, 2, . . .
k+1 = T[k+1] (xk ) k+1 F (T[k+1] (xk )),
[k] := k N tr tr t {1, 2, 3, . . . , N }
N = 1 ữỡ s õ ỹ ở tử ừ ữỡ
ữủ ữợ tt t ủ
F : H H tử Lst ỡ tr H
Ti : H H(i = 1, 2, 3, ..., N ) ồ ỳ ổ tr H
N
(Ti ) =
ợ C :=
i=1
C = (T1 T2 . . . TN ) = (T2 T3 . . . TN T1 ) = ã ã ã = (TN T1 . . . TN 1 ).
sỷ (0, 2/L2 ) k (0, 1] tọ
lim k = 0,
k
k = ,
k=1
|k k+N | < .
k=1
õ ợ tũ ỵ x0 H {xk } ở tử
tợ t x ừ t
ứ õ õ ổ tr ự rở
t ữỡ ừ t ữợ
t ữợ t t số {k } ợ ỳ
ữủ ỗ ừ ỹ ữủ ỗ
ợ số ố ữủ t t t số k tr ổ tự
ừ ở sỹ sỷ ử Vk tt
ữủ ỗ ợ ừ ữớ ũ ữỡ
õ ổ tt t tr t t ở ừ
ổ Ti t t tr trữớ ủ tờ qt
ỡ ợ C t t ở ừ ởt ồ ổ ữủ
ổ ởt số ữỡ ũ Wk
t ữủ t ự tt tr ự ừ
t s ở sỹ
Wk õ trú ự t r
t q õ tr ữủ tt tr ổ rt H ữủ
tỹ ỏ õ ữỡ t tỹ
ú t ụ t r tr ổ ổ rt
H õ ỳ t t tũ ữ tọ tự
sỹ tỗ t t ừ tr PC ỳ t
t ự t tr ổ rt tr
ỡ ỡ s ợ ự t õ tr ổ
tờ qt ụ õ t r ởt số ừ t ồ ữủ tt
ự tr ổ õ q t tự
ữ t t ở t ổ
ừ t tỷ ỡ ữỡ tr t rst ữỡ
tr ữỡ tr r ởt tr
ỳ ự tr t ừ t ồ t ự
t ữỡ t tự tr ổ
rở ữỡ t tự tứ ổ
rt s ổ ởt ừ ữủ q t s s
ở sỹ ự trữớ ủ C t
t ở ừ ởt ổ tr ổ
tỹ ởt q trồ sỹ ở tử ố ợ ữỡ ợ
ừ t tt t tử t ừ ố
t tr ổ q tở t t
tọ tr ổ lp (1 p < ) tr
ữ ổ tọ tr ổ Lp [a, b] (1 p < )
t tr õ ự ử
ở sỹ rở t q ừ tợ ợ
ổ q trỡ ợ số dq , q > 1 ữợ tữỡ
tỹ t t số ự tr ợ ổ
tỹ ỗ t õ t t
sỷ ử ự t Wk t õ t sỷ ử Vk Sk ỡ
ỡ r ữớ ũ ở sỹ tữỡ ự tt
ữỡ ợ ờ t ừ
ữỡ ũ Sk õ õ trú ỡ õ t
t t s s ữủ
õ t r ỹ ữỡ t tự
tr ổ ởt ữủ s ởt
tỹ tt ú t t ỵ tt
t q trồ ỳ t tr ú tổ ỹ
ồ t ự t tự
✼
♣❤➙♥ ✈î✐ ❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✧✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ♥➔② ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ ①✉➜t ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳
❈ö t❤➸✱ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â ❧➔ ✧❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ t❤ü❝✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ❝â ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✧✳
▲✉➟♥ →♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿
✶✳ ❳➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❞↕♥❣ ❤✐➺♥ ①➜♣ ①➾ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❧î♣ ❜➔✐
t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t❤æ♥❣ q✉❛ ✤➲ ①✉➜t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ♠î✐ S˜k , Sˆk ✈➔ S k ✳
✣ç♥❣ t❤í✐✱ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝ö t❤➸ ✈➔ t÷ì♥❣ q✉❛♥ ✈î✐ ♠ët sè
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➣ ❝â✳
✷✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠î✐ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳
✸✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♠î✐ ❝❤♦ ♠ët ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠
❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✈æ ❤↕♥ ✤➳♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐✳
▲✉➟♥ →♥ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❜❛ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ sì ❧÷ñ❝ ✈➲ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝
❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ♠ët sè ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➔ ❜ê
✤➲ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤↕t ✤÷ñ❝ ð ❝→❝
❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❜❛ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠î✐ ❝õ❛
❝❤ó♥❣ tæ✐ ✈➲ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ♥➯✉ tr➯♥✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳
❝ò♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ♥❤➡♠ ♠✐♥❤ ❤å❛ t❤➯♠ ❝❤♦ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ✤↕t ✤÷ñ❝✳
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✭✶✮✱
✭✷✮ ✈➔ ✭✸✮ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥
✈➔ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿
• ❙❡♠✐♥❛r ❝õ❛ ❇ë ♠æ♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝→❝ ♥➠♠ ✷✵✶✺✱ ✷✵✶✻ ✈➔ ✷✵✶✼✳
• ❍ë✐ t❤↔♦ ❚è✐ ÷✉ ✈➔ ❚➼♥❤ t♦→♥ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❧➛♥ t❤ù ✶✹✱ ✷✶✲✷✸✴✵✹✴✷✵✶✻ ✈➔
❧➛♥ t❤ù ✶✺✱ ✷✷✲✷✹✴✵✹✴✷✵✶✼✱ ❇❛ ❱➻✱ ❍➔ ◆ë✐✳
• ❍ë✐ ♥❣❤à ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔ t✐♥ ❤å❝✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❇→❝❤ ❦❤♦❛ ❍➔ ◆ë✐✱
✶✷✲✶✸✴✶✶✴✷✵✶✻✳
8
❈❤÷ì♥❣ ✶
▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ sì ❧÷ñ❝ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❜ê trñ ❝èt
②➳✉ ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ✤➸ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ð ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦✳
❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❜❛ ♠ö❝✳ ❚r♦♥❣ ▼ö❝ ✶✳✶✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐
❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➲
→♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ L✲▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ❝ö t❤➸ ❤â❛ ð ▼ö❝ ✶✳✷✳
P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ▼ö❝ ✶✳✸ ❞ò♥❣ ✤➸ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ò♥❣
♠ët sè ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝↔✐ ❜✐➯♥ ❤♦➦❝ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣
❞è❝ ♥❤➜t✳
✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✱ E ∗ ✈➔ E ∗∗ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐
♥❣➝✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❉➣② {xk } ⊂ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✐✮ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0 ∈ E ♥➳✉
lim xk − x0 = 0,
k→∞
✐✐✮ ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ x0 ∈ E ♥➳✉
lim xk , x∗ = x0 , x∗
k→∞
∀x∗ ∈ E ∗ .
◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ◆➳✉ ❞➣② {xk } ⊂ E ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ x0 ∈ E t❤➻ ♥â ❤ë✐ tö ②➳✉
tî✐ x0 ∈ E ✳ ❑❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❧➔ ✤ó♥❣ ♥➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❚➟♣ C ⊆ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✐✮ ❧ç✐ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â λx + (1 − λ)y ∈ C.
✐✐✮ ✤â♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } tr♦♥❣ C ♠➔ xk → x0 t❤➻ x0 ∈ C ✳
ổ E ữủ ồ ợ ồ
tỷ x E tỗ t tỷ x E s
x, x = x , x
x E .
ử tr
ổ ỳ ổ rt Lp [a, b] ợ
1 < p < ổ ởt số ổ
ổ l1 , L1 [a, b], l , c c0
tr
E ởt ổ tỹ õ E ổ
ồ tr E õ ở tử
ổ E ữủ ồ ỗ ợ ồ
0<
2 t tự x 1, y 1, x y
tọ t
tỗ t ởt số = ( ) > 0 s
(x + y)/2 1 .
ử ổ rt H ổ ỗ t tứ q
t tr ổ rt t õ
x+y
2
= 2( x
2
+ y 2) x y
2
x, y H.
sỷ ợ ồ 0 < 2 t tự x 1, y 1, x y
tọ õ t ữủ
x+y
2
4 2 .
s r
(x + y)/2 1 (),
tr õ () = 1
1 2 /4.
ổ E ữủ ồ ỗ t ợ ồ
x, y SE x = y t
(1 )x + y < 1 (0, 1),
tr õ SE = {x E : x = 1} t ỡ ừ E
tr
ồ ổ ỗ ỗ t
t ởt ổ ỗ t õ ổ ổ
ỗ t ợ > 0 ố t E = C[0, 1] ợ
.
1
x
= x
0
x2 (t)dt
+
1/2
x = x(t) C[0, 1],
0
tr õ x
0
= sup |x(t)| õ (C[0, 1], . 0 ) ổ ỗ t
t[0,1]
(C[0, 1], . ) ổ ỗ t ữ ổ ỗ ử tr
ử tr
tr tr
ồ ổ ỗ ổ
t ởt ổ õ ổ ổ
ỗ t ổ E = Rn ợ
n
|xi | x = (x1 , x2 , ..., xn ) Rn ,
x =
i=1
ổ ữ ổ ỗ
q tr
C t ỗ õ rộ ừ ổ ỗ
t E õ ợ ộ x E tỗ t t ởt y C tọ
x y = d(x, C),
ợ d(x, C) = inf x z
zC
ú ỵ y C tr ỏ ữủ ồ tốt t
ừ x E C
C t ỗ õ rộ ừ ổ
E PC : E 2C
PC (x) =
y C : x y = d(x, C) x E
ữủ ồ tr tứ E C
C
ừ ổ E ữủ ồ t
s tr E ộ x E õ t ởt y C
tốt t ừ x
t
ứ s r ồ t ỗ õ rộ ừ ởt ổ
ỗ t t s
ợ ồ t s C E t õ PC (x) t ỗ ởt tỷ
ỡ ỳ x PC (x) = d(x, C) ợ ồ x E
t C
t ỗ õ rộ tr ổ
rt H õ C t s tr PC
ổ tr
ử ử tr
sỷ C := {x Rn : x, u } ỷ ổ õ tr Rn ợ
R u Rn tỷ ố t õ
u = 0 0 t C = Rn PC = I
u = 0 < 0 t C =
u = 0 t C = ợ ồ x Rn t õ
x
PC (x) =
x, u
u
x +
u 2
x, u ,
x, u > .
ử tr
C := {x Rn : x x0 r} õ t x0 Rn
r > 0 ợ ồ x Rn t õ
x
PC (x) =
x x0
x0 + r
x x0
ởt J : E 2E
x x0 r,
x x0 > r.
õ tr tọ
J(x) = {x E : x, x = x
x
ữủ ồ ố t ừ E
x = x },
ú ỵ J tỗ t tr ồ ổ
ữủ s r ữ ởt q trỹ t ừ t
tr ờ tr r trữớ ủ
ố t ỡ tr t s j
ử r ổ rt H ố t J ừ H
ỡ I. t trữợ t ỵ r H = H ợ ồ x H
t õ
x, x = x x .
õ x J(x) ữủ ợ ồ y J(x) tứ ừ J t t
x, y = x y
y = x .
t ủ ợ t t
xy
2
= x
2
+ y
2
2 x, y ,
s r x = y J(x) = {x}
ử q tr
ợ ộ số tỹ x t
1
s(x) = 0
1
ừ x ữ s
x < 0,
x = 0,
x > 0.
r ổ Lp [0, 1] (1 < p < ) ố t ữủ
ữ s
|x|p1
s(x) x Lp [0, 1].
J(x) =
p1
x
ởt số t t ỡ ừ ố t ữủ tr
tr ữợ
tr
E ổ tỹ J : E 2E ố
t ừ E õ t õ s
J(0) = {0}
✶✸
✐✐✮ ❱î✐ ♠é✐ x ∈ E ✱ J(x) ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣✳
✐✐✐✮ J(λx) = λJ(x) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ E ✈➔ λ ∈ R✳
✐✈✮ ◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ J ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ∈ SE
♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥ s❛✉
lim
t→0
x0 + ty − x0
,
t
tç♥ t↕✐ ✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ y, ∇ x0 ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ∇ x0
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣r❛❞✐❡♥t ❝õ❛
❝❤✉➞♥ x t↕✐ x = x0 ✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐
●➙t❡❛✉① t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❝õ❛ SE . ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉
♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ t❤❡♦ x ∈ SE ✳
❱➼ ❞ö ✶✳✼✳ ❚r➯♥ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ H ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ♠å✐
x
x = 0 ✈➔ ∇ x =
x
✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ H, x = 0✱ t❛ ❝â
x + ty − x
x + ty 2 −
lim
= lim
t→0
t→0 t( x + ty +
t
2t x, y + t2
= lim
t→0 t( x + ty +
x 2
x )
y 2
=
x )
y,
x
x
.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ SE
tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ x∗ ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, x∗ = x ✈➔ x∗ = 1.
❱➼ ❞ö ✶✳✽✳ ✭tr❛♥❣ ✾✶✱ ❬✶❪ ❤♦➦❝ tr❛♥❣ ✾✲✶✵✱ ❬✷❪✮
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳
❈→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ c0 , l1 , L1 [a, b] ✈➔ l∞ ❧➔ ❦❤æ♥❣ trì♥✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✻✳✻✱ tr❛♥❣ ✾✷✱ ❬✶❪✮
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①
tr➯♥ E\{0}✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼✳ ❬✷✼❪
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â
x
2
+ 2 y, j(x) ≤ x + y
✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ E ✳
2
≤ x
2
+ 2 y, j(x + y) ,
✶✹
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✳ ✭❍➺ q✉↔ ✷✳✻✳✾✱ tr❛♥❣ ✾✸✱ ❬✶❪✮
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ J ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ❑❤✐ ✤â✱
❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
✐✐✮ J ❧➔ ✤ì♥ trà✳
✐✐✐✮ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✈î✐ ∇ x = x
−1
J(x).
✣ë trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❍➔♠ ρE : R+ → R+ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ E ♥➳✉
ρE (t) = sup
= sup
x+y + x−y
− 1 : x = 1, y = t
2
x + ty + x − ty
−1: x = y =1 ,
2
t ≥ 0.
❱➼ ❞ö ✶✳✾✳ ✭▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✼✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✺✱ ❬✶❪✮
❚r➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ ✈î✐ t > 0 t❛ ❝â
ρH (t) = sup{tε/2 − 1 +
1 − ε2 /4 : 0 < ε ≤ 2} =
1 + t2 − 1.
❚➼♥❤ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ q ✲trì♥ ✤➲✉ ✭q > 1✮ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ q✉❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ♥❤÷ s❛✉✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉
ρE (t)
= 0.
t→0
t
lim
❱➼ ❞ö ✶✳✶✵✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉ ✈➻
ρH (t)
lim
= lim
t→0
t→0
t
√
1 + t2 − 1
= 0.
t
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✸✱ tr❛♥❣ ✾✽ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✻✱ tr❛♥❣ ✾✾✱ ❬✶❪✮
▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳ ❱î✐ q > 1✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
q ✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè β > 0 s❛♦ ❝❤♦
ρE (t) ≤ βtq ,
t > 0.
✶✺
❱➼ ❞ö ✶✳✶✶✳ ✭tr❛♥❣ ✺✹✱ ❬✸✵❪ ❤♦➦❝ tr❛♥❣ ✻✸✱ ❬✻✺❪✮
❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp [a, b] ✈➔ lp ❝â t➼♥❤ trì♥ ♥❤÷ s❛✉✿
p✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ 1 < p < 2,
p
p
L [a, b] ✈➔ l ❧➔
2✲trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ p ≥ 2.
❈❤ó þ ✶✳✸✳ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q✲trì♥ ✤➲✉ ✭tr❛♥❣ ✺✷✱ ❬✸✵❪✮ t❤➻ ❧✉æ♥
tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè dq > 0 t❤ä❛ ♠➣♥
x+y
tr♦♥❣ ✤â jq (x) = x
q
≤ x
q
+ q y, jq (x) + dq y
q
∀x, y ∈ E,
j(x)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝á♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q ✲trì♥ ✤➲✉ ✈î✐ ❤➡♥❣ sè dq ✳
q−2
▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ trì♥ ✈➔ ❧ç✐ ❝❤➦t✱ t➼♥❤ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ❝õ❛ E ✈î✐
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ E ∗ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ tr♦♥❣ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✵✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✻✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✷✱ ❬✶❪✮
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳
✐✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✶✳ ✭✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✹✱ tr❛♥❣ ✾✽ ✈➔ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✽✳✺✱ tr❛♥❣ ✾✾✱ ❬✶❪✮
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
✐✮ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✳
✐✐✮ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣② ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ②➳✉ tî✐ ✤✐➸♠ x t❤➻ j(xk )
❤ë✐ tö tî✐ j(x) t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
✐✐✮ ❧✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ✤✐➸♠ x t❤➻ j(xk )
❤ë✐ tö tî✐ j(x) t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✷✳ ✭▼➺♥❤ ✤➲ ✺✳✶✸✱ tr❛♥❣ ✺✶✱ ❬✸✵❪✮
◆➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❝â ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ t❤➻ →♥❤ ①↕ ✤è✐
♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥
❝õ❛ E ✳
t ú tổ tr ởt số t q ỡ ợ
t ổ số
l := {a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) : sup |ak | < }.
k
àk (ak+m ) t à(am+1 , am+2 , . . . , am+k , . . . ) ợ m = 0, 1, 2, . . .
P à : l R ữủ ồ ợ
tọ
à t t tử
à = à(1, 1, . . . , 1, . . . ) = 1
àk (ak+1 ) = àk (ak ) ợ ộ (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) l
ỹ tỗ t ừ ợ ữủ ớ
tr
ổ tỗ t t t tử à tr ổ l s
à = àk (1) = 1 àk (ak+1 ) = àk (ak ) ợ ộ (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) l
ởt t t q trồ ừ ợ ữủ t tr
ữợ
tr
à ợ õ
lim inf ak àk (ak ) lim sup ak ,
k
k
ợ ộ a = (a1 , a2 , ...) l ỡ ỳ ak x0 t àk (ak ) = à(a) = x0
t ợ ởt rở ừ ợ
tổ tữớ t tr ổ c số ở tử ừ ổ
l t ố ợ ồ ợ à t õ
à(a) = lim ak
k
a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . . ) c.
ụ ữ ỵ r tỗ t ỳ ổ ở tử ữ õ t
t tr ợ a = (1, 0, 1, 0, . . . ) l t t ổ õ à(a) = 1/2
ố ợ ồ ợ à
t a = (a1, a2, . . . ) l b = (b1, b2, . . . ) l ak bk 0
t àk (ak ) = àk (bk )
sỷ E ổ õ t C t
ỗ õ rộ ừ E {xk } E ởt z C
à ợ õ
àk xk z
2
= min àk xk u 2 ,
uC
àk u z, j(xk z) 0 ợ ồ u C
tử st j ỡ
r ú tổ tr ởt số tử
Lst j ỡ t ởt số t q
q ụ ữủ ợ t ử t
C t rộ ừ ổ E
T : C E ữủ ồ tử Lst tỗ t
số L 0 s
Tx Ty L x y
x, y C.
r L [0, 1) t T ữủ ồ L = 1 t T
ữủ ồ ổ
tr
C t ỗ tr ổ ỗ t E T : C E
ổ õ t t ở
(T ) := {x C : T (x) = x},
ừ T rộ t õ t ỗ
ú ỵ t tử ừ ổ T t (T ) ổ
t õ
q q tr
C t ỗ õ rộ tr ổ ỗ t E
T : C E ổ õ (T ) t ỗ õ